Tentamen i
Signal- och bildbehandling TSBB03
Tid:
2005-06-02 kl. 8-12
Lokal:
Kårallen
Ansvarig lärare:
Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 10.45.
tel 073 - 804 38 67
Hjälpmedel:
Räknedosa, medskickad formelsamling,
OH-film, sax och följande tabeller:
Svärdström: Appendix till Signaler och system,
Söderkvist: Formler och tabeller,
Beta,
Physics Handbook
Betygsskala:
25-35 poäng betyg 3
36-46 poäng betyg 4
47-60 poäng betyg 5
Betygslista:
Anslås senast 16/6
1
Ledning:
Jag hoppas att det inte är om tid på tentan, men jag är inte säker.
Räkna därför de uppgifter ni känner er säkra på först!
Lycka till!
2
1
Rotation och interpolation (6p)
a) Bilden f (x, y) ska roteras medurs 20◦ . Beräkna värdet på pixeln markerad
med frågetecken (?) i utbilden g(x, y). Värdet ska erhållas med närmsta
granne interpolation och beräkningarna måste kunna följas. (3p)
2 2
2
2 2
3 3
3
3 3
4 4
5 5
8
9
4 4
9 5
6 6
6 10 6
?
Inbild f(x,y)
Utbild g(x,y)
b) Beräkna i stället värdet med cubic spline interpolation. Interpolationskärnan
är då h(x) · h(y) där
2|x|3 − 3|x|2 + 1, för − 1 ≤ x ≤ 1,
h(x) =
0,
för övrigt.
(3p)
2
Kontinuerlig faltning (9p)
Bestäm faltningen
y(t) =
∞
−∞
x(λ)h(t − λ)dλ =
∞
−∞
h(λ)x(t − λ)dλ
då x(t) och h(t) ges av
x(t) = 3 · e−3(t−1) u(t − 1)
h(t) = 2 · e3t u(−t)
Genomför beräkningen
a) dels genom faltning i signaldomänen. (6p)
b) dels i Fourierdomänen. (3p)
3
3
Tidsdiskret system (9p)
Betrakta ett kausalt tidsdiskret system med systemfunktionen
H(z) =
1 z + 0.8
·
18 z − 0.9
a) Bestäm poler och nollställen för H(z) och skissa dem i z-planet. (2p)
b) Beskriver H(z) ett stabilt system? Motivera! (1p)
c) Vad blir utsignalen y[k] om insignalen är en tidsdiskret diracpuls, dvs x[k] =
δ[k]? (2p)
d) Bestäm beloppet av överföringsfunktionen |HΩ (Ω)| = |H(ejΩ )|. Ett rent
reellt uttryck önskas. (2p)
e) Vilket typ av filter är detta, dvs LP, BP, BS, eller HP? Hänvisa både till
pol-nollställe-diagrammet i a) och |HΩ (Ω)| i d). (2p)
4
Diskret faltning (8p)
Det välkända Sobel-y-filtret används som bekant för att approximativt beräkna
derivatan i y-led. Ett alternativ till Sobel-y är nedanstående filter gy som visas
nedan separerat (origo utmärks av •).
-1
gy = 0 • /2 ∗ 3
1
10 •
3 /16
Nedan syns en liten bild f (x, y) med en sned och en horizontell kant
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
a) Bestäm gy ovan genom att falta ihop de två faltningskärnorna. (2p)
b) Beräkna
∂f (x,y)
∂y
på såväl den horizonella som på den sneda kanten. (2p)
4
c) Beräkna
∂f (x,y)
∂x
på såväl den horizonella som på den sneda kanten. (2p)
d) Beräkna beloppet av gradienten på såväl den horizonella som på den sneda
kanten. (2p)
Ledning:
Utnyttja i första hand gx och gy för dina beräkningar. Alternativ användning av
Sobel-x och Sobel-y ger 1 poängs avdrag.
För deluppgift b)-d) gäller att endast 1 värde på respektive kant behöver beräknas.
Följande formler gäller:
∂f (x,y)
≈ gy ∗ f (x, y)
∂y
Beloppet av gradienten =
∂f (x,y)
∂x
2
+
∂f (x,y)
∂y
2
Kuriosa:
Fördelen med att använda gx och gy istället för Sobel-x och Sobel-y är att beloppet
av gradienten blir mer oberoende av kantens lutning.
