Mätning och geometri LMN 100-matematik del 2
Basgrupp A
Madelene Drottz, Annie Förnell, Johanna Nilsson, Markus Pinzani, Lena
Olin, Margareta Svensson
Problem 13.
Bevisa att medelpunktsvinkeln i en cirkel är dubbelt så stor som
periferivinkeln,
Alltså ^AMBº = 2· ^ ACB
Hasses ledning: Börja med fallet då det ena vinkelbenet går genom
cirkelns centrum.
Fallet i figuren följer sedan ”med addition”.
Följdsats 6.10.Periferivinklarna till en given korda är lika stora.
En konsekvens av periferivinkelsatsen är att alla periferivinklar på samma
båge är lika stora
Man drar först en rät linje som går igenom periferivinkeln C och
medelpunktsvinkeln M.
Triangeln ACM är likbent eftersom vinkelbenen AM och CM båda är radier i
cirkeln. Då ät vinklarna CAM och ACM lika stora.
Om man ser sträckan CD som en vinkel med medelpunkten i M, så är
vinkeln CMD 180º. Vinkeln AMD är då 180º - AMCº.
Triangeln AMC har liksom alla trianglar en vinkelsumma på 180º. En viss
del av dessa 180º ligger i ^ AMC och resten är lika uppdelat mellan CAM
och ACM.
CAM och ACM sammanlagda vinkelsumma måste då vara densamma som
AMD, alltså 180º - ^AMC. ACD måste vara hälften så stor som AMD.
På samma sätt kan man räkna ut att^ BMD º = 2· ^ BCM:
Triangeln BMC är likbent och det medför att BCM är hälften så stor som
BMD.
1
Nu har vi sett att AMD är dubbelt så stor som ACM och BMD är dubbelt så
stor som BCM. Då måste AMB vara dubbelt så stor som ACB.
Detta är ett bevis för att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som
perifervinkeln.
Tillägg:
Yttervinkelsatsen är lika med summan av de båda motstående inre
vinklarna
Bevis:
/\AMD = /\A+C(i triangel AMC)
/\A+/\C+/\M = 180 grader
/\AMD+/\AMC = 180 grader
/\AMD+/\AMC = /\A+/\C +/\M(i triangel AMC)
/\AMD = /\A+/\C
Problem 14.
Bevisa kordasatsen:Om två kordor AB och CD i en cirkel skär
varandra i en punkt E så gäller att
[AE] * [BE] = [CE] * [DE]
Hasses ledning: Drag kordorna AC och BD och kanske också AD.
Använd Problem 13(eller mer exakt följdsats 6.10)Periferivinklarna till en
given korda är lika stora.
Använd sedan likformighet.
”Kordasatsen handlar om skärningen mellan kordor(sträcka mellan två
punkter i en cirkel).
I första fallet av kordasatsen skär två kordor AB och CD varandra i en
punkt E inut cirkeln. Vertikalvinklarna vid E är lika stora. Vinklarna /\ACD
och /\ABD är lika stora eftersom de båda står på bågen
AD(pereferivinkelsatsen). Av samma skäl är vinklarna /\CAB och /\CDB
lika, så enligt VVV är triangeln AEC och triangeln DEB likformiga, alltså
bevisar de kordasatsen och ger
2
[AE] = [CE] ,
[DE] = [BE]
Vilket ger
[AE] * [BE] = [CE] * [DE]
” Källa T. Tambour s. 27.”
Problem 15:
Konstruera medelpunkten till en given cirkel
Ledning: Drag en korda till mittpunkten och sedan dess mittpunktsnormal.
Cirkelns centrum ligger på denna mittpunktsnormal. (Varför då?)
Upprepa!
Alt. 1
Vi konstruerar mittpunkten med hjälp av passare och onumrerad linjal.
”Placera passarspetsen på cirkelns periferi och rita en cirkel som skär den
ursprungliga cirkeln i två punkter. Konstruera mittpunkten mellan dessa
skärningspunkter. Cirkelns medelpunkt ligger på linjen som går genom
punkten där du satte passarspetsen och den bildade mittpunkten. Linjen
är normal till cirkeln. Konstruera en normal till på samma sätt och se till
att normalerna inte sammanfaller. De skär varandra i en punkt och detta
är cirkelns medelpunkt.
Vi tog ut mittpunktsnormalerna till 3 kordor (gröna) och i
mittpunktnormalernas skärningspunkt är cirkelns mittpunkt. Det ska ju
egentligen räcka med 2 kordor för att få fram en skärningspunkt, men ju
fler man ritar desto säkrare kan man ju vara på att man hittat den enda
rätta mittpunkten.
Eftersom en mittpunktsnormal till en sträcka går vinkelrätt från sträckans
mittpunkt pekar de i en cirkel alltid mot cirkelns mittpunkt. Cirkelns båge
gör att kordornas läge alltid ligger vinkelrätt mot cirkelns centrum.
alt. 2
Jag konstruerar mittpunkten med hjälp av passare och onumrerad linjal.
