1115 Låt vara ett udda tal = 2m + 1 Låt vara ett annat udda

1115
1117
Låt 𝑝 vara ett udda tal
𝑝 = 2m + 1
Låt 𝑞 vara ett annat udda tal
𝑞 = 2n + 1
Summan av två udda tal kan nu skrivas som
𝑝+𝑞 =
2m + 1 + 2n + 1
2m + 2n + 2 =
2 ⋅ (m + n + 1) =
2 ∙ heltal =
2k
vilket är ett jämnt tal
a⋅b=
jämnt tal ⋅ udda tal
2m ⋅ (2n + 1) =
2 ∙ m(2n + 1) =
2 ∙ heltal =
2k
Produkten av ett jämnt tal och ett udda tal
är ett jämnt tal, eftersom produkten
innehåller faktorn 2.
1116
Produkten av två på varandra följande
heltal kan skrivas som:
Ett tal ⋅ nästföljande tal =
k ⋅ (k + 1)
Ett av talen måste var jämnt
då de följer på varandra.
Sålunda innehåller ett av talen faktorn 2.
Slutsats:
Produkten innehåller faktorn 2,
sålunda delbar med 2.
Alternativ lösning
Produkten av två på varandra följande
heltal kan skrivas som:
Jämnt tal ⋅ nästa tal som är udda
2n ⋅ (2n + 1)
2 ∙ n(2n + 1) =
2 ∙ heltal =
2k
sålunda delbar med 2
Kommentar: När ett av talen innehåller
faktorn 2 så kommer även produkten
att innehålla faktorn 2
1118
Om p är ett jämnt tal kan det skrivas
p = 2n
p2 =
(2n)2 =
4n2 =
4 ∙ heltal =
4k
Vilket är ett tal som innehåller faktorn 4
och är därmed delbart med 4
1119
Låt n vara ett godtyckligt heltal
då är föregående heltal n − 1 och
efterföljande heltal n + 1
Produkten av tre på varandra följande heltal kan
sålunda tecknas som
(n − 1) ⋅ n ⋅ (n + 1)
Produkten av det första och tredje talet är:
(n − 1)(n + 1)
konjugatregeln ger
(n − 1)(n + 1) = n2 − 1
Kvadraten på talet i mitten är: n2
Slutsats: Produkten av det första och
det tredje talet är lika med kvadraten av
talet i mitten minus 1
1120
1121
Låt k vara ett godtyckligt heltal
Om det minsta heltalet är m
så blir dess kvadrat m2
Nästföljande heltal blir då m + 1
och dess kvadrat blir (m + 1)2
Summan av dessa kan vi teckna som
m2 + (m + 1)2 =
m2 + m2 + 2m + 1 =
2m2 + 2m + 1 =
2(m2 + m) + 1 =
2 ∙ heltal + 1 =
2k + 1
Viket är ett udda tal
då är efterföljande heltal k + 1
och därefter k + 2 och så vidare.
Vi kan nu teckna produkten som
k ∙ (k + 1) ∙ (k + 2) ∙ (k + 3)
Denna produkt kommer alltid att innehålla
två udda och två jämna tal
Fall 1
Om k är jämnt, så är även k + 2 jämnt
i så fall kan vi sätta k = 2n
och k + 2 = 2n + 2
vilket ger produkten
2n ∙ (k + 1) ∙ (2n + 2) ∙ (k + 3) =
2n ∙ (k + 1) ∙ 2(n + 1) ∙ (k + 3) =
4 ∙ n(k + 1)(n + 1)(k + 3) =
4 ∙ heltal =
4k
vilket är delbart med 4
Fall 2
Om k är udda, så är k + 1 jämnt
och i så fall kan vi sätta k + 1 = 2n
och k + 3 = 2n + 2
vilket ger produkten
k ∙ 2n ∙ (k + 2) ∙ (2n + 2) =
k ∙ 2n ∙ (k + 2) ∙ 2 ⋅ (n + 1) =
4 ⋅ k ∙ n ∙ (k + 2) ⋅ (n + 1) =
4 ∙ heltal =
4k
vilket är delbart med 4
Slutsats: Produkten av fyra på varandra
följande heltal är delbar med 4
eftersom produkten innehåller faktorn 4
Slutsats: Summan av kvadraterna av
två på varandra följande heltal är
alltid ett udda tal
1122
Rad 1: 3 ∙ 5 − 1 ∙ 7
Rad 2: 4 ∙ 6 − 2 ∙ 8
Rad 3: 5 ∙ 7 − 3 ∙ 9
⋮
⋮
Rad n:
I den här uppgiften är det tänkt att vi ska ska
koppla samman siffrornas värden med
radnumret. Radnumret växer förstås med +1 för
varje ny rad, men även alla siffror växer också
med +1 för varje ny rad
Vi gör några observationer:
 Siffrorna i första kolumnen är
radnumret + 2
 Siffrorna i andra kolumnen är
radnumret + 4
 Siffrorna i tredje kolumnen är
identiska med radnumret
 Siffrorna i fjärde kolumnen är radnumret + 6
Radnumret har beteckningen n
Den n: te radens siffror kan nu skrivas
(n + 2)(n + 4) − n(n + 6) =
n2 + 2n + 4n + 8 − n2 − 6n =
n2 − n2 + 6n − 6n + 8 =
8
Resultatet är 8 och 𝑜𝑏𝑒𝑟𝑜𝑒𝑛𝑑𝑒 av radnumret.
1123
1125
Visa att produkten av två rationella tal
också är ett rationellt tal.
(ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas
som kvoten av två heltal)
Antag att:
Det ena rationella talet är m =
a
,
b
där a och b är heltal med b ≠ 0
Det andra rationella talet är n =
c
,
d
där c och d är heltal med d ≠ 0
Motivering
Då 𝑎 = 𝑏 så är 𝑏 − 𝑎 = 0
På rad fyra delar Linus med 𝑏 − 𝑎
vilket är det samma som att dela med noll
vilket ej är tillåtet.
Kommentar: Matematiken gäller bara
så länge vi följer dess spelregler.
då blir produkten m ∙ n =
a c ac
∙ =
b d bd
ac är ett heltal eftersom både a och c är heltal.
bd är ett heltal eftersom både b och d är heltal.
bd ≠ 0 eftersom både a ≠ 0 och d ≠ 0
Slutsats: Produkten av de rationella talen
m och n är också ett rationellt tal.
1124
Visa att
1126
aritmetiska medelvärdet ≥ geometriska medelvärdet
a+b
≥ √a ∙ b där a , b ≥ 0
2
Kvadrera båda led
(a + b)2
≥ a∙b
4
2
(a + b) ≥ 4ab
a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab
a2 − 2ab + b2 ≥ 0
använd andra kvadreringsregeln i HL
(a − b)2 ≥ 0
vilket är sant, eftersom en kvadrat
aldrig kan vara negativ
VL ≥ HL
𝑎+𝑏
Vi har visat att
≥ √𝑎 ∙ 𝑏
2
Eftersom p är ett rationellt tal
a
kan det skrivas som
b
där a och b är heltal med b ≠ 0
Eftersom q är ett rationellt tal
c
kan det skrivas som
d
där c och d är heltal med d ≠ 0
a
p b a d ad
Kvoten = c = ∙ =
q
b c bc
d
ad är ett heltal eftersom både a och d är heltal.
bc är ett heltal eftersom både b och c är heltal.
bc ≠ 0 eftersom b ≠ 0 och även c ≠ 0
se uppgiftstext 𝑞 ≠ 0
Slutsats: Kvoten av de rationella talen p och q
är också ett rationellt tal.