Formelsamling
matny's handbook
Senaste versionen nns på http://nyrell.se
[email protected]
14 augusti 2008
2
Innehåll
1
2
3
4
Gott och blandat
7
1.1
Triggformler etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
Standard triggformler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Specialare
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Hyperboliska funktioner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Logaritmregler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Standardgränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5.1
Några deriveringsregler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5.2
Derivator av elementära funktioner . . . . . . . . . . . . .
9
1.6
Partialbråksuppdelning
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7
Bra att ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Komplexa tal
11
2.1
11
Eulers formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mängdlära
13
3.1
Egenskaper
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Vanliga mängdoperationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Speciella mängdoperationer
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summor och serier
17
4.1
Geometrisk summa/serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Aritmetisk summa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Taylorserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
Maclaurins formel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.2
Taylor's formel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.3
Standardutvecklingar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
18
4
5
INNEHÅLL
Sannolikhetslära
19
5.1
Grundläggande saker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.1.1
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.2
Betingad sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.3
Endimensionella stokastiska variabler . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.3.1
Diskreta fallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.3.2
Kontinuerliga fallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.3.3
Allmänt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.4
5.5
5.6
5.7
6
Tvådimensionella stokastiska variabler
. . . . . . . . . . . . . . .
21
5.4.1
Diskreta fallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.4.2
Kontinuerliga fallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.4.3
Allmänt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Lägesmått, spridningsmått och beroendemått . . . . . . . . . . .
23
5.5.1
Lägesmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.5.2
Spridningsmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.5.3
Beroendemått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.5.4
Bra att ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.5.5
Räkneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Några diskreta fördelningar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.6.1
Binominalfördelning,
Bi(n, p)
. . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.6.2
Poissonfördelning,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.6.3
Hypergeometrisk fördelning,
5.6.4
För första gången-fördelning,
5.6.5
Geometrisk fördelning,
Po(µ)
Hyp(N, n, p)
. . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Ge(p)
Några kontinuerliga fördelningar
Ffg(p)
5.7.1
Rektangulär (likformig) fördelning,
5.7.2
Exponentialfördelning,
5.7.3
Normalfördelning,
. . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Exp(µ)
N(m, σ)
Re(a, b)
Statistik
6.1
6.2
27
Köteori
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6.1.1
Grundläggande begrepp för kömodeller/betjäningssystem
27
6.1.2
Little's formler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6.1.3
Kömodeller
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Skattningar
6.2.1
Eektivitet mellan skattningar
. . . . . . . . . . . . . . .
28
5
INNEHÅLL
7
8
9
Signaler och system
29
7.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.1.1
Diracimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.1.2
Enhetsimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.1.3
Enhetssteg
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.1.4
Impulssvar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.1.5
Stegsvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.1.6
Stabilitet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.1.7
Kausalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.1.8
Anti-kausalitet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.1.9
Icke-kausalitet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Blandat
7.2
Lite användbara formler mm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.3
Sampling och rekonstruktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.3.1
Sampling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.3.2
Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.3.3
Undersampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Automatateori
33
8.1
Deterministic Finite Automata, DFA . . . . . . . . . . . . . . . .
33
8.2
Non-deterministic Finite Automata, NFA
. . . . . . . . . . . . .
33
8.3
NFA with
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
- transitions, NFA
Talteori
35
9.1
35
Talsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
INNEHÅLL
Kapitel 1
Gott och blandat
1.1
Triggformler etc
1.1.1
Standard triggformler
sin2 x + cos2 x = 1
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
tan x+tan y
1−tan x tan y
tan x−tan y
1+tan x tan y
2
2
tan(x + y) =
tan(x − y) =
cos 2x = cos x − sin x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
2 tan x
tan 2x = 1−tan
2x
sin2 x = 12 (1 − cos 2x)
cos2 x = 12 (1 + cos 2x)
cos x = sin π2 − x
sin x = cos π2 − x
1.1.2
Specialare
sin((ω0 −ω1 )t)+sin((ω0 +ω1 )t)
(kommer från en upp2
gift i kretsteori del 2)
sin (ω0 t) cos (ω1 t) =
a sin ϕ + b cos α = A cos (ϕ + α),
1.2
där
A=
Hyperboliska funktioner
x
−x
cosh x = e +e
,x ∈ <
2
ex −e−x
sinh x =
2
7
√
a2 + b2
8
KAPITEL 1.
