Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen

Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna
• (1, −1, 0) och (2, 0, 1)
• (3, −1, 4) och (−1, 1, 6)
• (4, 3, −1) och (7, −2, 5)
• (11, 3, −6) och (9, −1, 3)
Lösning:
• (x, y, z) = (1 + t, −1 + t, t)
• (x, y, z) = (3 − 4t, −1 + 2t, 4 + 3t)
• (x, y, z) = (4 + 3t, 3 − 5t, −1 + 6t)
• (x, y, z) = (11 − 2t, 3 − 4t, −6 + 9t)
Extra 2. Kan du ta reda på om några av dessa linjer skär varandra (har en gemensam
punkt)
L1 (x, y, z) = (2 + t, t, 2 − t)
L2 (x, y, z) = (4 + t, 2 + t, t)
L3 (x, y, z) = (3 − t, 2 + t, 2 − t)
Lösning: L1 och L2 skär varandra i punkten (4, 2, 0)

 2+t = 4+s
t = 2+s

2−t = s
s = 0 och t = 2
Extra 3. En linje L1 går genom punkterna P1 = (−7, −5, −3) och P2 = (5, −9, −9). En
annan linje L2 går genom punkterna P3 = (−1, −19, 3) och P4 = (5, −17, −3). Bestäm
linjernas skärningspunkt.
Lösning: Plan: Bestäm de två linjernas ekvationer. Använd parametern t för den ena linjen
och s för den andra. Sätt de två ekvationerna lika varandra som i föregående uppgift och
lös ekvationssystemet.
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
Extra 4. Bestäm a så att linjerna

 x=5+t
y = a − 2t

z = a − 2t

 x=2+s
y=a+s

z = −s
skär varandra och dessutom i vilken punkt det sker.
Lösning: Vi ställer upp följande ekvationssystem

 5+t=2+s
a − 2t − a + s

a − 2t = −s
Ett system med 3 ekvationer och lika många obekanta. Vi skriver om sista ekvationen till
s = 2t−a och ersätter s med detta uttryck i första och andra ekvationen. Efter lite räknande
får vi
a − t = −3
a − 4t = 0
Ur sista ekvationen ser vi att a = 4t. Detta insatt i första ekvationen ger t = −1. Då ser vi
att a = −4. Går vi tillbaka till s = 2t − a och sätter in det vi känner får vi s = 2
Resultatet blir då: För a = −4 får vi två linjer som skär varandra. Använder vi nu t = −1 i
den första linjens ekvation får vi skärningspunkten (4, −2, −2). Samma resultat som vi fått
om vi använt s = 2 i den andra linjens ekvation (förstås).
Extra 5. Bestäm a så att planen ax − 6y + 9z + 7 = 0 och −2x + 4y − 2az − 8 = 0 blir
parallella.
Lösning: för att planen ska vara parallella måste normalvektorerna vara parallella, det vill
säga det finns ett tal λ så att
λ(a, −6, 9) = (−2, 4, −2a)
Vi får följande överbestämda ekvationssystem

 a · λ = −2
−6 · λ = 4

9 · λ = −2a
Ur den andra ekvationen får vi λ = − 32 , som med hjälp av den första ekvationen leder till
a = 3. Med dessa värden ser vi att de två normalvektorerna blir identiska och vi kan sluta
oss till att planen är parallella då a = 3.
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Extra 6. Bestäm avståndet mellan planen x + 4y + 8z + 3 = 0 och −2x − 8y − 16z + 66 = 0.
~ 2 = (−2, −8, −16) vara
Lösning: Först måste de två normalvektorerna ~n1 = (1, 4, 8) och n
parallella för att planen ska vara parallella. Är planen inte parallella skär de varandra och
avståndet dem emellan är 0.
Vi ser omedelbart att
(−2, −8, −16) = −2(1, 4, 8)
Det finns ett tal (skalär) multiplicerat med den ena vektorn som gör den lika med den
andra. Alltså är planen parallella.
Alla punkter i det ena planet ligger lika långt från det andra planet. Vi väljer ut en punkt
i det ena planet och konstruerar en linje som går genom denna punkt och med samma
riktningsvektor som planens normalvektor.
Vi väljer punkten P(1, 2, z) och löser ekvationen
−2 · 1 − 8 · 2 − 16z + 66 = 0
ger z = 3. Den eftersökta linjen har ekvationen

 x=1+t
y = 2 + 4t

z = 3 + 8t
Denna linje skär det andra planet då
(1 + t) + 4(2 + 4t) + 8(3 + 8t) + 3 = 0
ger t = − 94 som insatt i linjens ekvation ger punkten