3
”Placera passarspetsen på cirkelns periferi och rita en cirkel som skär den
ursprungliga cirkeln i två punkter. Konstruera mittpunkten mellan dessa
skärningspunkter. Cirkelns medelpunkt litgger på linjen som går genom
punkten där du satte passarspetsen och den bildade mittpunkten. Linjen
är normal till cirkeln. Konstruera en normal till på samma sätt och se till
att normalerna inte sammanfaller. De skär varandra i en punkt och detta
är cirkelns medelpunkt.”
Källa: Lunds universitet, ”Fråga Lund om matematik”, Kjell Elfström (sida
på nätet).
Alt. 3
Rita en godtycklig (vilken som helst) triangel i cirkel. Normalerna (se 16a)
skär varandra i cirkelns medelpunkt.Triangelns alla hörn måste nå ut i
cirkeln.
Problem 16 a).
Konstruera den till en given triangel
omskrivna cirkeln
Hasses ledning:Den ena cirkelns (vilken?) medelpunkt ligger på
mittpunktnormalernas skärningspunkt (den finns jämför Problem 11.)
Den andra på bisektrisernas skärningspunkt (den finns också jämför
problem 12.)
Alt. 1
Given figur
medelpunkt till given triangels
omskrivna cirkel
a) En cirkel är omskriven kring en triangel om triangelns alla hörn ligger
på cirkeln (och kallas en omskriven cirkel till triangeln.)
Alltså gäller det den stora cirkeln. Mittpunkten ligger på
mittpunktnormalernas skärningspunkt.
4
Bevis för att varje triangel har en precis en omskriven cirkel samt
bestämma dess radie och medelpunkt. Medelpunkten kallad O har samma
avstånd till A, B och C. En punkt som har samma avstånd till två givna
punkter ligger på mittpunktsnormalen till sträckorna AB och AC. Eftersom
O ligger på mittpunktsnormalen till AB, så har den samma avstånd till A
och B. Eftersom O ligger på mittpunktsnormalen till AC, så har den samma
avstånd till A och C. Alltså har den samma avstånd till alla tre hörnen och
då har den samma avstånd till B och C, så ligger den även på
mittpunktsnormalen till BC. Cirkeln med medelpunkt i O och radie OA går
genom alla tre hörnen och är således en omskriven cirkel.(T Tambour
s.29)
Benom tre punkter som inte ligger på en rät linje på en och endast en
cirkel.
I figuren ovan är /\AOB dubbelt så tror som /\ACB enligt
pereferivinkelsatsen. Om triangeln ABC är trubbvinklig vid C, så blir /\AOB
större än 180o , vilket betyder att medelpunkten O ligger utanför
triangeln. Omvändningen är förstås också sann, dvs om O ligger utanför
triangeln ABC så är triangeln trubbvinklig. (källa; T Tambour s. 29 och
30.)
Alt 2:
Den omskrivna cirkeln kring en triangel är den cirkel som går genom
triangelns tre hörn; Medelpunkten O ligger i den gemensamma
skärningspunkten för mittpunkstsnormalerna till triangelns sidor.
Mittpunktnormalerna (enligt 6.2) skär varandra i en punkt som är den
omskriva cirkelns medelpunkt (enligt problem 11). Se ovan
16 b)
Konstruera den till en given triangel inskrivna cirkeln.
Hasses ledning:Den andra på bisektrisernas skärningspunkt (den finns
också jämför problem 12.)
5
Alt. 1.
En cirkel är inskriven i en triangel om alla sidor i denna tangerar (nuddar
vid) cirkeln.
Här gäller det den lilla cirkeln(se given figur).
Bisektrisernas skärningspunkt är medelpunkt för den i triangeln inskrivna
cirkeln.
En bisektris är en linje som delar en vinkel mitt itu. Vi ska alltså
konstruera en vinkel som är hälften så stor som den givna vinkeln.
Källa: s.17 Mätning och Geometri – matematik del 2.
Bisektriserna till A och B skär varandra i punkten I. Att AI är bisektris till A
innebär att varje punkt på AI ligger lika långt bort från AB som från AC.
På motsvarande sätt gäller att varje punkt på bisektrisen BI ligger lika
långt från BA som från BC. Punkten I som ligger på båda bisektriserna
ligger då lika långt bort från AC som från BC, dvs, på bisektrisen från C.
Källa: Didaktisk ämnesteori i matematik – del 3. s. 163 uppgift 15.27.
6
Alt. 2
Dra bisektriserna till triangelns vinklar(ABC).En triangels tre bisektriser
skär varandra i en punkt, som är medelpunkt för den inskrivna cirkeln,
den punkt, från vilken det är samma avstånd till alla sidor.
Skärningspunkten (problem12) är nu medelpunkten för cirkeln (enl
bisektris satsen.)
Källförteckning:
Stencilmaterial från Matematiska Institutionen
Carl-Henrik Fant (Matematik 22 april 2004)
Euklidisk Geometri-Torbjörn Tambour (Stockholmns universitet 2002)
Lunds universitet, ”Fråga Lund om matematik”, Kjell Elfström (sida på
nätet).
Kompendie: Geometri och mätning
Klassisk geometri, Bengt Ulin, Ekelunds förlag AB 1998
Åtta kapitel om geometri, Anders Tengstrand, Studentlitteratur 2005
7
