Ovningsuppgifter_2016

TNA001 – Matematisk grundkurs
Övningsuppgifter
Innehåll:
Uppgift 1 – 22
Uppgift 23 – 28
Uppgift 29 – 36
Uppgift 37 – 54
Uppgift 55 – 60
Facit sid. 8 - 10
Summor, Binomialsatsen, Induktionsbevis
Invers funktion
Logaritmer, Exponentialfunktioner
Trigonometri
Komplexa tal
Summor, Binomialsatsen, Induktionsbevis
1.
Den aritmetiska talföljden 5, 8, 11, 14, ... är given.
a) Hur många av termerna är mindre än 1000?
b) Beräkna summan av de 20 första termerna.
2.
Vid ett frimärksjubileum diskuterade man att ge ut en frimärksserie med 25 frimärken i valörerna 0.50 kr, 0.90
kr, 1.30 kr, 1.70 kr o. s. v. Vad skulle en sådan utgivning kosta en samlare, som brukar köpa 10 kompletta
serier?
3.
Bestäm summan av alla heltal från och med 9 till och med 999 som slutar på 9.
4.
Summan av de n första termerna i den aritmetiska serien 24, 20, 16, 12, ... är lika med 80.
Bestäm n.
5.
En geometrisk talföljd börjar med 54. Skriv de första fyra termerna i talföljden om kvoten är:
a) 2
b) 2/3
c) -2
d) -1/3
6.
a) Talen x, 2, 4, y inleder en geometrisk talföljd. Bestäm x och y.
b) Talen x, 2, 3, y inleder en geometrisk talföljd. Bestäm x och y.
7.
I en geometrisk talföljd är a4 = 6 och a7 = 750. Bestäm talföljden och summan av de sju första termerna.
8.
År 1990 var världskonsumtionen av mineralolja 3 Gt (gigaton). Den totala råoljereserven på jorden
uppskattades då till 1 Tt. När tar råoljan slut om uttaget från reserven
a) ökar med 4 % årligen
b) minskar med 4 % årligen
9.
Beräkna
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
a) 1    







med hjälp av formeln för en en geometrisk
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
summa.
100
b)
 (13  2 k) .
k 1
10.
Bevisa med hjälp av induktion att följande formler gäller för alla n  Z  :
n
n
n( 3n  1)
1
n
a)  (3k  2) 
b)  2

2
2n  1
k 1
k 1 4 k  1
11.
Bestäm t så att formeln
n
 ( 3k
2
 k )  n2 (n  t ) gäller för n = 1. Visa sedan att formeln
k 1
gäller med detta t-värde för alla n = 1, 2, 3, ...
12.
Visa med induktionsbevis att 7n - 2n är delbart med 5 för alla n = 1, 2, 3, ...
13.
Visa att 3n  n3 för alla n  3.
14.
Visa att
n
k
k 1
2

n(n  1)( 2n  1)
för alla n = 1, 2, 3, ...
6
n
15.
Visa att
 ( k  1)
k 1
2

n(2n  1)(n  1)
för alla n = 1, 2, 3, ...
6
n
 n 
k 3    k 

k 1
 k 1 
16.
Visa att
17.
Skriv som en summa
a) (x + 2y)4
2
b) (x - 4y)4
18.
Beräkna följande binomialkoefficienter
7 
 15 
a)  
b)  
 3
 12 
19.
Vilken av följande båda binomialkoefficienter är störst?
 10 
 16 
 81
 30 
a)   eller  
b)   eller  
3
2
2
 27 
20.
21.
22.
 n  n
Bestäm n så att     
 3 7 
Beräkna koefficienten för
a) x4 i uttrycket (2x - 1)15
b) x3 i uttrycket (1 - 3x)11
Beräkna den term som är oberoende av x i utvecklingen
6
3
1
1
a)  x  
b)  x 2  
x
x


