LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
KORTFATTADE LÖSNINGSFÖRSLAG
LINJÄR ALGEBRA
2013–03–11 kl 8–13
1. a) Vinkeln är arccos( |u�|u�⋅u�|u�| ) = arccos( √ 2√ ) = arccos 1 = u�3 .
2
2 8
√
√
b) Arean ges av |𝑢 × 𝑣| = |(1, 0, 1) × (2, 2, 0)| = |(−2, 2, 2)| = 12 = 2 3 areaenheter.
c) Vi beräknar först (𝑢 × 𝑣) ⋅ 𝑤 = (−2, 2, 2) ⋅ (1, −1, 1) = −2. Härur drar vi slutsatsen att
volymen är 2 volymenheter.
d) Nej, ty ur räkningen ovan finner vi också att 𝑢, 𝑣 och 𝑤 är negativt orienterade.
2. Vi löser ekvationen 𝖠𝖷 = 𝟢 och finner med hjälp av Gausseliminering att 𝖷 ges av en
en-parameterlösning 𝖷 = 𝑡(−1, 1, 1, 1) u� , 𝑡 ∈ ℝ. Ur denna räkning kan vi svara på alla
frågor nedan:
a) Nolldimensionen för 𝖠 är ett (eftersom vi fick en parameter) och rangen är tre (antalet
kolonner minus nolldimensionen).
b) Ja. Vektorn 𝖷 = (−1, 1, 1, 1) u� är en egenvektor hörande till egenvärdet noll.
c) Eftersom matrisen har ett egenvärde som är noll finns en vektor 𝖷 ≠ 𝟢 sådan att
𝖠𝖷 = 𝟢. Alltså är determinanten för 𝖠 noll enligt huvudsatsen.
3. Vi finner att 𝑣1 = (2, 0, −1) och 𝑣2 = (4, 2, 1) utgör riktningsvektorer för ℓ1 respektive
ℓ2 . Dessutom gäller det att 𝑃1 : (1, 0, 2) ∈ ℓ1 och 𝑃2 : (1, 1, 1) ∈ ℓ2 . Följer vi räkningen i
boken för avstånd mellan två linjer får vi nu att det ges av
→→→→→→
5
|(0, 1, −1) ⋅ (2, −6, 4)|
∣𝑃1 𝑃2 ⋅(𝑣1 × 𝑣2 )∣
=
= √ längdenheter.
|(2, −6, 4)|
14
|𝑣1 × 𝑣2 |
4. a) Visa att (1, 0) avbildas på (cos 𝛼, sin 𝛼) genom att studera enhetscirkeln. Sedan noterar
vi att en vridning av (0, 1) 𝛼 radianer är detsamma som en vridning av (1, 0) 𝛼 + 𝜋/2
radianer. Alltså avbildas (0, 1) på (cos(𝛼+𝜋/2), sin(𝛼+𝜋/2)) = (− sin 𝛼, cos 𝛼). Dessa
bildvektorer skall enligt teorin bilda kolonner i avbildningsmatrisen, varur påståendet
följer.
b) Om avbildningen som vrider 𝛼 i positivt led kallas 𝐹u� så räcker det här att inse att
𝐹u�+u� = 𝐹u� ∘ 𝐹u� och att använda att sammansättningen av avbildningar innebär att
avbildningsmatriserna skall multipliceras. Avbildningsmatriser för 𝐹u�+u� och 𝐹u� ∘ 𝐹u�
är
(
cos(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽)
) och
sin(𝛼 + 𝛽)
cos(𝛼 + 𝛽)
(
cos(𝛼) − sin(𝛼)
cos(𝛽) − sin(𝛽)
)(
),
sin(𝛼)
cos(𝛼)
sin(𝛽)
cos(𝛽)
respektive. Eftersom dessa matriser representerar samma avbildning så är de lika.
Multiplicerar vi ihop matriserna ovan och jämför vad som står i rad ett och kolonn ett
finner vi att cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽.
5. a) Eftersom projektionen utgör en linjär avbildning så går planet genom origo. En normal
𝑛 till planet fås som 𝑛 = 𝑣1 × 𝑣2 = 13 (2, 1, −2), varför planets ekvation ges av 2𝑥 + 𝑦 −
2𝑧 = 0.
b) Avbildningsmatrisen för spegling i planet ges av
𝖨−2
1
𝖭𝖭 u�
1⎛
⎜
=
−4
9
𝖭 u� 𝖭
⎝ 8
−4 8
⎟,
7 4⎞
4 1⎠
där 𝖭 är normalvektorn sedd som en kolonnvektor.
6. Likheten som den står visar att 𝖰 är inverterbar. Multiplicerar vi med 𝖰 från vänster
och 𝖰−1 från höger så erhåller vi 𝖰𝖯𝖷 = 𝖨. Men detta betyder precis att 𝖷 är inverterbar
med 𝖷−1 = 𝖰𝖯.
