Komplexa tal

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
KOMPLEXA TAL
z = x + yi , där x, y ∈ R
z = r (cos θ + i sin θ )
(rektangulär form)
z = x + yi
yi
(polär form)
O
z n = r n (cos nθ + i sin nθ )
z = reθi
x
De Moivres formel
(potensform eller exponentiell form)
eθi = cosθ + i sin θ
Eulers formel
====================================================
För talet i som kallas för imaginär enhet gäller i 2 = −1 .
Potenser av i kan beräknas enligt följande:
i 3 = i 2 ⋅ i = −i , i 4 = i 2 ⋅ i 2 = ( −1)( −1) = 1
i 0 = 1,
i1 = i ,
i 2 = −1 ,
För att beräkna högre potenser i n där n >4, använder vi resultatet i 4 = 1 .
Vi skriver n på formen n=4k+r
( där r är resten när n delas med 4, r kan vara 0, 1, 2 eller
3)
Då gäller
i n = i 4n + r = i 4n ⋅ i r = i r
(eftersom i 4 n = (i 4 ) n = 1n = 1
Exempel 1. Beräkna a) i 38
b) i 443
Lösning: a) i 38 = i 36 ⋅ i 2 = 1⋅ i 2 = −1
b) i 443 = i 440 ⋅ i 3 = 1⋅ i 3 == −i
(eftersom i 36 = (i 4 ) 9 = 1n = 1
Om z = a + bi och a, b ∈ R då gäller:
a kallas realdelen av z och betecknas Re(z )
b kallas imaginärdelen av z och betecknas Im(z )
a − bi kallas konjugatet till z och betecknas z
a 2 + b 2 kallas absolutbeloppet av z och betecknas | z |
Följande relationer används vid olika beräkningar:
( a + bi )( a − bi ) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2
Med andra ord: z ⋅ z =| z |2
Exempel 2. Låt z = −5 − 3i . Bestäm Re(z ) , Im(z ) , z , | z | och z ⋅ z
Lösning: Re( z ) = −5 , Im( z ) = −3 ,
z = −5 + 3i ,
| z |= ( −5) 2 + ( −3) 2 = 34 ,
Sida 1 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
z ⋅ z = ( −5 − 3i )( −5 + 3i ) = 25 − 9i 2 = 25 + 9 = 34 .
RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal i rektangulär form (dvs. a+bi form).
Addition, multiplikation och division av komplexa tal (på rektangulär form).
Addition: Låt z1 = x1 + y1i och z 2 = x 2 + y 2 i . Då gäller
z1 + z 2 = x1 + y1i + x 2 + y 2 i = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 )i
Multiplikation:
z1 ⋅ z 2 = ( x1 + y1i )( x 2 + y 2 i ) = x1 x 2 + x 2 y1i + x1 y 2 i + y1 y 2 i 2
= ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x2 y1 + x1 y2 )i
Division: Låt z1 = a + bi och z 2 = c + di .
z1 a + bi a + bi c − di ac + bci − adi − bdi 2
Då gäller
=
⋅
=
=
c2 + d 2
z 2 c + di c + di c − di
( ac + bd ) + (bc − ad )i ac + bd bc − ad
= 2
+
i.
=
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
(notera att i 2 = −1 )
Exempel 3. Låt z1 = −2 − 3i och z 2 = −1 + 2i . Beräkna a) z1 + z2 b) z1 ⋅ z2 och c)
Lösning: a) z1 + z 2 = ( −2 − 3i ) + ( −1 + 2i ) = −3 − i
b) z1 ⋅ z 2 = ( −2 − 3i )( −1 + 2i ) = 2 + 3i − 4i − 6i 2 = 2 + 3i − 4i + 6 = 8 − i
c)
z1 − 2 − 3i
− 2 − 3i − 1 − 2i 2 + 3i + 4i + 6i 2 − 4 + 7i
−4 7
=
==
⋅
=
=
=−
+ i
2
− 1 + 2i − 1 − 2i
z 2 − 1 + 2i
1 − 4i
5
5 5
Räknelagar för komplexkonjugering
( z + w) = z + w ,
( z ⋅ w) = z ⋅ w ,
z z
 =
w w
Räknelagar för absolutbelopp
z ⋅ z =| z |2
| z ⋅ w |=| z | ⋅ | w |
z
|z|
| |=
(w ≠ 0)
w |w|
| z n |=| z |n
| z ± w |≤| z | + | w | (triangelolikheten).
Sida 2 av 21
z1
z2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
( −2 + i )(1 + i ) 4
. Beräkna | z | .
− 1 + 2i
Lösning: Vi kan först beräkna z och sedan bestämma | z | men det är mycket enklare att
använda räknelagar för absolutbelopp. Enligt ovanstående räknelagar har vi
( −2 + i )(1 + i ) 4 | −2 + i | ⋅ | 1 + i |4
4 + 1 ⋅ ( 1 + 1) 4
5 ⋅ ( 2 )4
=
=
= 4.
| z |=|
|=
− 1 + 2i
| −1 + 2i |
1+ 4
5
Exempel 4. Låt z =
Det komplexa talplanet
Komplexa tal kan vi framställa som punkter i det komplexa talplanet som innehåller en reell
och en imaginär axel.
z = x + yi
yi
O
x
Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform:
För att skriva ett komplext tal på
polär form z = r (cos θ + i sin θ )
θi
eller på potensform z = re
måste vi först bestämma radien r (avståndet från
till orig)
och vinkeln θ ( vinkeln mellan radien och
delen av x-axeln)
Om z = a + bi då gäller:
r =| z |= a 2 + b 2
Om z ≠ 0 då gäller:
a = r cos θ
(*)