tanh x =
coth x =
1.3
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
=
=
GOTT OCH BLANDAT
ex −e−x
ex +e−x
ex +e−x
ex −e−x
Logaritmregler
log 1 = 0
log (s · t) = log s + log t
log st = log s − log t
log st = t log s
b
log s =
1.4
a
a
log s
log b
Standardgränsvärden
xα
ax → 0
ln x
xα → 0
α
x→∞
då
x→∞
då
x ln x → 0
sin x
x
→1
x → 0+
då
x→0
då
1
x
(1 + x) → e
x→0
då
ln(1+x)
→ 1 då x → 0
x
x
e −1
→ 1 då x → 0
x
1 n
1 + n → e då n → ∞
n
1 − n1 → e−1 då n → ∞ (OBS. Detta räknas kanske inte alltid
som ett standardgränsvärde.)
n
√
√
n
1
a = an → 1
n=n
an
n! →
√
n
0
1
n
→1
då
n! → ∞
1.5
då
n→∞
då
n→∞
n→∞
då
n→∞
Derivata
Derivatan,
0
0
f (x),
f (x) =
1.5.1
till funktionen
lim
∆x → 0
f (x),
denieras som:
f (x+∆x)−f (x)
∆x
Några deriveringsregler
0
D(f
g) = f 0g + f0g
g
D fg = f g−f
g2
0
1.6.
PARTIALBRÅKSUPPDELNING
1.5.2
9
Derivator av elementära funktioner
Dex = ex
D ln x = x1 ,
D ln |x| =
x>0
1
|x| ,
x 6= 0
0
f (x)
f (x) ,
D ln |f (x)| =
D loga x =
1
x ln a ,
f (x) 6= 0
x>0
Dax = ax ln a
Dxa = axa−1 ,
x>0
D sin x = cos x
D cos x = − sin x
1
x 6= π2 + nπ
cos2 x ,
D cot x = − sin12 x , x 6= nπ
1
D arcsin x = √1−x
2
D tan x =
1
D arccos x = − √1−x
2
D arctan x =
1
1+x2
D sinh x = cosh x
D cosh x = sinh x
D tanh x =
D coth x =
1.6
1
cosh2 x
− sinh12 x ,
6= 0
Partialbråksuppdelning
r(x)
h(x) där gradr (x)<gradh (x), och nämnaren h (x) har faktoriserats så
långt det går i reella faktorer. Nu vill vi skriva om uttrycket på följande sätt:
Betrakta
r(x)
h(x)
Där
P bi
= P b1 + P b2 + ...
är partialbråk till
r(x)
h(x) .
De möjliga faktorerna i nämnaren ger upphov till olika typer av partialbråk
enligt följande:
Faktor i nämnaren
x−a
n
(x − a)
x2 + ax + b
n
x2 + ax + b
Partialbråk
A1
x−a
A1
A2
An
x−a + (x−a)2 + · · · + (x−a)n
A1 x+B1
x2 +ax+b
A1 x+B1
A2 x+B2
An x+Bn
x2 +ax+b + (x2 +ax+b)2 + · · · + (x2 +ax+b)n
10
1.7
KAPITEL 1.
Bra att ha
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
GOTT OCH BLANDAT
Kapitel 2
Komplexa tal
Den imaginära enheten,
i,
denieras som:
i2 = −1
Ett komplext tal,
z,
kan skrivas som:
z = a + bi = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ
a, b ∈ √
<
|z| = a2 + b2
θ = argumentet
2.1
till z
Eulers formler
eiθ − e−iθ = 2i sin θ
eiθ + e−iθ = 2 cos θ
11
där
12
KAPITEL 2.
KOMPLEXA TAL
Kapitel 3
Mängdlära
3.1
Egenskaper
Kardinalitet (för ändliga mängder)
Kardinalitet beskriver storleken på en mängd. För ändliga mängder så brukar
kardinalitet helt enkelt kallas för längd.
Kardinalitet betecknas
|A|
och denieras (för ändliga mängder) som antalet
element i A.
