Matematik 4

Matematik 4
Kap. 1 Trigonometri och formler
Innehåll
1.1 Trigonometri och trianglar
1.2 Trigonometri och trianglar
1.3 Bevis och bevismetoder
1.4 Trigonometriska ekvationer
1.5 Tillämningar och problemlösning
1.1 Trigonometri och trianglar
Sinus, cosinus & tangens
a
sin A 
b
c
cos A 
b
a
tan A 
c
Hur skall man göra för att komma ihåg detta?
Sinus, cosinus & tangens
motstående katet
sin A 
hypotenusa
närliggande katet
cos A 
hypotenusa
motstående katet
tan A 
närliggande katet
Sinus, cosinus & tangens
sin C 
c
b
cos C 
a
b
tan C 
c
a
Sinus, cosinus & tangens
3
sin A   0, 6
5
4
cos A   0,8
5
3
tan A   0, 75
4
Sinus, cosinus & tangens
Hur stor är vinkeln A?
Enhetscirkeln
Enhetscirkeln
(cos
 ,sin
(0,8;0,
6)  )

Enhetscirkeln
Hur stor är vinkeln?
Vinkeln är c:a 36,9°
Enhetscirkeln
NpMa3c ht 2012
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
sin v 
3
5
cos v 
4
5
tan v 
3
4
TRIGONOMETRI
Definitioner
sin v 
a motstående katet

b
hypotenusa
cos v 
c närliggande katet

b
hypotenusa
tan v 
a motstående katet

c närliggande katet
EXAKTA VÄRDEN
Från formler till Matematik 4
TVÅSPECIELLA TRIANGLAR
1
2
1
sin 30 
2
cos 45 
3
2
cos 60 
sin 45 
sin 60 
1
2
3
cos 30 
2
1
2
1
tan 45   1
1
1
tan 30 
3
tan 60 
3
 3
1
EXAKTA VÄRDEN
OBS!
Finns i formelhäftet!!
ENHETSCIRKELN
ENHETSCIRKELN
ENHETSCIRKELN
sin v
 tan v
cos v
ENHETSCIRKELN
Hur kan vi visa följande formler?
sin(v)   sin v
cos(v)  cos v
sin(v  180)   sin v
cos(v  180)   cos v
Vi tar hjälp av räknaren
sin v  0, 766
cos v  0, 070
tan v  0, 466
sin v 
3
2
cos v  
tan v  ??
50  ??
86  ??
25  ??
60  ??
3
2
150  ??
90  ??
TRIGONOMETRISKA ETTAN
cos v  sin v  1
2
2
2
cos v  sin v  1
2
2
cos v  1  sin v
2
2
sin 2 v  1  cos 2 v
cos v  1  sin v
2
sin v  1  cos v
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
Hur matar man in sin 30 i räknaren?
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
cos v  1  sin v
2
2
cos v  1  sin v
2
cos2 v  1  sin v 1  sin v 
2
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
sin v  1  cos v
sin 2 v  12  cos 2 v
2
sin 2 v  1  cos v 1  cos v 
2
ADDITIONS- OCH
SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR SINUS
sin((40  30))  sin(40) cos(30)  cos(40) sin(30)
ADDITIONS- OCH
SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR COSINUS
FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN

EKVIVALENS
EKVIVALENS
3x 1  4  x  1

IMPLIKATION
IMPLIKATION
x 3 x  9
2

ICKE
DIREKT BEVIS
PQ
INDIREKT BEVIS
P  Q  P  Q
VAD ÄR DET FÖR FEL PÅ FÖLJANDE BEVIS?
GRUNDEKVATION FÖR SINUS
x1  v  n  360
x2  180  v   n  360
GRUNDEKVATION FÖR SINUS
DEGREES
SINUS
DEGREES
SINUS
60
0,866025
120
0,866025
420
0,866025
480
0,866025
780
0,866025
840
0,866025
1140
0,866025
1200
0,866025
1500
0,866025
1560
0,866025
1860
0,866025
1920
0,866025
2220
0,866025
2280
0,866025
2580
0,866025
2640
0,866025
2940
0,866025
3000
0,866025
3300
0,866025
3360
0,866025
GRUNDEKVATION FÖR COSINUS
x1,2  v  n  360