Tentamen 16_aug_04 med svar. Gamla kurser: 6A2113, 6A2110

TENTAMEN I MATEMATIK (del 2) , TEN 2
Skrivtid: 13:15-17:15
Kurskod 6A2113, 6A2110
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Poängfördelning och betygsgränser:
För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng.
Examinator : Armin Halilovic
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället.
Uppgift 1) ( 2 poäng)
Bestäm definitionsmängden för
Svar: 2  x  5
Uppgift 2) ( 2 poäng)
f ( x)  5  x  2 x  4
2x
Beräkna gränsvärdet lim ( x )
x 0
Svar: 1
Uppgift 3) ( 2 poäng)

2
Beräkna
 cos x(sin x) dx
4
0
Svar: 1/5
Uppgift 4) ( 2 poäng)
Beräkna

x 1
dx
x2
Svar: x  3 ln | x  2 | C
Uppgift 5) ( 2 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
y( x)  8 y( x)  7 y ( x)  0
Svar: y  Ae x  Be 7 x
Uppgift 6) ( 2 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
xy  x 2 y 3  x3 y 3
y 2 x 2 x 3


C
2
2
3
Uppgift 7) ( 2 poäng)
Bestäm största och minsta värdet för funktionen
f ( x)  x 3  4 x
i intervallet [0,3]
 16
Svar: fmax=15, fmin=
3 3
Datum: 16 aug 04
Uppgift 8) ( 2 poäng)
Beräkna gränsvärdet xlim

Svar: -2
4x 2  3
x
Uppgift 9) ( 5 poäng)
Lös differentialekvationen
y (t )  y (t )  y(t )  6e t  14e 2t
Lösning:
Homogena delen: y (t )  y (t )  y (t )  0 KE: r  r  1  0
2
1 i 3
1 i 3

r2   
2
2
2
2
t

t 3
t 3
y h  e 2 [C1 cos(
)  C 2 sin(
)]
2
2
r1  
Partikulär lösning:
y p  Aet  Be 2t , y p  Aet  2Be 2t , y p  Aet  4Be 2t
insattes i ekv:
Ae t  4 Be 2t + Ae t  2 Be 2t + Ae t  Be 2t = 6e t  14e 2t
Härav
A  2 och B  2
y p  2e t  2e 2t

t
2
y  y h  y p  e [C1 cos(
t 3
t 3
)  C 2 sin(
)]  2e t  2e 2t
2
2
Uppgift 10) ( 5 poäng)
Bestäm den funktion y (t ) som satisfierar differentialekvationen
e y ( y   1)  1 ,
y (0)  ln( 2)
Lösning:
dy 1  e y
e y dy

 y
 dx
dt e
1 ey
1 ey  t
e y ( y   1)  1  e y y   e y  1 
e y dy
 
 dx
1 ey 
[subst:
 e y dy  dt
 dt
  dx   ln( t )  x  C1  t  Ce  x
t
 1  e y  Ce  x
y (0)  ln( 2)  1  e ln 2  Ce 0  1  2  C  C  1

Alltså 1  e  e
y
e  1 e
y
x
x
( läsningen på implicit form)
 y  ln( 1  e  x ) ( explicit form)
Svar
y  ln( 1  e  x )
Uppgift 11) ( 5 poäng)
En sfärisk snöboll med radien l m smälter på ett dygn till den mindre (likaså sfäriska)
snöbollen med radien 0.8 m. Vi antar, att volymen av snöbollen minskar med en hastighet,
som är proportionell mot snöbollens area. Vi förutsätter, att bollen bibehåller sin sfäriska form
under hela smältperioden.
a) Bestäm en differentialekvation för radien R som funktion av tiden t
b) Lös differentialekvationen med avseende på R(t)
c) Beräkna efter hur lång tid snöbollen är helt borta.
Lösning:
dV
4
dR
dR
 kA  3R 2
 4kR 2 
k
dt
3
dt
dt
Svar: a) R (t )  k
b) R (t )  kt  C
R ( 0)  1
 C  1 och k  0.2
R(1)  0.8
alltså R (t )  0.2t  1
c)  0.2t  1  0  t  5
Uppgift 12( 5 poäng)
En laxpopulation i ett område utanför Shetlandsöarna tillväxer i storlek enligt
differentialekvationen
dp
 0.02 p (t )
dt
där t är tiden mätt i timmar och p(t) är antalet laxar i populationen vid tiden t.
På grund av oljeutsläpp från en illa förd tanker vid tiden t = 0, dör laxarna med hastigheten
0.0002 p2 (t) vid tidpunkt t > 0.
a) Bestäm en differentialekvation, som i det uppkomna katastrofläget beskriver den vid
Shetlandsöarna kvarvarande laxpopulationens tillväxt efter utsläppet.
b) Antag, att vid tiden t = 0 laxpopulationen består av 10100 fiskar. Bestäm
p(t), då t > 0 .
dp
 0.02 p(t )  0.0002 p 2 (t )
Svar a)
dt
b) Vi separerar variabler:
dp
dp
 0.02 p  0.0002 p 2 
 dt 
dt
0.02 p  0.0002 p 2
dp
dp
 dt 
 0.0002dt 
2
0.0002(100 p  p )
100 p  p 2
dp
 p(100  p)  0.0002 dt

1
1
1
 100 [ p  p  100 ]dp  0.0002 dt
ln | p |  ln | p  100 | 0.02t  D  ln |
p
| 0.02t  D 
p  100

p
 Ce 0.02t
p  100
Om vi substituerar p(0)=10100 får vi
p(t ) 
C  1.01 och
0.02t
101e
1.01e 0.02t  1
Uppgift 13( 5 poäng)
Vilka värden antar funktionen f ( x)  2 arcsin x  4 1  x 2
Lösning:
Df:  1  x  1
Stationära punkter:
2
4x
f ( x) 

 0  x  1 / 2
2
1 x
1 x2

f (1 / 2)    2 3
3
Ändpunkter:
f (1)  
f (1)  

fmax= f (1)   , fmin= f (1 / 2)    2 3
3

Svar:   2 3  y  
3