Moduliräkning
Ett inledande exempel: En mycket gammal metod för att kontrollera om en aritmetisk kalkyl
är korrekt ser ut så här: För varje involverat tal
adderar vi tvärsumman och kastar bort multiplar av nio. Upprepa processen tills vi har ensiffriga tal. Om vänsterledet och högledet inte
lika är den ursprungliga kalylen fel. Vi tar ett
exempel för att illustrera. Antag att vi vill kontrollera kalkylen:
43296 · 1742 − 514376 = 74907256.
Vi räknar tvärsumman av
43296 = 4 + 3 + 2 + 9 + 6 = 24.
Det blir 6 efter att ha kastat bort två 9:or.
Gör vi samma sak med hela vänsterledet får vi
6 · 5 − 8 = 22, eller 4 efter det att ha kastat två
9:or. Samma process på högledet ger också 4.
Det säger att kalkylen kan vara rätt. Observera att det inte betyder att kalkylen ÄR korrekt.
Ett annat exempel:
Kalkylen:
(442)3 + 5176 = 86355064
efter processen
13
+
1
=
1
VL6=HL ⇒ något fel i kalkylen. Varför fungerar
det här? Resten av 10m (för m ≥ 0) vid division med 9 är alltid lika med 1.
1742 = 1000+700+40+6 = 1·(111·9+1)+7·
(11 · 9 + 1) + 4 · (9 + 1) + 2 ≡ 1 + 7 + 4 + 2 ≡ 5.
Om kalkylen ska vara rätt måste resterna av
båda leden efter division med 9 vara lika.
Definition. Antag att b är ett positivt heltal.
Två heltal m, n säges vara lika modulo b, m ≡
n (mod b), om de ger samma rest vid division
med b. Ibland skriver vi bara m ≡ n. En ekvivalent formulering:
Sats 1. Antag att b är ett positivt heltal och
m, n är heltal. Då m ≡ n(mod b) ⇔ b|(m − n),
(utläses b delar m − n).
Räkneregler:
Sats 2. Antag att b är ett positivt heltal. Låt
m1 ≡ n1 och m2 ≡ n2. Då är (i) m1 + m2 ≡
n1 + n2 och (ii) m1m2 ≡ n1n2.
Ex 1. Beräkna resten av 123456789 vid division med 3. Observera att 10 = 3 · 3 + 1 ≡ 1,
100 = 10 · 10 ≡ 1 · 1 = 1, vidare 1000 =
10 · 100 ≡ 1 · 1 = 1... 10k ≡ 1 (för k ≥ 0). Alltså
123456789 = 1 · 108 + 2 · 107 + ... + 9 · 100 ≡
1 · 1 + 2 · 1 + ... + 9 · 1 = 45 ≡ 5.
Ex 2. Varje publicerad bok har ett ISBN som
innehåller 10 siffror i fyra grupper, t ex 0-12345678-9. Den första gruppen är en språkkod,
den andra förlagskod, den tredje boknummer
inom förlaget och den sista en “checksiffra”
(som ska kontrollera om de övriga siffrorna är
rätt kopierade). Checksiffran väljs så att för
varje ISBN a1a2...a10 gäller
1 · a1 + 2 · a2 + ... + 10 · a10 ≡ 0 (mod 11)
⇔1 · a1 + 2 · a2 + ... + 9 · a9 ≡ −10a10 (mod 11)
Checksiffran kan vara ett av 0, 1, 2, ..., 9, X (står
för siffran 10).
(i) Är 0-467-51402-X ett giltigt ISBN?
(ii) Är 1-56-004151-5 ett giltigt ISBN?
(iii) Vad är checksiffran för 14-2000-0076-?
Genom att upprepa (ii) i Sats 2 fås
Sats 3. Antag att b är ett positivt heltal. Låt
m ≡ n. Då är mk ≡ nk (k ≥ 0).
Ex 3. Vad blir resten av (207)61 efter division
med 13?
Ex 4. Ett naturligt tal är delbart med 3 om
och endast om dess tvärsumma är delbar med
3.
Ex 5. Ett naturligt tal är delbart med 9 om
och endast om dess tvärsumma är delbar med
9:
Om x = ar ar−1...a1a0 så gäller
x = ar · 10r + ar−1 · ar−1 + ... + a1 · 10 + a0 ≡
ar + ar−1 + ... + a0 (mod 9).
(t ex 5895, 125942 är delbara med 9.)
Notera att detta är den matematiska bakgrunden till checkmetoden i början av föreläsningen.
Ex 6. Varje tal är delbart med 11 omm dess alternerande tvärsumma är delbar med 11:
Om x = ar ar−1...a2a1a0 så gäller
x = ar · 10r + ar−1 · ar−1 + ... + a1 · 10 + a0 ≡
ar (−1)r +ar−1(−1)r−1+...+a2(−1)2+a1(−1)+
a0 (mod 11).
(t ex 2307151 är delbart med 11)
Ex. 7. 1 ≡ 20, 2 ≡ 21, 4 ≡ 22, 8 ≡ 23,
3 ≡ 24, 6 ≡ 25, 12 ≡ 26, 11 ≡ 27,
9 ≡ 28, 5 ≡ 29, 10 ≡ 210,7 ≡ 211, 1 ≡ 212
(modulo 13). Speciellt 212 ≡ 1 modulo 13.
Allmänt: Låt p vara ett primtal och 0 < a < p.
Då gäller ap−1 ≡ 1 (modp). Denna sats kallas
Fermats lilla sats.
Ex 8. Vad blir resten av 21997 + 31998 + 51999
efter division med 7?
Ex 9. Vilket är det minsta naturliga tal som
vid division med 83 lämnar resten 1 och vid
division med 47 lämnar resten 3?
