Generaliseringar av talföljder, numeriska och

Malmö högskola
Lärande och samhälle
Natur, miljö och samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Generaliseringar av talföljder,
numeriska och symboliska –
en jämförande elevaktivitet
Generalizations of Number Sequences, Numerical and Symbolic –
a Comparing Student Activity
Rasmus Olsson
Lärarexamen 90hp
VAL-projektet 2014-08-27
Gs/Gy. Matematik
Examinator:
Handledare:
Peter Bengtsson
Ange handledare
Handledare: Per-Eskil Persson
2
Sammanfattning
Detta examensarbete inom området didaktisk matematik grundar sig på en empirisk undersökning.
Undersökningar av talmönster bildar ramen för detta arbete. Åtta elever som läser årskurs 1 på ett
gymnasiums El- och energiprogram gruppindelas och får uppgifter i problemlösning att lösa i
stigande svårighetsgrad. Elevernas arbete videofilmas och transkriberas, dessutom samlas alla
elevernas anteckningar in. Jag har kopplat mitt resonemang till tidigare forskning som tar upp
liknande frågor och då huvudsakligen generaliseringar av talföljder. I enlighet med Skolverkets
riktlinjer ska eleverna ges möjlighet till problemlösning genom nya utmaningar samt ges nya
erfarenheter av matematikens logik och generaliserbarhet. Uppgifterna i denna uppsats är dels
numeriska och dels symboliska. Projektet har i första hand syftat till att visa på att visuella modeller
kan assistera elever vid tillägnande av ny kunskap. I andra hand har projektet syftat till att visa att
en viss process eller algoritm som definieras Abduktion kan vara till hjälp vid lösning av uppgifter
vilka har som mål att leda till generaliseringar och formler. Med resultatet av detta arbete går det att
dra slutsatserna att:
1.
eleverna under vissa förutsättningar har stöd av visuella figurer vid framtagande av
generaliserade formler.
2.
begreppet Abduktion kan vara till hjälp vid framtagande av dessa formler.
Nyckelord: abduktion, algebra, didaktisk, figurer, formler, generaliseringar, kreativitet, lärande,
matematik, modeller, numeriska, problemlösning, symboler, visuella
3
4
Innehållsförteckning
1. Inledning ........................................................................................................................................................ 7
1.1 Introduktion av begrepp ........................................................................................................................... 7
1.2 Lärarens dubbla roll ................................................................................................................................. 9
1.3 Personlig inställning till ämnesområdet ................................................................................................. 10
1.4 Etiska överväganden .............................................................................................................................. 12
2. Tidigare forskning ......................................................................................................................................... 13
2.1 Grundläggande förutsättningar för lärande ............................................................................................ 13
2.2 Medvetet och icke medvetet lärande ..................................................................................................... 15
2.3 Abduktion och Induktion ....................................................................................................................... 15
3. Syfte och frågeställningar ............................................................................................................................. 17
3.1 Syften, mål och relevans ........................................................................................................................ 17
3.2 Frågeställningar ..................................................................................................................................... 17
4. Metod, avgränsningar och genomförande ..................................................................................................... 18
4.1 Metod ..................................................................................................................................................... 18
4.2 Reliabilitet, validitet och trovärdighet ................................................................................................... 19
4.3 Kvalitativ metod .................................................................................................................................... 20
4.4 Avgränsningar ........................................................................................................................................ 20
4.5 Genomförande ....................................................................................................................................... 21
5. Resultat och analys ....................................................................................................................................... 22
5.1 Resultat av laboration 1 - numerisk ....................................................................................................... 22
5.2 Resultat av laboration 2 - symbolisk ...................................................................................................... 23
5.3 Resultat av elevernas utvärdering ......................................................................................................... 24
5.4 Analys .................................................................................................................................................... 25
6. Slutsats och diskussion.................................................................................................................................. 27
6.1 Subjektivitet och objektivitet ................................................................................................................. 27
6.2 Argumentation, slutledningar och vidare arbete .................................................................................... 27
Referenser ......................................................................................................................................................... 31
Bilagor ............................................................................................................................................................... 33
Bilaga 1 - Laboration - numerisk - grupp 1 ................................................................................................. 33
Bilaga 2 - Laboration - symbolisk - grupp 2 ................................................................................................ 34
Bilaga 3 - Utvärdering ................................................................................................................................. 35
Bilaga 4 - Inscannade elevanteckningar ...................................................................................................... 36
Bilaga 5 - Transkriberat material ................................................................................................................. 39
5
6
1. Inledning
1.1 Introduktion av begrepp
Matematiskt tänkande har spelat en viktig roll i utvecklandet av mänskligheten i över 2000 år. P g a
detta så måste det matematiska tänkandets natur, vad det nu är, och hur det fungerar i matematikers
sinnen, undersökas och analyseras. Eftersom matematiken handlar om generaliseringar relaterat till
abstrakta idéer, spelar därför generaliseringar en mycket viktig roll i utvecklingen av matematisk
kunskap i skolundervisningen. En stor del av matematiken handlar om att definiera nya objekt och
abstrahera från verkligheten. Dessa nya objekt framträder generellt med koppling till visuella
erfarenheter (Yilmas, Argün & Özer Keskin 2009).
Därtill så är matematiken det mest internationella ämnet av alla som ingår i de nationella
läroplanerna världen över. Matematisk förståelse influerar vid beslutstagande inom alla områden i
samhället, både privat och i arbetslivet. Matematisk fortbildning är således nyckeln till att öka unga
medborgares möjligheter i samhället. Trots detta, nu som förr, misströstar många studenter och
tappar lusten allt eftersom de kontinuerligt stöter på svårigheter vid inlärningen. Det blir därför än
viktigare att personalen i skolan i allmänhet, och lärare i synnerhet, ser och förstår vilka verktyg för
matematiskt lärande som krävs (Anthony & Walshaw 2009).
När vi generaliserar handlar detta om att se mönster. Jag kommer därför att förtydliga
definitionen av mönster (Tanisli & Özdas 2009). Mönster kan t ex vara numeriska, geometriska
eller symboliska. Ett mönster kan hursomhelst sammanfattas som en kombination av geometriska
former där det finns en regel mellan elementen. Detta betyder att de geometriska formerna i en följd
kan definieras och förklaras genom en formel eller funktion. I denna uppsats har jag valt att endast
ta med funktioner av första och andra graden i de generaliserade formlerna. Ett mycket enkelt
exempel på en andragradsfunktion är talföljden: 1,4,9,16,... som efter en stunds reflektion antyder
till begreppet 𝑛! som betyder n i kvadrat. Se figurerna nedan.
Exempel 1.1.1. Kvadrattal
o
o o
o
o
o
o o
o
o
o
o
o
Fig 1
Fig 2
o
Fig 3
Förutom kvadrattalen = 1,4,9,16, . . . = 𝑛! som figurerna ovan illustrerar, så finns det andra
exempel på mönster som leder till generaliseringar. Ett vanligt exempel här kan vara triangeltal =
7
= 1,3,6,10,... = 𝑛(𝑛 + 1)/2. Dessa två speciella fall av generaliseringar av talföljder till
regelbundna och symmetriska månghörningar, alltså trianglar (tre hörn) och kvadrater (fyra) o s v ,
kan ytterligare generaliseras till en regelbunden månghörning med ett godtyckligt antal hörn. En
regelbunden månghörning omnämnes i litteraturen som en regelbunden polygon.
Elementen i talföljderna är objekt, se kvadrattalen ovan, och kan förklaras matematiskt. Jag
måste dock här nämna, att oberoende vilken given talföljd det än gäller, går det alltid att finna en ny
regel som bildar nästa tal och kan visas utifrån det givna mönstret. Om vi tittar på talföljden 1,2,3,...
så måste inte denna tvunget följas av siffran 4 utan kan följas av ett annat tal. Ett exempel på detta
är talföljden: 1,2,3,5,9,16,27,43 som ges av funktionen 𝑓 𝑛 = (𝑛! − 6𝑛! + 17𝑛 − 6) 6,1 ≤ 𝑛 ≤ 8.
Det är med andra ord mycket svårt att hitta ett givet mönster i detta specifika fall om inte formeln är
känd på förhand. Detta går att komma runt genom att talföljden definieras tydligt och matematiskt
stringent. Jag menar då att i informationen i den givna talföljden med de tre talen 1,2,3 står det
endast att finna en unik polynomfunktion av max andra graden 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛! + 𝑏𝑛 + 𝑐, som i detta
specifika fall med talen 1,2,3, reduceras till förstagradsfunktionen 𝑓 𝑛 = 𝑛, 𝑛 ≥ 1.
