Kapitel 1 – kommentarer till sidorna

DEL 2
Kommentarer till
elevbokens sidor
Till din hjälp berättar vi författare vad du eller eleverna bör eller kan
tänka på vid olika aktiviteter och uppgifter. Vi har valt uppgifter och
kommentarer i sådan ordning att eleverna ska kunna upptäcka
samband och mönster på bokens sidor.
De flesta nya begrepp inleds med en Aktivitet, där eleverna själva kan
upptäcka och diskutera olika metoder och sätt att tänka kring
begreppet. I Lärarhandledningen finns förslag på Reflektionsfrågor
som eleverna kan arbeta med efteråt.
Uppgifterna i boken börjar ofta med textuppgifter som belyser
aktuellt begrepp i olika situationer för att därpå övergå i nakna
uppgifter. Bland dessa kan eleven via mönster och samband upptäcka
fler aspekter och påbörja färdighetsträning. Mer
färdighetsträning finns på Övningsbladen (Ö1-Ö21) på dvd:n.
I Teorirutorna presenteras matematisk terminologi, begrepp och
metoder.
1
1. Omkrets och area
Mål, delmål och måluppgifter
I G-spåret kan elever nå målen vid arbete med Aktiviteter, Teorirutor och de uppgifter som
hör till. En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra vid självständigt
arbete med uppgifter.
Nedan finns en översikt av kapitlets mål indelade i delmål och förslag på typiska
måluppgifter som eleverna bör göra när de arbetar mera självständigt. Du har då möjlighet att
se hur eleverna närmar sig målen via delmål. Översikten kan också fungera som stöd för
eleverna genom att de själva kan bocka av de olika delmålen och följa sin egen utveckling.
I Del 1, s. 9, finns en allmän beskrivning av Mål, delmål och måluppgifter.
Mål
Delmål
1 Jämföra och beskriva
grundläggande egenskaper
hos geometriska objekt s. 6-7
Regelbundna månghörningar
1
Regelbundna tre- och fyrhörningar 2-3
Diagnosuppgifter
D1
2 Beskriva och konstruera symmetri Antal symmetrilinjer
s. 8
Rita ut symmetrilinjer
Uppgifter
Diagnosuppgifter
4-5
6
D2
3 Uppskatta och bestämma vinklar
samt använda gradskiva s. 9-18
Del av varv i cirkel
Vilken storlek
Parallelltrapets och vinklar
Vinkelsumma
Använda gradskiva
Diagnosuppgifter
8-9
13, 15
17-18
21, 26-27a
28, 32
D3
4 Uppskatta och beräkna omkrets
och area av månghörningar
s. 19-25
Omkrets/area, enkla enheter
Areaberäkning och enhetsbyten
Diagnosuppgifter
40-42, 48
49-50, 6-57, 62
5 Förklara samband omkrets-area
och metoder för beräkningar
s. 26-32
Samband
Metoder
Diagnosuppgifter
66, 68, 72
74-75, 77, 79-84
6 Använda strategier
vid problemlösning s. 33-34
(några av) strategierna 1-10
85-91
D 4-5
D 6-7
Se problemlösningsstrategier i Del 1 (s. 14) och specifika kommentarer till Lösa Problem.
2
Diskussionsbild (sidan 5)
Bilden är på hotellet Greya Santrians pool vid Sanur Beach på ön Bali i Indonesien.
Nästan hela poolen syns på bilden, endast en liten del längst till vänster och till höger är
bortklippt. Nedan finns en ritning med mått på hela poolen.
Frågan i bilden avslutas inte. Den hålls öppen för att du och eleverna ska kunna
fylla i frågan på flera sätt. Elevernas svar och diskussioner kan då ge dig en bild av
vad de tycker är viktigt innehåll och vilka förkunskaper de har om detta. Efterhand
kan du styra diskussionen så att den närmar sig kapitlets mål och innehåll. Se
Diskussionsförslag nedan.
Observera att diskussionsbilderna går att projicera på interaktiv skrivtavla. Se
under rubriken Uppgifter för interaktiv skrivtavla i Del 1 (s. 8).
Frågan ”Hur stor är …”, kanske tolkas som om det, pga. kapitlets namn, ska
handla om poolens omkrets eller area. Men det kan handla om mycket annat, t.ex.
vinklar eller symmetri som också finns i detta kapitel eller om volym som i nästa
kapitel. Det är inte säkert att eleverna fastnar för just poolen. De kan undra hur stor
en parasoll är. Dess höjd går ju att jämföra med servitörens (i gul jacka). Parasollen
är cirkelformad, precis som de svarta stolarna som syns runt baren, och sitter nere
under vattenytan.
Många av detta kapitels begrepp har introducerats i Prima Formula 4, kapitel 5.
Bilden i elevboken visar inte hela poolen, men är kanske tillräcklig för att eleverna
ska kunna grovt uppskatta omkrets och area.
Ritningen nedan innehåller tillräckligt med uppgifter för att eleverna ska kunna
beräkna såväl omkrets som area för poolen. Omkretsen, 62 m, får eleverna genom att
addera alla 10 sidorna i månghörningen. Arean kan också beräknas, under
förutsättningen att vinklarna är 90º respektive 45º. På nästa sida finns en enkel
lösning för hur man kan beräkna arean.
Ritning med mått i hela meter
(m)
4
3
4
8
3
4
4
8
8
16
3
Precis som i Prima Formula 5 är ett av målen ”använda strategier vid
problemlösning”. (Dessa följs upp i sista kapitlet i Prima Formula 6.)
I figuren nedan används strategierna Rita hjälplinje och Flytta figur, som
introducerades i Prima Formula 5 s. 47-48. Den nedre rätvinkliga och likbenta
triangeln med hypotenusan 3 m kan flyttas upp och fylla ut den övre ”bortklippta”
lika stora triangeln. Vi har då en nedre rektangel med måtten 16 x 8 och en övre med
måtten 6x8. Arean (m2) = 16 ∙ 8 + 6 ∙ 8 = 128 + 48 = 176.
4
3
4
8
3
4
4
8
8
16
Diskussionsförslag
Titta på bilden sidan 5.
1. Frågan i bilden är inte färdig. Hur kan den fortsätta?
2. Vad ser ni på bilden som har med vinklar att göra?
3. På bilden finns vinklar som är 90º och vinklar som är 45º. Ge
exempel.
4. Vad ser ni på bilden som har med omkrets och area att göra?
5. Hur kan ni uppskatta (få fram ett ungefärligt värde på)
poolens omkrets och area?
6. Vad behöver ni veta för att kunna beräkna poolens omkrets
och area exakt?
Använd ritningen av poolen.
7. Försök hitta olika sätt att beräkna poolens
a omkrets
b area
4
Sidan 6 (G-spår)
Aktivitet 1:1
Som du kan se i del 1 under rubriken Uppgifter för interaktiv skrivtavla så kan
aktivitetsrutorna projiceras på tavlan. Att använda denna och att ta upp delar av
aktiviteten till diskussion i helklass kan vara speciellt lämpligt vid bokens första
aktivitet då det är viktigt att så många elever som möjligt ska se syftet med sådana
uppgifter.
Aktivitetens mål är att gruppen ska kunna beskriva egenskaper hos
månghörningar och symmetriska figurer och till hjälp finns orden i rutan. Den
förbereder för uppgifter på kommande sidorna 7-8 och 12, med begreppen:
 regelbunden månghörning
 symmetri
 parallelltrapets
Fyrhörningarna nr 4-7 är alla specialfall av parallelltrapets (s. 12).
A Det är intressant att höra vilken figur eleverna tycker är svårast att beskriva. Än
mer intressant att höra varför och vilka ord i rutan de förstår bäst och använder mest.
B Figur 9 presenteras som exempel på regelbunden månghörning. Övriga sådana är
figur nummer: 3, 7 och 11.
C Vi anger, inom parentes, hur många möjliga fall vi anser där finns. Detta kan göra
uppgiften lite svårare och ge upphov till flera diskussioner.
Antal stickor Möjliga figurer Kommentarer
4
5 och 7
Trianglarna omöjliga. Sidorna 2, 1, 1 är platt fall
Figur 4 och 6 ska ha ett par av längre sidor.
6
3, 4, 6, 11
Triangel 2 ska ha en längre sida, figur 10 har två.
12
1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11
D 1 Här presenteras det viktiga sambandet symmetrilinje och spegelbild. I
femhörningen är en symmetrilinje utritad (streckad). Gruppen får sedan abstrahera
eller generalisera begreppet genom att konstatera att femhörningen har 4
symmetrilinjer till, fastän dessa inte är utritade. Alla dessa kan kontrolleras genom att
använda en fickspegel, såsom det beskrivs i Prima Formula 4 s. 172
D 2 facit:
Figur nummer:
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Antal symmetrilinjer: 3 0 2 2 4 1 5 2 6
D 3 Försök uppmuntra till att hitta figurer som inte bara är matematiska utan även
sådant som finns i natur, konst och hantverk.
