LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER.
LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje)
Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION)
Låt V vara ett vektorrum. En vektor w är linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 om det finns
skalärer (tal) 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 så att
𝒘𝒘 = 𝜆𝜆1 𝒗𝒗1 + 𝜆𝜆2 𝒗𝒗𝟐𝟐 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝒗𝒗𝒏𝒏
Exempel 1.
Bestäm om w är linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐 då
a) 𝒘𝒘 = (8, 7, 6), 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1, 2, 3) och 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (2, 1, 0)
b) 𝒘𝒘 = (3, 3, 6), 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1, 2, 3) och 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (2, 1, 0)
Lösning:
a) Vi söker om det finns en lösning till
𝒘𝒘 = 𝒙𝒙𝒙𝒙1 + 𝑦𝑦𝒗𝒗𝟐𝟐
dvs
(8, 7, 6) = 𝑥𝑥(1, 2, 3) + y(2, 1, 0)
Vi identifierar koordinater och får tre skalära ekvationer:
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 8
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7
3𝑥𝑥 = 6
Systemet har (precis) en lösning x=2, y= 3
Därmed kan 𝒘𝒘 skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐 :
𝒘𝒘 = 2𝒗𝒗1 + 3𝒗𝒗𝟐𝟐
b) I detta fall
𝒘𝒘 = 𝒙𝒙𝒙𝒙1 + 𝑦𝑦𝒗𝒗𝟐𝟐
ger
(3,3,6) = 𝑥𝑥(1, 2, 3) + y(2, 1, 0)
Vi identifierar koordinater och får tre skalära ekvationer:
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3
3𝑥𝑥 = 6
Systemet SAKNAR lösning ( kontrollera) .
Därmed kan 𝒘𝒘 INTE skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐 .
Svar a) ja b) nej
UNDERRUM
Definition 2a. Låt W vara en icke tom delmängd till vektorrummet V=Rn. Mängden W är ett
underrum till V om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:
Vilkor 1: W vara en icke tom delmängd till Rn
Vilkor 2:
u, 𝒗𝒗 ∊ W ⇒ 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∊ W
( om u, v tillhör W då summan u+v tillhör också W , vi säger att W är sluten under
addition )
Vilkor3:
(𝒖𝒖 ∊ W , λ ∊ R) ⇒ λ𝒖𝒖 ∊ W
( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ , vi säger att W är sluten
under multiplikation med skalär)
Sida 1 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
Anmärkning. Från villkor 3 , för λ =0, får vi att 𝟎𝟎 ∊ W , dvs ett under rum måste innehålla
nollvektorn. Därmed kan underrummet definieras på följande ekvivalenta sätt:
Definition 2b. Låt W vara en delmängd till vektorrummet V. Mängden W är ett underrum till V
om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:
Vilkor1:
𝟎𝟎 ∊ W
( nollvektorn tillhör W)
Vilkor2:
u, 𝒗𝒗 ∊ W ⇒ 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∊ W
( om u, v tillhör W då summan u+v tillhör också W , vi säger att W är sluten under
addition )
Vilkor3:
(𝒖𝒖 ∊ W , λ ∊ R) ⇒ λ𝒖𝒖 ∊ W
( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ , vi säger att W är sluten
under multiplikation med skalär)
 x

Exempel 2. Visa att mängden W av alla vektorer y  vars koordinater satisfierar
 
 z 
ekvationen 3x + 2 y − 3z = 0 (*) är ett underrum till R3 .
Med andra ord, visa att
 x
W = { y  : 3x + 2 y − 3z = 0}
 
 z 
är ett underrum till R3.
Lösning:
Vi ska visa att alla tre villkor i ovanstående definition är uppfyllda .
0
  
Vilkor 1 Nollvektorn 0 = 0 ∈ W eftersom dess koordinater x=0, y=0, z=0 uppenbart
 
0
satisfierar ekvationen 3x + 2 y − 3z = 0 . Därmed är Vilkor1 uppfyllt.
 u1 
 v1 
  
