Matematikcentrum
Matematik NF
Projekt 1 för Algebra 1
Pythagoreiska triplar
Förkunskaper: Elementär skolalgebra, begreppet största gemensam delare (SGD), aritmetikens fundamentalsats.
Genom hela arbetet betecknar variabler positiva heltal.
Definition 1 Om x2 + y 2 = z 2 så kallas tripeln (x, y, z) en pythagoreisk tripel.
Eftersom 32 + 42 = 52 så är (3, 4, 5) en pythagoreisk tripel. (9, 12, 15) är också en sådan.
Vi noterar att SGD(3, 4, 5) = 1 medan SGD(9, 12, 15) = 3.
Definition 2 Om (x, y, z) är en pythagoreisk tripel sådan att SGD(x, y, z) = 1 så kallas
(x, y, z) en primitiv pythagoreisk tripel.
(3, 4, 5) är alltså en primitiv pythagoreisk tripel.
Delmoment
1. Försök hitta ytterligare några primitiva pythagoeriska triplar.
2. Visa att om (x, y, z) är en primitiv pythagoreisk tripel så är det ena av talen x och y
jämnt, det andra udda.
Vi skall visa att om x är udda så gäller att
(a)
(x, y, z) är en primitiv pythagoreisk tripel
om och endast om
(b)
det finns udda tal u och v sådana att
x = uv,
u2 − v 2
y =
,
2
u2 + v 2
z =
,
2
u > v och SGD (u, v) = 1.
23 februari 2010
Var god vänd!
3. Ge, innan vi bevisar detta, exempel på något tiotal primitiva pythagoreiska triplar.
4. Visa att (b) ⇒ (a).
Uppgifterna ??–?? nedan syftar till att visa att (a) ⇒ (b).
5. Låt (x, y, z) vara en primitiv pythagoreisk tripel med x udda. Vi noterar att
x2 + y 2 = z 2 ⇒ x2 = z 2 − y 2 = (z + y)(z − y),
sätter m = z + y och n = z − y och det följer att x2 = mn. Visa att såväl m som n
är udda samt att m och n är relativt prima.
6. Visa att m och n båda är heltalskvadrater, dvs att det finns heltal u och v sådana att
m = u2 , n = v 2 .
7. Visa att u och v är udda, u > v samt SGD(u, v) = 1.
8. Visa att
x = uv,
u2 − v 2
,
y =
2
u2 + v 2
z =
.
2
9. Visa att de härledda nödvändiga och tillräckliga villkoren för att (x, y, z) ska vara en
primitiv pythagoreisk tripel med x udda, är ekvivalenta med att det finns tal p och q
sådana att
x = p2 − q 2 ,
y = 2pq,
z = p2 + q 2 ,
p > q, p − q är udda och SGD(p, q) = 1.
10. Ta reda på några historiska fakta om pythagoreiska triplar.
