TEKNISKT BASÅR: Kontrollskrivning 2 i matematik Datum: 031110 Tid 10.15-12.00 Hjälpmedel: Räknedosa och formelsamling 1. 2. 3. 4. En rät linje går genom punkterna (0,3) och (5,7). Ange linjens ekvation. 1 p. Summan av två tal är 52. Multiplicerar man det ena talet med 5 blir resultatet detsamma som om man multiplicerar det andra med 8. Ange de båda talen. 1 p. Utgå från funktionerna f ( x) = ( x − 3) och g ( x) = ( x − 5) och bilda den nya funktionen f ( x) + g ( x) , som har ett minimum för något värde på x För vilket värde på x har funktionen f ( x) + g ( x) ett minimum? 2 p. y Förenkla uttrycket lg x 3 − 2 lg x + lg så långt som möjligt. x x och y är positiva tal. 1 p. 2 2 5. Lös ekvationen 7 x +1 = 4 3 . Svara med två decimaler. 6. Bestäm en ekvation för parabeln i nedanstående figur 1 p. y 6 4 2 x -2 -1 1 2 3 -2 -4 1 p. -6 7. Man har f ( x) = 3 x 2 + 2 x . Bilda differenskvoten f ( x + h) − f ( x ) h och förenkla den så långt som möjligt. 2 p. 8. g ( x) = 7 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 8 . Bestäm g ′(−1) 2 p. 9. Lös ekvationen f ′( x) = 0 då f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3) 2 p. 10. När en organism dör avtar mängden kol-14 exponentiellt med tiden, varvid halveringstiden är 5730 år. I farao Amenhoteps grav har man funnit en mumie, vars kol-14-mängd år 1980 uppmättes till 65,5 % av den normala halten i levande material. När dog farao Amenhotep? Svara i hela år. 2 p. LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (0,3) x1 = 0 (5,7) x2 = 5 y1 = 3 y2 = 7 Enpunktsformen: y − y1 = k ( x − x1 ) k= ∆y y 2 − y1 = ∆x x 2 − x1 k= 7−3 4 = 5−0 5 Vi får med insatta värden: y − 3 = y= Svar: y = 2. 4 ( x − 0) 5 4 ⋅x+3 5 4 ⋅x+3 5 Låt talen vara x och y . x + y = 52 (1) 5x = 8 y (2) ⇒ Kombineras (1) och (3) får vi: 8y + y = 52 5 8y 5y + = 52 5 5 13 y = 52 5 13 y = 260 y = 20 Detta sätts in i (3): x= 8y 5 (3) 8 ⋅ 20 5 x = 32 x= Svar: x = 32 , y = 20 3. f ( x) = ( x − 3) 2 g ( x) = ( x − 5) 2 f ( x) + g ( x) = ( x − 3) 2 + ( x − 5) 2 f ( x) + g ( x) = x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 10 x + 25 f ( x) + g ( x) = 2 x 2 − 16 x + 34 2 x 2 − 16 x + 34 = 0 : 2( x 2 − 8 x + 17) = 0 x 2 − 8 x + 17 = 0 x = 4 ± 16 − 17 I uttrycket ovan framgår att symmetrilinjen har värdet 4, dvs x = 4 . Svar: x = 4 4. lg x 3 − 2 lg x + lg y = 3 lg x − 2 lg x + lg y − lg x = lg y x Svar: lg y 5. 7 x +1 = 4 3 lg 7 x +1 = lg 4 3 ( x + 1) lg 7 = lg 4 3 x lg 7 + lg 7 = lg 4 3 x lg 7 = lg 4 3 − lg 7 lg 4 3 − lg 7 x= lg 7 x = 1,14 Svar: x = 1,14 6. Följande punkter ligger på kurvan: (−1,0) , (0,6) och (2,0) . Kurvan är en andragradskurva: y = ax 2 + bx + c ⇒ ⇒ ⇒ (−1,0) (0,6) (2,0) 0 = a(−1) 2 + b(−1) + c 6 =0+0+c 0 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c (1) (2) (3) (2) ger direkt att c = 6 (1): a − b + 6 = 0 ⇒ a =b−6 Detta sätts in i (3): 4(b − 6) + 2b + 6 = 0 4b − 24 + 2b + 6 = 0 6b − 18 = 0 6b = 18 b=3 Vilket ger att: a = 3−6 a = −3 Svar: y = −3x 2 + 3x + 6 7. f ( x) = 3 x 2 + 2 x ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x + h) − f ( x) 3( x + h ) + 2( x + h ) − 3 x 2 + 2 x 3 x 2 + 2 xh + h 2 + 2 x + 2h − 3 x 2 + 2 x = = = h h h 3 x 2 + 6 xh + 3h 2 + 2 x + 2h − 3 x 2 − 2 x 6 xh + 2h + 3h 2 h(6 x + 2 + 3h ) = = = = 6 x + 2 + 3h h h h Svar: 8. 2 f ( x + h) − f ( x ) = 6 x + 2 + 3h för f ( x) = 3 x 2 + 2 x h g ( x) = 7 x 3 − 5 x 2 + 3x − 8 g ′( x) = 21x 2 − 10 x + 3 g ′(−1) = 21(−1) 2 − 10(−1) + 3 = 21 + 10 + 3 = 34 9. Svar: g ′(−1) = 34 f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3) Ekvationen f ′( x) = 0 ska lösas: f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3) f ( x) = ( x 2 − 2 x + 1)(2 x + 3) f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 4 x 2 − 6 x + 2 x + 3 f ( x) = 2 x 3 − x 2 − 4 x + 3 f ′( x) = 6 x 2 − 2 x − 4 f ′( x) = 0 6x 2 − 2x − 4 = 0 2 4 x− )=0 6 6 1 2 x2 − x − = 0 3 3 1 1 24 x= ± + 6 36 36 1 5 x= ± 6 6 6( x 2 − x1 = 1 Svar: x1 = 1 10. x2 = − , 2 3 x2 = − 2 3 y = y0 ⋅ a t Efter halveringstiden, T år, finns hälften, y0 , av den ursprungliga 2 mängden, y 0 , kvar: y0 = y0 ⋅ a T 2 1 = 1 ⋅ a 5730 2 , T = 5730 år 1 = a 5730 2 1 1 5730 a= 2 t för y (t ) = 0,655 söks: ( y 0 = 1,000 ) 1 1 5730 0,655 = 1,000 ⋅ 2 t t 1 5730 0,655 = 2 t 1 5730 lg 0,655 = lg 2 lg 0,655 = t= t 1 ⋅ lg 5730 2 5730 ⋅ lg 0,655 1 lg 2 t = 3498 Svar: Faraon dog år 1518 f Kr.