Laborationer i geometri I
Sverker Aasa och Per Jönsson
NMS, Malmö högskola
Malmö 2008
1
Inledning
Geometri (jordmätning) har under mycket lång tid varit en viktig del av den mänskliga kulturen.
Ursprungligen har geometrin utvecklats i de gamla Egyptiska och Babyloniska kulturerna ur ett
behov av att mäta upp och muta in åkermark efter de livgivande flodernas årliga översvämningar.
Geometrin spreds så småningom till andra kulturkretsar och upplevde en blomstring i Grekland
århundradena före och efter Kristus (600 f.Kr. - 600 e.Kr.). Under denna period utvecklades geometrin från en praktisk vetenskap till en abstrakt och logisk vetenskap, där satser och resultat härleds
från ett antal definitioner och grundläggande satser (axiom eller postulat). Denna uppbyggnad av
en vetenskaplig teori blev stilbildande och fick en enorm betydelse för den fortsatta utvecklingen
av matematiken. Det mest kända verket från den grekiska tiden är Euklides (ca 365-275 f.Kr.)
tretton böcker Geometrins Elementa. Böckerna var vägledande för matematikundervisningen i
Europa under mer än 2000 år och långt in på 1900-talet skulle studenterna i gymnasiet i detalj
kunna redogöra för olika geometriska bevis och konstruktioner i Elementa.
I början av 1600-talet utvecklades geometrin mycket kraftigt genom att man införde koordinater
och koordinatsystem. I den så kallade analytiska geometrin beskrivs punkter i planet genom talpar
och linjer och cirklar bestäms av ekvationer. Geometriska resonemang ersätts av algebraiska räkningar. Förgrundsgestalt i denna utveckling var Descartes, som 1649 kallades till Stockholm för att
bli drottning Kristinas lärare och rådgivare. Under 1700- och 1800-talet utvecklades den så kallade
icke-euklidiska geometrin som senare skulle utgöra grunden i Einsteins allmänna relativitetsteori.
Figur 1: Två geometriska giganter: Euklides ca 365-275 f.Kr. och Descartes 1596 - 1650.
De senaste årens teknologiska framsteg inom satellitbaserade positioneringssystem (GPS) har lett
till ett kommersiellt uppsving för geometrin och det finns en mängd tjänster för positionering
och areamätning som omsätter stora pengar. Även utvecklingen inom bildbehandling, där man
t.ex. genom en serie fotografier av ett föremål från olika vinklar kan generera en tredimensionell
modell, har lett till ett ökat intresse för geometri. Slutligen, och det är kanske mest intressant ur
ett elevperspektiv, är kunskap om geometri och speciellt då projektiv geometri nödvändig för att
kunna skapa verklighetstrogna datorspel där man får känslan av att röra sig i rummet.
2
2
Skolans styrdokument
Geometri har en framträdande roll i grundskolans matematik och skolverket har formulerat följande uppnåendemål för slutet av det nionde skolåret:
Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och
hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven
- ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform,
- ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal
i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder
och med tekniska hjälpmedel,
- kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader,
- kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka
och använda ritningar och kartor,
Det är intressant att notera hur både mätinstrument, ritningar och kartor lyfts fram i samband
med geometrin.
3
Likformighet
Två figurer säges vara likformiga om den ena kan fås från den andra genom att ändra skala. För
enkelhetens skull betraktar vi fortsättningsvis endast trianglar, se figur 2.
c
b
b’
c’
a’
a
Figur 2: Två likformiga trianglar.
Om två trianglar är likformiga så gäller att sidorna står i samma förhållande till varandra, dvs
b
c
a
= ′ = ′.
′
a
b
c
Likformighet kan användas i en mängd olika situationer för att lösa praktiska problem. Vi illustrera
detta med tre olika exempel.
3
Bestämning av höjd med hjälp av syftning
För att mäta höjden av t.ex. en byggnad kan man lägga sig ner på marken och syfta mot en
referensföremål som i figur 3 nedan. De två markerade trianglarna är likformiga och om vi mäter
höjden av referensföremålet, avståndet från betraktaren till referensföremålet och avståndet från
betraktaren till byggnaden så kan man få fram höjden av byggnaden.
Figur 3: Syftning mot ett referensföremål ger upphov till två likformiga trianglar.