b = r sin θ
En vinkel θ som uppfyller (*) kallas för argument av z och betecknas arg(z).
Argument av z är inte entydigt bestämd.
Om θ1 är ett argument av talet z då är också θ1 + 2kπ ,
talets argument för varje k = 0 ± 1,±2,... .
Talet 0 tilldelas inget argument.
Låt z = x + yi . Ett värde av arg (z) kan bestämmas enligt följande:
Sida 3 av 21
talet
z
positiva
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
y

arctan

x
arg( z ) = θ = 
y
π + arctan
x

Komplexa tal
då x > 0
då x < 0
Om x=0 ligger z = 0 + yi = yi på y-axeln och arg (z) kan bestämmas direkt från grafen
(genom att pricka in z i det komplexa talplanet) eller enligt följande:
π

om x = 0, y > 0

2

−π
arg z = 
om x = 0, y < 0
2

ej definierad om x = 0, y = 0

Exempel 5. Skriv talet z = − 3 + i på a) polär form b) potensform
Lösning:
Radien: r =| z |= a 2 + b 2 = 3 + 1 = 2 .
arg(z ) = θ = {eftersom x = − 3 < 0 } = π + arctan
π 5π
1
=π − =
6
6
3
− 3
5π
5π
a) Polär form: z = 2(cos
+ i sin )
6
6
π + arctan
1
y
x
= π − arctan
b) Potensform: z = 2e
5π
i
6
.
RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal i polär form.
Låt z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) och z 2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) . Följande gäller :
Multiplikation: z1 z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) (bevisas med additionsformeln)
z
r
Division 1 = 1 (cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )) .
z2 r2
Potenser i polärform beräknas på enkelt sätt med De Moivres formel:
Låt z = r (cos θ + i sin θ ) , då gäller
z n = r n (cos nθ + i sin nθ )
Exempel 6. Låt z = 2(cos
π
6
+ i sin
π
6
) . Beräkna z 13 .
π
π 
13π
13π

