Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Poissonfördelning POISSONFÖRDELNING Poissonfördelningen används oftast för att beskriva antalet händelser som inträffar oberoende av varandra under ett givet tidsintervall. En Poissonfördelad stokastisk variabel X kan anta en av följande värden 0, 1, 2, 3, ... (icke-negativa heltal eftersom X= antalet händelser under en given tidsperiod) Exempelvis 1. antalet kunder som kommer till ett kösystem eller 2. antalet datapaket som kommer till en server kan modelleras som Poissonfördelade stokastiska variabler. Definition 1. Låt X vara en diskret stokastisk variabel vars värdemängd är 0, 1, 2,...k,... Vi säger att X är en Poissonfördelning med parameter λ och betecknar X ∈ Po(λ ) om X har följande sannolikhetsfunktion P( X = k ) = λk k! ⋅ e −λ , k = 0, 1, 2, 3... Anmärkning: Parameter λ i Poissonfördelningen kallas oftast för intensitet. Egenskaper: 1. Låt X vara Poissonfördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) . Då gäller a) väntevärdet E(X) = λ b) variansen σ 2 = λ och därmed c) standardavvikelsen σ = λ 2. (Viktigt i köteori) Om X1, X2,..., Xn är oberoende Poissonfördelade s.v. med parametrar λ1 , λ2 ,..., λn , då är summan X1+X2+,...+Xn också en Poissonfördelade s.v. med parameter λ = λ1 + λ2 + ... + λn . 3. (Andra intervall ) Låt X ∈ Po(λ ) vara en s.v. som beskriver antalet händelser som inträffar under en viss tidsperiod av längden L. Alltså λ händelser inträffar i genomsnitt under tidsperiod av längden L och därmed λt händelser inträffar i genomsnitt under tidsperiod av längden L ⋅ t . Låt Y vara antalet händelser under tidsperioden L ⋅ t . Då är Y ∈ Po(λt ) , med andra ord ( λ t ) k − λt P(Y = k ) = ⋅e , k! k = 0, 1, 2, 3... 4. (Sambandet mellan Poissonfördelning och exponentialfördelning) Om antalet händelser K(t) under en tidsperiod av längden t är Poissonfördelad, K (t ) ∈ Po(λt ) , så är tiden T mellan två konsekutiva händelser exponentialfördelad, T ∈ exp(λ ) dvs P(T ≤ t ) = 1 − e − λt . 5. (Approximation med normalfördelning) Om λ > 15 då kan en Poissonfördelad s.v. X ∈ Po(λ ) approximeras med normalfördelningen N ( µ , σ ) där µ = λ och σ = λ . 1 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Poissonfördelning Uppgift 1. Låt X vara Poissonfördelad , X ∈ Po(3) . Bestäm a) P( 2 ≤X <5). b) P(X ≤ 2). c) P(X >3). Lösning: a) P( 2 ≤X <5)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 32 − 3 33 − 3 34 − 3 −3 32 33 34 = ⋅ e + ⋅ e + ⋅ e = e + + = 0.61611 2! 3! 4! 2! 3! 4! 30 − 3 31 − 3 32 − 3 ⋅ e + ⋅ e + ⋅ e =0.42319 0! 1! 2! c) P(X >3) =1–P(X ≤3)=1– [P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)]=1– 0.64723= 0.35277. b) [P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)]= Uppgift 2. Låt X vara Poissonfördelad, X ∈ Po(9) . Bestäm a) P(X =8). b) P(X ≤ 4). c) P(X >2). Svar: a) 0.13176 b) 0.05496 c) 0,993768 Uppgift 3. Låt K(t) beteckna antalet kunder som ankommer till ett system i tidsintervallet (0,t), där t betecknar antal minuter. Vi antar att ankomsten är Poissonfördelad och att det i genomsnitt ankommer λ =2 kunder per minut. Bestäm sannolikheterna för följande händelser: a) 3 kunder ankommer i tidsintervallet vars längd är 2 minuter. b) Ingen kund ankommer i tidsintervallet vars längd är 30 sekunder (0.5 min). c) Högst 5 kunder ankommer i tidsintervallet vars längd är 3 minuter. Lösning a) Först bestämmer vi ankomstintensitet för 2 minuter. I genomsnitt ankommer λ =2 kunder per 1 minut och därför under tidsperioden av 2 min ankommer i genomsnitt 2*2=4 kunder. Låt Y1 vara s.v som beskriver ankomst under 2 minuter. Då är Y1 ∈ Po(λt ) = Po( 4) 43 − 4 ⋅ e =0.195367 3! b) Y2 ∈ Po(λt ) = Po( 2 ⋅ 0.5) = Po(1) Därför P(Y1 =3)= P( Y2=0) = 10 −1 −1 ⋅ e = e =0.367879 0! 