Reflektionsförslag
Överst på nästa sida finns bokens första Reflektionsförslag. De två första frågorna är
av allmän karaktär och kan användas vid alla aktiviteter, vilket kan vara bra för att
följa elevers utveckling över tid. I Del 1 (s. 10) finns en allmän beskrivning kring
reflektionsförslag under rubriken Reflektion och utvärdering.
5
Reflektionsförslag Aktivitet 1:1
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Vilka ord i rutan är svårast att förstå och förklara?
4. Hur skulle du för någon som inte arbetat med Aktivitet 1:1
beskriva vad
a) REGELBUNDEN MÅNGHÖRNING är
b) SYMMETRI är
5. Är en liksidig triangel alltid regelbunden?
6. Är en liksidig fyrhörning alltid regelbunden?
7. Rita en liksidig femhörning som inte är regelbunden.
Sidorna 7-8 (G-spår)
Här ”täcker” vi upp och följer upp Aktiviteten med två Teorirutor och sju uppgifter.
Av dessa är uppgift 2-6 ”måluppgifter” (ovan beskrivna under rubriken Mål, delmål
och måluppgifter). (Motsvarande innehåll är tidigare presenterat i Prima Formula 4
s. 172-177.)
Teorirutan på sidan 7. Nederst i rutan ser eleverna de två villkoren för att en
månghörning ska kallas för regelbunden.
Fotbollens svarta femhörningar är regelbundna, och även dess vita sexhörningar.
Denna typ av fotboll med regelbundna fem- och sexhörningar kan bli klotformad,
med en heltäckande yta, endast om den består av 12 fem- och 20 sexhörningar. (Idag
används också fotbollar med helt andra mönster.) För att bilda en heltäckande yta (2dimensionell) behövs bara regelbundna sexhörningar, se t.ex. elevboken sidan 126
uppgift 132.
Uppgift 1-3. Uppgifterna på denna sida visar exempel på regelbundna
månghörningar. För att eleverna ska kunna upptäcka de två villkoren för
regelbundenheten så finns här också exempel på figurer som inte är regelbundna.
Uppgift 2-3 är måluppgifter och tar bara upp tre- och fyrhörningar. Fler
månghörningar behandlas på sidan 12.
Uppgift 3 tar specifikt upp de två villkoren: i a-uppgiften ställs frågan vilka
figurer som har lika långa sidor och i b-uppgiften vilka som har lika stora vinklar.
De figurer som uppfyller båda dessa krav blir därmed svaret i uppgift c.
Reflektionsförslag efter sidan 7
1. Ge exempel på vad du lärde dig på denna sida.
2. Är fotbollens vita sexhörningar regelbundna? Varför?
3. Rita en liksidig triangel. Hur många sådana behöver du för att kunna
sätta samman dem till en regelbunden sexhörning?
4. Förklara med egna ord texten nedan som är hämtad från en lärobok i
Geometri från 1903:
Regelbundna kallas de månghörningar, som hafva alla sidor lika
stora och alla vinklar lika stora med hvarandra.
(Mer av texten ovan från 1903 finns i Prima Formula 4 s. 198.)
6
Uppgift 4-7. I Teorirutan presenteras symmetrilinjer. Dessa är utritade i de två
femhörningarna. I uppgift 4-5 frågas efter antalet symmetrilinjer, men dessa är inte
utritade. Uppgift 4 ger exempel på symmetri i naturen.
Uppgift 5 tar upp fyra olika parallellogrammer. Här kan det vara svårt att inse att
parallellogram A inte har någon symmetrilinje. Eleverna kan ofta lättare förstå det
när de ser att romben D har två symmetrilinjer (diagonalerna) och då inse att
diagonalerna i figur A inte duger som symmetrilinjer. Vidare måste de förstå att de
två streckade linjerna nedan inte heller duger som symmetrilinjer.
(Det syns lättast genom att placera en fickspegel på linjen.)
De två lika stora ”halvorna” är inte spegelbilder av varandra.
Vi ser t.ex. att hörnet H när det speglas i den tänkta
H
symmetrilinjen, som måste skäras under rät vinkel, inte
hamnar på hörnet under.
I uppgift 6 får eleverna själva rita ut symmetrilinjer i
några tresiffriga tal.
I uppgift 7 kan de känna igen vår världsberömda sånggrupp ABBA, där
varumärket får en symmetrilinje genom att vrida ett B (Bennys eller Björns) 180º.
__Ö1
På övningsblad 1 finns
uppgifter som anknyter
till s. 5-8.
Reflektionsförslag efter sidan 8
1. Ge exempel på vad du lärde dig på denna sida.
2. Hur många symmetrilinjer har en
a regelbunden sexhörning
b regelbunden åttahörning
c cirkel
Sidan 9 (G-spår)
Extra Aktivitet som inledning inför Aktivitet 1:2.
”Gissa min regel.” (Lärarens regel är att alla punkter ska ligga på en cirkel.)
Lämplig som lärarledd aktivitet i helklass.
Alternativ 1: Du börjar med att sätta ut ett kryss på tavlan.
(Detta ska så småningom visa sig vara medelpunkten till en cirkel.)
En elev får sedan med annan färg sätt dit två nya kryss.
Om båda kryssen ligger på samma avstånd från ditt kryss, sätter du en ring runt dem,
för att markera att de stämmer med din regel. Annars väljer du att sätta en ring runt
ett av dem som du finner lämpligt. Du berättar inte varför du gör som du gör.
Du säger att den elev som tror sig veta lärarens regel, inte får säga något om regeln,
bara visa vad man tror genom att sätta dit nya kryss.
Nästa elev som tror sig veta vilken din regel är sätter dit ett par nya kryss. Du
markerar dem som ligger på samma cirkel som tidigare.
Efter en stund har ni flera kryss som ligger på en cirkel runt ditt kryss.
7
Vilken regel kan eleverna nu formulera?
- Våra kryss ska ligga på samma avstånd från lärarens kryss.
- Våra kryss ligger på samma cirkel.
Alternativ 2: Gör övningen på liknande sätt med olikfärgade knappar som läggs på
golvet. Knappar som ligger fel tar du bort, eller vänder på.
Aktivitet 1:2
Man kan tydligt visa vad en cirkel är med hjälp av ett sträckt snöre som går ett varv
runt en punkt. Låt eleverna också använda passare om sådana finns.
Cirkeln och klockan är lämpliga utgångspunkter för att upptäcka och bestämma
vinklar. Dels för att ett varv representerar 360º, dels för att vinkeln mellan t.ex.
klockan 00:00 och 03:00 är samma oberoende av hur stor urtavlan (cirkeln) är.
Kanske behöver eleverna påminnas om att felföreställningar kan förekomma genom
att diskutera denna uppgift från Prima Formula 4 s. 170:
15. Hur många grader rör sig sekundvisaren på 20 sekunder
a i den lilla klockan
b i den stora klockan
c Felex säger ”Ju längre vinkelben desto större vinkel”. Har han rätt?
Eleverna kommer snart att möta denna problematik i uppgift 15.
A Uppmuntra grupperna att välja olika längd på sina trådar. Kanske kan samma
grupp göra flera olika cirklar från samma medelpunkt. (Sådana kallas koncentriska
cirklar.)
Radie och diameter definieras här, men dessa begrepp finns inte med i kapitlets
mål, inte heller i uppgifterna som följer på nästkommande sidor.
B I texten och bilden visas hur stor del av ett varv som är 90º. Därmed får eleverna
lätt tag på svaren i uppgift 1-4.
1) halvt varv ger 180º
2) 180º + 90º = 270º
3) helt varv ger 360º
4) hälften av 1/4 varv = 1/8 varv, ger 45º
C Eleverna hittar säkert många saker som har 90 graders vinkel.
Diskutera gärna hur man ibland vet att en vinkel är rät, trots att den på avstånd eller i
visst perspektiv inte tycks rätvinklig. Se t.ex. vinklarna på suddgummit på s. 54 eller
ett hustak (foto finns i Prima Formula 4 s. 195).
Diskutera gärna om det finns flest vinklar i klassrummet som är 90º, 180º eller
360º. I matteböckerna ritar vi oftast ut en vinkelbåge mellan vinkelbenen för att
markera vilken vinkel vi menar:
Inomhus och i naturen finns inte dessa vinkelbågar utsatta, och därmed kan vi kanske
påstå att det finns oändligt många raka vinklar (180º) på golvet eller väggen.