Lösning: z =  2(cos + i sin )  = 213 (cos
+ i sin
)
6
6 
6
6

13
13
p
p
p
p
= 213 (cos( 2p + ) + i sin( 2p + )) = ( periodiska egenskaper) = 213 (cos( ) + i sin( ))
6
6
6
6
Sida 4 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
3 1
+ i)
2 2
Från ovanstående räknelagar följer följande räknelagar för arg (z). Notera att argument är inte
entidigt bestämt.
= 213 (
Räknelagar för arg(z)
Om z och w är två komplexa tal då gäller:
arg( z ⋅ w) = arg( z ) + arg( w)
( +2 kπ )
z
arg( ) = arg( z ) − arg( w)
( + 2 kπ )
w
arg( z n ) = n ⋅ arg( z )
( + 2 kπ )
RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal i potensform.
θ1i
θ 2i
Låt z1 = r1e
och z 2 = r2 e
gör vi enligt vanliga potenslagar:
Multiplikation: z1 z 2
z
r
Division 1 = 1 e (θ1 −θ 2 )i
z 2 r2
Potenser i potensform:
. Multiplikation, division och beräkning av potenser
= r1r2 e (θ1 +θ2 )i
θi
n
n nθi
z = reθi , då gäller z = (re ) = r e
n
Låt
26
 1
3 
Exempel 7. Beräkna  − −
i  . Svara på rektangulär form (dvs a+bi form)
2
2


1
3
Lösning: Först anger vi basen z = − −
i på potensform:
2 2
2
2
y
 1   3 
r = −  + 
= 1 . Vinkeln θ = arctan + 180  (notera +180 eftersom x <0)