Mönster utgör hjärtat och själen i matematiken. Trots detta, till skillnad från att lösa
ekvationer eller göra omskrivningar av tal, utgör vanligtvis undersökningen av mönster inte alltid
ett eget moment i kursplanen. En del lärare ser sådana aktiviteter mer som en berikande
fritidsaktivitet istället för att se dem som en naturlig del av undervisningen. All matematik handlar i
förlängningen om att generalisera mönster i olika grad. Det är därför viktigt att få eleverna att
fokusera på mönster då de utgör grunden för flera områden inom matematiken (Zaskis & Liljdedahl
2002).
Rivera (2009) tar upp att meningsfulla mönster är strukturerade sekvenser av objekt. Dessa
kan för studenter antingen vara alltför lätta och meningslösa, som t ex den nyss nämnda funktionen
𝑓 𝑛 = 𝑛, 𝑛 ≥ 1 till att bli alltför komplicerad för många elever, se exemplet med
𝑓 𝑛 = (𝑛! − 6𝑛! + 17𝑛 − 6) 6. Poängen här är att oberoende om stegen i talmönstren är
tvetydiga eller väldefinierade ska eleverna ges möjligheten att kunna hitta och etablera en tydlig
koppling mellan stegen. Detta ger dem bättre utsikter att göra utvecklingar av mönstret i talföljden
på ett matematiskt konsekvent vis. Zaskis, Liljedahl och Chernoff (2007) menar att generaliseringar
har att göra med igenkännande av mönster och egenskaper där dessa är applicerbara i flera olika fall,
från specifika till eventuellt oändligt många.
Fortsättningsvis, om vi tittar på elevers algebra-inlärning i allmänhet, så är en av de större
pedagogiska utmaningarna att ge bokstäver en ny mening (Bardini, Radford & Sabena, 2005). I
elevers inledande kontakt med algebran så har bokstäver för dem, sedan deras tidigare erfarenheter,
betydelsen av ett tecken eller del av ett ord som syftar på något annat än en variabel. När vi däremot
eftersträvar att generalisera mönster algebraiskt är det i förlängningen inte siffror, som eleverna är
8
vana vid, som dominerar utan bokstäver som t ex x, y och n. Dessa variabler definieras som
algebraiska objekt och är inga tal rent aritmetiskt, som t ex 1,2,3 o s v.
Zaskis och Liljedahl (2002) tar upp att det största problemet för eleverna inte är att se ett
mönster i sig däremot att se ett mönster som är meningsfullt algebraiskt. När studenter har sett
mönstret på ett speciellt sätt, så är det svårt för dem att ta steget från sitt första intryck, till att se
helhetsbilden av sekvensen. De omnämner också att ett av hinderna för eleverna att lösa en
generaliseringsuppgift beror på aritmetisk okunskap och deras fixering vid en rekursiv
angreppsmetod. Även om detta angreppssätt kan vara effektivt så hjälper det inte eleverna att se den
generella strukturen av alla elementen. Ett exempel på detta är triangeltalen som jag har nämnt
tidigare. Dessa kan bildas rekursivt med formeln: 𝑡! = 𝑡!!! + 𝑛. Se de fyra första triangeltalen
nedan.
Exempel 1.1.2. Triangeltal
𝑡! = 1
𝑡! = 𝑡! + 2 = 3
𝑡! = 𝑡! + 3 = 6
𝑡! = 𝑡! + 4 = 10
…
𝑡! = 𝑡!!! + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)/2
Här ges nästa triangeltal rekursivt genom att addera nästa tal till det förra triangeltalet. Detta
beräkningssätt förutsätter att det finns kännedom om ett visst tal för att beräkna nästa.
Efter att nu ha gett rent matematiska exempel på talföljder ska jag i nästa avsnitt istället
beskriva lärarens roll vid kunskapsutbytet med eleverna.
1.2 Lärarens dubbla roll
Att vara lärare kräver, förutom den pedagogiska förmågan, god ämneskompetens. Matematiklärare
har fördjupad kunskap om de olika symboler och tekniker som används inom matematiken. De
matematiska tecknen är kulturella redskap världen över som används för att göra det möjligt att
kommunicera kunskap mellan människor. Samtidigt ska läraren kunna förse elever med de
nödvändiga verktyg de behöver för att sätta sig in i nya problemsituationer och på det sättet
utveckla sin egen kompetens.
Persson (2010) kallar detta den dubbla rollen, den speciella roll läraren har i förhållande till
9
matematisk kunskap. När matematikern organiserar och generaliserar utifrån en viss kontext, måste
läraren i undervisningen göra tvärtom. Detta sker genom att läraren omformulerar matematisk
kunskap till en form som blir tillgänglig och begriplig för eleven, det vill säga exemplifierar och
återkontextualiserar den. Utifrån detta ska då eleven konstruera matematisk kunskap och därför
ställs läraren inför en dubbel situation. Läraren eftersträvar alltså att skapa lämpliga
lärandesituationer på ett medvetet sätt för att klara av detta. För att eleverna ska känna ansvar att
lösa en viss uppgift är det viktigt att läraren och eleverna förhandlar om vilka roller de ska anta i
själva undervisningssituationen. Klassrummet blir ett utrymme för produktion där social interaktion
är nödvändigt för arbetet med matematiska frågor. Läraren har här rollen som kopplingen mellan
diskursen i klassrummet och själva matematikämnet.
När det gäller att omformulera eller konkretisera matematiska formler är det precis vad jag
eftersträvar i de uppgifter som eleverna förväntas lösa, enkla numeriska respektive symboliska
figurer presenteras på en nivå som är tillgänglig för eleverna (Se kap 4.1). Med dessa som
utgångspunkt är ett delmål att eleverna ska finna motivation att lösa ett antal uppgifter av
problemlösningskaraktär. Till vilken nivå eleverna lyckas lösa dessa, ligger till grund för en
jämförelse och djupare analys, vilket är syftet med denna uppsats. Jag har givetvis ett
bakomliggande intresse för detta som jag kommer att gå in på nu.
1.3 Personlig inställning till ämnesområdet
Jag vill här nämna att jag personligen har en mycket positiv inställning till området diskret
matematik i allmänhet och då generaliseringar av talföljder i synnerhet. Detta beror i första hand på
att detta område ger möjligheten att anpassa uppgifter av problemlösningskaraktär till elever med
mycket skilda förkunskaper, från grundskolan, via gymnasieskolan och till inledande kurser på
universitetsnivå. Jag har också erfarenhet av att undervisa elever på dessa olika nivåer i
problemlösning inom generaliseringar. Detta har krävt att jag har kunnat nivåanpassa elevernas
uppgifter beroende på deras förkunskaper. Eftersom det är möjligt att anpassa svårighetsgraden blir
det på detta sätt en matematik som blir begriplig för fler. Vidare manar laborativa uppgifter kring
generaliseringar av talföljder till att eleverna utmanas till kreativt tänkande och problemlösning i
enlighet med styrdokumenten. Jag syftar då på att en viss uppgift kan lösas på flera olika sätt och
inte enligt en förutbestämd metod eller procedur. Det blir därför endast den kreativa förmågan och
fantasin som sätter gränser för hur långt man kan gå. I förlängningen kan denna typ av uppgifter,
som är mer lättbegripliga om de är rätt anpassade, bidra till att det allmänna intresset för ämnet
matematik i samhället i förlängningen ökar.
Statistiken visar just nu tvärtom (Middleton & Spanias 2013). Intresset för matematik som
10
ämne avtar dramatiskt när eleverna når de senare skolåren i grundskolan och sjunker ännu mer när
de börjar gymnasiet. Lägg därtill att även om eleverna anser att matematik är ett viktigt ämne, så är
det alltfler som väljer bort matematik när detta är möjligt och istället väljer andra kurser inom
ramen för de olika programmen i framförallt gymnasieskolan och högskolan. Detta är alarmerande
när vi ställs inför det faktum att eleverna och studenterna inte har den matematiska kompetens som
krävs för vårt alltmer teknologiska samhälle. En utmaning för oss lärare blir givetvis att vända
denna trend.
Persson (2010) betonar här att vi som lärare måste tro på att alla elever kan lyckas med den
matematik de arbetar med, om intresse och arbetsvilja finns. Därtill måste det finnas en tro på att
det finns metoder för att komma förbi och övervinna alla svårigheter som lärare och elever ställs
inför. Detta gäller både individuellt och i grupp. Det egna kunnandet och egna erfarenheter bildar
här en nödvändig bas att utgå ifrån. Lägg därtill kamratstöd och god social miljö i klassrummet som
betydelsefulla faktorer. Läraren måste tänka på hur man skapar en god anda i de dagliga
undervisningssituationerna och detta kräver organisation. Att vara lösningsfokuserad menar jag är
en viktig egenskap hos en lärare idag i en skola för alla. Prognosen för att eleverna ska lyckas är
stor om de känner trygghet, nyfikenhet och lust i undervisningen. Elevernas möjlighet att påverka
undervisningen kommer också in i denna bild. Ett sätt kan vara att ha utvärderingar av det dagliga
arbetet. I denna uppsats har jag därför bett eleverna göra en utvärdering där de har möjlighet att
uttrycka sin uppfattning om projektet.