2 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Poissonfördelning c) Y3 ∈ Po(λt ) = Po( 2 ⋅ 3) = Po(6) P( Y3 ≤ 5) = p0+p1+p2+p3+p4+p5= 0.44568 Uppgift 4. På ett kontor finns tre telefoner. Antalet ankommande samtal för respektive telefon är Poissonfördelade s.v. med respektive parametrar (intensiteter) 2, 3 och 5 samtal per en timme. Bestäm sannolikheten att under en 8-timmars arbetsdag ankommer totalt minst 70 samtal till kontoret. Lösning: Summan av Poissonfördelade s.v. är en Poissonfördelad sv. Under 8 timmar ankommer till kontoret totalt 8*(2+3+5)= 80 samtal i genomsnitt . Låt X beteckna det totala antalet samtal som ankommer till kontoret under 8 timmar. Då är X ∈ Po(80) . P( X ≥ 70) = 1 − P( X < 70) = (diskret fördelning) = 1 − P( X ≤ 69) = 1 − FX (69) . Det är tidskrävande att beräkna FX (69) med en miniräknare, därför approximerar vi Poissonmed normalfördelning Y ∈ N ( µ , σ ) där µ = λ = 80 och σ = 80 . 1 − P( X ≤ 69) = 1 − ΦX (69) ≈ 1 − ΦY (69) = 1 − Φ ( 69 − 80 ) = 1 − Φ ( −1.23) = 1 − 0.1093 = 0.8907 80 Svar: ≈ 0.9 =90% TEORIFRÅGOR Uppgift T1. Låt X vara Poisson-fördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) . Då gäller P( X = k ) = p k = λk − λ e . Bevisa att k! ∑p k = 1. k Lösning: λk − λ − λ ∞ λk e =e ∑ k = 0 k! k = 0 k! ∞ * ∑ pk = ∑ k = e − λ eλ = e0 = 1 , vilket skulle bevisas. * Anmärkning. I övergången = har vi använt den kända formeln ∞ λk ∑ k! = e λ . k =0 Uppgift T2. Låt X vara Poisson-fördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) . Då gäller P( X = k ) = p k = λk k! e− λ . Bevisa att E ( X ) = λ . Lösning: ∞ E ( X ) = ∑ x k pk = ∑ k k =0 k ∞ = λe − λ ∑ j =0 λj j! λk − λ ∞ λk − λ ∞ λk e = ∑k e = ∑ e−λ , k! k! k =1 k =1 ( k − 1)! * = λe − λ eλ = λ , vilket skulle bevisas. 3 av 5 ( subst. k-1=j) Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Poissonfördelning λj Anmärkning. I övergången = har vi använt den kända formeln ∑ = e λ . j = 0 j! ∞ * Uppgift T3. (svår): n k ( = ) = P X k p (1 − p ) n −k . Låt X n vara en följd av binomialfördelade s.v. sådana att n k Anta att np = λ är er konstant då n → ∞ . Visa att X n går mot Poissonfördelning dvs visa att lim ( P( X n = k )) = n→∞ λk k! e−λ . Bevis. Låt k ≥ 0 vara ett fixt tal. Vi har n lim ( P( X n = k )) = lim p k (1 − p ) n − k n→∞ k n→∞ n( n − 1)...( n − k + 1) λ n→∞ k! n k = λim λk λ 1 − n n( n − 1)...( n − k + 1) λ = λim 1 − n → ∞ k! nk n λk n −k n −k n 1 2 k − 1 λ λ = λim 1 − 1 − ...1 − 1 − 1 − k ! n → ∞ n n n n n n λk = ⋅1 ⋅ e−λ ⋅1 k! = λk k! n −k (*) e − λ V.S.B . Förklaring av (*): Om n → ∞ , eftersom k är ett fixt tal, har vi i uttrycket (*) i λ λ −λ 1 − → 1 , 1 − → e and 1 − n n n n −k →1. Uppgift T4. Låt X 1 ∈ Po(λ1 ) och X 2 ∈ Po(λ2 ) vara två oberoende Poisson-fördelade s.v. Visa att Z = X 1+ X 2 ∈ Po(λ1 + λ2 ) . Med andra ord: summan av Poisson-fördeladestokastiska variabler är också en Poisson-fördelad s.v. Bevis. Vi ska visa att P( Z = k ) = p k = (λ1 + λ2 ) k −( λ1 + λ2 ) e . k! Z = X 1+ X 2 = k i följande fall: X 1= 0 och X 2 = k , X 1= 1 och X 2 = k − 1 , X 1= 2 och X 2 = k − 2 ,…, X 1= k och X 2 = 0 . Därför 4 av 5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Poissonfördelning k P( Z = k ) = ∑ P( X 1= i och X 2 = k − i ) ( X 1 och X 2 är oberoende) i =0 k = ∑ P( X 1= i ) ⋅ P( X 2 = k − i ) (*) i =0 Eftersom X 1 ∈ Po(λ1 ) och X 2 ∈ Po(λ2 ) har vi från (*) λ1i −λ λ2 k −i −λ e ⋅ e = e −λ −λ − i k i ! ( )! i =0 k P( Z = k ) = ∑ = e − ( λ1 + λ2 ) k! 1 2 1 e − ( λ1 + λ2 ) k! i k −i = λ λ ⋅ ∑ 1 2 k! i = 0 i! ( k − i )! k λ1i λ2 k −i ⋅ ∑ i =0 i! ( k − i )! k 2 k k ∑ i ⋅ λ λ i =0 i 1 2 k −i (vi förlänger med k!) (binomialsatsen) e − ( λ1 + λ2 ) (λ1 + λ2 ) k . k! Detta betyder att Z är en Poissonfördelning med parameter λ = λ1 + λ2 = 5 av 5 (V.S.B.).