  
Vilkor 2.
Låt u = u2 och v = v2 vara två vektorer i W. Då deras koordinater
 
 
u3 
 v3 
satisfierar ekvationen dvs då gäller
3u1 + 2u2 − 3u3 = 0 och 3v1 + 2v 2 − 3v3 = 0 .
 u1 + v1 
  
 
För att visa att u + v ∈ W , måste vi visa att koordinater till u + v = u2 + v 2  också


 u3 + v3 
satisfierar ekvationen (*) .
Vi substituerar koordinater i vänsterledet och får
Sida 2 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
3(u1 + v1 ) + 2(u2 + v2 ) − 3(u3 + v3 ) = (3u1 + 2u2 − 3u3 ) + (3v1 + 2v2 − 3v3 ) = 0 + 0 = 0
 
Därför u + v ∈ W och därmed är Vilkor2 uppfyllt.
 u1 
  
Vilkor 3. Låt u = u2 vara en vektor W och λ ett reellt tal (skalär). Då är
 
u3 
 λu1 
 
λu = λu2  vars koordinater satisfierar ekvationen (*) eftersom


λu3 

3λu1 + 2λu2 − 3λu3 = λ (3u1 + 2u2 − 3u3 ) = 0 . Därför λu ∈ W och därmed är Vilkor3
uppfyllt.
-------------------------------Generalisering: På samma sätt som i ovanstående exempel kan man visa att mängden av
 x1 
x 
alla vektorer  2  vars koordinater satisfierar ett linjärt homogent ekvationssystem är ett

 
 xn 
underrum till Rn.
 x1 
x 
Exempelvis , mängden W av alla vektorer  2  vars koordinater satisfierar följande
 x3 
 
 x4 
homogena ekvationssystem
2 x1 + 2 x 2 − 3x3 + 4 x 4 = 0
3x1 − 5 x 2 − x3 + 7 x 4 = 0
är ett underrum till R4.
Kravet att systemet är homogent är viktigt. Om systemet inte är homogent så nollvektorn
tillhör inte W. ( Se nedanstående exempel)
Exempel 3.
 x
Visa att mängden W av alla vektorer  y  vars koordinater satisfierar ekvationen
 
 z 
2 x + 2 y + 8 z = 5 INTE är ett underrum till R3 .
Lösning:
0
  
Nollvektorn 0 = 0 ligger inte i W eftersom 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 8 ⋅ 0 ≠ 5 . Villkor 1 är INTE
 