Bestämning av höjd med hjälp av solskugga
Om solen är framme kan man utnyttja skuggor för att bestämma höjden av ett föremål. Detta
är illustrerat i figur 4. De två trianglarna är likformiga och om vi mäter längden av Sverker,
längden av hans skugga och längden av stolpens skugga så kan vi beräkna stolpens höjd. Om man
gör mätningen precis då solen står i 45 graders vinkel behövs ingen referens utan det studerade
föremålet är lika högt som skuggan är lång.
Figur 4: Skuggorna ger upphov till två likformiga trianglar.
4
Bestämning av avstånd till ett föremål i vatten
Att direkt mäta minsta avståndet från en båt eller något annat föremål i vattnet till kajkanten
är svårt. Den grekiske filosofen och matematikern Thales (omkr. 600 f.Kr.) löste problemet med
hjälp av likformighet på följande sätt: Placera en kon A på kajen så att linjen mellan föremålet
och konen är vinkelrät mot kajkanten. Gå en bit bort och placera ut en ny kon B. Gå ytterligare
en bit och placera ut en kon C. Ta sedan av vinkelrät mot kajen och gå tills det av vi kommer till
en punkt D där vi ser föremålet och konen B i rät linje. De två trianglarna som uppkommer på
detta sättet är likformiga och genom att mäta sträckorna AB, BC och CD fås avståndet AF till
föremålet som
AF = CD ·
AB
.
BC
Hela förfarandet är illustrerat i figur 5.
F
C
B
A
D
Figur 5: Avståndet till ett föremål som flyter i vattnet, i vårt fall en gulmålad bräda som syns lite
dåligt, kan bestämmas med hjälp av likformiga trianglar.
5
4
Triangelarea med hjälp av kantlängder
Arean av en triangel fås bekant som basen gånger höjden genom två. Om man är ute och mäter i
praktiken (och inte i matteboken där man alltid har hjälp av ett rutnät) kan det emellertid vara
svårt att ta fram höjden till en given triangel. I dessa fall kan man istället använda sig av Herons
formel som ger triangelarean A i termer kantlängderna a, b, c
p
A = s(s − a)(s − b)(s − c),
där s = (a + b + c)/2. För att visa Herons formel utgår vi ifrån figuren nedan.
a
b
h
p
c−p
Figur 6: Triangelarean kan uttryckas med hjälp av kantlängderna.
Det är fördelaktigt att göra sig av med rottecknet och vi ska därför istället visa att
A2 = s(s − a)(s − b)(s − c).
Vi utgår ifrån att A = ch/2. Kvadrering ger
A2 =
c2 h 2
.
4
Vi uttrycker h2 på två sätt
h 2 = a2 − p 2
Pytagoras sats på högra triangeln
h2 = b2 − (c − p)2
Pytagoras sats på vänstra triangeln
vilket gör det möjligt att lösa ut p
p=
a 2 − b 2 + c2
.
2c
Insättning av p i uttrycket h2 = a2 − p2 ger
h 2 = a2 −
(a2 − b2 + c2 )2
.
4c2
Insättning av h2 i uttrycket A2 =
A2 =
c2 h 2
för den kvadrerade arean ger
4
a 2 c2
(a2 − b2 + c2 )2
−
.
4
16
Den som är skarpögd ser att vi kan använda konjugatregeln så att
2
2
(a − b2 + c2 ) ac
(a − b2 + c2 ) ac
2
.
+
−
A =−
4
2
4
2
6
Upprepad användning av kvadreringsreglerna ger
(a − c)2 − b2
(a + c)2 − b2
2
.
A =−
4
4
Om vi använder konjugatregeln igen får vi
A2 = −
(a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)(a − b − c)
.
16
Genom att införa s = (a + b + c)/2 får vi till sist att
A2 = s(s − a)(s − b)(s − c)
vilket skulle bevisas.
5
Polygonarea med hjälp av triangulering
En polygon (månghörning) kan delas upp i ett antal trianglar. Genom att mäta kantlängderna och
diagonalerna som uppkommer vid triangeluppdelningen kan trianglarnas areor beräknas med hjälp
av Herons formel. Summation av triangelareorna ger arean av polygonen. Metoden är illustrerad
i figuren nedan.
Figur 7: En fyrhörning kan delas upp i två trianglar, en femhörning i tre trianglar och så vidare.