En del av yrkesvardagen för mig som lärare består i förmågan att observera. Det faller sig
därför naturligt att utveckla mig inom detta område och lära mig att bli en bättre observatör. Genom
att koppla de egna observationerna till aktuell forskning, ökar mina kunskaper om olika delar av
elevers utveckling och lärande. Observationerna är exempel på kopplingen mellan teori och praktik.
(Dimenäs m fl, 2007).
Eftersom denna uppsats består i att observera och videofilma hur två grupper av elever löser
olika uppgifter ska jag i nästa avsnitt beskriva de etiska överväganden jag har gjort.
1.4 Etiska överväganden
Om vi som lärare eller blivande lärare har för avsikt och planerar för att genomföra en undersökning,
kopplat till den egna verksamheten på skolan, är det viktigt att beakta de personer som deltar i
denna undersökning. Detta för att de på något sätt eventuellt kan komma att utlämnas och då kan
komma till skada.
För att stödja och utveckla svensk grundforskning finns Vetenskapsrådet. Rådet är ett organ
med nationellt ansvar som är kopplat till hela det vetenskapliga fältet, och är därför uppdelat i flera
11
områden. För området som berör forskning inom lärarutbildningarna har det tagits fram ett antal
principer. Dessa är antagna av humanistisk-samhälls-vetenskapliga forskningsområden. Eftersom
forskningskravet ibland står i motsättning till individens krav (Individskyddskravet) på att behandlas
utifrån godkända etiska principer har vetenskapsrådet förtydligat dessa genom att dela upp dem i
fyra huvudkrav. Dessa är informations-, samtyckes-, konfidentialitets- och nyttjandekravet. Varje
forskningsprojekt, även för arbeten gjorda inom olika utbildningar på högskolor, måste ta hänsyn
till dessa för att studien ska kunna genomföras. De fyra huvudkraven beskrivs nedan:
1.
Informationskravet betyder att forskaren ska informera berörda om syftet med
forskningsuppgiften.
2.
Samtyckeskravet. Deltagare bestämmer själv över sin medverkan i undersökningen.
3.
Konfidentialitetskravet innebär att uppgifter om ingående personer i en undersökning ska
ges största möjliga konfidentialitet. Personuppgifterna ska också förvaras så att obehöriga inte kan
ta del av dem.
4.
Nyttjandekravet. Enskilda personers uppgifter som är insamlade får endast användas för
forskningsändamål.
(Dimenäs m fl, 2007).
I min undersökning har jag tagit hänsyn till samtliga krav beskrivna ovan. Eleverna har
informerats om syftet med uppsatsen och tillfrågats om de ville delta. Deras arbete har videofilmats
och filmen förvaras inlåst så att ingen obehörig kan ta del av denna. När det gäller insamlade
elevanteckningar har dessa kamouflerats med fiktiva namn innan jag har scannat in dem och de
förvaras också inlåst.
Jag kommer nu i nästa kapitel gå vidare med att beskriva mer om tidigare forskning och
teorier kring lärande och problemlösning.
12
2. Tidigare forskning
2.1 Grundläggande förutsättningar för lärande
Tidigare forskning visar att lärare som verkligen bryr sig om sina studenter arbetar hårt med att
utveckla trygga klassrumsmiljöer (Anthony & Walshaw 2009). Vid sidan om detta säkerställer de
att deras klassrum har ett tydligt matematiskt fokus med höga, dock realistiska förväntningar på vad
studenterna kan uppnå. I ett sådant klimat innebär det att studenterna märker av sin förmåga att
tänka, resonera, kommunicera, reflektera och t o m kritisera den nya matematik de stöter på.
Annorlunda uttryckt, deras relation med klassrumsmiljön blir en källa för att utveckla inte bara
deras matematiska kompetens, utan också deras identitet. Studenter vill m a o lära sig i harmoniska
miljöer. Här kan lärare skapa förutsättningar för detta genom att respektera och värdesätta den
matematik och kultur som eleverna har med sig till klassrummet.
När det gäller generaliseringar av t ex talföljder och formler, så visar tidigare litteratur på, att
om man vill närma sig dessa så kräver detta att eleverna inleder sina undersökningar med
symboliska eller numeriska exempel. Enligt Radford (2007) verkar inte den mest pedagogiska
vägen till att få eleverna att börja tänka algebraiskt, i alla fall inledningsvis, vara med bokstäver
utan att de istället uppmanas att tänka kreativt på olika speciella sätt. En början är då att inleda med
enkla numeriska exempel. Därtill förespråkas visuella figurer ordnade i mönster eftersom dessa ger
eleverna möjligheten att memorera dem som symboler. En av grundidéerna bakom detta är att
elevernas undersökning med numeriska exempel, kopplade till symbolerna, så småningom ska leda
till det symboliska uttrycket som eftersträvas (Se kap 1).
I direkt anknytning till ovanstående så omnämner Rivera (2009) dessa koncept med
symboler ordnade i en följd som visuella modeller som stöd vid problemlösning. Det som syftas på
här, är då den visuella aspekten vid problemlösning, att betona ögats roll som ett legitimt organ för
upptäckt och slutledning. Upptäckter som sådana är oftast inte resultatet av deduktion. Annorlunda
uttryckt är de inte erfarna genom strikt logiskt resonemang utan genom vår förmåga att se och
observera. Det logiska resonemanget sker först vid bevisförning. Vidare tar han upp att visuella
modeller är en typ av strategi som hjälper till att synliggöra det tidigare osedda i en abstrakt värld.
Denna abstrakta värld domineras av relationer och konceptuella strukturer som inte alltid är direkt
eller till en början självklara. Han omnämner också att inom denna kontext av konstruktiv handling,
är visualisering något som förmedlar en relation mellan en inre mental konstruktion, och någonting
som har utvecklats och konkretiserats genom sinnena.
Anthony och Walshaw (2009) tar också upp att visualisering av en uppgift, det vill säga att
kunna föreställa sig vad uppgiften går ut på, är en viktig aspekt för att uppnå matematisk förståelse,
13
insikt och resonemang. Matematik är ett ämne som handlar om att konkretisera abstrakta objekt till
verkligheten och omvänt. Forskare har här bidragit med olika och användbara idéer som handlar om
visualisering. I definitionen av visualisering omnämns i litteraturen: hjälp vid förståelse,
översättning av abstrakt information till en bild, förmåga att processa något som var av en helt
annan given form från början. Fortsättningsvis menar flera forskare att visuellt tänkande bör spela
en huvudroll i elevers erfarenheter vid lärandet och betonar dess roll vid utvecklandet av algebraisk
förståelse. Därtill tar de upp att visualisering är både produkten och processen av kreativitet,
tolkning och reflektion när det gäller bilder och figurer. Forskarna menar att visualisering inte bara
organiserar givna data utan också spelar en viktig roll i den analytiska processen – Vi vet inte vad vi
ser, vi ser vad vi vet.
Som jag har varit inne på tidigare så måste matematiklärare vara medvetna om de olika
symbolsystem som används inom matematiken. De matematiska tecknen är kulturella redskap som
används för att göra det möjligt att överföra kunskap mellan människor. De är nödvändiga verktyg
för eleven för att sätta sig in i nya problemsituationer och utveckla sin egen kompetens. Elevers
grad av förståelse påverkar hur de uppfattar algebran. Denna förståelse för symbolerna som
generaliserade tal i funktionssamband, kan kopplas till flera förmågor som eleven har, på olika
abstraktionsnivåer. Den högsta nivån innebär att eleven fullt ut kan symbolisera situatonen i en viss
aktuell kontext, det vill säga omvandla eller översätta en praktisk tillämpning till matematisk text
och därefter lösa den.
Zaskis, Liljedahl och Chernoff (2007) menar här att när det gäller ren algebra, och i
förlängningen all matematik, handlar detta om att generalisera mönster i olika grad, samt att
inlärning med hjälp av generaliseringar har varit erkänd länge. Dessutom framhäver de, för att ett
algebraiskt tänkande ska infinna sig hos eleverna måste vi som lärare inse betydelsen av att eleverna
ges möjlighet att utveckla sina egna generaliseringar, alltså på egen hand och med egna specialfall.