5
4


 x=1− 9 = 9
2
y = 2 − 16
9 = 9



5
z = 3 − 32
9 = −9
Nu beräknar vi avståndet mellan de två punkterna
s
2 2
5 2
5 2
+ 2−
+ 3+
=4
d=
1−
9
9
9
Håkan Strömberg
3
KTH Syd
Extra 7. Bestäm a, så att punkterna P1 = (1, 2, 6), P2 = (2, a, 3), P3 = (2, 2, 4) och
P4 = (a, a, 5) ligger i samma plan.
Lösning: Vi bildar två vektorer
~
a = P2 P1 = (1 − 2, 2 − a, 6 − 3) = (−1, 2 − a, 3)
~b = P2 P3 = (2 − 2, 2 − a, 4 − 3) = (0, 2 − a, 1)
Planets normalvektor
~ex
~ey
~ez ~n = a
~ × ~b = −1 2 − a 3 = (2 − a)~ex + (a − 2)~ez − (6 − 3a)~ex +~ey = (2a − 4, 1, a − 2)
0 2−a 1 Vi skriver nu planets ekvation på normalform
(2a − 4)x + y + (a − 2)z + d = 0
Med en av de tre använda punkterna insatt i ekvationen
genom P3
(2a − 4)2 + 2 + (a − 2)4 + d =
4a − 8 + 2 + 4a − 8 + d =
d =
kan vi bestämma d. Till exempel
0
0
14 − 8a
Vi vet att punkten P4 = (a, a, 5) ligger i planet vilket ger insatt
(2a − 4)a + a + 5(a − 2) + 14 − 8a = 0
a2 − 3a + 2 = 0
a1 = 1
a2 = 2
Det finns alltså två alternativa uppsättningar punkter som ger önskat resultat.
Extra 8. Kan konstanterna a, b, c och d bestämmas så att parameterframställningarna


 x = 1 + 2t
 x = 4 + as
y = 2 − 3t
y = b + cs


z=t
z = d + 5s
ger samma linje?
Lösning: Först vill vi att riktningsvektorerna ska vara parallella ~r1 = (2, −3, 1) och ~r2 =
(a, c, 5). Med c = −15 och a = 10 får vi ~r2 = 5~r2 = (10, 15, 5).
Om vi väljer t = 23 och s = 0 i de två linjerna får vi punkten (4, − 52 , 32 ), då d = 23 och
35 13
b = − 25 . Väljer vi s = 1 och t = 13
2 får vi för båda linjerna punkten (14, − 2 , 2 ). Därmed
5
har vi visat att för framräknade värden på a = 10, b = − 2 , c = −15, d = 23 är linjerna
identiska.
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
Extra 9. Två plan som inte är parallella eller sammanfaller skär varandra utefter en linje.
Ofta ges linjens ekvation som normalekvationen för två plan där alltså skärningen mellan
planen är den avsedda linjen.
Vilken linje utgör skärningen av dessa plan ?
x+y+z+1=0
2x + 3y + 4z + 5 = 0
Lösning: Välj z = t och lös ekvationssystemet nedan med avseende på x och y.
x+y+t+1=0
2x + 3y + 4t + 5 = 0
Vi får
och påstår att linjen
x = 2+t
y = −3 − 2t)

 x =2+t
y = −(3 + 2t)

z=t
är skärningslinjen mellan de två planen. Alla punkter på denna linje ligger i båda planen.
Extra 10. Tre punkter p1 = (1, 0, −1), p2 = (3, −2, 1) och p3 = (−1, 2, 0) ligger i samma
plan och två punkter p4 = (2, 4, 3) och p5 = (0, 0, 2) ligger på samma linje. Bestäm linjens
skärningspunkt med planet.
Lösning: Först planets ekvation på vektorform
(x, y, z) = (1, 0, −1) + ((3, −2, 1) − (1, 0, −1))t + ((−1, 2, 0) − (1, 0, −1))s
(x, y, z) = (1, 0, −1) + (2, −2, 2)t + (−2, 2, 1)s
(x, y, z) = (1 + 2t − 2s, 0 − 2t + 2s, −1 + 2t + s)
Översatt till parameterform
Linjens ekvation på vektorform

 x = 1 + 2t − 2s
y = 0 − 2t + 2s

z = −1 + 2t + s
(x, y, z) = (2, 4, 3) + ((2, 4, 3) − (0, 0, 2))w = (2, 4, 3) + (2, 4, 1)w = (2 + 2w, 4 + 4w, 3 + w)
Översatt till parameterform