Ex:
|{a, b, c}| = 3
3.2
Vanliga mängdoperationer
Union
A ∪ B = {x | x ∈ A eller x ∈ B}
Snitt (intersection)
A ∩ B = {x | x ∈ A och x ∈ B}
Mängddierens (dierence)
Olika beteckningar för mängddierens:
A − B, A \ B
A − B = {x | x ∈ A och x ∈
/ B}
13
14
KAPITEL 3.
MÄNGDLÄRA
Symmetrisk dierens (symmetric dierence)
A4B = {x | x ∈ A ∪ B och x ∈
/ A ∩ B}
Komplement (complementation)
Olika beteckningar för komplement:
A, ∼ A, A∗ , Ac , A
0
A = {x | x ∈
/ A}
Potensmängd (Power set)
En mängds potensmängd, är mängden av alla dess delmängder.
Vanliga beteckningar för potensmängd är:
P (A) , 2A
Den sista beteckningen har förmodligen göra med att en godtycklig mängd, med
n element, har
3.3
2n
delmängder, dvs
|P (A)| = 2|A| .
Speciella mängdoperationer
Dessa mängdoperationerna kan användas bland annat då man arbetar med
mängder av strängar (t ex formella språk och automatateori). Alla tre bygger på
att operationen ihopslagning/concatenation, eller motsvarande, är denierad
för mängdmedlemmarna.
Ihopslagning (concatenation)
AB
denieras som:
AB = {xy | x ∈ A och y ∈ B}
Ex.
a,b
är strängar
{a, ab} {b, ba} = {ab, aba, abb, abba}
Potenser
An
denieras rekursivt enligt:
A0 = {} där är den tomma strängen
An+1 = AAn
(null string, empty string)
3.3.
15
SPECIELLA MÄNGDOPERATIONER
Asterate (Kleene clossure)
A∗
denieras som unionen av alla ändliga potenser av
A∗ =
S
n≥0
A,
dvs:
An = A0 ∪A1 ∪A2 ∪A3 ∪... = {x1 x2 ...xn | n ≥ 0 och xi ∈ A, 1 ≤ i ≤ n}
16
KAPITEL 3.
MÄNGDLÄRA
Kapitel 4
Summor och serier
4.1
Geometrisk summa/serie
n
P
ak = 1 + a + a2 + ... + an−1 =
k=0
∞
P
ak =
k=0
4.2
1
1−a ,
an+1 −1
a−1
=
1−an+1
1−a
n+1
då
då
a 6= 1
a=1
(−1 < a < 1)
Aritmetisk summa
n
P
(a + kd) = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) =
k=0
4.3
(n+1)(a+(a+nd))
2
Taylorserier
4.3.1
Maclaurins formel
Om funktionen
f , och dess derivator till och med ordning n + 1, är kontinuerliga
i en omgivning av 0, gäller följande för alla x i denna omgivning:
0
00
f (x) = f (0)+ f 1!(0) x+ f 2!(0) x2 +...+ f
0<θ<1
Om
f (x)
(n)
(0) n
xn+1 (n+1)
(θx)
n! x + (n+1)! f
är udda tas bara udda potenser av x med. Om
f (x)
där
är jämn tas bara
jämna potenser av x med.
4.3.2
Taylor's formel
0
00
(n)
f (x) = f (a) + f 1!(a) (x − a) + f 2!(a) (x − a)2 + ... + f n!(a) (x − a)n +
Rn+1 (x)
Rx
t
(n+1)
(ξ)
(n+1)
Rn+1 (x) = a (x−t)
(t)dt = f (n+1)!
(x − a)n+1
n! f
17
18
Om
KAPITEL 4.
Rn (x) → 0
då
f (x) =
∞
P
f (x) =
k=0
∞
P
k=0
4.3.3
n→∞
f (k) (a)
k! (x
SUMMOR OCH SERIER
så gäller:
− a)k
(Taylor serie)
f (k) (0) k
k! x (Maclaurin serie)
Standardutvecklingar
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ... +
xn
n!
+ Rn+1 (x)
där
ln(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
sin x = x −
x3
3!
+
x5
5!
n
α(α−1) 2
x
2!
Rn+1 (x) =
x2
2!
+
α(α−1)...(α−n+1) n
x + Rn+1 (x)
n!
α(α−1)...(α−n)
n+1
där Rn+1 (x) =
(n+1)!(1+θx)n+1−α x
2n−1
x
− ... + (−1)n−1 (2n−1)!