På detta sätt främjas matematiskt tänkande. Detta omnämner också Anthony och Walshaw (2009)
som tillägger att det kan vara svårt för studenter att ta in ett nytt koncept när de blir distraherade av
andra. På grund av detta bör lärare eftersträva att alla elever ges möjligheten att också tänka och
arbeta i lugn och ro för sig själva och inte påtvingas andra personers ibland motsägande perspektiv
på en viss uppgift. Å andra sidan förekommer ju också diskussioner och matematiskt resonemang i
grupper eller i helklass. Här har läraren också ett ansvar att behålla fokus och bjuda in elever att
förklara och dela med sig av sina lösningar. Eleverna manas också till att lyssna och respektera
varandra, acceptera och utvärdera olika synsätt, m a o medverka vid utbytet av tankar och
perspektiv. Effektiva lärare förser alltså sina studenter med möjligheter att arbeta både individuellt
och i grupp för att finna mening i själva lärandet. Jag kommer i nästa två avsnitt att teoretisera några
av lärandets olika aspekter och strategier.
14
2.2 Medvetet och icke medvetet lärande
Illeris (2007) tar upp att när det gäller själva lärandet så är vi medvetna om detta. När det handlar
om något vi nyss har lärt oss så är detta inte bara något som vi vet, kan eller förstår, vi vet nämligen
också att vi vet det. Vi vet på vilket sätt vi gör det. Vi har uppnått en förståelse för att vi förstår det.
En icke medveten sida av lärandet omnämner han som tyst kunskap. Med tyst kunskap menas att det
är fullt möjligt att besitta kunskap även om man inte kan uttrycka den språkligt. Ett exempel på
detta är att en duktig bagare vet när degen är som den ska utan att kunna förklara detta för sin
lärling.
Han tar också upp att allt lärande omfattar två olika processer. Den första,
samspelsprocessen, beskriver den mellan individen och dess omgivning. Den andra kopplas till den
inre mentala tillägnelsen av ny kunskap, bearbetningsprocessen. Impulserna från samspelet
integreras alltså med resultatet från tidigare lärande.
Illeris (2007) menar dessutom att den primära formen av lärande sker genom trial and error
(försök och misstag). Med detta menas, att man (i detta fall eleverna) prövar sig fram och ser om
något visar sig att fungera bra, t ex en formel, så lär man sig av det. Sammanfattningsvis sker det
alltså ett urval av det man lär sig. Exempel på teorier om på vilket sätt man kan lösa problem och
samtidigt tillägna sig ny kunskap, kommer jag att beskriva i nästa avsnitt.
2.3 Abduktion och Induktion
När det gäller framtagna formler och koncept så härrör de varken från logiska regler, som
förespråkas av rationellt tänkande, eller från yttre intryck och erfarenheter, som förespråkas av
empiricism, utan grunden till dessa nya koncept står att finna i generaliseringar. Utan människors
förmåga att göra generaliseringar skulle världen reduceras till att endast innefatta detaljer som a, b,
c,... . Allting skulle vara helt olikt från allt annat. Kunskap skulle begränsas till 𝑎 ≠ 𝑏 (Radford
2007).
Rivera och Becker (2007) tar upp att det krävs en komplett grundkunskap för att kunna göra
en deduktiv slutledning vilket innebär att endast använda sig av logiska regler. Motsatsen till
deduktiv blir här empirisk. De förklarar begreppen abduktion och induktion. Induktion handlar om
att generalisera ett attribut eller relation från, i alla fall, två specialfall med några ytterligare
antaganden, till en hel klass av objekt. Abduktion innebär att man gör ett språng från de givna
förutsättningarna till en förklarbar hypotes, först därefter bevisas den. Induktion å andra sidan testar
en hypotes som är framtagen genom abduktion. Annorlunda uttryckt så genom omfattande
15
experimentering med ett ökat antal fall av framgång vid försök, som i sin tur innebär en ökad
konfidens av en hypotes, prövas just denna hypotes genom induktion. Medan induktion visar på en
självklar generalisering, bidrar abduktion till en helt annan nivå av abstraktion. Abduktion är en
annan form för att göra nya upptäckter eller tankeväckande resonemang som i sin tur bidrar till
förklaringar snarare än förutsägelser, detta p g a att de inte är kända sedan tidigare. Med vardagligt
språkbruk skulle detta kunna likställas med uttrycken att tänka utanför ramarna eller tänka utanför
sin box. Processen, eller de olika stegen, vid abduktion sammanfattar de så här:
Tabell 2.3.1. Process vid Abduktion
1.
Låt D vara en samling av data (fakta, observationer)
2.
Låt hypotesen H förklara D (om denna är sann)
3.
Ingen annan hypotes kan förklara D så bra som H
4.
därför är H förmodligen sann
Abduktion bildar alltså kärnan i generaliseringsprocessen när studenter börjar utforska och efter
hand prova en regel som fungerar. En regel eller formel som både förklarar kända steg i ett givet
mönster och kan användas för att konstruera de okända stegen i denna följd. Abduktion blir på detta
sätt en problemlösningsstrategi eller angreppsmetod att använda för flera situationer som kan uppstå
vid behov av beräkningar. En naturlig fråga som då uppstår är hur lärare kan stötta sina elever att nå
denna rimlighetsbedömning som idén med abduktion innebär. Hur rimliggör vi logiken bakom
abduktiva slutledningar, som ju innefattar generaliseringar av mönster, om vi då särskilt har i åtanke
det faktum att det kan finnas flera alternativ att välja från (Se kap 1.1)? Ett alternativ är att tillföra
mer information till uppgiften vilket innebär att flera hypoteser kan förkastas till förmån för en
bättre hypotes. Slutligen tror jag också att lärare kan anpassa fler moment i läroplanen där denna
strategi med abduktion kan användas. Abduktion skulle kunna implementeras som
problemlösningsstrategi på samtliga gymnasieprogram eller eventuellt redan de senare åren i
grundskolan. Induktion som anses svårare lärs, i nuläget, ut endast på en del av
gymnasieprogrammen och då först under den sista terminen.
16
3. Syfte och frågeställningar
3.1 Syften, mål och relevans
I styrdokumenten på Skolverket, www.skolverket.se (2014), står det bl a att läsa att ämnet
matematik i gymnasieskolan ska syfta till att eleverna utvecklar sin förmåga att arbeta matematiskt,
utvecklar förståelse av begrepp och metoder samt utvecklar strategier för att lösa problem.
Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika
sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel. Vidare ska den ge
eleverna utmaningar samt erfarenhet av matematikens logik, generaliserbarhet, och av dess
kreativa och mångfacetterade karaktär. Därtill ska de utmanas att bredda sin kreativitet och
undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter
utgör en del. Jag kommer att belysa dessa syften i denna uppsats. Målet är att ta reda på om
elevernas möjlighet att finna mönstret/regeln förbättras, om mer abstrakta exempel med siffror
ersätts av mer symboliska (t ex figurer av cirklar, trianglar etc ). Ytterligare ett mål är att undersöka
om de strategier eleverna använder vid matematisk problemlösning kan beskrivas enligt konceptet
abduktion (Se kap 2.3). Elevernas arbete kommer att videofilmas och därefter transkriberas. Alla
deras anteckningar samlas också in. Detta görs i syfte att i efterhand kunna analysera deras
tankeprocess i detalj.
3.2 Frågeställningar
Projektet har i huvudsak sökt svar på följande två frågor:
1.
Hur påverkas elevernas möjlighet att finna mönstret/regeln för hur ett godtyckligt tal i
talföljden bildas om mer abstrakta exempel med siffror ersätts av mer symboliska? Når de
generaliseringarna av talföljderna i mönsterutvecklingen enklare m h a kända visuella mönster som
utgångspunkt?
2.
Kan elevernas resonemang och slutledningar kopplas till begreppet abduktion?
17
4. Metod, avgränsningar och genomförande
4.1 Metod
Jag har valt att göra en empirisk undersökning och analysera/relatera till flera längre vetenskapliga
artiklar/rapporter/publikationer som behandlar forskning inom didaktisk matematik och då
huvudsakligen generaliseringar av talföljder. I direkt anknytning till det som har tagits upp kring
tidigare forskning (Se kap 2) är ett av syftena med denna uppsats att eleverna utvecklar sin förmåga
att generalisera mönster. Arbetet har genomförts under vårterminen där åtta elever från två olika
undervisningsgrupper som läser kursen matematik 1a har ingått. Urvalet och sammansättningen av
dessa grupper har skett efter resultat från ett matematikprov där en inledande uppgift som går ut på
en generalisering ingår. Denna uppgift består i att finna vinkelsumman i en regelbunden
månghörning med 100 hörn vidare till en månghörning med ett godtyckligt antal hörn, en 𝑛hörning. Utifrån resultaten på denna inledande testuppgift har jag att satt samman två grupper med
fyra personer i varje grupp, så att varje grupp har mer likvärdiga förkunskaper. Resultaten på
testuppgiften gör det också möjligt att bättre nivåanpassa uppgifterna som eleverna får att lösa och
som ligger till grund för jämförelsen i denna uppsats. Detta ligger i linje med Anthony och
Walshaw (2009) som tar upp att effektiva lärare planerar, och beslutar om, sin undervisning utifrån
elevernas aktuella kunskaper. Dessa förkunskaper inkluderar språk och läsförståelse samt förmågan
att hantera komplexitet och matematiskt resonemang. De blir alltså källor att bygga vidare på. Att
eleverna får göra nya erfarenheter av större utmaningar bidrar också till att de får en djupare
förståelse. Forskningen indikerar dessutom (Middleton & Spanias 2013) att elevers framgångar i
matematik motiverar dem att lära sig mer. Genom att de lyckas blir de alltså positivt inställda till att
lära sig mer, det vill säga de får ett ökat intresse för uppgifter där de känner att de har en högre
sannolikhet för att lyckas.