8
Reflektionsförslag Aktivitet 1:2
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
Helt varv på klockan är 360º. Hur många grader är
3. a) 1/4 varv b) 1/8 varv c) 3/4 varv d 7/8 varv
4. a) 1/3 varv b) 1/6 varv c) 2/3 varv d 5/6 varv
5. Varför behöver man kunna uppskatta och mäta vinklar?
6. Vad behöver du lära dig mer om när det gäller vinklar?
Sidorna 10-11 (G-spår)
Här ”täcker” vi upp och följer upp Aktiviteten med en Teoriruta och uppgifter.
Av dessa är uppgift 8-9 och 13 samt 15 ”måluppgifter” (tidigare beskrivna under
rubriken Mål, delmål och måluppgifter). Motsvarande innehåll är tidigare
presenterat i Prima Formula 4 s. 167-171 och i samband med andra begrepp i
Prima Formula 5 s. 46, 55, 104 och 107-108.
På nästa sida finns ett utdrag ur Prima Formula 4 s. 171. Uppgifterna kan du
eventuellt använda som inledning till Teorirutan på s. 10. Uppgift 19-20 visar
tydliga exempel på att vinkelbenens längd inte påverkar vinkelns storlek. Uppgift
21 och 23 visar vad som menas med spetsig, rät och trubbig vinkel via olika
trianglar. Uppgift 22 kan vara lämplig som utgångspunkt för en diskussion kring
vad som menas med vinkel.
9
10
Teorirutan sidan 10 ger definitionen på rät, spetsig och trubbig vinkel. Den vinkel
som är 180º kallas för rak vinkel.
Uppgift 8-9. Ett helt varv på ett pariserhjul, vilket finns längst ned på sidan, är 360º.
Det spelar ingen roll om det handlar om ett stort hjul eller en liten klocka, det gäller
alla cirklar. Vi har i tidigare skolår använt oss av urtavlan, t.ex. i Prima Formula 4
s.170 och Prima Formula 5 s. 46. Progressionen i uppgift 9 är sådan att eleverna kan
utgå från uppgift a för att i uppgift b-c ”dubbla-hälfta”. Uppgift d får samma svar
som a, men i d finns den räta vinkeln på annat ställe på urtavlan.
Uppgift F10. Det står ”Ungefär hur stora är vinklarna …”. Detta ungefär finns där
för att man kan tveka kring om alla vinklarna (klyftorna) är lika stora i en riktig
apelsin. Låt gärna eleverna (hemma) undersöka hur många klyftor det är i en
apelsin, men ge då tipset att man kan se detta utan att skala den. Man kan nämligen
se antalet klyftor på det ställe där ”skaftet” suttit, och här är vinkelbenen korta.
Pariserhjulet på bilden är London Eye (faktaruta nedan). Kanske någon blir
intresserad av hur stor vinkeln är mellan två korgar på pariserhjulet. Om vi räknar
med att det finns 30 korgar så blir en vinkel 12º (360/30).
Pariserhjul
Ett pariserhjul är ett stort vertikalt monterat hjul som sakta roterar i
luften. Runt hjulet finns hängande gondoler för passagerare.
Ursprunget till benämningen pariserhjul som används i Skandinavien
är osäkert, men kan vara ett sådant hjul på världsutställningen i Paris
1900 (utdrag ur Wikipedia).
Bilden på sidan 10 är pariserhjulet London Eye
Lite om pariserhjul:
Lisebergshjulet i Göteborg invigt 2010, har diametern 60 m.
London Eye, d = 135 m.
Singapore Flyer, d = 165 m.
Uppgift 13b och 14b. Här kan eleverna kanske tveka på vilket som är rätt svar (C
och D). Kanske de inte ser att vinklarna i C är större än 90º, men då får de övertyga
sig genom att gå tillbaka till kvadraten som har räta vinklar och då inse att
regelbunden femhörning måste ha större vinklar. Regelbunden sexhörning har ännu
större vinklar. Ju fler hörn desto större vinklar och som följd av mönstret kan
eleverna kanske tycka att F (cirkeln) har oändligt många ännu större vinklar, kanske
180 graders vinklar? För att de elever som fört eller är intresserade av ett sådant
teoretiskt matematiskt resonemang, sätter vi ut även F som svar i facit, dock inom
tydlig parentes.
I uppgift 13b kanske eleverna diskuterar hur många symmetrilinjer som är
möjliga att dra i en cirkel. Svaret bör sluta i ”oändligt” många.
Uppgift 15. Vinkel K är störst, den är 45º. Här kan eleverna än en gång tro att
vinkelbenens längd inte har någon betydelse för vinkelns gradtal. Att L och M är
lika stora ska eleverna kunna se genom att M är samma som L, fast med lite längre
ben. Det bakomliggande rutnätet bidrar till att det blir enklare att jämföra vinklarna.
11
Uppgift 16. Skottvinkeln blir större och större ju närmare mållinjen bollen ligger.
På mållinjen är skottvinkeln 180º. Då är det omöjligt att missa? Kan skottvinkeln
vara större än 180º? Då har den ju passerat mållinjen och då är den redan i mål.
Diskutera även andra faktorer som har betydelse för om det ska bli mål eller inte,
t.ex. att det vid straff finns en målvakt i målet.
Låt gärna eleverna mäta och jämföra vinklarna på bilden.
Sidan 12 (G-spår)
Teorirutan här är en utvidgning av den som finns i Prima Formula 4 s. 165. Denna
gång introducerar vi även parallelltrapetsen.
I förlagets läromedelsserie Prima (år F-3) – Prima Formula (år 4-6) – Formula (år
7-9) för grundskolan har vi för tidigare skolåren Åsa Brorsson som författare. Hon
har i Nämnaren 2013:2 beskrivit ett bra sätt för eleverna att förstå de olika
fyrhörningarnas egenskaper:
Bland alla månghörningar kan man sortera ut de som har 4 hörn: fyrhörningar.
Bland dessa finns parallelltrapetser, där minst två sidor är parallella.
Bland dessa finns sådana där sidorna mitt emot varandra är parallella,
parallellogrammer.
Av dessa kan vi sen få fram romb, rektangel och kvadrat.
Åsas beskrivning kan du kanske använda vid diskussion om Teorirutan på s. 12.
Uppgift 17. Uppmärksamma gärna eleverna på att uppgiften gäller par av parallella
sidor. I parallellogrammen (romben) finns två par och i draken inget par.
Uppgift 18b. Att romben C har två lika stora spetsiga vinklar är klart, men även
lampskärmen B kan i två dimensioner, som likbent parallelltrapets, anses ha de två
basvinklarna lika stora.
__Ö2
På övningsblad 2 finns
uppgifter som anknyter
till s. 9-12.
Gruppledtrådar
6-1A och 6-1B
passar till s. 5-18.
Reflektionsförslag efter sidan 12
1. Ge exempel på vad du lärde dig på sidorna 9-12.
2. Hur stor är en vinkel i en regelbunden
a trehörning
b fyrhörning
c sexhörning
3. Rita en parallelltrapets med
a endast ett par parallella sidor
b endast ett par parallella sidor, och två lika långa sidor
c alla sidor lika långa
d alla sidor lika långa, och alla vinklar lika stora
4. Hur stor är vinkelsumman (summan av alla vinklarna) i en
a kvadrat
b rektangel
c romb
12
Sidan 13 (G-spår)
Aktivitet 1:3
A1 ”Rita en stor triangel …”.
Det är alltid intressant att höra elevers frågor kring hur stor triangeln ska vara. Vad
kan ligga bakom sådana frågor? Kanske är det för att eleverna
1. är rädda att göra fel eller få sämre resultat än andra grupper,
2. tror att arbetet tar längre tid om de ritar för stor triangel,
3. inte tror att de ska kunna jämföra sina svar (och dra slutsatser) om de ritar
trianglarna olika stora,
4. tycker att det är mer rättvist om alla gör lika.
Finns det elever som fortfarande ligger kvar i punkt 4, så är det hög tid att påpeka att
”rättvist” inte behöver vara både rätt och vist. Men låt gärna eleverna ligga kvar i
spänningen i punkt 3 genom att utmana med frågor kring detta:
- Så bra att grupperna har olika stora trianglar. Tror ni att ni då kan komma fram
till att ”ju större triangel, desto större vinkelsumma”?
Det kan också vara nyttigt att utmana deras tidigare kunnande: Vinkelbenens längd
har ingen betydelse för vinkelns storlek.
A2-3 ”Markera … och riv av … .”
