2233 a
Använd additionsformel för sinus
se formelblad för kursen
sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u
sin(x + 55°) =
sin x ⋅ cos 55° + cos x ⋅ sin 55°
cos 55° och sin 55° beräknas med
tekniskt hjälpmedel
TI-räknare
≈ sin x ⋅ 0.57 + cos x ⋅ 0.82 =
0.57 sin x + 0.82 cos x
Svar:
sin x ⋅ cos 55° + cos x ⋅ sin 55° ≈
0.57 sin x + 0.82 cos x
c
Använd additionsformel för sinus
se formelblad för kursen
sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u
π
sin (x + ) =
2
π
π
sin x ⋅ cos + cos x ⋅ sin =
2
2
π
cos = 0
2
π
sin = 1
2
ger
sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 =
cos x
Svar: cos x
d
b
Använd subtraktionsformel för cosinus
se formelblad för kursen
cos(v − u) = cos v cos u + sin v sin u
cos(x − 17°) =
cos x ⋅ cos 17° + sin x ⋅ sin 17°
cos 17° och sin 17° beräknas med
tekniskt hjälpmedel
TI-räknare
Använd additionsformel för cosinus
se formelblad för kursen
cos(v + u) = cos v cos u − sin v sin u
cos(x + π) =
cos x ⋅ cos π − sin x ⋅ sin π =
cos π = −1
sin π = 0
ger
cos x ⋅ (−1) + sin x ⋅ 0 =
−cos x
Svar: −cos x
≈ cos x ⋅ 0.96 + sin x ⋅ 0.29 =
0.96 cos x + 0.29 sin x
Svar:
cos x ⋅ cos 17° + sin x ⋅ sin 17° ≈
0.96 cos x + 0.29 sin x
2234 a
b
Använd additions- och subtraktionsformel
för sinus
se formelblad för kursen
sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u) = sin v cos u − cos v sin u
sin(x + 110°) + sin(x + 110°) =
sin x cos 110° + cos x sin 110° +
sin x cos 110° − cos x sin 110° =
Två termer identiska med ombytt tecken
sin x cos 110° + sin x cos 110° =
2 sin x cos 110° =
2 cos 110° sin x ≈
2 cos 110° beräknas med
tekniskt hjälpmedel
TI-räknare
Använd additions- och subtraktionsformel
för cosinus
se formelblad för kursen
cos(v + u) = cos v cos u + sin v sin u
cos(v − u) = cos v cos u − sin v sin u
3π
3π
cos (x + ) + cos (x + ) =
5
5
3π
3π
cos x cos
+ sin x sin
+
5
5
3π
3π
cos x cos
− sin x sin
=
5
5
Två termer identiska med ombytt tecken
3π
3π
cos x cos
+ cos x cos
=
5
5
3π
2 cos x cos
=
5
3π
2 cos cos x ≈
5
3π
2 cos
beräknas med
5
tekniskt hjälpmedel
−0.68 sin x
Svar: 2 cos 110° sin x ≈ −0.68 sin x
TI-räknare
ställ in räknaren på radianer
0.62 cos x
Svar: 2 cos
3π
cos x ≈ 0.62 cos x
5
2235
2237
Använd additionsformel för sinus
se formelblad för kursen
sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u
2 sin(x + 30°) =
2(sin x cos 30° + cos x sin 30°) =
sinus och cosinus för 30° har exakta värden
se formelblad för kursen
cos 2v + sin2 v = cos 2 v
Använd cosinus för dubbla vinkeln
se formelblad för kursen
cos 2v = cos2 v − sin2 v
VL = cos 2v + sin2 v =
cos 2 v − sin2 v + sin2 v =
cos 2 v = HL v. s. v
cos 30° =
√3
2
sin 30° =
1
2
2238
1
√3
+ cos x ⋅ ) =
2
2
𝜋
cos (3𝑥 + ) = − sin 3𝑥
2
2 (sin x ⋅
2 ⋅ √3
2⋅1
+ cos x ⋅
=
2
2
sin x ⋅ √3 + cos x ⋅ 1 =
√3 sin x + cos x
sin x ⋅
Svar: √3 sin x + cos x
2236
sin 2x
= 2 sin x
cos x
Använd sinus för dubbla vinkeln
se formelblad för kursen
sin 2v = 2 sin v cos v
VL =
2 sin x cos x
= 2 sin x = HL v. s. v
cos x
Använd additionsformel för cosinus
se formelblad för kursen
cos(v + u) = cos v cos u − sin v sin u
𝜋
𝜋
HL = cos 3x cos − sin 3x sin =
2
2
π
cos = 0
2
π
sin = 1
2
cos 3x ⋅ 0 − sin 3x ⋅ 1 =
− sin 3x = HL v. s. v
2239
cos 2 45° − sin2 45°
Använd cosinus för dubbla vinkeln
se formelblad för kursen
cos 2v = cos2 v − sin2 v
cos 2 45° − sin2 45° = cos(2 ⋅ 45°) =
cos 90° = 0
Svar: 0
Kommentar:
Svaret är inte helt överraskande
då sin 45° = cos 45° , som kan ses som sidor
i en halv kvadrat.