Genom att grupperna ligger på ungefär samma nivå uppnår jag en rättvisare jämförelse i min
analys. För att skapa förutsättningar att göra jämförelsen med hur många övningar de lyckas lösa,
med de två olika metoderna som utgångspunkt, har jag genomfört laborationerna vid två olika
tillfällen. Den första undervisningsgruppen ska studera mönster med numeriska exempel som
utgångspunkt medan den andra kommer att få studera samma mönster men med hjälp av välkända
figurer; cirklar, trianglar och rektanglar (Se bilaga 1 resp 2). Jag har i respektive grupp att inlett med
en kort genomgång av vad generaliseringar av mönster handlar om och gett ett enkelt, numeriskt
(Grupp 1) respektive symboliskt (Grupp 2), exempel på detta. Se figurerna nedan.
18
Exempel 4.1.1. Grupp 1.
2
3
4
Fig 1
Fig 2
Fig 3
a) Vilket tal finns i figur nummer 4? Svar 5
b) Vilket tal finns i figur nummer 100? Svar 101
c) Vilket tal finns i figur nummer 𝑛? Svar 𝑛 + 1
Exempel 4.1.2. Grupp 2.
ΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔΔ
Fig 1
Fig 2
Fig 3
a) Hur många trianglar finns i figur nummer 4? Svar 5 (alternativt symboliskt ΔΔΔΔΔ)
b) Hur många trianglar finns i figur nummer 100? Svar 101
c) Hur många trianglar finns i figur nummer 𝑛 ? Svar 𝑛 + 1
Resultaten av hur eleverna därefter löser sina respektive uppgifter (Se Bilaga 1 och 2) med mönster
har videofilmats, transkriberats och därefter jämförts och analyserats för att kunna ge svar utifrån
frågeställningarna (Se kap 3.2). Allt anteckningsmaterial (Se Bilaga 4) har jag också att samlat in.
Som jag har nämnt tidigare är syftet att undersöka om svårighetsgraden av problemen påverkas om
de utgår från mönster med rena tal, alltså numeriska exempel, eller m h a kända figurer, cirklar etc.
Annorlunda uttryckt, frågan är om eleverna når huvudresultaten lättare utifrån någon av de två olika
strategierna. Detta är direkt kopplat till frågeställningarna. Tidsomfattningen för detta projekt är ca
50 min per undervisningsgrupp. Inom ramen för denna tidsuppskattning har eleverna även gjort en
utvärdering av projektet (Se Bilaga 3). Denna görs i syfte att utveckla undervisningen.
4.2 Reliabilitet, validitet och trovärdighet
Trost (2012) belyser vad som i en studie menas med reliabilitet, validitet och trovärdighet. Med
reliabilitet eller tillförlitlighet menar man traditionellt sett att en mätning eller undersökning är
stabil och inte utsatt för exempelvis slumpfaktorer. De studerade situationerna ska annorlunda
uttryckt vara likadana för alla. Med reliabilitet menas ofta att en mätning vid en viss tidpunkt ska ge
samma resultat om det sker förnyade mätningar.
19
Med validitet eller giltighet däremot, menas att instrumentet eller undersökningen ska mäta
det som från början var avsett. Ett exempel på detta kan vara om jag är intresserad av hur många
gånger per vecka de tillfrågade läser en morgontidning ska svarsalternativen innefatta veckodagarna
och inte innehålla svarsalternativ som alltid, ofta, sällan, aldrig eftersom dessa svarsalternativ kan
uppfattas olika.
Termerna och begreppen reliabilitet och validitet är mer vanliga vid kvantitativa studier som
laboratorieexperiment eller större enkätundersökningar. I mitt fall med denna studie som är
kvalitativ är det bättre att tala om trovärdighet. Genom presentation och diskussion av använda
metoder i undersökningen kan trovärdigheten visas. I nästa avsnitt ska jag beskriva kvalitativ metod
närmare. Jag kommer också att ge exempel på kvantitativa metoder.
4.3 Kvalitativ metod
Vid kvantitativ forskning användes matematiska och statistiska metoder för att studera data som kan
mätas i kategorier eller siffror. Exempel på dessa kan vara mätvärden erhållna i kontrollerade
experiment. Kvalitativ forskning däremot syftar till att skapa fördjupad förståelse och eventuellt ny
kunskap av idéer som bl a förorsakar människors formuleringar i specifika sammanhang. I
allmänhet kan slutsatserna vid kvalitativa metoder inte leda till allmängiltighet i flera fall. Å andra
sidan kan resultaten ge upphov till hypoteser som kan testas med kvantitativ metod för ett stort antal
fall.
När vi söker svar på frågor om företeelsers art och sort är detta kvalitativ forskning.
Processen i forskningsarbetet utmärks också av flexibilitet och följsamhet gentemot de involverade
personerna. Frågeställningarna som är formulerade i början kan eventuellt modifieras om resultaten
av forskningen efterhand visar att detta bör ske. När det gäller elevernas arbete bör detta
videofilmas och transkriberas för så exakt som möjligt dokumentera arbetet för senare analys
(Carlström och Carlström Hagman, 2006).
Jag ska därför noggrant redovisa det transkriberade materialet. Hur pass allmängiltigt
resultatet kan uppfattas ska jag återkomma till.
4.4 Avgränsningar
P g a att jag som ensam observatör ska kunna göra en djupare jämförelse och analys av elevernas
arbete har endast, som jag tagit upp tidigare, åtta elever att deltagit. För att kunna inrymma
läroplanens övriga delar på den undervisningstid eleverna har rätt till, har jag endast avsatt 50 min
per undervisningsgrupp för detta projekt. Avgränsningen innebär också att uppgifterna är mycket
20
noga utvalda och anpassade för att eleverna ska känna att de lyckas och samtidigt får nya
utmaningar.
4.5 Genomförande
Som jag har nämnt tidigare så har en undervisningsgrupp studerat numeriska exempel med mönster,
medan den andra har studerat samma mönster men med hjälp av välkända figurer som cirklar,
trianglar och rektanglar. De har letts in i frågeställningarna genom enkla exempel och därefter fått
uppgifter att lösa.
Litteraturen omnämner också att lärare alltmer manas att organisera lärandemiljöer i små
grupper i syfte att betona graden av kommunikation mellan eleverna (Radford 2003). Arbeta i par,
eller i små grupper om fyra till max fem personer, kan bidra till att eleverna förses med det
emotionella och praktiska stöd detta ger. Små grupper är inte bara användbart för att öka
engagemanget. Det underlättar också för utbyte och testande av idéer och främjar tänkande på högre
nivå. I dessa små grupper sporras eleverna till att lära sig hur man gör slutledningar och engagerar
dem i matematisk argumentation. Fortsättningsvis så behöver gruppmedlemmarna vara ostörda från
yttre distraktion. De behöver också utrymme för att kunna kommunicera sinsemellan (Anthony &
Walshaw 2009). Vid laborationerna har jag därför tagit ett klassrum i anspråk per grupp för att
eleverna skulle kunna arbeta ostört och utveckla sina resonemang tillsammans och utan att störas av
yttre omständigheter.
21
5. Resultat och analys
5.1 Resultat av laboration 1 - numerisk
Fyra elever deltog i denna laboration. Jag inledde med att dela in i grupper om två och visade
följande numeriska exempel på tavlan:
Exempel 5.1.1. Grupp 1.
2
3
4
Fig 1
Fig 2
Fig 3
a) Vilket tal finns i figur nummer 4? Svar 5
b) Vilket tal finns i figur nummer 100? Svar 101
c) Vilket tal finns i figur nummer 𝑛? Svar 𝑛 + 1
De gavs därefter uppgifterna att lösa (Se Bilaga 1). De två första (linjära) uppgifterna löstes på ca
10 min. Båda grupperna körde fast på den tredje svårare uppgiften. De fick då möjlighet att
samarbeta alla fyra för att se om de kunde komma vidare. De började med att jämföra sina svar i de
två första uppgifterna. I uppgift ett förklarade en elev för de andra hur han motiverade sin formel så
här:
Olof: "Kolla, här är det n+2...och det fortsätter så hela vägen... .Om du går vidare hela
vägen så om n är till exempel 5, så plus 2 då får du 7. Då kan man lätt kolla det här, om
n=4 blir det 6. Då är det likadant med 100-tal. Då blir det 100+2=102"
I uppgift två hade grupperna också kommit fram till samma svar. De försökte därefter gemensamt
lösa uppgift 3. En elev såg mönstret rekursivt och förklarade för de andra:
Olof: "...mellan 8 och 15 är det plus 7, mellan 15 och 24 är det plus 9. Det betyder att det
är sju sen sju+två. I figur fyra fick vi det till 33 det betyder att det är plus 11 där, 7,9,11 då
följer det ett visst mönster...."