10
1
c)  2 x 2  3 
4x 

2
Invers funktion
23.
Visa att funktionerna f är omvändbara och bestäm sedan den inversa funktionen på formen y  f 1 ( x) .
Bestäm definitionsmängd och värdemängd för både f och f 1 .
a) f ( x)  x  1
24.
b) f ( x)  2 x  1
c) f ( x)  3  2 x
Funktionen f har invers g . Om f vet man att f (1)  2 , f (2)  0 och f (0)  5 . Bestäm
a) g(0)
b) g( 5)
c) g f (1)
d) f g(2)
e) Antag att x  D f . Vad blir g f (x) ?
f) Vilket krav skall ställas på x för att f g( x)  x ?
25.
Bestäm inversen till
a) f ( x)  x  3 , x  3
b) f ( x)  x 2  2 , x  0
26.
Bestäm f 1 (2) om f ( x)  x 3  x
27.
a) Visa att funktionen f ( x)  x 2  4 x  1 , 2  x  4 har invers och bestäm denna invers på formen y  f 1 ( x) .
b) Rita i samma koordinatsystem y  f (x) och y  f 1 ( x) .
c) Ange definitionsmängd och värdemängd för y  f 1 ( x) .
28.
1
.
2
och bestäm denna invers.
Betrakta funktionen f ( x)  1  2x ,  4  x 
a) Visa att f har en invers f 1
b) Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen f 1 ( x) .
c) Har kurvorna y  f (x) och y  f 1 ( x) några gemensamma punkter?
Bestäm i så fall dessa och ange deras koordinater på så enkel form som möjligt.
3
Logaritmer, Exponentialfunktioner
29.
Lös för reella x ekvationen ln( + 1) + ln(1 − ) = ln 3 + 2 ln .
30.
a) Lös olikheten ln x  1  ln 1  x   ln 2 .
b) Lös olikheten ln x 2  2   ln3  x   ln 2 .
31.
Bestäm alla lösningar till ekvationen ln + ln(2 − ) = 3 ln .
32.
Bestäm alla reella värden på x sådana att uttrycket ln( 1  2 x )  x  1 är definierat.
33.
Låt f ( x)  e 2 x  2 .
a) Har f invers? Bestäm i så fall denna inklusive dess definitionsmängd.
b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f ( x)  e x .
34.
Betrakta funktionen f ( x)  ln( x 2  4)  ln( x  1) .
a) Bestäm f :s definitionsmängd, D f
b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f ( x)  ln 6 .
35.
Bestäm definitionsmängden för funktionen
uttryck för inversen om ( ) =
36.
och undersök om
har invers funktion
.
Bestäm definitionsmängden samt (om möjligt) inversen till
4
om ( ) =
.
och bestäm i så fall ett
Trigonometri
37.
Bestäm de exakta värdena på återstående trigonometriska funktioner, då
a) cos α = 3/5 och α ligger i första kvadranten.
b) sin α = 7/25 och α ligger i andra kvadranten.
c) tan α = 3 och α ligger i tredje kvadranten
d) cot α = - 5/12 och α ligger i fjärde kvadranten.
38.
Bestäm exakta värden på sin 15  , cos 15  , tan 15  och cot 15 
Ledning 15  = 45  - 30  .
39.
Förenkla följande uttryck:


a) sin (60 + x) - sin (60 - x)
c) cos (45  - x) - sin (45  + x)


b) cos (30 - x) - cos (30 + x)
d) tan (135  + x) + tan (135  - x)
40.
Bevisa följande trigonometriska formler
1
1
a)
 1  tan 2 α
b)
 1  cot 2 α
2
cos α
sin 2 α
cos2 α  sin 2 α

c) sin 2 α = 2 sin α cos α
d) cos 2 α =  2 cos 2 α  1
 1  2 sin 2 α

41.
a) α är en vinkel i andra kvadranten, sin α = 4/5. Bestäm sin 2 α och cos 2 α
b) cos α = 1/3. Bestäm cos 2 α
c) tan α = 3/5. Bestäm tan 2 α
d) α är en vinkel i tredje kvadranten, tan α = 1/7. Bestäm sin 2 α och cos 2 α .
42.
Bevisa likheterna:
sin 2α
a)
 tan α
1  cos 2α
1  tan 2 α
c)
 cos 2α
1  tan 2 α
43.
b)
2 tan α
 sin 2 α
1  tan 2 α
Bestäm r > 0 och v  ]- π , π ] , så att a sin x + b cos x = r sin (x + v ) om
a) a = 1, b =
c) a = -1 , b =
b) a = -1 , b = - 3
3
3
e) a = 3 , b = - 3
d) a = 1 , b = - 3
f) a = - 4, b = - 4
44.
Använd ett av resultatet i föregående uppgift för att lösa ekvationerna
a) sin x - 3 cos x = 1
b) sin 3x - 3 cos 3x = 1
i intervallet x  [0, 2 π [
45.
a) Lös ekvationerna i uppgift 44a men i intervallet ] - π , π ]
b) Lös ekvationen i uppgift 44b men i intervallet ] - π , π ]
46.
Rita, med enhetscirkeln som utgångspunkt, en relevant figur som illustrerar lösningsmängden
a) sin x  a
b) cos x  a
c) tan x  a
5
till ekvationen
47.
Lös ekvationen
a) sin x  sin
48.
π
5
b) sin x 
1
2
c) sin x  0
d) sin x  
c) 2 cos x  1
d) cos x  0
Lös ekvationen
a) cos x  cos
π
20
b) cos x 
3
2
49.
Lös ekvationen
2π
a) tan x  tan
b) tan x   3
c) 3 tan x  1
7
d) tan 2 x  1 (Ledning: Ekvationen är ekvivalent med tan x  1 )
50.
Bestäm samtliga lösningar till ekvationen
1
π
1

