Vad betyder det att
E = −∇V ?
E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast
Om E-fältet endast beror av x blir det enkelt:
dV
E =−
xˆ
dx
• Om V är konstant i ett område är E = 0 där.
E, V
• Om E är homogent så ges ∆V för en sträcka
E = konst. d parallellt med E-fältet av ∆V = -E d.
∆V är negativ om man går i fältets riktning.
• Om man rör sig vinkelrätt mot fältet är
x ∆V = 0.
V = -Ex
• Vi ser att även [V/m] är en enhet för E.
b
• Allmänt gäller:
− ∆V = Va − Vb = ∫ E ⋅ dl
a
Viktiga samband!
Elektriskt fält från punktladdning :
1
q
E=
rˆ
2
4πε 0 r
1
q
Elektrisk potential från punktladdning : V =
4πε 0 r
Gauss sats :
ΦE = ∫ E ⋅ dA =
Qinnesluten
A
Kraft på laddning :
ε0
F = qE
Potentiell energiändring för laddning : ∆U = q∆V
∆V för rörelse längs homogent fät :
∆V = − Ed
Kapitel: 24 Kapacitans och dielektriska material
• Definition av kapacitans
• Plattkondensatorn
• Kapacitansberäkningar
• Serie och parallellkopplade kondensatorer
• Energilagring i kondensatorer
• Dielektriska material, polarisation
• Dielektricitetskonstantens inverkan
Kapacitans
Två ledande kroppar anslutna till
en spänningskälla V erhåller
laddningen + respektive – Q.
V
Systemet karaktäriseras av sin
Kapacitans C som ges av:
Q
C=
V
C
C C2
=
= F (Farad)
=
J
V J/C
Fig. 24.1
OBS! Här betyder C och C olika
saker! C är kapacitans och C är
enheten Coulomb.
Kapacitansen beror enbart av:
• Systemets geometri
• Egenskaper hos det omgivande mediet
Plattkondensator
Fig. 24.2
σ Q/ A Q
Fältstyrka mellan plattorna (Kap. 22) : E = =
=
ε0
ε0
ε0 A
Potentialskillnad :
Qd
Vab = Ed =
ε0 A
Kapacitans :
Q ε0 A
C= =
V
d
Elektronikkomponenter som har given kapacitans är
mycket vanliga och kallas kondensatorer på svenska
(capacitors på engelska)
Figuren visar s.k. elektrolytkondensatorer med
kapacitans i mikrofaradområdet.
Fig. 24.4
Ex. 24.3, sfärisk kondensator
Ex. 24.4, cylindrisk kondensator
Fig. 24.6
Seriekopplade kondensatorer
Fig. 24.8
Parallellkopplade kondensatorer
Fig. 24.9
Ex. 24.6, nätverk med kondensatorer.
Finn den ekvivalenta kapacitansen.
Fig. 24.10
Energilagring i kondensator
I kap. 23 såg vi att laddningen Q som flyttades från potentialen
V=0 till potentialen V ändrade sin potentiella energi
U = QV. Betyder det att den energi som finns lagrad i en
kondensator också ges av QV?
NEJ! Om vi delar upp laddningen i små ”paket” dq, så är
potentialen v över plattorna ej konstant under
uppladdningsförloppet.
dW = vdq =
q dq
C
Q
1
1 q
Q2
W = ∫ dW = ∫ q dq = =
C 0
C 2 0 2C
0
Dvs. potentiell energi U lagrad i kondensator :
W
Q
Q2 1
1
2
U=
= CV = QV
2C 2
2
2
(Dvs. hälften av uttrycket ovan)
Jämförelse kondensator och fjäder
Båda systemen lagrar energi:
1 2
U fjäder = k x
2
11 2
U kond . =
Q
2C
Ett fjädersystem utjämnar mekaniska störningar, t.ex. i en bil
En kondensator utjämnar elektriska störningar i olika kretsar
En fjäder och en massa utgör en oscillerande mekaniskt system
En kondensator ingår i en elektrisk oscillatorkrets (kap. 30)
E-fältets energitäthet
För plattkondensatorn kan vi enkelt räkna ut ”energitätheten” u
hos det elektriska fältet, vars volym är volymen mellan plattorna,
Ad.
(
1/ 2)CV 2
u = Energitäthet =
Ad
Använd C =
1
u = ε0E 2
2
ε0 A
d
J
sort 3
m
och V = Ed
Elektriska energitätheten i vakuum
Kan visas att detta uttryck gäller för alla geometrier!
Kondensator med dielektrikum mellan
plattorna(Dielektrikum = isolerande material)
Om ett dielektrikum förs in
mellan plattorna minskar
spänningen, dvs,
kapacitansen ökar.
Q
V
Vi definierar " dielektric constant" (OBS engelska!) :
C V0
K=
=
C0 V
Eftersom C =
V0
V=
K
Fig. 24.14
Dielektrikat mellan plattorna i en kondenstor
fyller tre funktioner:
1.Isolerar dem från varandra trots liten separation
2.Gör att högre spänning kan användas
3. Höjer kapacitansen
Fig. 24.13
Varför påverkar ett dielektrikum kapacitansen?
När en isolator utsätts för ett E-fält
kommer de negativa elektronerna och de
positiva kärnorna att förskjutas lite
relativt varandra, materialet polariseras.
Detta ger upphov till ett motriktat fält, så
att nettoeffekten blir att den ursprungliga
fältstyrkan minskar.
För vakuum är ”diel. constant” K = 1.
För alla andra ämnen är K > 1.
Fig. 24.19
Inducerad laddning och polarisation
Med dielektrikum minskar potentialen en faktor
1
K
E0
K
Kalla den inducerade ytladdningen σ i
dvs. även fältet minskar så att E =
E0 =
σ
ε0
σ − σ i = Eε 0 =
σ i = σ 1 −
ε = K ε0
σ −σi
ε0
ε 0 E0 ε 0 (σ / ε 0 )
E=
K
=
K
=
σ
K
1
K
(Def. av Permittivity )
σ
E
ε0 σ
=
E= 0 =
ε
K
ε
ε0
dvs använd ε istället för ε 0
Fig. 24.15
Problem! Eng. K är dielectric constant, ε är permittivity
Sv. K=εr är relativ dielektricitetskonstant, ε är dielektricitetskonstant
Gauss sats i dielektrikum
Genom att använda ε istället för ε0 tar
man hänsyn till att man har ett
dielektrikum istället för vakuum och kan
”räkna som vanligt”!
Gauss sats lyder då:
E
⋅
d
A
=
∫
A
Qencl . free
ε
Fig. 24.22