x
 2  2 
4π
rad
θ = arctan 3 + 180  = 240  =
3
Nu beräknar vi
n nθi
z =r e
n
=1 ⋅e
26
26⋅
4π
i
3
=e
104π
i
3
=
Vi skriver resultatet på polärform och därefter på rektangulär form (genom att beräkna sinus
och cosinus)
104π
104π
2π
2π
= cos
+ i sin
= cos(34π +
) + i sin(34π +
)=
3
3
3
3
(periodiska egenskaper: cos( 2kπ + v ) = cos( v ) och sin( 2kπ + v ) = sin( v ) )
Sida 5 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
= cos(
Komplexa tal
2π
2π
1
3
) + i sin( ) = − +
i
3
3
2 2
26
 1
3 
1
3
Svar:  − −
i.
i  = − +
2 2
 2 2 
==========================================
Geometrisk tolkning av operationer med komplexa tal.
Addition.
Låt z1 = x1 + y1i och z2 = x2 + y2i vara två komplexa tal.
Då är z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i . Om vi tolkar komplexa tal som riktade sträckor
(=vektorer) då får vi summan z1 + z2 enligt regeln för vektoraddition.
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
z 2 = x 2 + y 2i
z1 = x1 + y1i
Geometrisk tolkning av multiplikation, division och potens .
Låt z1 = r1eαi och z2 = r2 e βi . Då gäller z1 z2 = r1r2 e(α + β )i .
Alltså gäller | z1 z2 |= r1r2 =| z1 || z2 | och αrg( z1 z2 ) = αrg( z1 ) + αrg( z2 ) = α + β som vi använder
för att rita z1 z2 i det komplexa talplanet.
z1z2 = r1r2 e(α + β )i
α+β
z2 = r2 e βi
β
z1 = r1eαi
α
Sida 6 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
För divisionen
αrg(
Komplexa tal
z1 r1 (α − β )i
z
r
dvs | 1 |= 1 och
= e
z2 r2
z2 r2
z1
gäller
z2
z1
) = αrg( z1 ) − αrg( z2 ) = α − β
z2
Om z = reαi då är z n = r n e nαi dvs | z n |= r n och arg( z n ) = n arg( z )
Exempel 8. Låt z1 och z2 vara komplexa tal i nedanstående figur. Anta vidare att | z2 |= 1 .
z
z
Rita följande komplexa tal i det komplexa talplanet a) z1 ⋅ z2 b) z1 ⋅ i c) 1 d 1 d) z1 e)
i
z2
(z2 )3
yi
z1
z2
O
x
Lösning a) Beteckna w = z1 z2 . Vi bestämmer polära koordinater till w dvs | w | och arg(w)
och därefter ritar i det komplexa talplanet. Vi har
| w |=| z1 z2 |=| z1 || z2 |=| z1 | ⋅1 =| z1 |
och , från grafen,
3π π
arg( w) = arg( z1 ) + arg( z2 ) ≈
+ =π .
4 4
Alltså är | w | lika med | z1 | och arg(w) ≈ π .
Därmed har vi följande graf:
z1
z2
z1 z2
O
x
Svar: b) Notera att | i |= 1 och att arg(i ) =
π
2
Sida 7 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
yi
z1
i
O
x
z1 ⋅ i
På liknande sätt löser man c), d) och e).
==========================================
Avståndet mellan två punkter i det komplexa talplanet.
z 2 = x 2 + y 2i
d
z1 = x1 + y1i
O
Låt P1 och P2 vara två punkter i det komplexa talplanet som representeras av komplexa talen
z1 = x1 + y1i och z2 = x2 + y2i . För avståndet mellan punkterna gäller
d ( P1 , P2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 =| z2 − z1 |
========================================
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet: Cirkeln med radien r och centrum i punkten
z0 = a + bi har ekvationen (på komplex form)
dvs
| z − z0 |= r
| z − ( a + bi ) |= r eller | z − a − bi |= r .
Sida 8 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
z = x + yi
r
bi
z0 = a + bi
a
O
Exempel 9. Rita det komplexa talplanet mängden av alla punkter z som bestäms av
b) | z − 2 − i |≤ 1
c) | z − 2 − i |≥ 1
a) | z − 2 − i |= 1 ,
Lösning: a) Från | z − 2 − i |= 1 (genom att bryta ut –1) har vi | z − ( 2 + i ) |= 1 .Detta är
ekvationen för cirkeln med centrum i punkten 2 + i och radien 1.
z = x + yi
z0 = 2 + i
i
r
O
2
| z − 2 − i |≤ 1 satisfieras av de punkter som ligger inuti och på själva cirkelns linje
b)
z = x + yi
z0 = 2 + i
i
r
O
2
c) | z − 2 − i |≥ 1 satisfieras av de punkter som ligger utanför och på själva cirkelns linje
z = x + yi
i
z0 = 2 + i
r
O
2
Sida 9 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
=====================================================
z n = a + bi
BINOMISKA EKVATIONER
Binomiska ekvationen med avseende på z
z n = a + bi
(*)
har n lösningar. Enklast sätt att lösa ekvationen är att ange högerledet på potensform.
Steg 1. Vi bestämer radien r =| a + bi | och ett argument arg(a + bi ) = θ + 2kπ
(θ + 2 k π ) i
och skriver a + bi = re
.
Anmärkning. Vi anger period för att få alla (n) lösningar till binomiska ekvationen (*)
Steg 2. Vi skriver ekvationen (*) på potensformen
z n = re (θ +2 kπ )i (**)
Härav får vi följande n lösningar:
1 (θ + 2 k π )
zk = r n e
i
n
där k = 0, 1, 2,..., ( n − 1) ,
Vi får n lösningar genom att substituera k = 0, 1, 2,..., ( n − 1)
1
θ
i
z0 = r n e n ,
1
z3 = r n e
1
z1 = r n e
(θ + 2⋅3⋅π )
i
n
(θ + 2⋅1⋅π )
i
n
1
z2 = r n e
,
1
z n −1 = r n e
,....,
(θ + 2⋅ 2⋅π )
i
n
,
(θ + 2⋅( n −1)⋅π )
i
n
Anmärkning: Om vi fortsätter och substituerar k = n, n + 1,... då upprepar vi redan bestämda
lösningar. Därför stannar vi vid k= n–1.
Steg 3: Om detta krävs i uppgiften, skriver vi lösningar på rektangulär form.
Exempel 10. Lös ekvationen z = −2 + 2i . Ange alla tre lösningar på rektangulär form
med två decimaler.
Lösning:
Steg 1. Vi skriver högerledet dvs − 2 + 2i på potensform.
Radien r = 4 + 4 = 8
( eller r = 81 / 2 = 2 3 / 2 )
y
Ett argument: θ = arctan + 180  (vi adderar +180 eftersom x <0, se formelblad)
x
3π
2
rad
θ = arctan
+ 180  = arctan( −1) + 180  = −45 + 180  = 135 =
4
−2
3
(
3π
+ 2 kπ ) i
4
Alltså − 2 + 2i = 8e
och därmed blir ekvationen z = 8e
Steg 2. (Vi löser ekvationen)
Från ekvationen z 3 = 8e
(
3π
+ 2 kπ ) i
4
3
har vi
Sida 10 av 21
(
3π
+ 2 kπ ) i
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1/ 3
3π
( + 2 kπ ) i 