a) sin 3x 
b) cos 2 x   
2
6


2
π

c) cos 5x    1 om 0  x  π
4

51.
3
2
π

π

Lös ekvationen genom att utnyttja att cos v  sin  v  eller sin v  cos  v  .
2
2




x
π
3π 


a) cos 3 x  sin 4 x
b) cos  sin x   , x   π, 
2
2
2 


π
π




c) sin  x   cos x  
4
4


52.
Lös ekvationen
1
3
a) cos 2 x 
b) sin 2 x 
2
4
c) 2 cos 2 x  3 cos x  1  0 (Sätt t.ex. först cos x  t )
53.
Lös ekvationen genom att bl.a. utnyttja trigonometriska ettan.
5
a) 2 cos 2 x  sin x  1
b) sin 2 x  cos x 
4
54.
Lös ekvationen (Ledning: Utnyttja t.ex. formlerna för dubbla vinkeln samt trigonometriska
a) cos x sin x  0
b) sin 2 x  2 sin x
c) cos 2x  cos 2 x  3 sin x , x   3 ,0
 3π 
d) sin 2 x  2 cos x , x  0, 
 2 
6
ettan.)
Komplexa tal
55.
a) Markera i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som samtidigt uppfyller de båda villkoren 0 ≤
arg ≤ ⁄4 och | − 2| ≤ 2.
b) Beräkna
+
. Ange svaret på formen
56.
Givet de två komplexa talen = 3 ⁄ och
a) Bestäm produkten
på formen + .
)
b) Bestäm arg(
57.
Givet det komplexa talet
a) Bestäm | |.
b) beräkna arg( ).
c) beräkna ( + 1 + )
+
, ,
∈ ℝ.
= 1 − √3.
=
på förenklad form.
12
58.
1 i
Beräkna     . Ange svaret på formen x  iy , där x och y är reella tal.
 2 2
59.
Givet det komplexa talet
=
.
100
a) Beräkna z och ange svaret på formen + , där x och y får skrivas på formen a p , där a är ett reellt tal och
p ett heltal.
b) Välj v  arg z så att   v   . Rita och markera i ett komplext talplan alla komplexa tal för vilka det
samtidigt gäller att ≤ arg ≤ arg (10) och | | ≤ 1. Figuren skall ritas tydligt och med lämpliga
hjälpmedel.
60.
a) Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter för vilka det gäller att Re ≥ 0 och | | ≤ 2.
b) Förenkla så långt som möjligt (1 + ) − (1 − ) .
c) Visa att Re = 0 om
=
−
.
7
Svar till
TNA001 – Matematisk grundkurs - Övningsuppgifter
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
a) 332
b) 670
1325 kr
50400
n = 5 eller n = 8
a) 54, 108, 216, 432
b) 54, 36, 24, 16
c) 54, - 108, 216, - 432
d) 54, -18, 6, -2
a) x = 1, y = 8
b) x = 4/3 , y = 9/2
117186
ak = 6  5 k 4 , s(7) =
125
a) Under år 2057
b) Aldrig
1365
a)
b) 11400
2048
t=1
a) x 4  8 x 3 y  24 x 2 y 2  32 xy 3  16 y 4
b) x 4  16 x 3 y  96x 2 y 2  256xy 3  256 y 4
a) 35
b) 455
a) båda är 120
b) 3240 respektive 4060
endast n = 10 (Ekvationen har rötterna 10, -1 och två komplexa rötter)
a) - 21840
b) - 4455
a) 20
b) 3
c) 105/2
a) f 1 ( x)  x  1 , D f  V f 1  R , D f 1  V f  R
x1
, D f  V f 1  R , D f 1  V f  R
2
3x
c) f 1 ( x) 
, D f  V f 1  R , D f 1  V f  R
2
a) 2
b) 0
c) 1
e) x
f) x  D g
b) f 1 ( x) 
24.
25.
a) f 1 ( x)  x 2  3 , x  0
26.
27.
1
a)
b)
d) 2
b) f 1 ( x)  x  2 , x  2
f 1 ( x )  2  3  x
y  f  1 ( x)
y  f (x)
c) D f 1  V f   3 ,1 , V f 1  D f  2 ,4 
8
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
1  x2
2
a) f 1 ( x) 
c) Gemensam punkt:
1
x
2
1 
a) x   ,1 
3 
x1
1
Alla x   1, 
2