Genom att mäta kantlängderna och diagonalerna kan trianglarnas areor beräknas.
6
Geometri och areabestämning från satellitbilder och flygfoto
Med hjälp av satellitbilder och flygfoto från t.ex. Google Earth eller Eniro är det nu möjligt att få
in spännande och relevanta geometriska exempel och problem från verkligheten i matematikundervisningen. Viktiga saker som skala, dvs bildens dimensioner i förhållande till verkligheten, kommer
in på ett naturligt sätt och eleverna får möjlighet att fundera på vad skala faktisk betyder. För
att illustrera möjligheterna använder vi Google Earth och zoomar in Hjälmarkajen och Lärarutbildningen i Malmö (se figur 8). Vår uppgift är nu att uppskatta arean av Hjälmarkajsområdet.
Mätning på datorn
Google Earth har ett längdmätningsverktyg (klicka på Tools och välj Ruler) med vars hjälp man
direkt kan mäta sträckor i bilden. Man kan välja att få längden i olika enheter men i vårt fall
är kanske meter lämpligast. Med hjälp av längdmätningsverktyget mäts polygonens kant- och
diagonallängder och vi får triangelareorna med hjälp av Herons formel. Polygonarean fås som
summan av triangelareorna.
7
Figur 8: Hjälmarkajsområdet och Lärarutbildningen. Notera skalan nere till vänster.
Mätning på papper
Genom att använda Google Earths verktygsfält (klicka på View och välj Scale Legend) kan man
förse bilden med en skala. För att få skalan i meter eller kilometer går man in på Tools och
väljer Options. Under 3D View klickar man på Meters, Kilometers. I vårt fall finns skalan nere
till vänster i bilden och den markerade biten är 241 meter lång. Vi skriver ut bilden på papper
och ritar ut polygonen som definierar Hjälmarkajsområdet. Polygonen delas upp i tre trianglar.
Trianglarnas kantlängder (i meter) bestäms genom att mäta med linjal och använda skalan. När
kantlängderna väl är bestämda används Herons formel för att beräkna triangelareorna. Slutligen
fås polygonarean som summan av triangelareorna. Även om mätning på datorn med hjälp av
längdmätningsverktyget är snabbare finns det en pedagogisk poäng med att mäta på papper med
linjal och använda skalan.
7
Triangelarea med hjälp av koordinater
I många tillämpningar jobbar man i ett givet koordinatsystem. Punkter i planet kan då beskrivas
med hjälp av koordinater (talpar). Vi skall visa hur man utifrån koordinaterna för hörnen i en
triangel kan bestämma triangels area. Betrakta för den sakens skull figur 9. Arean av triangeln
fås som arean av rektangeln minus areorna av de tre yttre trianglarna
A = (x2 − x1 )(y3 − y1 ) −
(x2 − x1 )(y2 − y1 ) (x2 − x3 )(y3 − y2 ) (x3 − x1 )(y3 − y1 )
−
−
.
2
2
2
8
Ihopmultiplikation och förenkling ger
A=
1
(x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 ).
2
Formeln vi härledde ovan förutsätter att punkterna (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) är positivt (moturs)
orienterade. Om detta inte är fallet blir uttrycket negativt och man byter då bara tecken för att
få arean.
(x3,y3)
(x2,y2)
(x1,y1)
Figur 9: Triangel med hörn i (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) och (x3 , y3 ).
8
Polygonarea med hjälp av koordinater
Precis som tidigare kan man få fram arean hos en godtycklig polygon genom uppdelning i ett antal
trianglar (se figur 7). Areorna för trianglarna kan beräknas ur koordinaterna för hörnen. Summation av triangelareorna ger arean för polygonen. Det visar sig att många av termerna i summationen går ut mot varandra och arean av en polygon med hörn i (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) ges av
formeln
A=
1
(x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y4 − x4 y3 + . . . + xn−1 yn − xn yn−1 + xn y1 − x1 yn ).
2
Detta är ett oerhört kraftfullt och användbart resultat. Även om formeln ovan ser jobbig ut är den
mycket lätt att hantera på dator eller miniräknare.