zk =  8e 4



=
(
Komplexa tal
3π
+ 2 kπ
)i
1/ 3 ( 4
3
( 8)
e
= 2e
(
3π +8 kπ
)i
12
=
3π +8 kπ
)i
12
Alltså är zk = 2e
där k=0,1,2
de sökta (tre) lösningar (på potensform.
Steg 3. Lösningar på rektangulär form.
Först polär form:
3π + 8 kπ
(
)i
3π + 8kπ
3π + 8kπ 

z k = 2e 12
) + i sin(
= 2  cos(
)  där k=0,1,2
12
12


För att få rektangulärform substituerar vi k= 0, 1 och 2 och beräknar sinus och cosinus.
k=0 ger
π
π 
3π
3π 
1
1


+
z 0 = 2  cos( ) + i sin( )  = 2  cos( ) + i sin( )  = 2 (
i) = 1+ i
12
12 
4
4 
2
2


k=1 ger
11π 
11π
3π + 8 ⋅ 1⋅ π 
3π + 8 ⋅ 1⋅ π


z1 = 2  cos(
) + i sin(
)  ≈ −1.366 + 0.366i
)  = 2  cos(
) + i sin(
12 
12
12
12



3π + 8 ⋅ 2 ⋅ π
3π + 8 ⋅ 2 ⋅ π 
19π
19π 


) + i sin(
)  = 2  cos(
) + i sin(
)  ≈ 0.366 − 1.366i
z 2 = 2  cos(
12
12
12
12 



Svar: z 0 = 1 + i
z1 ≈ −1.366 + 0.366i
z 2 ≈ 0.366 − 1.366i
==================================================
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1.
a) Bestäm Re(w) om w =
1 + i 4000
.
+i
1− i
b) Rita i det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal z som satisfierar
1≤ z⋅z ≤ 4
( z betecknar z- konjugat)
Lösning:
a)
Sida 11 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
1 + i 4000 1 + i 1 + i
1 + 2i − 1
2i
+i
=
⋅
+1 =
+ 1 = + 1 = i + 1 = 1 + i.
2
1− i
1− i 1+ i
1− i
2
Re( w) = 1
Svar a) Re( w) = 1
w=
b) Eftersom z ⋅ z = ( x + yi )( x − yi ) = x 2 + y 2 =| z |2 skriver vi 1 ≤ z ⋅ z ≤ 4 som
1 ≤| z |2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤| z |≤ 2 . Sista relationen är uppfylld om punkten z ligger mellan (och på) två
cirklar | z |= 1 och | z |= 2 .
Svar b)
Uppgift 2.
a) Bestäm | w | om w =
b)
4 + 3i
.
4 − 3i
I ekvationen
2u + i ⋅ u = 6
är u ett komplext tal och u talets konjugat. Lös ekvationen med avseende på u.
c) (1p) Ekvationen
| z − i |=| z − 1 |
beskriver en rät linje i det komplexa tal planet.
Sätt z = x + iy och skriv ekvationen på formen y = kx + m .
Lösning:
a)
| 4 + 3i |
| w |=
=
| 4 − 3i |
25
25
=1
b)
Sida 12 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
2( x + yi) + i ⋅ ( x − yi) = 6 ⇒
2 x + y + i ⋅ ( x + 2 y) = 6
2 x + y = 6