Det är lättare att se vad som är vinkeln om man river av lite ”taggigt”, än om man
river av längs en rät linje. Då syns det tydligare hur de tre vinklarna kan sättas
samman och bilda en rak vinkel (180º).
B Här är det kanske ännu viktigare att ”riva” av hörnen för att rätt kunna pussla ihop
de fyra vinklarna och konstatera att de tillsamman utgör ett helt varv, 360º.
Uppmuntra gärna grupperna att välja fyrhörningar som inte är rektanglar, inte ens
parallelltrapetser. ( Se uppgift D och 21 d.)
C Hur ritar man en liksidig triangel?
Börja med att rita en bas. Använd tråd eller passare där du tar in måttet på basen som
radie.
Gör två bitar av cirkel med först ena ändpunkten på basen som medelpunkt och sen
andra. Där bågarna möts finns triangelns topp
Hur vet eleverna om de tre vinklarna A, B och C är lika stora?
1. De kan mäta med gradskiva
2. De kan riva av vinklarna och se att de precis täcker varandra.
3. De kan säkert känna på sig att det är rättvist att om sidorna är lika stora så bör
vinklarna också vara lika stora.
Punkt 3 gäller för regelbundna månghörningar, t.ex. kvadraten, men inte för alla
fyrhörningar. Diskutera därför gärna varför vinklarna i en romb inte behöver vara
lika stora, bara för att sidorna på romben är lika stora..
13
Grupperna kommer nog lätt på att varje vinkel bör vara 60º eftersom de tillsammans
är 180º.
D Om gruppen i uppgift C fått fram att ˄A = 60º, så kommer den också fram till att
˄B = 120º.
Reflektionsförslag Aktivitet 1:3
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
Helt varv på klockan är 360º. Hur många grader är
3. a) 1/4 varv b) 1/8 varv c) 3/4 varv d 7/8 varv
4. a) 1/3 varv b) 1/6 varv c) 2/3 varv d 5/6 varv
5. Varför behöver man kunna uppskatta och mäta vinklar?
6. Vad behöver du lära dig mer om när det gäller vinklar?
Sidan 14-15 (G-spår)
Teorirutan. I Aktivitet 1:3 har eleverna möjlighet att upptäcka vinkelsumman i
triangel och parallellogram laborativt. Teorirutan startar med en rektangel, där
eleverna, och kanske via uppgift 20, får reda på att var och en av vinklarna är 90º.
Alltså är vinkelsumman 360º, ett helt varv. Då bör även andra parallellogrammer ha
samma vinkelsumma. Vinkelsumman i en triangel är 180º, ett halvt varv.
När man utgår från vinkelsumman i triangeln kan man få en formel för
vinkelsumman i en n-hörning: (n – 2) ∙ 180º. Denna formel exemplifieras i uppgift
27.
Uppgift 21d. I Teorirutan står att alla fyrhörningar har vinkelsumman 360º, så då har
också denna parallelltrapets det.
Uppgift 22. ”Hur stor är en vinkel i en regelbunden trehörning?” Begreppet
regelbunden har definierats i Teorirutan på s. 7. I uppgift 22 blir det då klart att alla
vinklar är lika stora i en liksidig triangel. (Jämför med uppgift 2.)
Utmana gärna eleverna med uppgiften:
 Är vinklarna lika stora i en liksidig fyrhörning?
Det är de - om det gäller en kvadrat. Men om kvadraten knuffas till lite, så blir det en
romb med ett par spetsiga och ett par trubbiga vinklar. Denna ”knuff” kan visas
genom att fyra pappremsor sätts samman till en kvadrat med hjälp av påsnitar i
hörnen. Gör även en triangel med pappremsor och påsnitar. Eleverna upptäcker då att
en triangel är ”stabil” medan fyrhörningen inte är låst genom sammankoppling i
hörnen. För att en fyrhörning, t.ex. en trägrind, ska bli stabil krävs en bräda som
tillsammans med de övriga brädorna någonstans bildar en triangel.
14
Uppgift 23. ”En symmetrilinje har delat en liksidig triangel … .” Denna
symmetrilinje är triangelns höjd (s. 30). Uppgiften visar också på sambandet mellan
symmetri och regelbunden (s. 6-7).
Uppgift 24. Ännu en påminnelse om att vinkelbenens längd inte inverkar på
vinkelstorleken, och inte heller på vinkelsumman.
Uppgift 25. I a kan det vara svårt att se att vinkel D är störst. Detta kan visas genom
att vinkel D är större än vinkel C och att ˄C = ˄B. Att detta gäller beror på att
triangel C är en förminskning av triangel B (ungefär i skala 1: 1,8).
Samband mellan toppvinkel och basvinkel kan konkretiseras genom att visa en
eller flera av uppgifterna på s. 194 i Prima Formula 4, som du kan se på nästa sida.
15
Uppgift 26. ”Dessa tre trianglar är likbenta …”. Eftersom trianglarna är likbenta så
räcker det att ange en vinkel för att kunna bestämma övriga. Eleverna behöver inte
inse detta förrän i sista uppgiften.
Uppgift 27. Här passar vi på att, via facit, föra in eleverna i lite algebrasikt tänkande
inför kommande kapitel. Så här står det i Facit:
27a
Antal hörn:
3
4
5
6
Vinkelsumma:
180° 360° 540° 720°
b Vinkelsumman är antalet trianglar som månghörningen kan delas in i multiplicerat med
180 (triangelns vinkelsumma).
Om månghörningens antal hörn är n, så är vinkelsumman = (n – 2) ∙ 180º.
Reflektionsförslag efter sidan 14-15
1. Ge exempel på vad du lärde dig på sidorna 14-15.
2. Hur vet du att vinkelsumman i en triangel är 180º?
3. Du vet att vinkelsumman i en triangel är 180º. Hur
visar du då hur stor vinkelsumman i en
a rektangel är
b en parallelltrapets (uppgift 21d) är
c sexhörning är
4. I en likbent triangel är basvinklarna lika stora.
Toppvinkeln är dubbelt så stor som en basvinkel.
Hur stora är vinklarna?
5. I en likbent triangel är toppvinkeln hälften så stor som
en basvinkel.
Hur stora är vinklarna?
Kommentar till uppgift 4-5 ovan:
Uppgift 4 kan senare (i kapitel 3) lösas med ekvationen: 2b + b + b = 180.
Men nu får eleverna i stället använda strategin Gissa och kontrollera eller någon
annan strategi för att komma fram till svaren i uppgifterna:
4. 45º, 45º och 90º
5. 72º, 72º och 36º
Ö3
16
Sidorna 16-18 (G-spår)
Teorirutan. Här presenteras gradskivan och hur man använder den för att bestämma
vinklar och rita sådana. Gradskivan visar också, än en gång, att ett halvt varv är 180º.
Det finns även cirkulära gradskivor som är graderade upp till 360º, men sådana visas
inte i elevboken.
Uppgift 28-30. I uppgift 28 kan eleverna, på liknande sätt som i uppgift 25,
bestämma vinklarna i en likbent triangel där en vinkel är given:
˄B (º) = 180 – 2 ∙ 70 = 180 – 140 = 40.
Det är en god början för att kunna hamna på rätt avläsning med gradskivan, och inte
frestas att avläsa vid orimliga 140º.
För att eleverna ska känna sig säkrare på att avläsa på rätt skala kan dessa två
punkter hjälpa dem:
1) Är vinkeln större eller mindre än 90º?
2) Om vinkeln görs mindre och mindre så hamnar båda vinkelbenen till sist på
noll. Kan du nu kolla om du avläst rätt genom att vrida tillbaka vinkelbenet?
I uppgift 29 får eleverna möjligheter att se hur denna vinkel A kan växa från noll
och bli allt större (i gapet) ju mer locket öppnas. Detta är exempel på punkt 2 ovan.
I uppgift 30 finns en rät vinkel att utgå från och därmed blir det lättare att avläsa
rätt den spetsiga respektive trubbiga vinkeln.
Uppgift 31-32. I båda uppgifterna ska vinkelsumman bli 360º. Det är nog inte helt
enkelt för eleverna att avläsa alla vinklar i cirkeln eller parallelltrapetsen, så att
vinkelsumman blir exakt 360. Detta kan ge upphov till diskussion kring teori-praktik
och mätnoggrannhet med gradskiva.
Uppgift 33-35. I uppgift 33 kan eleverna se hur lätt det är att känna igen 45 graders
vinklar på rutat papper. Vidare får de se hur 45 och 135 grader hör ihop (halvt varv)
samt 60 och 120. I uppgift 34-35 återkommer dessa samband.
Uppgift 36. Vi använder oss ofta av rätvinkliga trianglar där sidorna är heltal, t.ex:
3, 4 och 5 eller förstoringar till 6, 8 och 10 osv.