2240
2242
sin 2𝑥 + (sin 𝑥 − cos 𝑥)2 =
sin 2x = cos x
Man kan inte dividera med noll.
cos x kan vara lika med noll och
sålunda undviker vi att dela med cos x
Lös ekvationen så här
sin 2x = cos x
Flytta alla termer till en sida
sin 2x − cos x = 0
Använd sinus för dubbla vinkeln
sin 2x = 2 sin x cos x
2 sin x cos x − cos x = 0
bryt ut cos x
cos x (2 sin x − 1) = 0
Använd nollprodukten vilket ger
ekvationerna
cos x = 0 … (1)
{
2 sin x − 1 … (2)
Använd sinus för dubbla vinkeln
se formelblad för kursen
sin 2x = 2 sin x cos x
Samt utveckla kvadraten
mha andra kvadreringsregeln
2 sin x cos x + sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 x =
sin2 x + cos 2 x =
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
1
Svar: 1
2241
cos 2v = cos2 v − sin2 v
VL = cos 2v = cos(v + v) =
Använd additionsformel för cosinus
cos(v + u) = cos v cos u − sin v sin u
cos v cos v − sin v sin v =
cos2 v − sin2 v = HL v. s. v.
Lösning av (1) ger
x = ±90° + n ⋅ 360°
x = 90° + n ⋅ 180°
Lösning av (2) ger
2 sin x − 1 = 0
1
sin x =
2
Fall 1
1
x = sin−1 ( ) + n ⋅ 360°
2
x = 30° + n ⋅ 360°
⋮
⋮
2243
Fall 2
Lösningsalternativ 1
x
sin x
tan =
2 2 cos 2 x
2
Börja med HL
1
x = 180° − sin−1 ( ) + n ⋅ 360°
2
x = 180° − 30° + n ⋅ 360°
x = 150° + n ⋅ 360°
HL =
då vi har två olika vinklar
x
x och skriver vi om
2
vinkeln i täljaren
x
sin (2 ⋅ )
2 =
x
2 cos2 2
Använd sinus för dubbla vinkeln
Svar:
x = 90° + n ⋅ 180°
Är lösningarna som försvinner om
man dividerar med cos x
De övriga lösnigarna är
x = 30° + n ⋅ 360°
x = 150° + n ⋅ 360°
sin 2x = 2 sin x cos x i täljaren
x
x
2 sin 2 cos 2
x =
2 cos2 2
𝑥
förkorta cos
2
x
2 sin 2
x=
2 cos 2
sin x
= tan x
cos x
x
tan = VL v. s. v.
2
⋮
⋮
Lösningsalternativ 2
x
sin x
tan =
2 2 cos 2 x
2
Börja med VL
x
x sin 2
VL = tan =
=
2 cos x
2
x
förläng med 2 cos
2
x
x
sin ⋅ 2 cos
2
2=
x
x
cos ⋅ 2 cos
2
2
x
x
2sin 2 cos 2
x =
2 cos 2 2
Använd sinus för dubbla vinkeln
sin 2x = 2 sin x cos x i täljaren
x
sin (2 ⋅ 2)
sin x
=
x
x = HL v. s. v.