x + 2 y = 0
⇒
⇒
x = 4 , y = −2 ⇒
u = 4 − 2i .
c)
| z − i |=| z − 1 | ⇒ | x + iy − i |=| x + iy − 1 | ⇒ | x + i ( y − 1) |=| x − 1 + iy |
⇒
x 2 + ( y − 1) 2 = ( x − 1) 2 + y 2 (Vi kvadrerar båda leden i ekvationen)
⇒ x + ( y − 1) = ( x − 1) + y
2
2
2
2
⇒
x + y − 2 y +1 = x − 2x +1+ y 2 ⇒
2
2
2
− 2 y = −2 x ⇒
y = x.
Svar: a) | w |= 1 b) u = 4 − 2i
Uppgift 3.
a) Bestäm det reella talet a så att
c)
y=x
1 + ai
blir reellt.
2 − 5i
π
i
b) Bestäm absolutbeloppet av w då w = i 29 ⋅ (e 4 ) 9 (3 + 3i ) 8 .
c) Bestäm z ur ekvationen
2 z + 3 z = 10 − 4i .
Lösning:
a)
1 + ai 1 + ai 2 + 5i (2 − 5a ) + (2a + 5)i
=
.
⋅
=
29
2 − 5i 2 − 5i 2 + 5i
Om detta tal skall vara reellt måste imaginärdelen vara 0, vilket ger 2a + 5 = 0 d v s
a = −5 / 2 .
b)
π
i
| w |=| i | 29 ⋅ | e 4 |9 | 3 + 3i |8 = 129 ⋅ 19 ⋅ (3 2 ) 8 = 38 ⋅ 2 4 = 104976 .
Sida 13 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
c)
Vi substituerar
z = a + bi, z = a − bi
i ekvationen
2 z + 3 z = 10 − 4i
och får
2( a + bi ) + 3( a − bi ) = 10 − 4i
5a − bi = 10 − 4i
 Re : 5a = 10
a = 2
⇒

Im : −b = −4 b = 4
Svar: a) a = −2.5
c) z = 2 + 4i
b) 38 ⋅ 24 = 104976
Uppgift 4.
1− i
+ 4i 89 .
2
(1 + i )
a) Bestäm imaginärdelen av z =
π
i
4 8
(e ) (2 + 2i ) 2
.
b) Bestäm absolutbeloppet av w då w =
i 10
c) Rita i det komplexa tal planet de punkter z som satisfierar
3π
≤ arg( z ) ≤ π .
1 ≤ | z | ≤ 4 och
4
Lösning:
i +1
(1 − i )i
−1 7
1− i
1− i
+ 4i =
+ 4i =
+ 4i =
+ i.
+ 4i 89 =
2
−2
2 2
2i ⋅ i
1 + 2i − 1
(1 + i )
7
Svar a) Im(z)=
2
a) z =
π
i
π
i
| e 4 |8 | 2 + 2i | 2 18 ⋅ ( 8 ) 2
(e 4 ) 8 (2 + 2i ) 2
b) | w |=|
=
=
|
= 8.
| i |10
i 10
| 1 |10
Svar b) | w |= 8
Svar c)
Sida 14 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift 5.
a) Bestäm imaginärdelen av z =
Komplexa tal
1 − 2i
+ 3i 37 .
1 + 2i
π
i
(e 3 ) 6 (1 + i ) 2
.
b) Bestäm argumentet av w då w =
i9
c) Ekvationen
| z − 1 − i |=| z − 3 − 3i |
beskriver en rät linje i det komplexa talplanet. Sätt z = x + iy och skriv ekvationen på formen
y = kx + m .
Lösning:
− 3 11
11
a) z =
+ i ⇒ Im( z ) =
5
5
5
11
Svar a) Im( z ) =
5
π π
6π
b) arg( w) =
+2 −
( +2 k π )
3
4 2
Svar b) arg( w) = 0 ( +2kπ )
c) Substitutionen z = x + iy i ekvationen | z − 1 − i |=| z − 3 − 3i | ger
| x + iy − 1 − i |=| x + iy − 3 − 3i | ⇒
( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 ⇒ ( efter kvadrering)
( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 ⇒
x 2 − 2x + 1 + y 2 − 2 y + 1 = x 2 − 6x + 9 + y 2 − 6 y + 9 ⇒
4 y = −4 x + 16 ⇒
y = −x + 4 .
Svar c) y = − x + 4
Uppgift 6.
a) Bestäm Re(w) om w = (1 + i )10 + i 44 .
Sida 15 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
b) I ekvationen
u + 3i ⋅ u = 8 + 2i
är u ett komplex tal.
Lös ekvationen med avseende på u.
c)
Bestäm | z 3 | och arg ( z 3 ) (som en reell funktion av parameter s)
4
då z 3 =
.
3 + ( s + 2)i
Lösning
a)
10
w = (1 + i ) + i
10
44
5π
π
i
i