0
uppfyllt och därmed är W INTE ett underrum.
Sida 3 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
Exempel 4.
Bestäm om följande mängder är underrum i R4
a) W1 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =0, dvs
W1 = {(0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅}
(∗)
b) W2 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =1, dvs
W2 = {(1, 𝑥𝑥, 1, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅}
Lösning:
a) Om vi väljer x=0 och y= 0 i (*) får vi att ser vi att nollvektorn (0,0,0,0) ligger i W1
och därmed är Villkor1 ( i definitionen för underrum) uppfyllt.
Vi testar Villkor2
Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W1 dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥1 , 0, 𝑦𝑦1 ) och 𝒗𝒗 = (0, 𝑥𝑥2 , 0, 𝑦𝑦2 )
Då gäller u+v = (0, 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 , 0, 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 ) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0)
och Villkor 2 är uppfyllt ( Vi säger att W1 är sluten under addition).
Nu kontrollerar vi Villkor3
Vi antar 𝒖𝒖 ∊ W dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦). Då, för ett tal λ ∊ R , vi har
λ𝒖𝒖 = (0, λ𝑥𝑥, 0, λ𝑦𝑦) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0)
och Villkor3 är uppfyllt ( Vi säger att W är sluten under multiplikation med tal).
Eftersom Villkor1, Villkor2 och Villkor3 är uppfyllda är mängden W1 ett underrum
till V.
Svar a) W1 är ett underrum till V.
b)
Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W2 dvs 𝒖𝒖 = (1, 𝑥𝑥1 , 1, 𝑦𝑦1 ) och 𝒗𝒗 = (1, 𝑥𝑥2 , 1, 𝑦𝑦2 )
Då gäller 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 = (2, 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 , 2, 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 ) ∉ W2 eftersom koordinater på första och
tredje plats är 2 och inte 1 som i mängden W2 . Med andra ord summan av två element i
W2 hamnar utanför W2 . Villkor2 är inte uppfyllt och därför W2 är INTE ett underrum
till V. ( Lägg märke till att varken Villkor1 eller Villkor3 är uppfyllt)
Svar b) W2 är INTE ett underrum till V.
BASER
Definition 3 (BAS)
Låt V vara ett vektorrum ( eller underrum) . Vektorerna 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 utgör en bas i
rummet V om följande två villkor är uppfyllda:
1. Vektorerna 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är linjärt oberoende
2. Varje vektor i V kan skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 .
Sats ( Antalet element i en bas) . Om 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är en bas för V då varje bas för
rummet V har samma antal vektorer, n.
Sats ( Koordinater för en vektor i en given bas ) .
Sida 4 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
Om B=(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är en bas för V då gäller följande: Varje vektor w i rummet V kan
skrivas som på exakt ett sätt en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐 + ⋯ +𝑥𝑥𝑛𝑛 𝒗𝒗𝒏𝒏
Tal 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 kallas 𝒘𝒘:s koordinater i basen B,
 x1 
x 
2
och   kallas koordinatvektor i basen B.

 
 xn 
Sats. Om 𝒖𝒖𝟏𝟏 , 𝒖𝒖𝟐𝟐 , … , 𝒖𝒖𝒏𝒏 är n oberoende vektorer i ett n- dimensionellt vektorrum V då
utgör vektorerna en bas för V.
Definition 4 (DIMENSION)
Om vektorrummet V har en bas med n vektorer säger vi att V har dimension n.
Exempel 4a. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝒊𝒊 = (1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒋𝒋 = (0,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R2 eftersom de är linjärt oberoende och varje (x,y)
vektor i R2 kan skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 :
och R2 har dimension 2.
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥(1,0) + 𝑦𝑦(0,1)
Exempel 5b. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,2), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,2)
utgör också en bas i rummet R2 eftersom de är linjärt oberoende och varje w vektor i R2 kan
skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 ( eftersom ekvationen 𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐 är alltid
lösbar)
Exempel 5c. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,2), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (2,4)
är INTE en bas i rummet R2 eftersom de är linjärt beroende.
Exempel 5d. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝒊𝒊 = (1,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒋𝒋 = (0,1,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = 𝒌𝒌 = (0,0,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R3
Exempel 5e. Vektorerna
Sida 5 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (2,1,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (2,1,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R3 , eftersom de är 3 linjärt oberoende vektorer i R3
Exempel 5f. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,0,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,1,0,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (0,0,1,0), 𝒗𝒗𝟒𝟒 = (0,0,0,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R4 eftersom de är linjärt oberoende och varje
(x,y,z,w) vektor i R4 kan skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 , 𝒗𝒗𝟒𝟒 :
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑤𝑤) = 𝑥𝑥(1,0,0,0) + 𝑦𝑦(0,1,0,0) + 𝑧𝑧(0,0,1,0) + 𝑤𝑤(0,0,0,1)
och R4 har dimension 4.
Exempel 6. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,1,1), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (1,2,2),
utgör en bas i tredimensionell vektorrummet R3 .
Lösning:
Vi skriver vektorerna som kolonner i en matris och kollar om de är oberoende:
1 0 1
1 0 1
1 0 1
�1 1 2� ~ �0 1 1� ~ �0 1 1�
0 1 2
0 1 2
0 0 1
Tre ledande variabler implicerar att tre kolonner är oberoende dvs vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 är oberoende. Vi har 3 oberoende vektorer i ett 3 dimensionellt rum och därför
utgör vektorerna en bas i rummet.
Svar: Ja
Exempel 7. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,1,1), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (1,2,1),
utgör en bas i trodimensionell vektorrummet R3 .
Lösning:
Vi skriver vektorerna som kolonner i en matris och kollar om de är oberoende:
1 0 1
1 0 1
1 0 1
�1 1 2� ~ �0 1 1� ~ �0 1 1�
0 1 1
0 1 1
0 0 0
Två ledande variabler implicerar att max två kolonner är oberoende dvs vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 är beroende ( Vi ser att 𝒗𝒗𝟑𝟑 =𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝒗𝒗𝟐𝟐 ) och därför är INTE en bas för rummet R3.
Svar: Nej
Exempel 8. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,1,1) utgör en bas i tredimensionellt
vektorrummet R3 .
Lösning:
Nej, eftersom varje bas i R3 måste ha 3 vektorer.
Svar: Nej
Exempel 9. Bestäm koordinatvektorn för vektorn w=( 2,4) i basen B=( 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 ) där
𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,2) .
Sida 6 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
Lösning:
Vi löser ekvationen
och får 𝑥𝑥1 = 𝟐𝟐, 𝑥𝑥2 = 1
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐
(𝟐𝟐, 𝟒𝟒) = 𝑥𝑥1 (𝟏𝟏, 𝟏𝟏) + 𝑥𝑥2 (0,2)
 2
och därmed koordinatvektorn i basen B är [w ] B =  
1 
 2
Svar: [w ] B =  
1 
Exempel 10.
 x1 
x 
Låt S vara underrummet som består av alla vektorer  2  vars koordinater satisfierar
 x3 
 