Här har vi förmodligen bara ett räknefel. Vi får nog anse att eleven menar 35 och inte 33 när han
beskriver att det är ”+11” för att få rätt tal i figur fyra, när han utgår från att det är talet 24 i figur tre.
När det gäller uppgift 3b och 3c kommer eleverna inte vidare i denna grupp.
22
5.2 Resultat av laboration 2 - symbolisk
Även i denna grupp deltog fyra elever som delades in två och två. De fick uppgifter att lösa efter att
jag hade inlett med ett exempel på generaliseringar, som i denna grupp innefattade symboler.
Exempel 5.2.1. Grupp 2.
ΔΔ
Fig 1
ΔΔΔ
Fig 2
ΔΔΔΔ
Fig 3
a) Hur många trianglar finns i figur nummer 4? Svar 5 (alternativt symboliskt ΔΔΔΔΔ)
b) Hur många trianglar finns i figur nummer 100? Svar 101
c) Hur många trianglar finns i figur nummer 𝑛? Svar 𝑛 + 1
På liknande sätt som i fallet med grupp 1 löstes de två första (linjära) uppgifterna (Se Bilaga 2) på
ca 10 min.
5.2.2. Uppgift 3. Grupp 2.
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟΟΟ
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Hur många cirklar finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
c) figur nummer 𝑛 ?
Möjligheten att samarbeta alla fyra gavs också här för att se om de då kunde komma vidare. De
jämförde de två första enklare uppgifterna och kom fram till att de hade fått samma svar på dessa.
Därefter gav de sig an den tredje uppgiften. De kom fram till att svaret på 3a är 35 cirklar som är
korrekt. En elev frågade då:
Isac: "Har ni gjort 3b?"
23
Tommy: "Nä, göra c först för att få en formel"
Ovanstående dialog visar att uppgift 3b, som bestod i att räkna ut antalet cirklar i figur 100, blir för
omfattande om de inte har en formel först. Eleverna fortsätter därefter att fundera en stund och de
resonerade sinsemellan:
Tommy: "Man ser mönstret hur det ökar med 1 men har ingen formel för det...det blir en
mer för varje rad och en neråt..."
Isac: "Ja, den ökar ju med 1 ditåt och 1 neråt för varje gång. Här är det 3,4,5,6,7 ... o s v.
Och 1 neråt. n gånger n+1, +4 i detta fall..."
Anders: "..men det funkar inte på alla..."
Här fortsätter gruppen att försöka ca 5 min, därefter kommer en elev på formeln:
Tommy: "...= n+1 gånger n+3 ...för kolla, i raderna är det är alltid numret plus 1 och vertikalt
är det alltid numret plus 3..."
Anders: "Aha!..." Anders: "...kolla femman den ska bli 48. 5+1 gånger 5+3.."
Tommy: "...det stämmer på trean och fyran, femman stämmer också..."
Anders: ”Ja det gör det."
Björn: "100 blir 10403"
Anders (till Tommy): "Hur såg du det?"
Tommy: "Genom att stirra på det."
De övriga eleverna blir alltså övertygade om att formeln, när en elev förklarar den för dem, stämmer
och fungerar generellt. De räknar därefter ut, m h a formeln, att uppgift 3b blir 101×103 = 10403
vilket är rätt svar.
5.3 Resultat av elevernas utvärdering
Eleverna som deltog i detta projekt gjorde en utvärdering (Se Bilaga 3). Syftet med denna är att
kunna utveckla och förbättra undervisningen i framtiden. Eleverna hade möjligheten att tycka till
om vad de hade lärt sig, vad som kunde varit annorlunda, och i så fall på vilket sätt, samt uttrycka
eventuella övriga synpunkter. Av svaren gick att utröna att de hade lärt sig se samband och
betydelsen av n. En elev lyfte fram att samarbete är ett viktigt område när man har svårt för en
uppgift, vilket i det här fallet bidrog till att man fick ett annat sätt att tänka. Det framkom också att
eleverna tyckte det var lättare att komma fram till en formel med hjälp av bilder. Detta är också i
linje med huvudresultatet som jag ska återkomma till i nästa kapitel. En elev uttryckte det som att
han skulle ”stirrat” mer på figuren och testa sig fram mer.
24
Sammanfattningsvis var eleverna överlag nöjda med upplägget och tyckte det var intressant
och utmanande med denna typ av uppgifter, även om någon tyckte att de första uppgifterna var för
lätta. Den sista uppgiften uppfattades dock av några stycken som extremt svår.
5.4 Analys
Efter att de båda elevgrupperna har genomfört laborationerna kan vi konstatera att de två första,
linjära, formlerna var lätta att komma fram till. Detta gäller både grupp 1 som studerade numeriska
figurer och grupp 2 som fick materialet presenterat i form av symboler. Grupp 1 kom fram till hur
talföljden utvecklades rekursivt men fann inte den allmängiltiga formeln 𝑓(𝑛) = (𝑛 + 3)(𝑛 + 1).
Grupp 2 däremot lyckades skönja mönstret, genom att studera de symboliska figurerna, att raderna
representerades av figurnumret plus tre och kolumnerna representerades av figurnumret plus ett.
och skrev därefter ner ”n+1 gånger n+3”som den funktion som ger antalet cirklar i figur nummer n.
Han missar dock att sätta ut parenteserna men hans formel stämmer eftersom han avser att
additionen beräknas före i detta fall. Se nedanstående resonemang:
Tommy: "...= n+1 gånger n+3 ...för kolla, i raderna är det är alltid numret plus 1 och
vertikalt är det alltid numret plus 3"
Anders: "Aha!... "
Anders: "...kolla femman den ska bli 48. 5+1 gånger 5+3"
Tommy: "det stämmer på trean och fyran, femman stämmer också..."
För att härleda sin formel, prövar Tommy om den stämmer i flera olika fall. Detta resonemang kan
kopplas till begreppet abduktion (Se kap 2.3).
Rivera (2009) ställer sig frågan om det är struktur eller formel som kommer först för
eleverna. Resultatet i detta fall visar att det är utifrån strukturen de lyckas komma på en formel så
småningom. Rivera (2009) tar vidare upp att det krävs en förmåga att, när man uppfattar en sak, inte
begränsas av att endast se det som är givet vid ett visst ögonblick. Den förmåga han syftar på
innebär att man kan se det ögonblickliga som en integrerad del av en större helhet. Helheten i detta
fall är formeln (𝑛 + 3)(𝑛 + 1).
I gruppen som hade en sekvens av tal som utgångspunkt användes ett numeriskt
angreppssätt där de tittade på differensen mellan talen, hur denna ökade med två för varje figur.
Detta kallas en rekursiv metod (Se Exempel 1.1.2). Gruppen som hade symboler ordnade i en
sekvens fokuserade istället på det visuella, alltså figurernas form och struktur.
Lärandesekvensen bestod i att lösa algebraiska uppgifter i stigande svårighetsgrad. Analysen
bestod i huvudsak av att:
25
1.
jämföra hur långt de olika grupperna nådde beroende på om de fick materialet presenterat
numeriskt, alltså som vanliga tal och siffror, eller som symboler ordnade som rektanglar med rader
och kolumner.
2.
se om elevernas resonemang och slutsatser kan kopplas till begreppet abduktion (Se kap 2.3).
De olika grupperna nådde olika långt vid lösningen av uppgifterna. Utifrån till vilken nivå de
lyckades med uppgifterna och på vilket sätt de förklarar sina lösningar går det därför att dra vissa
slutsatser kopplat till frågeställningarna. Det gäller då att ha i åtanke att detta är en begränsad studie
och det uppstår en del frågetecken för att resultaten här ska bli allmängiltiga. I nästa kapitel kommer
jag att förklara detta närmare.
26
6. Slutsats och diskussion
6.1 Subjektivitet och objektivitet
Innan jag presenterar mina slutsatser vill jag lyfta fram möjligheten för olika tolkningar när det
gäller allmängiltigheten för resultaten i denna uppsats.