För att beräkna polygonarean med hjälp av GNU Octave eller Matlab börjar man med att lägga
in x-koordinaterna för hörnen i en vektor x och y-koordinaterna i en vektor y. Arean fås sedan
genom att skriva
n = length(x);
a = 0.5*abs(sum(x.*[y(2:n) y(1)] - [x(2:n) x(1)].*y));
För att göra beräkningarna på TI-83 (eller någon liknande modell) börjar man med att lägga
in x-koordinaterna (x1 , x2 , . . . , xn ) i en lista L1 och y-koordinaterna med start från det andra
elementet (y2 , y3 , . . . , yn , y1 ) i en lista L2. Listorna L1 och L2 multipliceras ihop till en ny lista
L3. Vi kopierar sedan lista L1 till lista L4 och editerar innehållet så att vi får (x2 , x3 , . . . , xn , x1 ).
Vi kopierar även lista L2 till lista L5 och editerar så vi får (y1 , y2 , . . . , yn ). Lista L4 och L5
multipliceras ihop och sparas i L6. Till sist fås arean som
0.5*(sum(L3) - sum(L6))
Som ytterligare ett alternativ skulle Excel kunna användas vid beräkningen. Beräkningsproceduren
följer då ganska tätt det man gör på miniräknare.
9
Användning av koordinatsystem
För att jobba med koordinater börjar vi med att spara flygbilden från Google Earth som en jpg-fil.
Filen läses sedan in i ett program som heter DigitiseImage (laddas ner från http://maths.sci.shu.ac.uk
/digitiseimage/). I den inlästa bilden kan man placera punkter genom att klicka med vänstra
musknappen. Koordinaterna för punkterna skrivs då i en ruta till höger om bilden. Redan markerade punkter tas bort genom att klicka med höger musknapp. Koordinaterna för de markerade
punkterna ges i förhållande till ett standardkoordinatsystem där origo är placerat i nedre vänstra
hörnet. Om man önskar kan man få koordinaterna i förhållande till ett koordinatsystem som man
själv lägger in. Detta görs genom att klicka på knappen Choose Scale nere i högra hörnet (se figur
10). Vi använder skalan i flygbilden som stöd för att definiera vårt koordinatsystem. Vi markerar
sedan de fem hörnpunkterna i polygonen som definierar Hjälmarkajsområdet. Första punkten ligger nere till höger och resterande punkter fås genom att gå moturs så att vi har positiv orientering.
Med hjälp av koordinaterna i rutan till höger kan vi sedan beräkna polygonarean.
Figur 10: Med hjälp av DigitizeImage kan man markera punkter i en flygbild och få ut koordinaterna. Vi har använt skalan i flygbilden för att definiera koordinatsystemet.
9
Avstånd och vinklar med koordinater
Koordinatbegreppet är mycket kraftfullt och ger oss en möjlighet att få fram geometriska storheter
som längder och vinklar genom algebraiska manipulationer. Vi ska här titta närmare på avstånd
och vinklar. Vi börjar med att läsa in en bild i DigitiseImage och definiera ett ortonormerat
10
koordinatsystem. Avstånd mellan två punkter (x1 , y1 ) och (x2 , y2 ) fås då med hjälp av Pytagoras
sats
p
l = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
För att bestämma vinkeln som definieras av tre punkter (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) och (x3 , y3 ) (se figur
11) börjar vi med att skapa vektorerna v1 = (x1 − x2 , y1 − y2 ) och v2 = (x3 − x2 , y3 − y2 ). Den
geometriska definitionen av skalärprodukten ger
v1 · v2
v1 · v2 = |v1 ||v2 | cos θ ⇔ θ = arccos
.
|v1 ||v2 |
Vi utnyttjar sedan att både skalärprodukten v1 · v2 och längderna |v1 |, |v2 | kan uttryckas med
hjälp av koordinaterna. Arcuscosinus av uttrycket inom parentes till höger ger vinkeln.
(x2,y2)
v1
(x ,y )
1 1
v
2
(x3,y3)
Figur 11: Vinklar och längder kan beräknas med hjälp av punkternas koordinater.