=  2e 4  + 1 = 2 5 e 2 + 1 = 32i + 1 ⇒


Re( w) = 1
b)
( x + yi) + 3i ⋅ ( x − yi) = 8 + 2i ⇒
x + yi + 3xi + 3 y = 8 + 2i ⇒
( x + 3 y ) + (3 x + y )i = 8 + 2i ⇒
x + 3 y = 8
x + 3 y = 8

⇒ 
3 x + y = 2
− 9 x − 3 y = −6
⇒
− 8 x = 2 ⇒ x = −1 / 4
11
3
⇒y=
4
4
y = 11 / 4 ⇒
y = 2 − 3x ⇒ y = 2 +
x = −1 / 4 ,
− 1 11
u=
+ i.
4
4
c)
4
4
4
4
z3 =
⇒ z3 =
=
=
3 + ( s + 2)i
3 + ( s + 2)i
9 + ( s + 2) 2
s 2 + 4 s + 13
2+s
2+s
).
) = − arctan(
arg( z 3 ) = arg( 4) − arg(3 + ( 2 + s )i ) = 0 − arctan(
3
3
Svar: a)
Re( w) = 1
b)
u=
− 1 11
+ i
4
4
c) − arctan(
2+s
)
3
Uppgift 7.
a) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar
π
3π
både 1 ≤ z ≤ 4 och ≤ arg( z ) ≤
.
4
4
Sida 16 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
b) Bestäm | z 3 | och arg ( z 3 ) (som en reell funktion av parameter s)
5
då z3 =
, där s år ett reellt tal.
2 + ( s + 3)i
Lösning:
a)
Svar:
b) z 3 =
5
5
⇒ z3 =
=
2 + ( s + 3)i
2 + ( s + 3)i
5
4 + ( s + 3) 2
=
4
s 2 + 6s + 13
arg( z3 ) = arg(5) − arg(2 + (3 + s )i ) =
[eftersom Re( 2 + (3 + s )i )) = 2 > 0]
3+ s
)=
= (0 − arctan(
2
3+ s
).
− arctan(
2
3+ s
Svar: b) − arctan(
)
2
Uppgift 8. Det komplexa talet z1 = 2 + i är en lösning till ekvationen .
2 z 3 − 5 z 2 − 2 z + 15 = 0
.
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1 = 2 + i är en lösning ) ⇒ z 2 = 2 − i är också en
lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 2 − i )( z − 2 + i ) = ( z − 2) 2 − i 2 = z 2 − 4 z + 5 .
Polynomdivisionen ger
Sida 17 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Komplexa tal
(2 z 3 − 5 z 2 − 2 z + 15) /( z 2 − 4 z + 5) = (2 z + 3)
dvs
(2 z 3 − 5 z 2 − 2 z + 15) = ( z 2 − 4 z + 5)(2 z + 3) .
Den tredje lösningen får vi ur
(2 z + 3) = 0 ⇒ z3 =
−3
.
2
Svar: z1 = 2 + i , z 2 = 2 − i z 3 = −3 / 2
Uppgift 9.
Det komplexa talet z1 = 1 + i är en lösning till ekvationen
2 z 3 − 5z 2 + 6 z − 2 = 0 .
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och en komplex lösning z1 = 1 + i ) ⇒ z 2 = 1 − i är
också en lösning till ekvationen.
Därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 1 − i )( z − 1 + i ) = ( z − 1) 2 + 1 = z 2 − 2 z + 2
(2 z 3 − 5 z 2 + 6 z − 2) /( z 2 − 2 z + 2) = 2 z − 1 .
Den tredje roten får vi ur
1
2 z − 1 = 0 ⇒ z3 = .
2
Svar: z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i , z 3 =
1
2
Uppgift 10.
Bestäm alla (fyra) lösningar till ekvationen
z 4 + 16 = 0 .
Svara exakt på formen a + bi .
Lösning:
z 4 + 16 = 0 ⇒ z 4 = −16