+ R2n+1 (x)
x4
4!
x3
3
2n
+
x5
5
cos θx 2n+2
R2n+2 (x) = (−1)n+1 (2n+2)!
x
2n−1
− ... + (−1)n−1 x2n−1 + R2n+1 (x)
där
3
cos θx 2n+1
R2n+1 (x) = (−1)n (2n+1)!
x
x
− ... + (−1)n (2n)!
+ R2n+2 (x)
där
arctan x = x −
(−1)n
n+1
(n+1)(1+θx)n+1 x
+ ... +
där
cos x = 1 −
eθx
n+1
(n+1)! x
− ... + (−1)n−1 xn + Rn+1 (x)
där
(1 + x)α = 1 + αx +
Rn+1 (x) =
5
7
R2n+1 (x) =
2n
(−1)n
2n+1
(2n+1)(1+θ 2 x2 ) x
2n
17x
n−1 2 (2 −1)
tan x = x + x3 + 2x
B2n x2n−1 + ...
15 + 315 + ... + (−1)
(2n)!
där B2n är ett Bernoullipolynom, se 12.3 i Mathematics handbook
I samtliga ovanstående fall är
θ
ett tal mellan 0 och 1 som beror av
x
och
n.
Kapitel 5
Sannolikhetslära
5.1
Grundläggande saker
Sannolikhetsmåttet P har egenskaperna:
P (A) = 1 − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
5.1.1
Kombinatorik
Kombinationer
Det antal sätt man kan placera ut
r
objekt på
n
positioner utan hänsyn till
ordningen, eller med andra ord, det antal sätt man kan välja ut
n
r
objekt bland
utan hänsyn till ordningen, betecknas och denieras enligt:
n
r
= C (n, r) = nCr =
n!
r!(n−r)!
Några saker som man bör ha i minnet:
n
1
= n,
n
0
= 1,
n
n
=1
Permutationer
Det antal sätt som man kan ordna
ordningen, är
Att ordna
n
n
st olika objekt, med hänsyn tagen till
n!.
objekt, med hänsyn till ordningen, kallas permutering.
n objekt, och vill permutera r
P (n, r) denieras enligt:
n!
d n 6= r
(n−r)!
P (n, r) =
n!
d n=r
Om man har
P (n, r)
olika sätt.
19
st av dessa, så kan man göra det på
20
KAPITEL 5.
5.2
SANNOLIKHETSLÄRA
Betingad sannolikhet
Betingad sannolikhet,
P (B | A),
är sannolikheten för att händelsen B inträar,
givet att händelsen A redan inträat.
Denition:
P (B | A) =
P (B∩A)
P (A) om
P (A) > 0
Multiplikationssatsen för beroende händelser:
P (A ∩ B) = P (A)P (B | A)
Delar man in utfallsrummet i de disjunkta händelserna
P (B) =
n
P
Ai ,så
gäller:
P (Ai )P (B | Ai ).
i=1
Händelserna
A
och
B
är oberoende om
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Då gäller även:
P (B | A) = P (B)
dvs det spelar ingen roll om händelsen A har
inträat eller inte.
5.3
Endimensionella stokastiska variabler
5.3.1
Diskreta fallet
Sannolikhetsfunktionen (frekvensfunktionen), dvs sannolikheten att den stokastiska variabeln antar ett visst värde, ges av:
pX (a) = P (X = a)
där
a = 0, 1, 2, ...
Fördelningsfunktionen ges av:
FX (a) = P (X ≤ a) =
P
ai ≤a
pX (ai )
5.4.
21
TVÅDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER
5.3.2
Kontinuerliga fallet
Täthetsfunktionen (frekvensfunktionen, Sannolikhetstätheten),
Rb
fX (t)härleds ur:
fX (t)dt = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
a
Fördelningsfunktionen denieras på samma sätt som i det diskreta fallet:
FX (a) = P (X ≤ a)
Den kontinuerliga fördelningsfunktionen och sannolikhetstätheten har följande
samband:
FX (a) =
Ra
fX (t)dt
(fördelningsfunktion)
−∞
fX (a) =
5.3.3
dFX (a)
(täthetsfunktion)
da
Allmänt
Frekvensfunktionerna (sannolikhetsfunktionen respektive sannolikhetstätheten)
har egenskaperna:
∞
P
a=0
R∞
pX (a) = 1
fX (a)da = 1,
dvs
FX (a) → 1
då
a→∞
−∞
5.4
Tvådimensionella stokastiska variabler
5.4.1
Diskreta fallet
Sannolikhetsfunktion:
pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y)
där
x = 0, 1, 2, ...
och
y = 0, 1, 2, ...