Carlström och Carlström Hagman (2006) belyser att forskaren är en del av den sociala
världen och kan på grund av detta inte betraktas som helt objektiv eller neutral. Precis som andra
människor har forskaren en viss förförståelse om saker. Detta innebär en mer eller mindre medveten
teori om det som ligger till grund för studien. Teorin är påverkad av de vardagliga upplevelser och
kunskaper som jag besitter. Det sker därför en filtrering av det som kommer fram i undersökningen.
Det blir därför viktigt att granska mina egna förutfattade meningar och deras möjliga påverkan på
resultaten. Detta är kvalitativ forskning och då är det viktigt att vara medveten om svårigheten i att
göra tolkningar som är rätt. För att kunna göra resultat och slutsatser sannolika och trovärdiga måste
andra vägar sökas. Vilka allmänna slutsatser kan dras efter denna undersökning? Begreppet
allmängiltighet är viktig även i kvalitativa studier. Jag ska därför i nästa avsnitt lägga fram bevis
och logiskt argumentera för de slutsatser jag drar efter resultatet av denna undersökning.
Som Carlström och Carlström Hagman (2006) framhäver blir det sedan upp till läsaren att
kritiskt granska och bedöma allmängiltigheten i denna framställning.
6.2 Argumentation, slutledningar och vidare arbete
Efter att ha analyserat till vilken nivå av svårighetsgrad de olika grupperna lyckades lösa
uppgifterna så är resultatet i linje med Rivera (2009). Han tar upp dessa koncept med symboler
ordnade i en följd som stöd när det gäller att lösa denna typ av uppgifter, det vill säga att lyckas
genom att lyfta fram den visuella aspekten vid problemlösning, att betona ögats roll som ett legitimt
organ för upptäckt och slutledning. Detta visade sig tydligt i grupp 2 där de fick figurerna
presenterade visuellt i form av symboler. Gruppens upptäckt av den allmängiltiga formeln var inte
resultatet av deduktion (Se kap 2.3), det var istället deras förmåga att se och observera. Strategin
med visuella modeller blev alltså en typ av strategi som hjälpte till och assisterade att synliggöra det
tidigare för dem osedda i den abstrakta världen som generaliseringar innebär.
Jag nämnde tidigare (Anthony & Walshaw 2009) att lärare säkerställer att deras klassrum
har ett tydligt matematiskt fokus med höga, dock realistiska förväntningar på vad studenterna kan
uppnå. Jag syftar då på att bägge grupperna fick inleda med uppgifter som de garanterat skulle
lyckas lösa, oberoende om uppgifterna var presenterade numeriskt eller med hjälp av symboler.
27
Detta var de realistiska förväntningarna. De högre förväntningarna bestod i att lyckas lösa den
tredje mycket svårare uppgiften, vilken den ena gruppen lyckades med.
Den första gruppen använde en rekursiv angreppsmetod för att försöka lösa den tredje
uppgiften. Även om detta angreppssätt kan vara effektivt så hjälpte det inte eleverna att se den
generella strukturen av alla elementen. Detta är i linje med Zaskis och Liljedahl (2002) (Se kap 1.1)
som framhäver att det största problemet för eleverna är att se ett mönster som är meningsfullt
algebraiskt i form av en allmän formel. Eleverna ser förvisso ett mönster men det blir svårt för dem
att ta steget från första intrycket de har till att se helhetsbilden av talföljden. En orsak enligt Zaskis
& Liljedahl (2002) kan också vara aritmetisk okunskap och elevernas fixering vid en rekursiv
metod.
Som Radford (2007) tar upp så gäller det generellt att numeriska exempel är erkänt svåra,
och då inte bara för svårigheterna att se den gemensamma regeln mellan figurerna. Det handlar
också om att studenterna misslyckas med att forma och utveckla en meningsfull regel. Studenterna
använder nämligen i dessa fall trial-and-error och fastnar i ett rekursivt angreppssätt som jag har
varit inne på tidigare. De använder alltså dessa strategier för att ta fram delvis korrekta rekursiva
formler. En fara med att använda mönster i form av symboler, som en väg till algebran, är faktiskt
att studenter ofta återvänder till trial-and-error istället för att använda algebraiska metoder.
Hursomhelst så gör studerande misstag av många olika anledningar. Detta inkluderar ibland
att de har getts för lite tid till förfogande för en viss uppgift. Felberäkningar kan också bero på
alternativa tolkningar av matematiska idéer som faktiskt representerar elevens försök att skapa
mening med uppgiften. Istället för att avfärda dessa idéer som feltänkande ser effektiva lärare dem
som ett fullt naturligt och ofta nödvändigt steg i elevens tillägnande av de nya koncepten (Anthony
& Walshaw 2009).
För att återgå till frågeställningarna och ge svar på den första frågan, hur elevernas möjlighet
att finna mönstret/regeln för hur ett godtyckligt tal i talföljden bildas, påverkas om mer abstrakta
exempel med siffror ersätts av mer symboliska, så kan vi dra slutsatsen efter detta experiment att de
når generaliseringarna enklare m h a kända visuella mönster som utgångspunkt. Forskningen visar
också på (Yilmas, Argün & Özer Keskin 2009) att visualisering spelar en viktig roll vid
matematiskt tänkande och resonemang. När studenter stöter på abstrakta situationer använder de
visualiseringar i sin tankeprocess för att upptäcka generaliseringar och därefter skapa formler. Vi
kan alltså understryka att visualiseringar spelar en viktig roll i själva processen för att nå
generaliseringarna, i alla fall i denna typ av uppgifter som bygger på figurer ordnade efter en viss
regel.
När det gäller den andra frågeställningen, kan elevernas motivering av formlerna direkt
kopplas till konceptet abduktion (Se kap 2.3). Metoden på vilket sätt gruppen löste problemet och
28
kunde dra sin slutsats kan beskrivas som abduktion, det vill säga de gjorde ett språng från de givna
förutsättningarna i de tre givna figurerna till en förklarbar hypotes. Efter flera försök drog de
slutsatsen att raderna representerades av figurnumret plus tre och att kolumnerna representerades av
figurnumret plus ett. De prövade sin hypotes i figur 4 respektive figur 5 och drog slutsatsen att
formeln stämde här då den gav rätt svar, alltså 35 respektive 48 cirklar. De fick därefter fram, med
hjälp av sin formel, att figur 100 måste innehålla 101×103 = 10403 cirklar vilket är helt korrekt.
På liknande sätt som Rivera (2009) har jag med denna uppsats bidragit med empiriska bevis
som tillräckligt, under vissa förutsättningar, illustrerar hur kända symboler och figurer kan assistera
vid elevers tillägnande av ny kunskap av allmängiltiga formler och funktioner. Uppsatsen
demonstrerar existensen och effektiviteten av att använda visuella figurer, eller mallar, när det
handlar om att ge sig i kast med linjära och relativt enkla kvadratiska strukturer.
Resultatet i detta projekt är alltså i linje med tidigare forskningsresultat. Yilmas, Argün och
Özer Keskin (2009) visar på ett liknande forskningsresultat. De visar på att studenter använder
visualisering för att komma fram till och förklara det rätta svaret. Visuellt tänkande är ett
nödvändigt steg för att hitta en relation mellan figurer och på detta sätt komma fram till en formel,
menar de. Visuella symboler och modeller är alltså ett stöd vid problemlösning och tillägnande av
ny kunskap. Min studie indikerar också att visualisering spelar en viktig roll när generaliseringar
och framtagande av formler eftersträvas. Det blir följdaktligen mycket viktigt att entusiasmera
matematiklärare att använda visualiseringar i deras vardagliga arbete. Enligt elevernas utvärdering
går det också att utröna att det var lättare för dem att se mönster med hjälp av bilder. Det framkom
också att de tyckte det var givande att arbeta i grupp.
Om vi återgår till konceptet abduktion så är en fråga att arbeta vidare med hur detta skall
kunna implementeras i större omfattning i undervisningen. Det visade sig att den grupp som
lyckades lösa samtliga uppgifter använde sig av denna metod. Det kan vara så att en del elever
redan har en förmåga att använda denna metod naturligt utan att blivit visade denna. Detta har jag
tagit upp tidigare (Illeris 2007) i samband med medvetet och icke medvetet lärande. Illeris (2007)
kallar detta tyst kunskap. Det behövs annorlunda uttryckt fler lärande experiment för att generera
fler strategier för problemlösning. Det matematiska lärandet skulle på detta sätt bli mer effektivt och
i förlängningen skulle måluppfyllelsen blir högre hos eleverna.