5, 12 och 13 eller förstoringar.
I uppgiften har vi inte skrivit ut att det är de två korta sidorna (kateterna) som är 6
respektive 8 cm, men vi hoppas eleverna uppfattar uppgiften på så sätt att de först
ritar en rät vinkel och sedan sätter ut längderna på vinkelbenen till 6 och 8 cm.
Teoretiskt blir då vinklarna ungefär 36,87º respektive 53,13º. I facit är svaret givetvis
avrundat till heltal.
Om någon elev skulle sätta längsta sidan (hypotenusan) till 8 cm så får de helt
andra vinklar: ungefär 48,59º respektive 41,41º. Den kortaste sidan blir då ungefär
5,3 cm.
Uppgift 37-38. Båda uppgifterna återknyter till uppgift 33-34 med gradtalen 60 och
120. I uppgift 38 kan längderna på de parvis parallella sidorna anta vilken längd som
helst. I facit står det därför ”T.ex.”. Eleverna bör upptäcka sambandet mellan uppgift
37c och 38.
17
Uppgift 39. I uppgift a kan eleverna uppskatta vinkeln till ”lite mindre än 45 grader”.
Vi skriver detta inom parentes i facit och sätter ut 40º med ett frågetecken efter. Även
en mätning med gradskiva ger ungefärliga svar eftersom alla klyftor inte är lika stora
i verkligheten.
Angående antal klyftor, se kommentarer till uppgift 10 tidigare i kapitlet.
Reflektionsförslag efter sidan 16-18
1. Ge exempel på vad du lärde dig på sidorna 16-18.
2. Vad tycker du är viktigt när du använder gradskiva och ska
a) mäta en vinkel
b) rita en vinkel
3. Hur kan du på rutat papper rita en vinkel som är
a) 45º b) 135º
4. Vilken nytta kan du ha av att bestämma vinklar
a) med gradskiva b) utan gradskiva
Ö4
Sidan 19 (G-spår)
Aktivitet 1:4
A-B Uppmuntra gärna eleverna att storleksmässigt rangordna föremålens omkrets respektive
area innan de gissar. När de gissar och mäter är det intressant att se vilken/vilka enheter de
väljer.
C-D I Matematiktermer för skolan definieras omkrets och area så här:
Omkrets, synonym perimeter, (hos en sluten kurva) kurvans längd
Area, storlek hos en yta
Eleverna har tidigare arbetat med omkrets och area, t.ex. i Prima Formula 4 s. 178-186. Nu är
det intressant att se hur de visar för varandra vad omkrets och area är och om och varför
figurerna A-C inte har någon area. Varför har figur D och E omkrets och area och inte A och
B? D och E är ju bara ritade med en lite tjockare pensel.
Ge gärna eleverna rätt i en argumentation som ovan, men när vi i matematiken ritar linjer
så som i A-C, så menar vi att det är linjer som inte har någon bredd. I Matematiktermer för
skolan definieras linje så här:
Linje, synonym kurva, endimensionellt geometriskt objekt.
Figurerna A-C är alltså 1-dim och D-F är 2-dim (i nästa kapitel kommer 3-dim).
I Prima Formula 4 s. 40 citerar vi en (tydligare?) definition från år 1774:
”Linea är en längd utan bredd.”
Figur C kunde blivit 2-dim om ändpunkterna mött varandra och figuren blivit en sluten kurva.
Figur F har omkretsen 5 cm och arean 4 rutor eller 1 cm2.
E Pratbubblorna 2 och 4 är rätt. De andra två representerar vanligt förkommande fel.
18
Reflektionsförslag Aktivitet 1:4
1 Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2 Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3 Vad menar du med
a) area
b) omkrets
c) sträcka
d) linje
e) punkt
4 En vägsträcka har area, då vägen har både längd och bredd.
Varför har denna sträcka ingen area?
5 Asfalten på vägen har en viss area. Kan man säga att bokstaven L har area?
Den kan ju ha olika mycket trycksvärta.
L L LL
Sidan 20 (G-spår)
Omkrets och area har tidigare presenterats, t.ex. i Prima Formula 4 s. 178-186.
Uppgift 40. Alla månghörningarna A-C har samma omkrets. Detta är ett klassikt
problem som ofta dyker upp i nationella provsammanhang. I Prima Formula 4 s. 165
ser motsvarande uppgift ut så här:
Uppgift 41. För att komma fram till att kvadraten F har arean 8 rutor kan eleverna
räkna hela och halva. Även strategin Rita hjälplinjer och Flytta delar av rutor
fungerar bra. Den sistnämnda strategin användes i flera uppgifter i Prima Formula 5
med början på sidorna 47-48.
Uppgift 42c. I facit skriver vi så här:
Där är fler än 9 rutor. Det ser du genom att räkna hela rutor och delar av rutor. Du kanske också
vet att när omkretsen är samma för ett par regelbundna månghörningar, så har den med flest hörn
störst area.
Om eleverna vill ha reda på hur stor arean verkligen är så kan du veta att man efter
en del matematiska beräkningar kanfå resultatet: 6  3 cm2 ≈ 10,4 cm2.
Om eleverna själva vill beräkna den så kan de göra det genom att dela in
sexhörningen i en rektangel i mitten, med basen 2 cm och höjden (nästan) 3,5 cm
samt en triangel på vardera sidan. Dessa två trianglar kan föras samman till en
rektangel med basen 1 cm och höjden 3,5 cm. Arean (cm2) = 2 ∙ 3,5 + 1 ∙ 3,5 = 10,5.
Eleverna har arbetat med areaberäkningar tidigare, men i denna elevbok kommer
dessa officiellt först på sidan 23.
19
F Uppgift 44. I facit skriver vi så här:
F44 a Ungefär 6 cm2 (mindre än 6 cm2)
b Omkrets är hur långt det är ”runt om”. Area är innehållet i figuren, t.ex. antal rutor eller
kvadratcentimeter.
Om eleverna får hjärtats area till 5 cm2 så är detta också ett utmärkt svar.
I Matematiktermer för skolan definieras omkrets och area så här:
Omkrets, synonym perimeter, (hos en sluten kurva) kurvans längd
Area, storlek hos en yta
Yta, tvådimensionellt geometriskt objekt
Före 1969 använde läroböckerna ordet yta även för att ange storleken på ytan, alltså
arean. Man fick säga ”Beräkna ytan”. Ordet areal har vi använt länge när det gäller
landarea.
Sidan 21 (G-spår)
Teorirutan. Prioriteringsreglerna presenteras här och på s. 32.
Moa (M som i multiplikation) och Paula (P som i parentes) skriver O (cm) = … med enheten
inom parentes, för att slippa skriva ut enheterna i varje led. Detta visar vi med förhoppningen
att eleverna lättare kan undvika ”likhetsteckenfel”. Om Paulas uttryck jämförs med Moas kan
man se exempel på hur distributiva lagen fungerar: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Uppgift 45. Tidigare har vi kallat rektangelns sidor för längd respektive bredd, t.ex. i
Prima Formula 4 s. 180. Från och med uppgift 45 övergår vi till de mera korrekta
benämningarna bas respektive höjd. Dessa passar bättre då vi på kommande sidor
arbetar med trianglar och parallellogram samt i nästa kapitel med 3-dim objekt.
I Lärarhandledningen för bok 4 på s. 159 finns en lång diskussion kring
problematiken med benämningar av typ längd-bredd-höjd.
Uppgift 46-48. I uppgift 46 har eleverna möjlighet att upptäcka vikten av att beräkna
i samma enhet. Fel kan uppstå vid deras beräkningar i uppgift a-b, men via
”självreglering” i uppgift c kan detta rättas till.
För säkerhets skull låter vi Felex göra sådant fel i uppgift 47.
I uppgift 48d påminns eleverna igen om vikten att välja samma enhet.
I facit anger vi svaren i båda enheterna.
Reflektionsförslag efter sidan 20-21
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Sidorna i rektangeln i uppgift 45 kallas bas och höjd. Vad har
du tidigare använt för namn på sidorna?
3. Felex har inte sett reglerna i Teorirutan sidan 21 och beräknar
då så här. Felex: 6 + 4 ∙ 3 = 10 ∙ 3 = 30.
Vilket är felet och vilket är rätt svar?
4. Se uppgift 47 där Felex också gör fel. Visa hur det kan bli rätt
genom att lösa uppgiften på flera olika sätt, som är lika rätt.
a) O = 10 cm + 1,5 cm + …
b) O (cm) = 10 + 1,5 + …
c) O (cm) = 2 ∙ (10 + 1,5) = …
Ö5
Gruppledtrådar
6-1C och 6-1D
passar till s. 19-28.