11
10
Geometriuppgifter från fotograferade objekt
En möjlig arbetsmetod inom geometrin är att eleverna går ut och fotograferar intressanta geometriska objekt i sin omgivning. Eleverna gör mätningar direkt på objektet med t.ex. likformighet
eller så görs beräkningarna med hjälp av fotot man har tagit. Då foto används måste man se
till att det finns någonting i bilden som anger en skala. Ett sätt att lösa detta är att en person
med känd längd finns med på bilden. Uppgifterna kan handla om att bestämma area eller volym
hos det fotograferade objektet. Eleverna sparar sina uppgifter och beräkningar och skickar över
fotot till en annan grupp av elever som får i uppgift att bestämma samma area eller volym. På så
sätt kan de två grupperna jämföra och diskutera sina svar. En bra sak med arbetsmetoden är att
eleverna konstruerar sina egna uppgifter och därigenom blir mera delaktiga. Matematik blir alltså
något som inte bara finns i matteboken. Som ett exempel på arbetsmetoden tar vi följande: Grupp
1 har fotograferat klaffbron i närheten av lärarutbildningen (se figur 12). Baserat på fotografiet
(som innehåller en person vars längd kan användas för att få fram skalan) beräknar gruppen arean
av cirkelsektorn som definieras av de horisontella och vertikala stålbalkarna och den grönmålade
stålcirkeln. Gruppen skickar fotot till en annan grupp som också skall bestämma arean. De båda
grupperna diskuterar och jämför svaren. Ytterligare en möjlighet, som antytts tidigare, är att
den andra gruppen går ut och lokaliserar det fotograferade objektet och gör mätningar direkt på
objektet med t.ex. likformighet och på detta sättet löser uppgiften.
Figur 12: Bestämning av arean hos ett fotograferat objekt.
12
11
Uppgifter
1. Studera kursplaner och styrdokument och se vilket stöd där finns för laborativt och undersökande arbetssätt.
2. Läs skolverkets rapport som behandlar bedömning av laborationer i Fysik A (ligger på it’s
learning).
3. Gå in på Wikipedia och läs in er på geometrins historia.
4. Mät höjden av ett föremål med hjälp av syftning mot ett referensföremål vars höjd är känd.
5. Mät höjden av ett föremål med hjälp av skuggor (om möjligt).
6. Mät avståndet från ett föremål i vattnet till kajkanten med Thales metod.
7. Använd figur 8 för att bestämma arean av Hjälmarkajsområdet. Figur 8 kan laddas ner som
jpg-fil från it’s learning.
8. Ladda ner och lär er hantera Google Earth. Se till att ni kan få fram en skala i meter och att
ni vet hur man gör för att mäta längden av en sträcka med hjälp av längdmätningsverkyget.
9. Använd Google Earth och zooma in ett intressant område, approximera området med en
polygon och bestäm arean genom att dela upp området i ett antal trianglar. Gör en grov
uppskattning av arean som bekräftar att det resultat ni fått fram är rimligt. Om ni har tid och
om ni hittar något lämpligt objekt kan ni behandla även andra saker än area, t.ex. volymer,
diagonaler och vinklar. Tidigare grupper har zoomat in på Pentagon eller Pyramiderna och
löst uppgifter i anslutning till dessa byggnadsverk. dessa byggnadsverk.
10. Läs in bilden över Hjälmarkajen i DigitiseImage och lägg in ett koordinatsystem. Tag ut
punkterna för hörnen och beräkna arean av området. Använd samma teknik och bestäm
arean av något intressant område du hittar på Google Earth. Gör rimlighetsbedömning av
ditt värde.
11. Läs in bilden på Pentagon i DigitiseImage och lägg in ett koordinatsystem. Använd koordinaterna för hörnen för att beräkna kantvinkeln. Bestäm även kvoten mellan kantenlängden
och diagonalens längd i pentagonen. Vilket känt värde får du?
12. Fotografera några intressanta geometriskt objekt och formulera i anslutning till dessa objekt
uppgifter som lämpar sig för elever i årskurs 9 eller för någon kurs på gymnasiet.
12
Redovisning
Uppgifterna skall redovisas i en skriftlig rapport i Word eller något annat ordbehandlinsprogram.
Rapporten skall följa gängse standard med inledning, utförande och diskussion (både innehållsmässig och didaktisk) samt slutsats. Beräkningar och resultat skall redovisas för alla uppgifterna.
Rapporten skall innehålla tillräckligt mycket text och förklaringar så att en utomstående läsare
utan problem kan förstå vad ni har gjort och vilka tankar som ligger bakom. Det praktiska arbetet
skall dokumenteras med digitalkamera. Inklippta bilder och figurer skall förses med förklarande
text. Lägg vikt även vid disposition och layout.
13