Fördelningsfunktion:
FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =
y
x P
P
pX,Y (j, k)
j=0 k=0
Marginalfördelningarna,
ningen,
pX,Y ,
pX (x) =
pX
enligt:
∞
P
y=0
pX,Y (x, y)
och
pY ,
kan bestämmas ur den simultana fördel-
22
KAPITEL 5.
5.4.2
SANNOLIKHETSLÄRA
Kontinuerliga fallet
Fördelningsfunktion:
FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
Den kontinuerliga fördelningsfunktionen och täthetsfunktionen har följande samband:
FX,Y (x, y) =
Rx Ry
fX,Y (s, t)dsdt
(fördelningsfunktion)
−∞ −∞
fX,Y (t, u) =
∂ 2 F (t,u)
(täthetsfunktion)
∂x∂y
Marginalfördelningarna,
ningen,
fX,Y ,
fX (x) =
fX
och
fY ,
kan bestämmas ur den simultana fördel-
enligt:
R∞
fX,Y (x, y)dy
−∞
För att beräkna sannolikheten inom ett visst denitionsområde, integrerar man
täthetsfunktionen över området:
P ((X, Y ) ∈ B) =
RR
fX,Y (x, y)dxdy
B
5.4.3
Allmänt
Precis som i det endimensionella fallet så har sannolikhetsfunktionen egenskapen:
∞ P
∞
P
pX,Y (j, k) = 1
j=0 k=0
R∞ R∞
fX,Y (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
Vid oberoende gäller:
FXY (x, y) = FX (x)FY (y)
fXY (x, y) = fX (x)fY (y)
pXY (x, y) = pX (x)pY (y)
5.5.
LÄGESMÅTT, SPRIDNINGSMÅTT OCH BEROENDEMÅTT
5.5
23
Lägesmått, spridningsmått och beroendemått
Ett lägesmått anger var sannolikhetsmassan är placerad i genomsnitt. Exempel
på lägesmått är väntevärde (beteckning
E(X))
och median. Väntevärde är i
princip samma sak som medelvärde.
Spridningsmåttet anger hur utspridd fördelningen av sannolikhetsmassan är.
Exempel på spridningsmått är varians
tionskoecient
σ
E(X)
σ2
, standardavvikelse
(σ)
och varia-
.
Beroendemått är ett mått på beroendet mellan två stokastiska variabler. Exempel på beroendemått är kovarians och korrelationskoecienten.
5.5.1
Lägesmått
Väntevärde (medelvärde):
P
x xpX (x)
R∞
E(X) =
xfX (x)dx
−∞
P
x ϕ(x)pX (x)
R∞
E(ϕ(X)) =
ϕ(x)fX (x)dx
−∞
P
x,y ϕ(x, y)pX,Y (x, y)
E(ϕ(X, Y )) =
R∞ R∞
ϕ(x, y)fX,Y (x, y)dxdy
−∞ −∞
Medianen, för en stokastisk variabel, är ett värde som halverar sannolikhetsmassan. Medianen för en kontinuerlig stokastisk variabel,
för vilket
e
Rm
FX (m)
e =
1
2 . Dvs lösningen till:
fX (t)dt =
1
2
−∞
5.5.2
X,
är det reella tal
Spridningsmått
Varians:
2
Var(X) = E (X − E (X)) = E(X 2 ) − E 2 (X)
Standardavvikelse:
σX = D(X) =
p
Var(X)
2
(= σX
)
m
e
24
KAPITEL 5.