z 4 = 16e πi
Sida 18 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
4
z = 16 e
( π + 2 kπ ) i
4
πi
z0 = 2e 4 = 2(cos
z1 = 2e
3 πi
4
z 2 = 2e
= 2(cos
5 πi
4
z 3 = 2e
Komplexa tal
k = 0,1,2,3
,
2
2
π
π
)= 2 +i 2
+ i sin ) = 2(
+i
4
4
2
2
− 2
3π
3π
2
) = − 2 +i 2
+ i sin ) = 2(
+i
4
4
2
2
5π
5π
− 2
+ i sin ) = 2(
−i
4
4
2
7π
7π
2
= 2(cos
+ i sin ) = 2(
−i
4
4
2
= 2(cos
7 πi
4
2
) = − 2 −i 2
2
2
) = 2 −i 2 .
2
Uppgift 11.
Betrakta ekvationen
z 4 + 81 = 0 .
a) Lös ekvationen och ange alla lösningar( 4 st) på formen
b) Ange alla lösningar på formen a + bi .
c) Pricka in lösningarna i det komplexa talplanet.
Lösning:
a)
z 4 + 81 = 0 ⇒ z 4 = −81 ⇒
iπ
z =81e
4
Svar a)
⇒
zk =3e
zk =3e
i (π + 2 kπ )
4
,
i (π + 2 kπ )
4
k = 0,1,2,3
,
k = 0,1,2,3
b)
z0 =3e
z1 =3e
3 iπ
4
iπ
4
= 3(cos
= 3(cos
π
π
+ i sin ) =
4
4
3
2
+i
3
2
3π
3π
−3
3
+ i sin ) =
+i
4
4
2
2
Sida 19 av 21
re iϕ
.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
z2 =3e
5 iπ
4
iπ
74
= 3(cos
Komplexa tal
5π
5π
−3
3
+ i sin ) =
−i
4
4
2
2
7π
7π
3
3
.
−i
)=
+ i sin
4
4
2
2
3
3
Svar b) ±
±i
2
2
z3 =3e
= 3(cos
Svar c)
Uppgift 12.
2+i
.
1 − 2i
b) (1p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen
a) (1p) Bestäm | w | om w =
z 300 =
1 i 3
+
,
2
2
där z är ett komplex tal.
c) (1p) Lös följande ekvation med avseende på z ( där z=x+yi är ett komplext tal)
2 z + z = 3 + 2i .
d) (1p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar
1 ≤ z − ( 4 + 4i ) ≤ 3 .
Lösning:
a) | w |=
|2+i|
4 +1
=
=1 .
| 1 − 2i |
1+ 4
Svar a: | w |= 1
Sida 20 av 21
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
b) z
300
= 1e
π
i
3
Komplexa tal
π
⇒z=e
( + 2 kπ ) i
3
300
k = 0, 1, 2,..., 299
π
Svar b: z = e
( + 2 kπ ) i
3
300
k = 0, 1, 2,..., 299
c) Vi substituerar z=x+yi i ekvationen
2 z + z = 3 + 2i
och får
2( x + yi) + ( x − yi) = 3 + 2i ⇒
3 x + yi = 3 + 2i ⇒
x = 1, y = 2
Svar c: z = 1 + 2i
d) Svar d:
Uppgift 13.
z1 = i är en lösning till ekvationen
z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2 = 0 .
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1 = i är en lösning ) ⇒ z 2 = −i är också en lösning
till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − i )( z + i ) = z 2 − i 2 = z 2 + 1 .
Polynomdivisionen ger
( z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2) /( z 2 + 1) = z 2 + 3z + 2
Två lösningar till får vi ur
z 2 + 3z + 2 = 0 ⇒ z3 = −1, z4 = −2
Svar: z1 = i , z 2 = −i , z 3 = −1,
z 4 = −2
Sida 21 av 21