 x4 
följande homogena ekvationssystem
 x1 + x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0

2 x1 + 2 x 2 + 5 x3 + 6 x 4 = 0.
Bestäm en bas till S.
Lösning:
Underrummet S är faktiskt lösningsmängden till det givna ekvationssystemet. Vi löser
systemet med t ex Gauss metoden
 x1 + x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = 0
 x1 + x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0


⇔
⇔



x3 + 2 x 4 = 0
 − 2ekv1 + ekv 2
2 x1 + 2 x 2 + 5 x3 + 6 x 4 = 0

Vi betecknar x2 = s och x4 = t , löser ut ledande variabler och får
x3 = −2t och x1 = − x2 − 2 x3 − 2 x4 = − s − 2( −2t ) − 2t = − s + 2t
 x1 
 - s + 2t 
x 
 s 
2

} = (separerar s och t - delen)
Alltså S = {
} = {
 x3 
 - 2t 
 


 t 
 x4 
 − s   2t 
 − 1  2 
 s   0 
1  0 




={
+
} = {s   + t  } .
 0   − 2t 
 0   − 2
  

   
0  t 
0 1 
Med andra ord kan varje vektor i S anges som en linjer kombination av vektorerna
− 1
 2
1
 0


v1 =   och v2 =   som är uppenbart oberoende ( kolla själv) vektorer.
0
 − 2
 
 
0
1 
 
Därmed är ( v1 , v 2 ) en bas till S
Sida 7 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
 − 1
1
Svar: Vektorerna   ,
0
 
0
Linjära kombinationer. Baser
 2
 0
  är en bas till S
 − 2
 
1 
Exempel 11.
 x
Låt S vara underrummet som består av alla vektorer  y  vars koordinater satisfierar
 
 z 
följande homogena ekvationen x + 2 y − 3z = 0 .
 x
Kortare S = { y ,
 
 z 
x + 2 y − 3z = 0}
Bestäm en bas till S.
Lösning:
Vi löser ekvationen dvs vi löser ut den ledande variabeln x
x + 2 y − 3z = 0 ⇒ x = −2 y + 3z
Vi beteckna y = s och z = t och får x = −2 s + 3t
 − 2 3
 x   − 2 s + 3t 




Alltså S = y =
= s  1  + t  0 .
s
   

  
t
 0  1

 z  
Därmed är varje vektor i S en linjer kombination av vektorerna
3
 − 2

  
v1 = 1 och v 2 = 0 som är uppenbart oberoende ( kolla själv) vektorer.
 