20
Sidan 22 (G-spår)
Aktivitet 1:5
A-B Eleverna ska här få uppfattning om skillnaden i storlek gällande cm2, dm2 och
m2. I de första uppgifterna kan de upptäcka eller bekräfta principen för enhetsbyten
(teorirutan s. 25). Förhoppningsvis lockas de att göra konkreta areamätningar med
hjälp av de utklippta kvadraterna, så att de känner av de två dimensionerna i
areabegreppet. Senare ska eleverna, precis som vi vuxna, göra sina areauppskattningar och beräkningar genom att titta på längd/bas och bredd/höjd. Att
uppskatta area på det viset fungerar mestadels endast för rektangelformade områden.
Därför är det nyttigt att även träffa på andra månghörningar och icke-månghörningar,
så som eleverna gör på s. 20 och 29-32.
C Här kommer även enheten mm2 med. I figur C kommer det sedvanliga enhetsbytet
1 cm2 = 100 mm2 och vid övriga figurer finner eleverna flera andra enhetsbyten.
Reflektionsförslag Aktivitet 1:5
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Hur tänker du när du gör enhetsbyten av typ
a) 1 cm2 = _ mm2
b) 3 cm2 = _ mm2
c) 1,5 cm2 = _ mm2
d) 1 m2 =
_ dm2
e) 1 m2 =
_ dm2 =
_ cm2 =
_ mm2
4. Varför har man valt att skriva just en tvåa (2) lite upphöjt, t.ex. m2?
5. Hur tänker du när du ska uppskatta arean av
a) en sida i din mattebok
b) din tumnagel
6. Hur tänker du när du ska mäta och beräkna arean av
a) en sida i din mattebok
b) din tumnagel
Sidan 23-24 (G-spår)
Teorirutan. På sidan 21 tog Teorirutan upp olika sätt att beräkna omkrets. Nu visar
vi två olika sätt att redovisa areaberäkningar. Det första har enheten cm inuti
multiplikationen: A = 3 cm ∙ 3 cm = 9 cm2.
Det andra har enheten skriven inom parentes, endast på ett ställe:
A (cm2) = 32 = 3 ∙ 3 = 9.
På detta sätt ser vi lättare varför areaenheten tecknas cm2, och att s2 kan kallas ”s i
kvadrat”. (Se reflektionsuppgift 4 ovan.) Eleverna har tidigare kunnat se
potensuttryck, t.ex. i Prima Formula 5 s. 24, och sådana återkommer senare i kapitel
3, t.ex. på sidan 113.
Enhetsbyten, som eleverna arbetat med i Aktiviteten, följs upp först på sidan 25.
21
Uppgift 49-50. Dessa är lämpliga delmålsuppgifter när det gäller att kontrollera
elevernas kunskaper gällande rektanglar. Med dem kan du se om eleven kan:
 mäta och beräkna arean
 rita rektangel med givet mått
 skilja på omkrets och area
 sätta ut rätt enheter
 redovisa lösning så som i typ1 eller 2 ovan, eller på annat lämpligt sätt
Uppgift 54. Här har vi valt mätetal på bas och höjd sådana att när de multipliceras
med varandra, det lätt blir ”en nolla för lite”. Detta arbetade vi mycket med i Prima
Formula 5, t.ex. sidan 20.
Rutan nedan är hämtad från Lärarhandledning 5, s. 34.
Vi kallar felet för ”en nolla för lite”.
I Teorirutan kan vi se sviten med 6 ∙ 60, 60 ∙ 60 osv. Vi bygger på
denna genom att låta andra faktorn bestå av talet 50 och kan då
kontrollera att vi har rätt antal nollor i högra spalten, även genom
jämförelse med svaren i vänsterspalten.
6 ∙ 60 = 360
6 ∙ 50 = 300
60 ∙ 60 = 3 600
60 ∙ 50 = 3 000
600 ∙ 60 = 36 000
600 ∙ 50 = 30 000
6000 ∙ 60 = 360 000
6000 ∙ 50 = 300 000
Vi kan också tydliggöra antalet nollor med hjälp av understrykning:
6000 ∙ 60 = 360 000
6000 ∙ 50 = 300 000.
Dock, när eleven själv beräknar 6000 ∙ 50 dyker det ofta upp fel:
”6 gånger 5 är 30 och så ska där vara 4 nollor, alltså 30 000.”
Detta fel kallar vi i fortsättningen för ”en nolla för lite”. Det dyker
endast upp vid multiplikationer av typ: 2 ∙ 5, 4 ∙ 5, 6 ∙ 5 och 8 ∙ 5.
Vi har tidigare i P Formula 4 s.131 uppgift 45 uppmärksammat detta.
Uppgift 55c visar på hur man kan multiplicera med två faktorer genom att halvera
ena och dubblera den andra. Den är här en naturlig följdfråga till uppgift a-b och kan
nu förklaras med att rektangeln får samma area om ena sidan halveras och andra
dubbleras. Omkretsen ändras dock, vilket framkommer i nästa uppgift och på s. 2728.
Eleverna kan utmanas genom att få i uppgift att, utan miniräknare, lösa uppgiften
2,25 ∙ 16, vilken är en fortsättning på 55c.
Vi har tagit upp huvudräkningsmetoden ”halvera-dubblera”, t.ex. i Prima Formula
5 s. 22 uppgift 63b. Det såg ut så här:
63b Hugo ”halvera-dubblerar”: 2 600 ∙ 50 = 1 300 ∙ 100 = _______
Vilket svar får han?
Uppgift 56 visar precis som föregående uppgift att arean är samma om bas och höjd
halveras respektive dubbleras. Den visar också, lite dolt, att 6 cm2 = 600 mm2.
Uppgift 57 testar om eleverna kan uppskatta storlek på area.
22
Reflektionsförslag efter sidan 23-24
1 Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2 Hur vet du hur stor area en kvadrat har om sidan är 9 cm?
3 Hur vet du hur lång sidan i en kvadrat är om arean är 100 cm2?
Titta på mm-rutnätet till höger om uppgift 56.
4 Vilken area har hela rutnätet?
5 Cesar beräknar hur stor area som inte är färglagd i rutnätet.
Hur fortsätter han skriva och vilket svar får han?
Cesar: Area ofärgad (cm2) = 7 ∙ 5 – 2 ∙ 6 = …
Sidan 25 (G-spår)
Teorirutan visar bilder på 1 cm2 och 1 mm2 i verklig storlek, men det är viktigt att
uppmärksamma att de andra två bilderna på areaenheter är betydligt större i
verkligheten. Om eleverna inte gjort Aktivitet 1:5 A-B, så gör den gärna nu eller visa
upp storleken på enheterna kvadratmeter och kvadratdecimeter.
Uppgift 59. Låt gärna eleverna mäta Formulabokens bas och höjd i millimeter eller
centimeter och beräkna arean med miniräknare för att se om produkten avrundat på
lämpligt sätt ligger någorlunda nära 4 dm2.
Uppgift 61. Det står ”TV-skärmens area, 40 tum, är 50 dm2.” Att teven är på 40
tum betyder att diagonalen är 40 tum ≈ 10 dm. Arean kan man då få som
”diagonalen gånger diagonalen dividerat med två”, vilket ger 50 dm2.
Uppgift 62. Här ser enhetsbytet ut så här:
2,2 m2 = 220 dm2. (Vanligt fel: 2200 ”sätter till 2 nollor”.)
I föregående uppgift såg enhetsbytet ut så här:
50 dm2 = 5000 cm2. (Vanligt fel: 500 ”nu är där 2 nollor”.)
Med dessa risker för feltänk, kan uppgifterna tjäna bra som kontroll av
måluppfyllelse.
Uppgift 63c. Denna uppgift går ett steg längre än Aktivitet 1:5 uppgift B2.
Uppgift 64-67. I uppgift 64 a-b upptäcker kanske eleven att andra faktorn är
dubblerad. I 65 a-b är andra faktorn tio gånger större. I 66 b-c är första faktorn tio
gånger större. I uppgift 67 finns en progression som gör även d-e lättare att lösa.
Ö6
Reflektionsförslag efter sidan 25
1. Ge exempel på vad du lärde dig på denna sida.
2. Hur tänker du när du gör dessa enhetsbyten?
a) 2,5 m2 = _ dm2
b) 20 m2 = _ dm2
c) 2 m2 =
_ cm2
d) 20 000 mm2 = _ dm2
e) 1 m2 =
_ mm2
2
f) 1 km = _ m2.
3. Varför blir det lika många nollor i 2f som i 2e?
23
Sidan 26 (G-spår)
Aktivitet 1:6
Aktivitet 5:7 i Prima Formula 4, s. 182 har ett liknande innehåll.