1
a) f 1 ( y)  ln( y  2)
2
a) D f  2, 
35.
= [0, ln 2[ ,
36.
=ℝ,
37.
38.
39.
41.
43.
49.
50.
51.
52.
b) x     , 4  2 ,3
, D f 1    2 , .
b) x  ln 2
b) x  1 3
+ 1) − ln(
+ 1)
= 1,
,
a) sin α = 4/5 , tan α = 4/3 , cot α = 3/4
b) cos α = - 24/25 , tan α = - 7/24 , cot α = - 24/7
1
3
1
c) sin α = 
, cos α = 
, cot α =
3
10
10
d) sin α = - 12/13 , cos α = 5/13 , tan α = -12/5
6 2
6 2
sin 15 o 
, cos 15 o 
, tan 15 o  2  3 , cot 15 o  2  3
4
4
a) sin x
b) sin x
c) 0
d) - 2/cos 2x
a) sin 2 α = - 24/25 , cos 2 α = - 7/25
b) - 7/9
c) 15/8
d) sin 2 α = 7/25, cos 2 α = 24/25
a) sin x +
3 cos x = 2 sin (x + π /3)
3 cos x = 2 sin (x + 2 π /3)
b) - sin x d) sin x -
3 cos x = 2 sin (x - 2 π /3)
3 cos x = 2 sin (x - π /3)
e) 3 sin x - 3 cos x = 2 3 sin (x - π /6)
f) - 4 sin x - 4 cos x = 4 2 sin (x -3 π /4)
a) π /2 eller 7 π /6
b) π /6, 7 π /18, 5 π /6, 19 π /18, 3 π /2 eller 31 π /18
a) - 5 π /6 eller π /2
b) –17 π /18, - π /2, -5 π /18, π /6, 7 π /18 eller 5 π /6
a) x  π 5  2nπ eller x  4π 5  2nπ , n  Z
b) π 6  2nπ eller 5π 6  2nπ , n  Z
c) nπ, n  Z
48.
( 1  2 ,1  2 )
( ) = ln(2
( ) = ln
c) - sin x +
44.
45.
47.
1
b) V f 1  D f   4 ,  , D f 1  V f  0 ,3
2

a)  π 20  2nπ, n  Z
d) π 3  2nπ eller 4π 3  2nπ , n  Z
b)  π 6  2nπ, n  Z
c)  π 3  2nπ, n  Z
d) π 2  nπ, n  Z
a) 2π 7  nπ, n  Z
b)  π 3  nπ, n  Z
c) π 6  nπ, n  Z
π
2π
a)
n
eller
18
3
π
b) 
 nπ eller
24
π 2nπ
a)

eller
14
7
c) Alla reella x
π
π
a)  n , n  Z
4
2
d)  π 4  nπ, n  Z
5π
2π
n
, nZ
18
3
17 π
 nπ , n  Z
24
π
 2nπ , n  Z
2
b)
π 9 π 17 π
,
,
20 20 20
4π
b) 0 ,
3
c)
π
2π
 nπ eller
 nπ , n  Z
3
3
9
π
 2nπ , n  Z
3
3π
π
5π
a)
 2nπ ,  2nπ eller
 2nπ , n  Z
2
6
6
nπ
a)
, nZ
b) nπ , n  Z
2
π π 3π 3π
c) 0 ,   ,  2 ,  3
d) , ,
,
2 4 4 2
1
a) Se figur
b) 
1024
c) 2 n π eller 
53.
54.
55.
56.
a)  3 3  3i
57.
a)
58.
2
2
1

64
59.
a) z 100  2 50
60.
a)
b) 
b) 
b) 
7
6

4
c)
1
256
b)
b) 0
10
π
 2nπ , n  Z
3