Kajsa Bråting
[email protected]
H. Sollervall: Tal och de fyra räknesätten,
Studentlitteratur.
Aritmetik=räknelära
Arithmos=tal (på grekiska)
Under Antiken skiljde man mellan
Logistik (köpmännens matematik)
Aritmetik (de teoretiska matematikernas
matematik)
Elementa är ett verk som sammanfattar den
grekiska antikens matematik. Elementa är
skriven av bland andra Euklides (300 f Kr).
Elementa består av 13 böcker som är
indelade i plangeometri (bok I-VI), aritmetik
(bok VII-IX) inkommensurabla storheter (bok
X), rymdgeometri (bok XI-XIII).
Näst efter Bibeln är Elementa den mest
spridda boken i Västerlandet.
Euklides Elementa, bok VII, definition 1 & 2:
Def 1: En enhet är det på grund av vilket vart och
ett av de ting som existerar kallas ett.
Def 2: Ett tal är en mångfald av enheter.
Nu lämnar vi Antiken och
går in i modern tid!
Addition av positiva heltal.
Några olika sätt att räkna addition.
Uppdelning i termer.
Subtraktion av positiva heltal.
Några olika sätt att räkna subtraktion.
Multiplikation av positiva heltal.
Några olika sätt att räkna multiplikation.
Faktorisering och primtal.
Addition:
Term
Term
Summa
Addition handlar om att lägga till.
╀
=
Jag har två äpplen och lägger till ett. Då har
jag 2+1=3 äpplen.
Vi lägger samman antal av samma sort!
Det är inom matematiken inte självklart vad vi
får om vi…
╀
=
…lägger samman två äpplen och ett päron.
Ett bra sätt att tolka additioner är att använda
tallinjen.
3+5=8 kan ses som en förflyttning på tallinjen.
Vi kan också ta ett tre-steg plus ett fem-steg.
I Sollervalls bok kallas dessa pilar för talpilar.
Denna lag gäller för alla positiva heltal a och b.
(a+b)+c=a+(b+c)
Denna regel gäller för alla positiva heltal a, b och c.
Exempel: (2+3)+4=2+(3+4)
348+291=?
Ex 1. Räkna ental, tiotal och hundratal var för sig:
348+291=300+40+8+200+90+1=500+130+9=639
Ex 2. Uppställning:
348
+291
639
Tiokamrater:
10=1+9
10=2+8
10=3+7
10=4+6
10=5+5
10=6+4
10=7+3
10=8+2
10=1+9
1 och 9 är tiokamrater
2 och 8 är tiokamrater
.
.
.
osv
Alltså! Två tal är tiokamrater om deras summa är lika med tio.
Subtraktion innebär att ta bort.
=
Jag har 3 äpplen och äter upp 1. Då har jag
3-1=2 äpplen kvar.
Vi räknar ut 3-1=2 genom att utgå från 3 och ta
bort 1. Sollervall kallar detta tänkande för
Borttagningsmetoden.
Utfyllnadsmetoden
Subtraktion:
7-2=5
Term
Term
Differens
Gäller kommutativa lagen respektive
associativa lagen vid subtraktion mellan två
positiva heltal?
Multiplikation:
7·2=14
Faktor
Faktor
Produkt
Exempel: Hur många dagar är 5 veckor?
7+7+7+7+7=35 dagar
Vi kan uttrycka svaret lite mera kortfattat, som en
multiplikation:
5·7=35
Vi ska nu titta närmare på 3 olika sätt att tolka
produkten 5·7=35
.
Varje upprepad addition kan skrivas
som en multiplikation.
Exempel: Hur många decennier går det på ett
sekel?
10+10+10+…+10=10·10=100
10 stycken 10:or
Gäller kommutativa lagen vid multiplikation
mellan två positiva heltal?
7·239=7·(200+30+9)=7·200+7·30+7·9=
=1400+210+63=1673
Obs! Vi har multiplicerat ett tal med en summa av
termer.
Man säger på mattespråk:
Multiplikationen är distributiv (över addition).
För alla positiva heltal a, b och c gäller att
a·(b+c)=a·b+a·c
239·57=(200+30+9)·(50+7)
=200·50+200·7+30·50+30·7+9·50+9·7
=10000+1400+1500+210+450+63
=13623
Att faktorisera innebär att skriva ett tal som
en produkt av två eller flera faktorer.
Exempel: Vi kan faktorisera talet 6 genom att
skriva det som exempelvis 2·3 eller 1·6
2·3=6
1·6=6
Hur kan vi faktorisera talet 5?
-Jo, som 5·1 eller 1·5.
Vissa heltal går bara att faktorisera som talet
självt multiplicerat med 1. Sådana tal kallas
PRIMTAL
Några andra sätt finns inte!
Lite mera formellt kan vi skriva:
Ett primtal är ett tal som är större än 1
och som bara är jämnt delbart med 1
och sig självt.
12 är inte ett primtal, men 11 är ett primtal.
Varje positivt heltal är antingen ett primtal
eller kan skrivas som en produkt av primtal
på precis ett sätt.
Faktum är att detta är en sats inom matematiken
som kallas Aritmetikens fundamentalsats.