För personlig del har detta projekt varit givande och lärorikt. Eleverna som deltog var
mycket engagerade och visade intresse för denna typ av uppgifter. När svar söktes på de
frågeställningar jag hade som grund för arbetet har de resultat jag erhöll skapat upphov till nya
frågor att arbeta vidare med. Dessa handlar om hur vi som lärare kan utveckla metoder rent
praktiskt. Metoderna består i att visualisera uppgifter av problemlösningskaraktär av högre
dimension till att utveckla koncepten abduktion och tyst kunskap. Detta skulle underlätta för
29
studenter att tillägna sig även svårare delar av matematiken. Som jag har varit inne på tidigare så
gäller detta även på universitetsnivå, speciellt då behovet av matematisk kompetens ökar hos alla
individer i samhället.
30
Referenser
Anthony, Glenda & Walshaw, Margaret (2009). Effective Pedagogy in Mathematics, Educational
Practices Series. 19: 1-31. Gonnet Imprimeur, 01300 Belley, France.
Bardini, Caroline, Radford, Luis & Sabena, Cristina (2005). Struggling with variables, parameters,
and indeterminate objects or how to go insane in mathematics. Université Laurentienne, Canada.
Universitá di Torino, Italy.
Carlström, Inge & Carlström Hagman, Lena-Pia (2006). Metodik för utvecklingsarbete och
utvärdering. Lund: Studentlitteratur.
Dimenäs, Jörgen m fl (2007). Lära till lärare. Att utveckla läraryrket - vetenskapligt
förhållningsätt och vetenskaplig metodik. Stockholm: Liber
Illeris, Knud (2007). Lärande. Lund: Studentlitteratur
Middleton, James A. Spanias, Photini A (2013). Motivation for Achievement in Mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics, Journal for Research in Mathematics Education, Vol
30, No 1: 65-88.
Persson, Per-Eskil (2010). Räkna med bokstäver! En longitudinell studie av vägar till en förbättrad
algebraundervisning på gymnasienivå. Luleå tekniska universitet.
Radford, Luis (2003). Gestures, Speech, and the Sprouting of Signs: A Semiotic-Cultural Approach
to Students’ Types of Generalization. Mathematical Thinking and Learning, 5(1): 37–70.
Radford, Luis (2007). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of algebraic
generalizations of patterns in different contexts. Mathematics Education. 40: 83-96.
Rivera, Ferdinand (2009). Visual templates in pattern generalization activity. Spinger Science and
Business Media B.V. 73: 297-328.
Rivera, Ferdinand. Becker, Joanne Rossi (2007). Abduction in Pattern Generalization. Mathematics
Education. 4: 98-104.
31
Skolverket (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik. Nationella kvalitetsgranskningar
2001-2002. www.skolverket.se.
Skolverket (2014). Lärportalen för matematik - Moduler gymnasieskola, undervisa matematik
utifrån problemlösning. https://matematiklyftet.skolverket.se.
Tanisli, Dilek. Özdas, Aynur (2009). The Strategies of Using the Generalizing Patterns of the
Primary School 5th Grade Students, Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic.
Ltd. Şti.
Trost, Jan (2012). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur.
Vetenskapsrådet (1990). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Elanders Gotab. http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf.
Yilmaz, Rezan. Arjün, Ziya. Özer Keskin, Melike (2009). What Is the Role of Visualization in
Generalization Processes: The Case of Preservice Secondary Mathematics Teachers, Generalization
in mathematics education, Humanity & Social Sciences Journal 4 (2): 130-137.
Zazkis, Rina. Liljedahl, Peter (2002). Generalization of Patterns: The Tension between Algebraic
Thinking and Algebraic Notation. Studies in Mathemathics Education, 4: 379-402.
Zazkis, Rina. Liljedahl, Peter. Chernoff, Egan J (2007). The role of examples in forming and
refuting generalizations. Mathematics Education 40: 131-141.
32
Bilagor
Bilaga 1 - Laboration - numerisk - grupp 1
Studera följande figurer med tal och anta att mönstret fortsätter:
3
4
5
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Vilket tal finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
4
6
8
Fig 1
Fig 2
Fig 3
c) figur nummer 𝑛 ?
Vilket tal finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
8
15
24
Fig 1
Fig 2
Fig 3
c) figur nummer 𝑛 ?
Vilket tal finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
33
c) figur nummer 𝑛 ?
Bilaga 2 - Laboration - symbolisk - grupp 2
Studera följande figurer och anta att mönstret fortsätter:
ΔΔΔ
ΔΔΔΔ
ΔΔΔΔΔ
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Hur många trianglar finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
☐☐ ☐☐☐ ☐☐☐☐ ☐☐ ☐☐☐ ☐☐☐☐
Fig 1
Fig 2
Fig 3
c) figur nummer 𝑛 ?
Hur många kvadrater finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
ΟΟΟ
ΟΟΟΟ
c) figur nummer 𝑛 ?
ΟΟΟΟ
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Hur många cirklar finns det i
a) figur nummer 4 ?
b) figur nummer 100 ?
34
c) figur nummer 𝑛 ?
Bilaga 3 - Utvärdering
Denna utvärdering har som syfte att utveckla och förbättra matematikundervisningen.
Fråga 1: Vad tycker du att du har lärt dig under denna laboration?
Fråga 2: Vad tycker du kunde ha varit annorlunda, och i så fall på vilket sätt?
Fråga 3: Har du några övriga synpunkter?
35
Bilaga 4 Inscannade elevanteckningar
36
37
38
Bilaga 5 - Transkriberat material
Numerisk - grupp 1 - Adam, Albin, Olof och Sven
Olof: "Kolla, här är det n+2...och det fortsätter så hela vägen..."
Albin: "Exakt..."
Adam: "Ja men det är väl mellan Figur 1 och 2...n et är väl att man tar föregående figur
plussar det och får nästa..."
Olof: "Om du går vidare hela vägen så om n är till exempel 5, så plus 2 då får du 7. Då kan
man lätt kolla det här, om n=4 blir det 6. Då är det likadant med 100-tal. Då blir det
100+2=102. Sen denna (Uppgift 2b), fick ni den till 204? Om figur 10 är 12"
Olof: "Men c) här den är svår"
Olof: "Figur 0 är 3, tekniskt sett..."
Adam: "Ja"
Olof: "För om den är 7 rakt igenom"
Adam: "Jamen 15+7 är inte 24"
Olof: "Nämen mellan 8 och 15 är det plus 7, mellan 15 och 24 är det plus 9. Det betyder att
det är sju sen sju+två. I figur fyra fick vi det till 33 det betyder att det är plus 11 där, 7,9,11
då följer det ett visst mönster. "
Albin: "Ahh.".
Olof: "Först ökar 7 sen ökar det med 2 till 7, 7+2, 7+4, 7+6, 7+8 och så vidare. Så nu i
efterhand fick jag fram att Fig 0 är 3 för då blir det tekniskt sett 7-2 och då fick jag fram det
till 5 så då blir det 8-5 = 3"
Albin: "Då borde 3b) bli samma sak du, lägger till 2 hela tiden"
Adam: "Nä för det kommer att öka hela tiden så efter ett tag kommer det att bli plus hur
mycket som helst..."
Albin: "Du får ta upphöjt till...?"
Olof: "...1 upphöjt till 2 är 1 så då funkar inte det...3 upphöjt till 3...27+7 så där brast det. Det
går inte att lösa b om inte har löst c man måste ju ha en formel för att göra det så enkelt
som möjligt. om man tar sex plus föregående två figurer...för här ökar den med 9...det är
6+3"
Albin: "exakt"
Olof: "Om man då tar det i figur 4 så blir detta 5, 6+5=11, så blir det 24+11= 35. Om man
då tar det i figur 6 då är det 3+4 =7, 6+7=13. Så 35 +13=48. Det betyder att formeln är då
n...n+6+föregående två"
Adam: "7+2 du måste ju ta bort 2 st, kan inte bara lägga 2 på 2”
Symbolisk - grupp 2 - Anders, Björn, Isac och Tommy
Tommy: "man ser ju mönstret, hur det ökar med 1 för varje"
Isac: "Har ni gjort 3b?"
Tommy: "Nä, göra c först för att få en formel"
Tommy: "Man ser mönstret hur det ökar med 1 men har ingen formel för det...det blir en
39
mer för varje rad och en neråt."
Isac: "Ja, den ökar ju med 1 ditåt och 1 neråt för varje gång. Här är det 3,4,5,6,7 ... o s v.
Och 1 neråt. n gånger n+1, +4 i detta fall..."
Anders: "...men det funkar inte på alla..."
Tommy: "Vänta är det inte n gånger 8?"
Tommy: "...= n+1 gånger n+3 ...för kolla, i raderna är det är alltid numret plus 1 och
vertikalt är det alltid numret plus 3"
Anders: "Aha!... "
Anders: "...kolla femman den ska bli 48. 5+1 gånger 5+3"
Tommy: "det stämmer på trean och fyran, femman stämmer också..."
Anders: "Ja det gör det."
Björn: "100 blir 10403"
Anders (till Tommy): "Hur såg du det?"
Tommy: "genom att stirra på det."
40