INLÄMNINGSUPPGIFT 2
MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK,HF1003
( MATEMATISK STATISTIK)
[email protected]
www.sth.kth.se/armin
tel 08 790 4810
Inlämningsuppgift 1 består av fem uppgifter. Låt a, b, c och d beteckna de sista
fyra siffrorna i ditt personnummer.
T ex, om du har pn. 751506 2348 så är a=2 , b=3, c=4 och d=8 som du
substituerar i dina uppgifter och därefter löser dem.
Använd Maple för att lösa följande uppgifter. Individuellt arbete.
Uppgift 1) ( Simulering av en poissonfördelning )
Definiera en lista L med (400 +a+b+c+d )slumpvis valda tal (Poisson fördelning med
parameter 43+a) med kommandon:
with(stats);
with(random);
L:=[poisson[43+a](400+a+b+c+d)];
a) Beräkna sedan summan av alla tal i listan som är (mindre än 50 eller större än 53+a+2).
b) Hur många sådana tal finns det i listan?
c) Beräkna summan av alla tal i listan som är (större än 50 och mindre än 53+a+2).
d) Hur många sådana tal finns det i listan?
e ) Hur många tal som är (lika med 50 eller lika med 53+a+2) finns det i listan?
f) Dela intervallet [0, 100] i 5 klasser ( delintervall) [0,20),[20,40), [40,60), [60,80),[80,100]
och bestäm motsvarande frekvenser dvs bestäm hur många element finns i varje klass.
Uppgift 2)
a) I en grupp finns det 15 kvinnliga och 14 manliga studenter. Man skall välja ett lag på
9 personer. Positionerna i laget bestäms vid ett senare tillfälle så vi bryr oss inte om
dessa.
Man väljer ett lag på måfå. Bestäm sannolikheten att i detta lag är kvinnorna i
majoritet?
Uppgift 3)
En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter)
och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung.
Ur en kortlek på 52 kort väljer man slumpvis 5 kort.
Vad är sannolikheten för
a) ett par och ett triss ( t ex 5,5, 7,7,7)
b) fyrtal
( ett fyrtal är t ex 8,8,8,8,3)
c) alla kort i samma färg ( t ex 5 hjärter)
Uppgift 4) Födelsedagsproblemet.
Antag att det finns (30+a) elever i en klass.
Vi betraktar ett år med 365 dagar och antar att alla dagar är lika sannolika som födelsedagar
(approximativt sant i verkligheten) .
a) Beräkna sannolikheten att alla elever i klassen har olika födelsedagar.
( Tips: Beräkna sannolikheten genom att ” gå igenom ” klassens elever en efter en och
beräkna sannolikheten att inte ha födelsedag som någon av de tidigare.
b) Beräkna sannolikheten att det finns några elever i klassen med (30+a) studenter som har
samma födelsedag.
c) Undersök om några studenter i din klass har samma födelsedag.
d) Simulering: För att kontrollera resultat i b) kan du förstås gå till en skola med flertal
klasser och undersöka i hur många klasser har några studenter samma födelsedag, men du
kan också kontrollera resultat i b) med hjälp av simulering.
Du ska simulera 100 klasser med (30+a) studenter och deras födelsedagar.
(En födelsedag kan du simulera genom att välja ett slumpvis heltal mellan 1 och 365
Lämpliga kommandon
randomize(a+b+c+d);
Klass[1]:=[seq(rand(1..365)(),k=1..30+a)];
Klass[2]:=[seq(rand(1..365)(),k=1..30+a)];
Klass[3]:=[seq(rand(1..365)(),k=1..30+a)];
……………..
Därefter kollar du om det finns några med samma födelsedag (d v s om en ett tal mellan 1 och
365 förekommer mer en än gång)
För att kolla om det finns några lika element i Klass[1] kan du till ex. omvandla listan
Klass[1] till en set r[1]
r[1]:=convert(Klass[1],set);
och jämföra antal element i de.
if nops(r[1])=nops(Klass[1]) then
"alla har olika födelsedagar " else "det finns studenter som
har samma födelsedag " end if;
e) I hur många av de 100 klasser finns det studenter som har samma födelsedag?
f) Jämför resultat i e) med sannolikheten i b)
Uppgift 5) Oberoende stokastiska variabler ξ och η har frekvensfunktioner:
⎧ bx, för 0 < x < 1
⎧ a( x + 2), för 0 < x < 1
⎪
,
fξ ( x ) = ⎨
fη ( x) = ⎨bx 2 , för 1 ≤ x ≤ 2
0 för övrigt
⎩
⎪ 0 för övrigt
⎩
ii) Bestäm väntevärden E( ξ )
i) Bestäm värdet på a
iii) Bestäm variansenVar( ξ )
iv) Bestäm värdet på b
v) Bestäm väntevärden E( η )
vi) Bestäm variansen Var( η )
vii) Bestäm väntevärdet och variansen för 20 ξ +10 η .
Lämpliga formler:
Väntevärden: μ =E( ξ )=
+∞
∫ xfξ ( x)dx
−∞
Lycka till!
Variansen: Var( ξ ) =
+∞
∫ (x − μ)
−∞
2
fξ ( x)dx
