TENTAMENSSKRIVNING
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
ENDIMENSIONELL ANALYS
A1 (FMAA01)
20160107 kl. 0813
Inga hjälpmedel är tillåtna. För att du skall kunna erhålla full poäng skall dina
lösningar vara läsbara och försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga
svar. För uppgift 1 krävs dock endast svar. För att bli godkänd krävs minst 0.8
av 1.0 på uppgift 1 samt minst 3.0 på skrivningen totalt.
1. a) Låt ` vara linjen som går genom punkterna
på formen
y = kx + m.
b) Lös ekvationen
p
c) Förenkla uttrycket
d) Ange värdet av
e) Förenkla
f) Låt
(
x
5 2
1=
a5
2
=
;
( 3 2)
`
cos 135 .
2.
( 9) ( 2).
Vad blir
f(
1)?
2
och en katet
h) En av nedanstående grafer är grafen till funktionen
p
3.
Hur stor är vinkeln mellan
f (x) = x2 . Ringa in den!
p
p7 så att nämnaren blir utan rot.
j) Lös ekvationen
Anonymkod
Ange en ekvation för
x.
g) I en rätvinklig triangel är hypotenusan
hypotenusan och denna katet?
2
1).
=
f (x) = 2x2 + 3x
i) Förenkla
;
(8
a a5 2 .
9) 2 + 9 ( 2)
1+
och
7
9x
4 3x + 3 = 0.
Personlig identierare
Var god vänd!
1
2. a) Lös ekvationen sin2 x = .
b) Lös ekvationen
3 X
3
k
x
k
=0
(0.5)
2
k
=1+3
x.
(0.5)
3. a) Deniera vad som menas med att två trianglar är likformiga.
(0.3)
b) Betrakta rektangeln ABCD nedan. Punkten E benner sig på sträckan AB . Det gäller
att jAB j = 2jBC j och jAB j = 4jBE j. Vidare skär diagonalen BD och sträckan CE
varandra i punkten P . Bestäm \BP E .
(0.7)
B
E
A
P
C
D
4. I guren nedan ser du fem kurvor ritade, namngivna AE.
A
B
C
D
E
a) Exakt tre av dem utgör grafer till funktioner. Vilka?
(0.3)
b) Precis två av de tre funktionerna är inverterbara. Vilka?
(0.3)
c)
(0.2)
Skissera
grafen till inversen i dessa två fall.
d) Minst en av funktionerna är monoton. Hur många är monotona?
(0.2)
5. a) Givet logaritmtabellen
x
ln x
1
2
3
5
7
11
0
0 69
1 10
1 61
1 95
2 40
:
:
:
:
:
bestäm ett approximativt värde till
ln 10
ln
p
=
e0 69
:
1 2+
1:61
:
(0.5)
b) Visa att
jx
1
j < 1 =) 2jx
1
j < jx + 2 j:
Gäller implikationen åt det andra hållet?
(0.5)
6. a) Visa additionsformeln
+ ) =
tan(
b) Antag att ,
tan
och
tan
1
+ tan :
tan tan
(0.5)
utgör vinklarna i en spetsvinklig triangel. Visa att
+ tan + tan = tan tan tan :
(0.5)
Lycka till!
ENDIMENSIONELL ANALYS
A1 (FMAA01)
20160107 kl. 0813
SVAR
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
y = (3=11)x + 13=11.
x = 1=2.
a6 .
p
2=2.
54.
3.
30 .
Grafen till y = x2 ser ut så här:
p
i) 3
7.
j) Lösningarna är x = 0 och x = 1.
2. a) x = =4 + k=2 där k 2 Z.
b) Lösningarna är x = 0 och x =
3.
3. a) Se kurslitteraturen.
b) Uppgiften kan lösas på många sätt. Till exempel så här:
Genom att betrakta vertikal- och alternatvinklar nner vi att 4EP B är
likformig med 4CP D. Eftersom CD = 4BE och BC = 2BE kan vi sätta
ut längder x, y och z enligt gur.
B
x
E
y
z
A
P
2
4
x
4
y
C
Pythagoras sats på
5
z
4
x
D
4EBC ger
1
x2 = x2 + (2x)2 = (5y)2 = 25y2 ; så y2 = x2 :
Pythagoras sats på
5
4BCD ger
4
x2 = (2x)2 + (4x)2 = (5z )2 = 25z 2 ; så z 2 = x2 :
20
5
Alltså följer det att y + z = x , och omvändningen till Pythagoras sats
ger att vinkeln \BP E är rät.
2
2
2
4. a) B, C och D.
b) B och D.
c) Graferna till inverserna ser ut så här:
B
D
d) Endast funktionen i B är monoton.
5. a) Uttrycket är ungefär ln 2+ln 5+ 12 ln 2+eln(2=5) , som enligt tabellen ungefär
blir 0:69 + 1:61 + 0:5 0:69 + 2=5 = 3:045 3:05.
b) Det gäller att jx 1j < 1 () 0 < x < 2 och 2jx 1j < jx + 2j ()
0 < x < 4. Implikationen som skulle visas följer direkt, och det är också
klart att implikationen åt andra hållet ej är sann.
För den intresserade ger vi även följande lösning till implikationen: Antag
att jx 1j < 1. Med omvända triangelolikheten får vi
jx + 2j = j3 + x
1
j 3 jx
j > 3jx
1
j jx
1
j
jx
1 =2
1
j:
6. a) Detta följer av additionsformlerna för cosinus och sinus,
+ ) sin cos + sin cos =
+ ) cos cos sin sin tan + tan cos cos (tan + tan )
=
cos cos (1
tan tan )
1
tan tan sin(
+ ) =
tan(
cos(
=
b) Genom att lösa ut tan från den identitet vi vill visa så ser vi att det är
tillräckligt att visa att om , och tillhör intervallet (0; =2) så är
tan
=
+ tan tan tan tan
1
=
+ );
tan(
där den sista likheten kommer från additionsvinkeln i a)-uppgiften.
Men eftersom = ( + ), tan(=2 x) = 1= tan x och tan( x)
tan x så är
tan
= tan =2 ( =2 + + )
= 1= tan( =2 + + )
= 1= tan(=2
( + ))
=
tan( + );
och vi är klara.
=