 x = 2 + 2w
y = 4 + 4w

z=3+w
Vi har nu sex ekvationer och sex obekanta

x = 1 + 2t − 2s



 y = 0 − 2t + 2s



z = −1 + 2t + s
x = 2 + 2w





y = 4 + 4w


z=3+w
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
Lösning av ekvationssystemet ger oss skärningspunkten
1 2 13
, ,
3 3 6
~ = (−1, 2, 4) är normalvektor till ett plan i vilken punkten P =
Extra 11. Vektorn n
(−1, 2, 4) befinner sig. Bestäm planets ekvation på normalform.
Lösning: Första steget (x, y, z) ◦ (−1, 2, 4) + d = 0 ger −x + 2y + 4z + d = 0. När vi så
sätter in punkten P i ekvationen kan vi lösa ut d och vi har ekvationen.
−(−1) + 2 · 2 + 4 · 4 + d = 0
21 + d = 0
d = −21
ger planets ekvation −x + 2y + 4z − 21 = 0
Extra 12. Visa att linjen
ligger i planet 6x + 4y − 4z = 0

 x=0
y=t

z=t
Lösning: Om man väljer t = 1 får man punkten (0, 1, 1) eftersom 6 · 0 + 4 · 1 − 4 · 1 = 0
så ligger den punkten i planet.
Om man väljer t = 0 får man (0, 0, 0) som man omedelbart ser att den ligger i planet
6 · 0 + 4 · 0 − 4 · 0 = 0. Om två punkter på en linje samtidigt ligger på planet ligger hela
linjen i planet!
Extra 13. Beräkna arean av den triangel vars hörn ligger i punkterna P1 = (1, 3, 1), P2 =
(2, −1, 0) och P3 = (0, 4, 2).
Låt P0 vara en godtycklig punkt på linjen L som går genom P1 och P2 .
−−→ −−→
−−→
Ekvationen P1 P2 ◦ P0 P3 = 0 gör att P0 P3 blir höjd i triangeln.
Vi kommer så småningom att beräkna arean med A = b · h/2. Linjen L’s ekvation är lätt
att bestämma. För varje värde på t får vi en ny punkt på linjen.
L = (1, 3, 1) + ((2, −1, 0) − (1, 3, 1))t = (1, 3, 1) + (1, −4, −1)t = (1 + t, 3 − 4t, 1 − t)
För ett visst värde på t får vi den sökta punkten P0 . Det är detta t vi ska ta reda på
−−→
P3 P0 = (0, 4, 2) − (1 + t, 3 − 4t, 1 − t) = (−1 − t, 1 + 4t, 1 + t)
−−→
−−→
Vi har nu två vektorer P2 P1 = (2, −1, 0) − (1, 3, 1) = (1, −4, −1) och P3 P0 = (−1 − t, 1 +
4t, 1 + t). Dessa ska vara vinkelräta mot varandra vilket är samma sak som att
(−1 − t, 1 + 4t, 1 + t) ◦ (1, −4, −1) = 0
Enligt definitionen för skalärprodukten får vi nu

(−1 − t, 1 + 4t, 1 + t) ◦ (1, −4, −1)




(−1 − t) − 4(1 + 4t) − (1 + t)
−6 − 18t




t
Håkan Strömberg
6
= 0
= 0
= 0
= −
1
3
KTH Syd
Nu känner vi t = − 13 och kan bestämma punkten
2 13 4
1
1
1
, ,
P0 = 1 + −
,3 − 4 · −
,1 − −
=
3
3
3
3 3 3
och sedan vektorn
−−→
P3 P0 = (0, 4, 2) −
2 13 4
, ,
3 3 3
=
2 1 2
− ,− ,
3 3 3
−−→
−−→
Återstår att ta reda på |P3 P0 | och |P2 P1 | med hjälp av avståndsformeln innan vi till sist kan
bestämma arean.
p
√
−−→
|P2 P1 | = q12 + (−4)2 + (−1)2 = 18
−−→
|P3 P0 | = (− 32 )2 + (− 13 )2 + ( 32 )2 = 1
A=
√
√
18 · 1
3 2
=
2
2
Extra 14. Bestäm avståndet från punkten (−2, 5) till y = 3x + 1
Lösning: Vi kan använda formeln nedan då vi skriver linjens ekvation som ax + by + c = 0
och det är avståndet till punkten P0 = (x0 , y0 ) som ska bestämmas
d=
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
y = 3x + 1 skrivs om till −3x + y − 1 = 0. P0 = (−2, 5)
d=
Håkan Strömberg
√
|(−3) · (−2) + 1 · 5 + (−1)|
10
= √ = 10
2
2
(−3) + 1
10
7
KTH Syd