5.5.3
SANNOLIKHETSLÄRA
Beroendemått
Kovariansen är denierad som:
PP
x y (x − E (X)) (y − E (Y )) pX,Y (x, y)
Cov(X, Y ) = E ((X − E (X)) (Y − E (Y ))) =
R∞ R∞
(x − E (X)) (y − E (Y )) fX,Y (x, y)dxdy
−∞ −∞
Ur detta får man att:
Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X)E(Y )
Normerad kovarians eller korrelationskoecient :
ρ(X, Y ) =
5.5.4
Cov(X,Y )
σX σY
Bra att ha
E X
2
P 2
x x pX (x)
R∞ 2
=
x fX (x)dx
−∞
5.5.5
Räkneregler
E(a) = a
E(aX) = aE(X)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Var(aX) = a2 Var(X)
Var(X + a) = Var(X)
Om
X
och
Y
är oberoende gäller dessutom följande räkneregler
E(X · Y ) = E(X)E(Y )
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y ),
(−1)2 Var(Y )
5.6
5.6.1
ty
Var(X + (−1)Y ) = Var(X) +
Några diskreta fördelningar
Binominalfördelning,
Sannolikhetsfunktion:
pX (k) =
n
k
Bi(n, p)
pk (1 − p)n−k
för
k = 0, 1, 2, ..., n
5.6.
25
NÅGRA DISKRETA FÖRDELNINGAR
E(X) p
= np
σX = np(1 − p)
För oberoende
X1 ∈ Bi(n1 , p)
och
X2 ∈ Bi(n2 , p)
gäller:
X + Y ∈ Bi(n1 + n2 , p)
5.6.2
Poissonfördelning,
Sannolikhetsfunktion:
pX (k) =
Po(µ)
µk −µ
för
k! e
k = 0, 1, 2, ...
E(X) = µ
√
σX = µ
För oberoende
X1 ∈ Po(µ1 )
och
X2 ∈ Po(µ2 ),
gäller:
X + Y ∈ Po(µ1 + µ2 )
5.6.3
Hypergeometrisk fördelning,
0
@
Sannolikhetsfunktion:
pX (k) =
Np
k
Hyp(N, n, p)
10
N − Np
A@
n−k
0
1
N
@
A
n
1
A
för
0 ≤ n − k ≤ N − Np
E(X) q
= np
σX =
5.6.4
N −n
N −1 np(1
− p)
För första gången-fördelning,
Sannolikhetsfunktion:
pX (k) = p(1 − p)k−1
för
Ffg(p)
k = 1, 2, ...
E(X) = p1
q
σX = 1−p
p2
5.6.5
Geometrisk fördelning,
Sannolikhetsfunktion:
E(X) = 1−p
q p
σX = 1−p
p2
pX (k) = p(1 − p)k
Ge(p)
för
k = 0, 1, 2, ...
0 ≤ k ≤ Np
och
26
KAPITEL 5.
5.7
SANNOLIKHETSLÄRA
Några kontinuerliga fördelningar
5.7.1
Rektangulär (likformig) fördelning,
f (x) =
Täthetsfunktion:
1
b−a för
Re(a, b)
a<x<b
E(X) = a+b
2
b−a
σX = √
12
5.7.2
Exponentialfördelning,
f (x) =
Täthetsfunktion:
x
1 −µ
för
µe
x≥0
Exp(µ)
(= 0 då x < 0)
E(X) = µ
σX = µ
5.7.3
Normalfördelning,
f (x) =
Täthetsfunktion:
√1 e−
σ 2π
N(m, σ)
(x−m)2
2σ 2
för alla
x
E(X) = m
σX = σ
Standardiserad normalfördelning
Om
X ∈ N(m, σ)
så är
Z=
X−m
den standardiserade stokastiska variabeln till
σ
X.
Z ∈ N(0, 1) ⇒ fZ (z) =
FZ (z) = Φ(z) nns
Φ(−z) = 1 − Φ(z).
2
z
√1 e− 2
2π
tabulerad för
z > 0.
För
z <0
utnyttjar man sambandet
Räkneregler
Om
Y = aX + b
För oberoende
så är
Y ∈ N(am + b, σ |a|).
X1 ∈ N(m1 , σ1 )
och
X2 ∈ N(m2 , σ2 ),
p
X1 + X2 ∈ N m1 + m2 , σ12 + σ22
p
aX1 + bX2 ∈ N am1 + bm2 , a2 σ12 + b2 σ22
gäller:
Kapitel 6
Statistik
6.1
Köteori
6.1.1
Grundläggande begrepp för kömodeller/betjäningssystem
Ett generellt kösystem kan beskrivas enligt A/B/c/K/m/O, där
A anger fördelningstypen för tiden mellan kundankomster.
