M0038M Differentialkalkyl, Lekt 9, H15

Formler
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 9, H15
Staffan Lundberg
Luleå Tekniska Universitet
Staffan Lundberg
M0038M H15
1/ 16
Formler
Repetition Lekt 8
Lös ekvationen
cos θ = tan θ.
Staffan Lundberg
M0038M H15
2/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Additions- och subtraktionsformlerna
Vi skall visa några mycket användbara formler.
Visa att för alla vinklar φ och θ gäller
cos(θ − φ) = cos θ · cos φ + sin θ · sin φ
.
(1)
I resonemanget använder vi enhetscirkeln samt två (förhoppningsvis)
välkända formler, avståndsformeln respektive cosinussatsen.
Staffan Lundberg
M0038M H15
3/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Avståndet P1 P2 skall vi beskriva på två sätt:
(P1 P2 )2 = (cos θ − cos φ)2 + (sin θ − sin φ)2 (Avst.formeln)
(P1 P2 )2 = 12 + 12 − 2 · 1 · 1 · cos(θ − φ) (Cos-satsen)
y
P2
θ−φ
θ
P1
φ
x
Staffan Lundberg
M0038M H15
4/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra, samt gör en del
förenklingar:
2 − 2(cos θ cos φ + sin θ sin φ) = 2 − 2 cos(θ − φ),
varav
cos(θ − φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ .
Staffan Lundberg
M0038M H15
5/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Om vi i (1) byter ut φ mot −φ får vi
cos(θ + φ) = cos(θ − (−φ)) =
= cos θ · cos(−φ) + sin θ · sin(−φ) =
= cos θ cos φ − sin θ sin φ
Staffan Lundberg
M0038M H15
.
6/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Om vi i (1) byter ut θ mot π/2 − θ får vi
sin(θ + φ) = cos(π/2 − (θ + φ)) =
= cos((π/2 − θ) − φ) =
= cos(π/2 − θ) · cos φ +
+ sin(π/2 − θ) · sin φ =
= sin θ cos φ + cos θ sin φ
Staffan Lundberg
M0038M H15
.
7/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Om vi i sista formeln byter ut φ mot −φ får vi
sin(θ − φ) = sin(θ + (−φ)) =
= sin θ cos φ − cos θ sin φ .
Staffan Lundberg
M0038M H15
8/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Sammanfattning
För alla vinklar φ och θ gäller
cos(θ − φ)
= cos θ cos φ + sin θ sin φ
(2)
cos(θ + φ)
= cos θ cos φ − sin θ sin φ
(3)
sin(θ − φ)
= sin θ cos φ − cos θ sin φ
(4)
sin(θ + φ)
= sin θ cos φ + cos θ sin φ
(5)
Staffan Lundberg
M0038M H15
9/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Exempel
Beräkna exakt, inget närmevärde, tan 7π/12 genom att utnyttja
att 7π/12 = π/3 + π/4.
Staffan Lundberg
M0038M H15
10/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Dubbla vinkeln
Om vi i (3) respektive (5) sätter φ = θ, får vi:
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ =
= 2 · cos2 θ − 1 = 1 − 2 · sin2 θ
sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ
Staffan Lundberg
.
M0038M H15
11/ 16
,
Formler
Dubbla vinkeln
Viktig anmärkning
På Fronter finns en länk ”utantillapp” som man kan ladda hem.
Det som står på detta papper är
jätteviktigt och skall läras utantill.
Staffan Lundberg
M0038M H15
12/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Exempel
Visa att för alla θ gäller
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
Lös på egen hand
Härled formeln
cos x − sin x
1
=
− tan 2x
cos x + sin x
cos 2x
Du får nyttja kända formler för cos 2x och sin 2x.
Staffan Lundberg
M0038M H15
13/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Lösningsförslag–pkt 2 (tjyvkika inte)
cos x − sin x
(cos x − sin x)(cos x − sin x)
=
= (Konjugatregel i N)
cos x + sin x
(cos x + sin x)(cos x − sin x)
(cos x − sin x)2
1 − sin 2x
=
=
=
cos 2x
cos2 x − sin2 x
1
sin 2x
=
−
=
cos 2x cos 2x
1
=
− tan 2x och vi är klara.
cos 2x
Staffan Lundberg
M0038M H15
14/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Avslutande exempel – lite knepigt
Två stegar med samma längd
a meter står lutade mot var sig
husvägg i en gränd så att deras
nederdelar möts (se figur). Den
ena stegen når h meter upp mot
ena väggen och bildar 75◦ med
gränden. Den andra stegen når k
meter upp mot andra väggen och
bildar 45◦ med gränden. Bestäm
grändens bredd uttryckt i h. Antag att gränden är horisontell
och bildar rät vinkel mot bägge
husväggarna.
Staffan Lundberg
M0038M H15
15/ 16
Formler
Dubbla vinkeln
Hmmm. . .
Staffan Lundberg
M0038M H15
16/ 16