A 1-2. Grupperna har förhoppningsvis olika långa trådar, enligt ”3-4 dm”. (Se
kommentarer till Aktivitet 1:3, där grupperna ritade olika stora trianglar.) Om
grupperna har olika långa trådar blir det lättare för eleverna att dra ”generella”
slutsatsen för alla längder på trådar, med konstant omkrets. Eleverna ska upptäcka att
störst area hos månghörningar med
 3 hörn har den liksidiga triangeln
 4 hörn har kvadraten
Dessa två månghörningar är regelbundna månghörningar och bland sådana kan man
konstatera att ju fler hörn desto större area (och cirkeln har större area än en
regelbunden 100-hörning). På sidan 34 får eleverna åter bearbeta detta i Lösa
problem.
A3. Denna uppgift förbereder för nästkommande två sidor. Det handlar framför allt
om rektanglar med heltalsmått på bas och höjd. Uppmana gärna grupperna att göra
tabell där de kan fylla i alla heltalsvärden. Då upptäcker de mönster och kan se hur
arean i tabellen växer för deluppgifterna från 32 till 35 till 36 cm2.
B. Här undersöker eleverna vilken rektangel som har minst omkrets, med en given
konstant area, som är 12 cm2. Förhoppningsvis kommer de fram till att rektangel
med måtten 4 cm x 3 cm har minst omkrets.
Kanske någon grupp frågar om de får klippa i sina 12 rutor (annars kan du kanske
föreslå det). När sådana frågor kommer upp kan det vara bra att kommentera det med
t.ex:
 Varför vill ni det? Hur vill ni klippa?
 Vilket resultat tror ni att ni kommer fram till?
 Om ni kan upptäcka eller lära er något genom att klippa sönder några rutor,
så ska ni naturligtvis göra det.
Om vi i uppgiften, i stället för 12 valt kvadrattal som 9, 16 eller 25, så hade eleverna
inte kunnat upptäcka lika mycket. Med arean 12 cm2 blir minsta möjliga omkrets för
fyrhörningen en kvadrat med sidan (cm) = 12  3,464
C1 I Prima Formula 5, s. 53 finns uppgifter som bygger på proportionerna på A4papper och där anges att korta sidan (basen) är 210 mm. Uppmana gärna eleverna att
mäta sitt A0-papper (”A noll”) i millimeter och använda miniräknaren för att
beräkna. För eleverna är det svårt att mäta bas och höjd på fyra papper som ska ligga
sida mot sida, och därför kommer de fram till lite olika värden. De teoretiska värdena
är 841 ∙ 1189 = 999 949. Arean är alltså 999 949 mm2 = 99,9949 dm2. Avrundat till
hela kvadratdecimeter blir det då: 100 dm2 = 1 m2.
Diskutera gärna hur 100 dm2 kan se ut. Om arean ska vara exakt så kan sidorna
t.ex. ha måtten (dm): 10x10, 5x20 och 2,5x40. Hur noga man än mäter ett A0-papper
kan man aldrig få till en produkt som ger exakt 100 dm2 = 1 m2.
24
På ett paket med vanliga A4-papper brukar det stå 80 g/m2. Eftersom det går 16
A4 på ett A0 så väger ett A4-papper (g): 80/16 = 5. Det finns A4-papper med annan
tjocklek och då kan det t.ex. stå 70 g/m2. Fördelen att arbeta med just ”80 gramspapper” är att tjockleken är precis 0,1 mm. En sådan aktivitet beskrivs i
Lärarhandledning 4 s. 53 under rubriken FÖRHANDLA, om en miljon A4-papper.
C2 På nätet kan eleverna få fram mycket information. I textrutan nedan har du lite
historisk och matematisk bakgrund.
A4-papper. Bakgrund och användbarhet.
Något år efter revolutionen 1789 infördes metersystemet i Frankrike. Eftersom
tryckkonsten också var aktuell tillsatte man en kommitté som skulle underlätta för
sådan pappershantering. Man kan se i förslaget att man tänkte både på
metersystemet och på den fördel som likformighet (proportioner mellan bas och
höjd på papper) kan bidra med i tryckerikonsten.
a) Ett rektangulärt grundformat, numera kallat A0 (A noll) ska ha arean 1 m2.
b) Genom att dela A0 mitt itu får man nästa format, A1. Grundformatet ska ha
ett sådant förhållande mellan bas (b) och höjd (h) så att A1 blir likformig
med A0.
c) På samma sätt delas A1 till två lika stor A2 osv.
Förlaget glömdes bort, men idén återupptogs i Tyskland på 1920-talet och i
Sverige bestämdes vid en postkongress 1924 att brevkort skulle ha formatet A6
(samma format som våra röstsedlar). Först 1947 bestämdes att våra officiella
papper skulle bygga på A-formatet. (Metersystemet infördes i Sverige 1878.)
Vilken matematik låg bakom, eller får man ut av, punkterna a-c ovan?
För att ett papper i serien ska vara likformigt (samma form) med nästa papper i
serien, och dessutom vara dubbelt/hälften så stort, så räknade man ut att
förhållandet mellan höjd och bas skulle vara roten ur 2. h/b = 2 ≈ 1,414.
För att A0 pappret skulle ha arean 1 m2 måste måtten då bli 841 mm x 1189 mm.
När A0 halveras får vi två A1 med måtten 594 mm x 841 mm. Efter 4 halveringar
får vi A4 med måtten 210 mm x 297 mm, och det går då 16 A4 på ett A0.
När vi delar ett A4 på mitten så får vi två A5-papper.
När vi delar ett A5 så får vi två A6-papper.
För alla i denna serie och för många böcker och tidningar
gäller att h = b ∙ 2 , dvs. förhållandet är ung. 1,4.
25
Reflektionsförslag Aktivitet 1:6
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Reza har en hopbunden tråd.
a) Han lägger regelbundna månghörningar, med 3-6 hörn. Vilken
har störst area?
b) Kan han få ännu större area om han lägger en cirkel?
4. Vilken rektangel har minst omkrets om arean ska vara
f) 9 cm2
g) 16 cm2
h) 20 m2
5. Ett vanligt A0-papper väger 80 g, har arean 1 m2 och har måtten
(mm): 841x1189. Det behövs 16 A4 för att lägga ett A0. Använd
miniräknare och dessa fakta när du löser uppgifterna.
a) Hur mycket väger ett A4-papper?
b) Hur stor area har detta?
c) Vilka värden får du på bas och höjd? Stämmer detta när du mäter
med linjal?
6. Om du viker ett A4-papper så får du ett A5. Vik en gång till och du
får ett A6. Hur kan du visa att alla har samma form?
Sidan 27-28 (G-spår)
Uppgift 65-69. Uppgift 65 och 67 innehåller vanliga beräkningar av omkrets och
area. De ligger också med som exempel på rektangel som förekommer i respektive
tabell för delmålsuppgifterna 66 (rad 2) och 68 (rad 2).
I uppgift 66 finns delfrågor som ledtrådar för att tolka tabellen, med liten speciell
knorr i d-uppgiften. Diskutera gärna hur en sådan rektangel ska se ut som har basen 6
cm och höjden 0 cm. Den ska fortfarande ha omkretsen 12 cm, och har då två
parallella sidor på 6 cm som ligger utan något avstånd mellan sig. Är detta möjligt?
Man kan kanske tänka sig en rektangel med basen 5,9 cm och höjden 0,1 cm, och
göra denna höjd allt mindre.
I uppgift 69 ser eleverna att a och b får samma svar, självklart eftersom 3x4 = 4x3.
De kan då misstänka att det finns en kvadrat som har större area, nämligen den med
sidan 3,5. När de i uppgift c ritar denna kvadrat kan de genom att flytta halva rutor
beräkna arean utan miniräknare. Mer om detta på s. 48 uppgift 141. Uppgift 69c följs
upp av uppgift 72. Uppgift d följs upp med mera generell slutsats i uppgift 73.
Uppgift 70-73. I uppgift 70 är det arean som ska hållas konstant, i uppgift 71 kan
eleverna upptäcka att kvadraten med minsta omkrets och heltalsmått är möjlig om
arean består av mätetal som är ”kvadrattal”. (Se Reflektionsuppgift 4 ovan.)
Uppgift 72b följer alltså upp uppgift 69c. Tabellen visar värden så långt att
eleverna kan misstänka att det finns en kvadrat med måtten 4,5x4,5 mellan 5x4 och
4x5.
26
Uppgift 73 generaliserar det vi arbetat med och på dessa sidor bara rektanglar.
