Lektion 10. Geometrisk ort
Definition. En geometrisk ort (kort sagt ort) är mängden av alla punkter som satisfierar ett givet
geometriskt villkor.
En ort kan vara ett antal punkter, linjer, sträckor, bågar, även figurer. Att bestämma en ort
betyder att beskriva den på ett kort (konstruktivt) sätt, visa, att alla dessa punkter satisfierar alla
givna villkor medan ingen annan punkt gör det.
Exempel. Orten för alla punkter som ligger på avstånd r från en given punkt O är cirkeln med
radien r och medelpunkten O. Orten för alla punkter som ligger på avstånd r från punkt O är
cirkelskivan med radien r och medelpunkten O.
1. Givna skilda punkter A och B. Bestäm orten för alla M sådana att
a) M ligger på räta linjen AB och MA=MB;
b) triangeln AMB är liksidig;
c) MA+MB=AB;
d) MA=MB.
Definition. Mittpunktsnormalen till en sträcka är en rät linje som går genom sträckans mittpunkt
vinkelrätt mot sträckan.
2. Visa att tre mittpunktsnormalerna till sidorna av en triangel skär varandra i en punkt.
Definition. En omskriven cirkeln till en polygon är en cirkel som går genom samtliga hörn av
polygonen.
3. Visa att det finns en och endast en omskriven cirkel till en triangel. Var ligger cirkelns
medelpunkt?
4. Är det sant att de finns en omskriven cirkel till vilken som helst fyrhörning?
Avståndet mellan punkt och figur
5. Givet en punkt A och en rät linje l ej genom A. Vilken punkt på l ligger närmast till A?
6. Givet en cirkel O och en punkt A utanför O. Vilken punkt på O ligger närmast till A?
Definition. Avståndet mellan en punkt och en figur är det minsta av avstånden mellan punkten
och en punkt som tillhör figuren.
7. Är därmed avståndet mellan en punkt och en figur definierat för vilka som helst punkter och
figurer?
8. Bestäm orten för alla punkter som ligger på avståndet d från en given rät linje.
9. Bestäm orten för alla punkter som ligger inom en given vinkel på samma avstånd från
vinkelnben.
Definition. Bisektrisen till en vinkel är en rät linje som delar vinkeln mitt itu.
10. Visa att tre bisektriserna till vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt.
Talröra
11. Givna två räta linjer som skär varandra. Bestäm orten för alla punkter som ligger på samma
avstånd från linjerna.
12. Bestäm orten för alla punkter som ligger på avståndet d från en given cirkel. Betrakta tre fall
a) d är större än cirkelns radie; b) d är lika med radien; c) d är mindre än radien.
13. а) Given en triangel. En mindre triangel bildas med hörn i mittpunkterna till sidorna av den
givna triangeln. Visa att mittpunktsnormalerna till den givna triangel går längs höjderna till den
mindre triangeln.
b) Visa att höjderna till en triangel skär varandra i en punkt. I vilka fall ligger skärningspunkten
inom triangeln?
14. Givna skilda punkter A och B. Bestäm orten för alla M sådana att AMB=90.
Mattecirkeln http://shap.homedns.org/sks/svenska/ den 19 november 2005 Ledaren Alexandre Chapovalov [email protected]