B anger fördelningstypen för betjäningstiden.
c anger antalet betjäningsenheter (antal kassor)
K anger det maximala antalet kunder i systemet.
m anger antalet potentiella kunder (kundpopulationen).
O anger betjäningsordningen.
Om man inte anger K eller m så antar man att de är obegränsade, dvs K = m =
∞. Anger man inte O så antar man att kunderna tas om hand i tur och ordning.
Bokstaven M på någon av de två första platserna står för Markovsk, vilket
betyder exponentialfördelning. Alternativa fördelningar som man kan stöta på
är till exempel D, deterministisk, eller G, generell.
Följande stokastiska variabler är intressanta i ett betjäningssystem:
Nq (t): antal kunder i kön vid tiden t
Ns (t): antal kunder som betjänas vid tiden t
N (t) = Nq (t) + Ns (t): antal kunder i kön vid
tiden t
Q: Kötiden för en kund (queue time)
S : Betjäningstiden för en kund (service time)
W = Q + S : Väntetiden för en kund (wait time)
I kömodellerna används följande parametrar:
Inkommande intensitet:
Betjäningsintensitet:
λ
µ
u = µλ
u
Utnyttjandegrad: ρ = ,
c
Trakintensitet:
där
c
är antalet betjäningar.
27
28
KAPITEL 6.
6.1.2
STATISTIK
Little's formler
E(N (t)) = λE(W )
E(Nq (t)) = λE(Q)
6.1.3
Kömodeller
M/M/1
Modell för kösystem med en betjäningsenhet.
FQ (t) = P (Q ≤ t) = 1 − ρe−µ(1−ρ)t ,
FW (t) = P (W ≤ t) = 1 − e−µ(1−ρ)t ,
där
där
t≥0
t≥0
M/M/c
Modell för kösystem med godtyckligt många betjäningsenheter.
FW (t) = P (Q ≤ t) = 1 −
pc −cµ(1−ρ)t
, där
1−ρ e
pc = P (N (t) = c)
M/M/c/c
Modell för kösystem med godtyckligt många betjäningsenheter, där kö tillåts.
En M/M/c/c kö är full då
N (t) = c
detta medför att
P(full) = P(N (t) = c) = pc
M/M/c/K/K
Modell för kösystem med godtyckligt många betjäningsenheter, där hela populationen av kunder har möjlighet att vara i systemet samtidigt. Modellen kallas
även maskin-reparatör modellen eller terminal-dator modellen.
6.2
Skattningar
6.2.1
Eektivitet mellan skattningar
Eektiviteten hos den sämre skattningen relativt den bättre denieras som:
Var(Bttre)
Var(Smre)
Kapitel 7
Signaler och system
7.1
Blandat
Dessa kommer från det senaste omtentaplugget till krets 2, vilket förklarar att
det mest är tidsdiskreta grejer här just nu...
7.1.1
Diracimpuls
δ (t) =
∞ t=0
0 t 6= 0
δ (a · t) =
1
|a| δ (t)
R∞
δ (t) dt = 1
−∞
7.1.2
Enhetsimpuls
δ [n] =
1 n=0
0 n=
6 0
7.1.3
Enhetssteg
u [n] =
1 n≥0
0 n<0
29
30
KAPITEL 7.
7.1.4
Impulssvar
7.1.5
Stegsvar
7.1.6
Stabilitet
∞
P
|h [n]| < ∞, vilket är ekvivalent med att enn=−∞
1, tillhör konvergensområdet för systemfunktionen, H [z].
Ett system är stabilt då
hetscirkeln,
|z| =
SIGNALER OCH SYSTEM
∞
P
|h [n]| = ∞, men |h [n]| < ∞ för alla
n=−∞
n. Detta är ekvivalent med att det nns en eller era poler på enhetscirkeln,
Ett system är marginellt stabilt då
|z| = 1,
7.1.7
då enhetscirkeln utgör en rand till konvergensområdet.
Kausalitet
Ett system är kausalt då
h [n] = 0
för
n < 0, dvs utsignalen kan ej bero på
H [z] måste vara av typen |z| > a
framtida insignaler. Konvergensområdet för
då
a ∈ <+ .
7.1.8
Anti-kausalitet
Ett system är anti-kausalt då
måste vara av typen
7.1.9
|z| < a
Konvergensområdet för
H [z]
Icke-kausalitet
Ett system är icke-kausalt då
n-värde. Konvergensområdet
a, b ∈ <+ .