Mera generellt gäller att regelbundna månghörningar har störst area, och större ju fler
hörn de har. Detta kommer att exemplifieras och verifieras på s. 34.
Reflektionsförslag efter sidan 27-28
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Titta på uppgift 66d.
a) Hur ritar du en sådan rektangel?
b) Förklara via tabellen varför svaret blir så.
3. Två rektanglar har samma omkrets. Hur kan du se vilken som har
störst area?
4. Omkretsen på en rektangel ska vara 26 cm. Vilken är största
möjliga area om
a) rektangelns sidor måste vara heltal
b) rektangeln ska vara en kvadrat
…
Ö7
Gruppledtrådar
6-1E och 6-1F
passar till s. 29-34.
Sidan 29 (G-spår)
Aktivitet 1:7
A 1 Här kan eleverna flytta rutor eller räkna på halva rutor.
A 2 Här kan eleverna flytta rutor eller räkna på hälften av två rutor.
B Efter att gruppen visat att ”figurerna har samma area”, så bör detta också
formuleras, ungefär som på nästa sida, Area (parallellogram) = b ∙ h.
C Här får eleverna genom att de klipper i rektangelns diagonal två lika stora
rätvinkliga trianglar. Kanske drar de slutsatsen att arean av en triangel är ”hälften av
bh
rektangelns”. Detta kan skrivas som A triangel =
2
D Här får eleverna markera en punkt på valfritt ställe på rektangelns långsida.
Uppmuntra dem att prova placera punkten på olika ställen. Om punkten markeras i
något av de övre hörnen så blir uppgiften likadan som föregående. Ibland har elever
svårt att inse att den stora triangeln har samma area som de två mindre har
tillsammans. Be dem då att täcka den stora med de två små. Ännu svårare kan det
vara att dra slutsatsen att den stora triangelns area är hälften av rektangelns, ”vi har
ju tre trianglar”.
27
Reflektionsförslag Aktivitet 1:7
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Hur skulle du för någon som inte gjort Aktiviteten visa att arean av
a) en parallellogram alltid är: basen gånger höjden (b ∙ h)
bh
b) en triangel alltid är
2
4. Rita en trubbvinklig triangel, t.ex. sådan som denna,
men större.
Sätt ut bas (b) och höjd (h) och
visa hur du kan beräkna arean.
5. Rita en likadan trubbvinklig triangel,
men vrid den så att längsta sidan blir bas.
Visa hur du på ett annat sätt kan beräkna samma area.
Sidan 30-31 (G-spår)
Teorirutan visar först hur arean av en rätvinklig parallellogram (rektangel) kan
beskrivas med en formel och därefter samma sak för en icke rätvinklig
parallellogram. Dessa två (röda respektive blå) används sedan för att delas i två delar,
och därmed ge formeln för en triangels area.
Uppgift 74. Detta är ett sifferexempel på uppgift D i Aktiviteten på föregående sida
och som avslöjar om eleven förstått principen. Tack vare höjdlinjen kan eleverna i
denna figur se att lilla respektive stora vita triangeln motsvaras av likadana gröna.
Uppgift 75. I uppgift a är triangeln rätvinklig, vilket kan inspirera till att i b dela in
hela gröna triangeln i två rätvinkliga trianglar och därefter addera deras areor.
1 3 4  3
A (cm2) =

 1,5  6  7,5
2
2
53
Uppmuntra till att jämföra med resultatet av A (cm2) =
 7,5
2
Uppgift 77c. Felex gör ett vanligt förekommande fel, som är ännu vanligare om
inte måtten står utsatta utan man själv måste mäta.
Uppgift 78b. Kortsidan i parallellogrammen är teoretiskt (cm): 3  2  4,24
Teoretiskt blir då omkretsen ≈ 24,48 cm.
1) Den elev som mäter kortsidan till 4,2 cm får omkretsen till 24,4 cm. Efter
avrundning till hela centimeter blir svaret 24 cm.
2) Den elev som mäter kortsidan till 4,3 cm får omkretsen till 24,6 cm. Efter
avrundning till hela centimeter blir svaret 25 cm.
3) Den elev som mäter eller anger i hela centimeter kortsidan till 4 cm får
omkretsen till 24 cm.
Alla tre fallen får rätt i facit: b ungefär 24 eller 25 cm
28
Uppgift 79-80. I uppgift 79b kan är höjden (4 cm) dragen i den trubbvinkliga
triangeln. Här kan eleverna lätt göra Felexfel, precis som i uppgift 77, om de
felaktigt räknar basen till 8 cm.
I uppgift 79c har vi roterat triangeln från uppgift 79b. Här ligger längsta sidan
vågrät vilket kanske inspirerar eleverna att använda den som bas. Dock finns
varken bas eller höjd angivna. Om eleverna ritar en sådan triangel och själva mäter
vad som behövs, så väljer de nog gärna att mäta på denna bas och höjd.
I uppgift 80 är längsta sidan och höjden mot den längsta sidan angivna.
Dessutom finns måtten på den rätvinkliga triangelns kateter. Därmed finns två olika
sätt att beräkna arean.
Reflektionsförslag efter sidan 30-31
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Titta på uppgift 74. Hur vet du att den vita triangelns area är 15 cm2?
3. Rita en parallellogram med basen 9,0 cm och höjden 6,0 cm.
a) Vilken area har parallellogrammen?
b) Mät vad du behöver och beräkna omkretsen.
c) Rita dit längsta diagonalen.
Du har nu två trianglar
Vilken area har en sådan triangel?
9 cm
4. I den stora rätvinkliga triangel är
sidorna 3 cm, 4 cm och 5 cm.
a) Beräkna arean.
b) Hur lång är höjden h?
h
Sidan 32 (G-spår)
Teorirutan. Här finns prioriteringsregler med exempel som bygger på
månghörningar på liknande sätt som i Teorirutan på sidan 21. Om eleverna slipper
redovisa så gör de nog areaberäkningarna rätt utan att tänka på prioriteringsregler. De
beräknar den blå rektangelns area för sig och den röda för sig. Därefter adderar de
dessa. Diskutera gärna hur deras vardagstänk stämmer med prioriteringsreglerna, så
blir dessa kanske mer naturliga.
Uppgift 81-82. I facit har vi för skrivit ut hela uträkningen på samma sätt som i
Teorirutan, för att eleverna ska kunna utveckla både förmågan att redovisa och att
känna igen prioriteringsreglerna.
Uppgift 83-84. Här finns lösningar redovisade och eleverna ska bara se till att
använda prioriteringsreglerna rätt. Felexfelet vid 8 + 2 ∙ 5, där han först adderar 8 +
2, kan du uppmärksamma genom att visa hur lätt man kan gå i fällan:
Säg att ni ska ha lite huvudräkning och att eleverna håller upp handen så länge de
kan svaret. Börja med, långsamt säga:
Nittiosju… plus … tre … gånger … två
29
Här uppfattar eleverna, helt riktigt, att man tar 97 + 3 = 100, därefter 100 ∙ 2 = 200.
Man kan anteckna på två sätt:
97 + 3 ∙ 2 = 103
Eller:
(97 + 3) ∙ 2 = 200
Man kan också dra slutsatsen att denna typ av huvudräkning är vilseledande?
Reflektionsförslag efter sidan 32
1. Ge exempel på vad du lärde dig på denna sida.
2. Paula håller på att beräkna: 12 + 2 ∙ 5 = …
a) Vilket svar bör hon få?
b) Hon skriver en räknehändelse till detta:
- Du handlar en juice för 12 kr och 2 bullar för vardera 5 kr.
Vad får du betala?
c) Beräkna (12 + 2) ∙ 5 = …
d) Skriv en räknehändelse till detta.
400
e) Beräkna 2 ∙ 60 +
 ...
2
f) Skriv en räknehändelse till detta.
Ö8
Sidan 33-34 (G-spår) Lösa problem
Problemlösningsstrategier
De problemlösningsstrategier vi arbetar med i Prima FORMULA 4-6 kan vara till
god hjälp vid lösning av många problem, och kan formuleras så här:
1. Upptäcka mönster
2. Göra tabell
3. Rita bild
4. Gissa och kontrollera
5. Leta systematiskt
6. Granska villkoren
7. Börja bakifrån
8. Rita hjälplinjer och flytta delar
9. Använda ekvation
10. Förenkla problemet
Strategi 1-8 förekom redan i Prima FORMULA 4 och 5. De återkommer i denna
bok i andra situationer.
(Fortsättning på lärarhandledningen lägger vi upp på hemsidan
efter hand. Där hittar du även facit och gruppledtrådar.
Vill du tala med någon gällande Prima FORMULA, ring
redaktören Ewa Ekdahl på Gleerups: 040-20 98 63)
30