TENTAMEN I MATEMATIK (del 2) , TEN 2 Skrivtid: 13:15-17:15 Kurskod 6A2113, 6A2110 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Poängfördelning och betygsgränser: För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng. Examinator : Armin Halilovic Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället. Uppgift 1) ( 2 poäng) Bestäm definitionsmängden för Svar: 2 x 5 Uppgift 2) ( 2 poäng) f ( x) 5 x 2 x 4 2x Beräkna gränsvärdet lim ( x ) x 0 Svar: 1 Uppgift 3) ( 2 poäng) 2 Beräkna cos x(sin x) dx 4 0 Svar: 1/5 Uppgift 4) ( 2 poäng) Beräkna x 1 dx x2 Svar: x 3 ln | x 2 | C Uppgift 5) ( 2 poäng) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y( x) 8 y( x) 7 y ( x) 0 Svar: y Ae x Be 7 x Uppgift 6) ( 2 poäng) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen xy x 2 y 3 x3 y 3 y 2 x 2 x 3 C 2 2 3 Uppgift 7) ( 2 poäng) Bestäm största och minsta värdet för funktionen f ( x) x 3 4 x i intervallet [0,3] 16 Svar: fmax=15, fmin= 3 3 Datum: 16 aug 04 Uppgift 8) ( 2 poäng) Beräkna gränsvärdet xlim Svar: -2 4x 2 3 x Uppgift 9) ( 5 poäng) Lös differentialekvationen y (t ) y (t ) y(t ) 6e t 14e 2t Lösning: Homogena delen: y (t ) y (t ) y (t ) 0 KE: r r 1 0 2 1 i 3 1 i 3 r2 2 2 2 2 t t 3 t 3 y h e 2 [C1 cos( ) C 2 sin( )] 2 2 r1 Partikulär lösning: y p Aet Be 2t , y p Aet 2Be 2t , y p Aet 4Be 2t insattes i ekv: Ae t 4 Be 2t + Ae t 2 Be 2t + Ae t Be 2t = 6e t 14e 2t Härav A 2 och B 2 y p 2e t 2e 2t t 2 y y h y p e [C1 cos( t 3 t 3 ) C 2 sin( )] 2e t 2e 2t 2 2 Uppgift 10) ( 5 poäng) Bestäm den funktion y (t ) som satisfierar differentialekvationen e y ( y 1) 1 , y (0) ln( 2) Lösning: dy 1 e y e y dy y dx dt e 1 ey 1 ey t e y ( y 1) 1 e y y e y 1 e y dy dx 1 ey [subst: e y dy dt dt dx ln( t ) x C1 t Ce x t 1 e y Ce x y (0) ln( 2) 1 e ln 2 Ce 0 1 2 C C 1 Alltså 1 e e y e 1 e y x x ( läsningen på implicit form) y ln( 1 e x ) ( explicit form) Svar y ln( 1 e x ) Uppgift 11) ( 5 poäng) En sfärisk snöboll med radien l m smälter på ett dygn till den mindre (likaså sfäriska) snöbollen med radien 0.8 m. Vi antar, att volymen av snöbollen minskar med en hastighet, som är proportionell mot snöbollens area. Vi förutsätter, att bollen bibehåller sin sfäriska form under hela smältperioden. a) Bestäm en differentialekvation för radien R som funktion av tiden t b) Lös differentialekvationen med avseende på R(t) c) Beräkna efter hur lång tid snöbollen är helt borta. Lösning: dV 4 dR dR kA 3R 2 4kR 2 k dt 3 dt dt Svar: a) R (t ) k b) R (t ) kt C R ( 0) 1 C 1 och k 0.2 R(1) 0.8 alltså R (t ) 0.2t 1 c) 0.2t 1 0 t 5 Uppgift 12( 5 poäng) En laxpopulation i ett område utanför Shetlandsöarna tillväxer i storlek enligt differentialekvationen dp 0.02 p (t ) dt där t är tiden mätt i timmar och p(t) är antalet laxar i populationen vid tiden t. På grund av oljeutsläpp från en illa förd tanker vid tiden t = 0, dör laxarna med hastigheten 0.0002 p2 (t) vid tidpunkt t > 0. a) Bestäm en differentialekvation, som i det uppkomna katastrofläget beskriver den vid Shetlandsöarna kvarvarande laxpopulationens tillväxt efter utsläppet. b) Antag, att vid tiden t = 0 laxpopulationen består av 10100 fiskar. Bestäm p(t), då t > 0 . dp 0.02 p(t ) 0.0002 p 2 (t ) Svar a) dt b) Vi separerar variabler: dp dp 0.02 p 0.0002 p 2 dt dt 0.02 p 0.0002 p 2 dp dp dt 0.0002dt 2 0.0002(100 p p ) 100 p p 2 dp p(100 p) 0.0002 dt 1 1 1 100 [ p p 100 ]dp 0.0002 dt ln | p | ln | p 100 | 0.02t D ln | p | 0.02t D p 100 p Ce 0.02t p 100 Om vi substituerar p(0)=10100 får vi p(t ) C 1.01 och 0.02t 101e 1.01e 0.02t 1 Uppgift 13( 5 poäng) Vilka värden antar funktionen f ( x) 2 arcsin x 4 1 x 2 Lösning: Df: 1 x 1 Stationära punkter: 2 4x f ( x) 0 x 1 / 2 2 1 x 1 x2 f (1 / 2) 2 3 3 Ändpunkter: f (1) f (1) fmax= f (1) , fmin= f (1 / 2) 2 3 3 Svar: 2 3 y 3