 
1
 0 
 
Därför är är ( v1 , v 2 ) en bas till S.
− 2 3
Svar: Vektorerna  1  , 0 bildar en bas till S
   
 0  1
LINJÄRT SPANN (eller LINJÄRT HÖLJE)
Definition 5. Linjärt spann (eller linjärt hölje)
Låt S={𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 } vara n vektorer ( beroende eller oberoende) i en vektorrum V.
Mängden av alla linjära kombinationer av vektorerna i S kallas det linjära spannet ( linjära
höljet) av S och betecknas Span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ).
Sida 8 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
Span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är ett underrum till V.
Dimensionen av Span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är lika med ( maximala) antalet oberoende vektorer
bland 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 .
Enligt definitionen en vektor w tillhör underrummet Span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) om och endast
om w kan skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 .
Exempel 12.
Låt 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (0,2,3,0,0) , 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,4,6,0,0) och
𝒗𝒗𝟑𝟑 = (0, −6, −9,0,0)
a) Bestäm dimensionen av span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 )
b) Bestäm en bas för span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 ) bland 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑
Lösning:
Vi skriver vektorer som kolonner i en matris och överför matrisen till trappstegsform:
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
0 0
0
2 4 −6
2 4 −6
1 2 −3
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
0 ⎥ ⎢0 0
0⎥
⎢ 2 4 −6⎥ ⎢ 3 6 −9⎥ ⎢ 0 0
0 ⎥~⎢0 0
0 ⎥~⎢0 0
0⎥
⎢ 3 6 −9⎥ ~ ⎢ 0 0
0 ⎥ ⎢0 0
0 ⎥ ⎢0 0
0 ⎥ ⎢0 0
0⎥
⎢0 0
⎢0 0
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
En ledande etta. Max antal oberoende kolonner är 1 och därmed Max antal oberoende
vektorer är 1. span(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , 𝒗𝒗𝟑𝟑 ) har dimension 1.
(svarar mot ledande ettan i trappstegsform).
En bas är 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (0,2,3,0,0)
Exempel 13.
1 2

Låt S = Span( 1, 0 ) Bestäm om vektor v tillhör S om
   
0 1
4
  
a) v = 2
 
1
b)
4
  
v= 2 .
 
 3
Lösning:
1 2


Enligt definitionen en vektor v tillhör underrummet S = Span( 1, 0 om och endast om v
   
0 1
1
2
  
  
kan skrivas som en linjär kombination av vektorerna v1 = 1 och v 2 = 0 .
 
 
0
1
4
1 
2







a) Ekvationen v = xv1 + yv2 dvs 2 = x 1 + y 0 skriver vi som ett ekvationssystem med
 
 
 
1
0
1
3 skalära ekvationer:
Sida 9 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära kombinationer. Baser
x + 2 y = 4

som har lösningen x = 2, y = 1 .
x = 2
y = 1




Alltså är vektorn v en linjär kombination av v1 och v 2 och därför ligger i S.
2
1
4





b) Ekvationen 2 = x 1 + y 0 dvs systemet
 
 
 
1
0
 3
x + 2 y = 4

saknar lösning (x=2 och y=3 satisfierar inte första ekvationen).
x = 2
y = 3

4
 
Vektorn 2 är inte en linjär kombination av vektorerna v1 , v2 och därför inte tillhör S.
 
 3
Svar a) Ja b) Nej
Sida 10 av 10