2 cos2 2
2 cos2 2
⋮
⋮
Lösningsalternativ 3
Lösningsalternativ 3
x
sin x
tan =
2 2 cos 2 x
2
Då vi har två olika vinklar
x
x och så börjar vi med att samla
2
x
vinklarna i VL
2
x
x
tan ⋅ 2 cos2 = sin x
2
2
Visa nu att VL = HL
x
x
VL = tan ⋅ 2 cos2 =
2
2
x
sin 2
x
x
⋅
2
cos
⋅
cos
=
x
2
2
cos 2
x
x
sin ⋅ 2 cos =
2
2
x
x
2 sin cos =
2
2
Utnyttja att 2 sin x cos x = sin 2x
x
sin (2 ⋅ ) =
2
sin x = HL
2244
sin 3x = (3 cos2 x − sin2 x) sin x
VL = sin 3x = sin(x + 2x) =
Använd additionsformel för sinus
sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u
sin x cos 2x + cos x sin 2x =
Använd cosinus och sinus för dubbla vinkeln
cos 2x = cos 2 x − sin2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x (cos2 x − sin2 x) + cos x 2 sin x cos x =
sin x (cos2 x − sin2 x) + 2 cos 2 x sin x =
sin x (cos2 x − sin2 x + 2 cos 2 x) =
(3 cos2 x − sin2 x) sin x = HL
⋮
Lösningsalternativ 2
Om man kör fast kan man först skriva om
likheten och hoppas på att man hittar en ny
likhet som är lättare att visa att den är sann
1
tan2 x 1
=
+
1 + cos 2x
2
2
Multiplicera båda led med 2
2
= tan2 x + 1
1 + cos 2x
Multiplicera båda led med (1 + cos 2x)
2 = (1 + cos 2x)(tan2 x + 1)
Visa nu att VL = HL
2245
HL = (1 + cos 2x)(tan2 x + 1) =
cos 2x = 2 cos 2 x − 1
Lösningsalternativ 1
(1 + (2 cos 2 x − 1))(tan2 x + 1) =
1
tan2 x 1
=
+
1 + cos 2x
2
2
2 cos2 x (tan2 x + 1) =
1
VL =
=
1 + cos 2x
Trigonometriska ettan
1 = sin2 x + cos 2 x
Cosinus för dubbla vinkeln
cos 2x = cos 2 x − sin2 x
2 cos2 x ⋅
sin2 x + cos2 x
=
sin2 x + cos 2 x + cos2 x − sin2 x
sin2 x + cos 2 x
=
2 cos2 x
sin2 x
cos2 x
+
=
2 cos2 x 2 cos2 x
1 sin2 x 1 cos 2 x
⋅
+ ⋅
=
2 cos 2 x 2 cos 2 x
1
1
⋅ tan2 x + =
2
2
tan2 x 1
+ = HL v. s. v
2
2
⋮
2 cos2 x ⋅ tan2 x + 2 cos 2 x =
sin2 x
+ 2 cos2 x =
cos2 x
2 sin2 x + 2 cos 2 x =
2(sin2 x + cos2 x) =
2 ⋅ 1 = 2 = VL
2246 a
Då cos v = sin(90° − v) fås
cos(u + v) = sin(90° − (u + v)) =
sin(90° − u − v) = sin((90° − u) − v)
b
Vi ska visa att
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v
VL = cos(u + v) =
enligt uppgift a
= sin((90° − u) − v) =
Använd subtraktionsformel för sinus
sin(u − v) = sin u cos v − cos u sin v
= sin(90° − u) ⋅ cos v − cos(90° − u) ⋅ sin v =
sin(90° − u) = cos u
cos(90° − u) = sin u
cos u cos v − sin u sin v = HL v. s. v.
2247
Vi ska visa att
cos(u − v) = cos u cos v + sin u sin v
VL = cos(u − v) =
Vi utnyttjar att vi känner additionsformlen
för cosinus och skriver därför om skillnaden
mellan u och v till en summa
= cos(u + (−v)) =
Använd additionsformel för cosinus
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v
= cos u cos(−v) − sin u sin(−v) =
cos(−v) = cos v
sin(−v) = − sin v
= cos u cos v − sin u ⋅ (− sin v) =
= cos u cos v + sin u sin v = HL v. s. b.
