Komplexa Tal

Elektronik 2015 – ESS010
Föreläsning 6
Tidsberoende Signaler – växelström (ac)
Komplexa Tal
(SEM: Nodanalys)
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
1
Tidsberoende Signaler – sin(wt)
𝑣 𝑡 = 𝑉0 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙)
Växelström/spanning eluttag
f=50 Hz
V0=325V (toppvärde)
Fourieranalys – alla fysiskt realiserbara signaler kan skrivas som en
summa av sinus och cosinus-termer (!!!)
𝑣 𝑡 =
𝐴𝑛 sin 𝑛 ∙ 𝜔0 𝑡 + 𝐵𝑛 cos 𝑛 ∙ 𝜔0 𝑡
𝑛=0
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
2
V(t) - triangelvåg
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
3
V(t) - triangelvåg
1
𝑓 𝑥 ≈
8
𝜋𝑥
sin
𝜋2
20
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
4
V(t) - triangelvåg
3
𝑓 𝑥 ≈
8
𝜋
1 8
𝜋
sin
𝑥
−
sin
3
𝑥
𝜋2
20
9 𝜋2
20
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
5
V(t) - triangelvåg
5
𝑓 𝑥 ≈
8
𝜋
1 8
𝜋
1 8
𝜋
sin
𝑥
−
sin
3
𝑥
+
sin
5
𝑥
𝜋2
20
9 𝜋2
20
25 𝜋 2
20
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
6
V(t) - triangelvåg
7
𝑓 𝑥 ≈
8
𝜋
1 8
𝜋
1 8
𝜋
1 8
𝜋
sin
𝑥
−
sin
3
𝑥
+
sin
5
𝑥
−
sin
7
𝑥
𝜋2
20
9 𝜋2
20
25 𝜋 2
20
49 𝜋 2
20
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
7
V(t) - triangelvåg
9
𝑓 𝑥 ≈
8
𝜋
1 8
𝜋
1 8
𝜋
1 8
𝜋
sin
𝑥
−
sin
3
𝑥
+
sin
5
𝑥
−
sin
7
𝑥 +⋯
𝜋2
20
9 𝜋2
20
25 𝜋 2
20
49 𝜋 2
20
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
8
V(t) - triangelvåg
11
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
9
V(t) - triangelvåg
13
Alla signaler kan uttryckas som en summa av cosinustermer!
Superposition – vi kan hantera termerna var för sig!
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
10
Tidsbeorende signaler
Vo1 sin(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 )
V1 sin(𝜔1 𝑡)
V2 sin(𝜔2 𝑡)
V3 sin(𝜔3 𝑡)
Elektronisk Krets
Linjär: RLC, källor.
Vo3 sin(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 )
V𝑜4 sin(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 )
V4 sin(𝜔4 𝑡)
Dela upp i
frekvenskomponenter
𝑣𝑖𝑛 (𝑡)
2016-09-15
Vo2 sin(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 )
𝑉𝑜𝑛
𝑣𝑜𝑢𝑡 (𝑡)
Föreläsning 6, Elektronik 2016
11
Frekvensområden
V1 sin(𝜔1 𝑡)
V2 sin(𝜔2 𝑡)
V3 sin(𝜔3 𝑡)
V4 sin(𝜔4 𝑡)
…
Audio: 20 Hz – 20 kHz
V1 sin(𝜔1 𝑡)
Kommunikation: 900
V2 sin(𝜔2 𝑡) MHz – 60 GHz
V3 sin(𝜔3 𝑡)
V4 sin(𝜔4 𝑡)
…
V1 sin(𝜔1 𝑡)
V2 sin(𝜔2 𝑡)
V3 sin(𝜔3 𝑡)
V4 sin(𝜔4 𝑡)
…
Mikrovågsbakgrund från Big Bang:
70-800 GHz
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
12
Senaste föreläsning
• Resistanser
𝑣 𝑡 =𝑖 𝑡 𝑅
𝑖 𝑡 =𝐶
• Kondensatorer – Kapacitans
1
𝑣 𝑡 =
𝐶
𝑖 𝑡 ′ 𝑑𝑡 ′
𝑑𝑖 𝑡
𝑣 𝑡 =𝐿
𝑑𝑡
1
𝑖 𝑡 =
𝑣 𝑡 ′ 𝑑𝑡 ′
𝐿
• Spolar – Induktans
2016-09-15
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
Föreläsning 6, Elektronik 2016
13
Tidsberoende Signaler
𝑣1 (𝑡)
𝑅
𝑉0 sin(𝜔𝑡)
𝐶1
𝐶2
𝑣1 𝑡 − 𝑉0 sin 𝜔𝑡
𝑑𝑣1 (𝑡)
𝑑𝑣1 (𝑡)
+ 𝐶1
+ 𝐶2
=0
𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Differentialekvationslösning. Relativt komplicerat.
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
14
Tidsberoende Signaler
𝑉1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙1 )
𝑅
Linjära system
𝑉0 sin(𝜔𝑡)
𝐶1
𝐶2
V1 sin(𝜔1 𝑡)
Vo1 sin(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 )
𝑉1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙1 ) − 𝑉0 sin 𝜔𝑡
𝑑𝑣1 (𝑡)
𝑑𝑣1 (𝑡)
+ 𝐶1
+ 𝐶2
=0
𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑉1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙1 ) − 𝑉0 sin 𝜔𝑡
+ 𝐶1 𝑉1 𝜔cos(𝜔𝑡 + 𝜙1 ) + 𝐶2 𝑉1 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜙1 = 0
𝑅
+ en massa trigonimetriska identiter…
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
15
Tidsberoende Signaler – komplexa tal
𝑅
𝑉0
1
𝑗𝜔𝐶1
𝑉1
V1 – komplext tal. Både storlek |V1| och fas (𝜙)
1
𝑗𝜔𝐶2
𝑉1 − 𝑉0
+ 𝑗𝜔 𝐶1 + 𝐶2 𝑉1 = 0
𝑅
𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑉0
𝑉1 =
1 + 𝑗𝜔𝑅 𝐶1 + 𝐶2
2016-09-15
𝑣 𝑡 =
𝑉0
1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2
Föreläsning 6, Elektronik 2016
sin 𝜔𝑡 − arctan 𝜔𝑅𝐶
16
Komplexa Tal
Repetition
Komplex spänning <–> tidsharmonisk spänning
Mer detaljer och matematisk stringens : Analysen i HT2
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
17
Komplexa Tal - Sammanfattning
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑧 = 𝑧 cos 𝜙 + j ∙ sin 𝜙
𝜙 = arctan
𝑧 = 𝑧 𝑒 𝑗𝜙
𝑏
𝑎
𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 = 𝑒 𝑎+𝑏
𝑅𝑒 𝑧 = |𝑧|cos(𝜙)
𝑒𝑎
= 𝑒 𝑎−𝑏
𝑏
𝑒
𝐼𝑚 𝑧 = |𝑧|𝑠𝑖𝑛(𝜙)
𝑣 𝑡 = 𝑉0 cos 𝜔𝑡 + 𝜃 = 𝑅𝑒 𝑉0 𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
18
Komplexa Tal - Sammanfattning
Charles Proteus Steinmetz
“Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering”, 1893
2016-09-15
Föreläsning 6, Elektronik 2016
19