7.2
h [n] = 0 för n ≥ 0.
a ∈ <+ .
då
h [n] 6= 0
H [z]
för
för minst ett positivt, och ett negativt,
måste vara av typen
Lite användbara formler mm
sinc (at) = sin(πat)
πat
2π
ω= T
ω = 2πf
⇒
ω
fs = 2π
fs = T1
Ω
θ = 2π
⇒θ=
ω = TΩ ⇒ Ω = ωT
ω = 2πf
ωT
2π
=
2πf T
2π
= fT
a < |z| < b
då
7.3.
31
SAMPLING OCH REKONSTRUKTION
7.3
Sampling och rekonstruktion
7.3.1
Sampling
Poissons summationsformel beskriver sambandet mellan
X [Ω] =
1
T
∞
P
Ω−2πk
T
k=−∞
X (ω)
och
X [Ω].
Samplingsteoremet säger att om sampelfrekvensen är mer än dubbelt så stor
som dubbla bandbredden, dvs
fs > 2f0 , så kan x (t) återskapas fullständigt från
x [n].
7.3.2
Rekonstruktion
Ideal rekonstruktion
xr (t) =
∞
P
x [n] sinc (fs (t − nT ))
n=−∞
Xr (ω) = T X [ωT ], |ω| ≤ πfs
7.3.3
Undersampling
Undersampling är sampling då sampelfrekvensen är mindre än dubbla bandbredden, dvs
fs < 2f0 .
Signalen kan alltså inte återskapas fullständigt.
Den rekonstruerade signalen kan betecknas
ursprungliga signalen, och
e (t)
tortion och vikningsdistortion,
xr (t) = x (t) + e (t), där x (t) är den
är en felsignal orsakad av bandbegränsningsdis-
e (t) = eb (t) + ev (t).
32
KAPITEL 7.
SIGNALER OCH SYSTEM
Kapitel 8
Automatateori
8.1
Deterministic Finite Automata, DFA
En DFA är en struktur enligt:
M = (Q, Σ, δ, s, F )
där
Q är en ändlig mängd av tillstånd (states)
Σ är alfabetet som används (input alphabet)
δ är överföringsfunktionen (transition function),
som är denierad
enligt:
δ : Q × Σ → Q,
där
Q × Σ = {(q, a) | q ∈ Q, a ∈ Σ}
s är start tillståndet
F är mängden av sluttillstånd (accept states, nal states)
8.2
Non-deterministic Finite Automata, NFA
En NFA är en struktur enligt:
N = (Q, Σ, ∆, S, F )
där
Q är en ändlig mängd av tillstånd (states)
Σ är alfabetet som används (input alphabet)
∆ är överföringsfunktionen (transition function),
som är denierad
enligt:
∆ : Q × Σ → 2Q
∆ (q, a) är mängden
av tillstånd som man kan ytta till på ett steg
från q, då man läser a.
2Q
är Q:s potensmängd, dvs mängden av alla delmängder till Q.
S är en mängd av starttillstånd
F är mängden av sluttillstånd (accept states, nal states)
33
34
8.3
KAPITEL 8.
NFA with
AUTOMATATEORI
- transitions, NFA
En NFA är identisk med en NFA förutom denitionen på överförings funktionen.
∆ : Q × (Σ ∪ {}) → 2Q
- clossure(A) denieras som alla tillstånd som kan nås från A, utan att läsa
någonting.
Kapitel 9
Talteori
9.1
Talsystem
{0, 1, 2, . . .} .
N
Mängden av naturliga tal
Z
Z+ , Z−
Mängden av heltal
Q
Q+ , Q−
Q∗
Mängden av rationella tal
R
R+ , R−
R∗
Mängden av reella tal. Består av de rationella talen samt tal som
C
C∗
Mängden av komplexa tal
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Mängden av positiva / negativa heltal. Ej 0.
{a/b | a, b ∈ Z, b 6= 0} .
Mängdenav positiva / negativa rationella tal.
Mängden av alla rationella tal förutom 0.
Mängden av positiva / negativa reella tal.
Mängden av alla reella tal förutom 0.
x + ıy | x, y ∈ R, ı2 = −1
Mängden av alla komplexa tal förutom 0.
35
π,
e, etc.