5
3D (9p)
a) Se nedanstående lilla program med figur som kan användas för visualisering.
g(x,y)
f(x,y,z)
För alla (x,y)=(0,0),...,(255,255)
z:= 0
fsum:=0
Repetera
z:=z+1
fsum:=fsum+f(x,y,z)
så länge f(x,y,z)<T och z<=255
KOD
Slut
5
Raden KOD kan bytas ut mot en av följande beräkningar (där 3 st är meningsfulla och 2st är nonsens).
i) Beräkna ytans lutning med vinkeln θ i förhållande till
ljuskällan. Ut∂f (x,y,z) ∂f (x,y,z) ∂f (x,y,z)
.
nyttja bl a 3D-gradienten,
, ∂x , ∂x
∂x
g(x, y) = 255 · (0.5 cos(θ) + 0.5 cos3 (2θ))
ii) Beräkna ytans lutning med vinkeln θ i förhållande till
ljuskällan. Ut∂f (x,y,z) ∂f (x,y,z) ∂f (x,y,z)
.
, ∂x , ∂x
nyttja bl a 3D-gradienten,
∂x
g(x, y) = cos θ · fsum · z
iii) g(x, y) = 256 − z
iv) g(x, y) = fsum
v) g(x, y) = f (x, y, z)
Nedan följer 3 olika visualiseringsmetoder
A) Djupkoding.
B) Genomlysningsprojektion (förutsatt att T väljs till ett mycket högt
värde).
C) Ytskuggning med både diffus och speglande reflektion.
Para nu ihop A) − C) med i) − v) och ge en kort motivering i varje fall (så
att man förstår att det inte är en ren gissning). (4.5p)
b) Det finns ett antal instrument som kan generera data av typen f(x,y,z), dvs
voxelvolymer. Nämn 3 st såda instrument och vilken fysikalisk storhet som
används i respektive fall. Det kan t ex vara någon slags strålning. (4.5p)
6
6
Binär Bildbehandling (9p)
I ett preparat är man intresserad av att titta på små sjöstjärnor, mäta deras storlek,
deras total- och medelarmlängd och antalet armar per sjöstjärna. Tröskelsättningen av bilden visar sig vara lätt att göra och en binär sjöstjärna (objektpixel=1
och bakgrundspixel=0) kan se ut enligt nedan. Notera att ett antal små brusprickar
finns med. För mätningen behövs nedanstående förbehandling.
a) Föreslå en metod att ta bort brusprickarna utan att på något sätt förändra
formen på sjöstjärnan. (2p)
b) Redovisa strukturelementen för konnektivitetsbevarande krympning till skelett
(tunning) i d(4) -metrik. Det räcker med en fas. (1p)
Ledning: Strukturelementen för konnektivitetsbevarande krympning till punkt
ser ut så här:
- 0 - 0 - 0 - 0 0 1 0
- 1 1 1 0
0 1 1
- 1 1 1 1
1 1 - 1 1
c) Utför tunning, dvs konnektivitetsbevarande krympning till skelett i d(4) metrik på sjöstjärnan. Här ska framgå vilka pixlar som försvinner under
respektive fas. (3p)
d) Utför 1 iteration konnektivitetsbevarande krympning till punkt i d(4) -metrik
på den tunnade sjöstjärnan. Här ska framgå vilka pixlar som försvinner under respektive fas. (1p)
e) Redovisa de matchningskärnor som krävs för att hitta alla linjeslut (och endast linjeslut) på bilden i d)-uppgiften. Antalet matchningar ska ge antalet
armar på sjöstjärnan. Matchningskärnorna ska ha storleken 3 × 3 och innehålla symbolerna ’0’,’1’och ’-’ där ’-’ betyder don’t care". (2p)
7
7
Sampling och rekonstruktion (10p)
Se nedanstående schema.
x(t)
sampling
xs(t)
rekon−
struktion
y(t)
Signalen x(t) = sinc2 (t) samplas med impulståget (shah-funktionen) med samplingsavståndet T = 2/3 (vilket är ekvivalent med samplingsfrekvensen fs = 1.5)
till xs (t). Därefter sker rekonstruktion genom att xs (t) faltas med h(t) =sinc(f
s t)
f
1
(vilket är ekvivalent med att Xs (f ) multipliceras med H(f ) = fs Π fs ) och
utsignalen y(t) erhålles. Din uppgift är nu att tala om vad y(t) blir. Eftersom
samplingsteoremet inte är uppfyllt är detta inte självklart. Nedan följer ett antal
deluppgifter för att hjälpa dej fram till målet.
• Bestäm X(f ) och skissa den.
• Skissa Xs (f ).
• Skissa Y (f ) = Xs (f ) · H(f ).
• Y (f ) kan ses som en summa av två välkända funktioner, dvs Y (f ) =
A(f ) + B(f ). Bestäm A(f ) och B(f )!
• Beräkna nu y(t) genom inversfouriertransform av Y (f ) = A(f ) + B(f ).
Klart!
8
