1 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
TILLÄMPNINGAR AV DETERMINANTER
Inversa matriser och determinanter.
En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om
det( A) ≠ 0 ⋅
Eftersom matrisen A är inverterbar om och endast om rang(A)= n har vi följande sats:
det( A) ≠ 0 ⇔ (A är inverterbar) ⇔ (rang(A)= n) ⇔ (A har n oberoende rader)
⇔ (A har n oberoende kolonner)
Ovanstående påstående kan användes för att bestämma om n vektorer i Rn är linjärt
beroende eller oberoende. Man kan skriva vektorerna som rader (eller kolonner) och
bilda en kvadratisk matris A av typ n × n . Då är raderna är oberoende om och endast om
det( A) ≠ 0 .
Uppgift 1.
För vilka värden på den reella parametern a är matrisen A inverterbar om
⎡a 1 1⎤
⎡ a − 3⎤
⎡ a 1⎤
⎢
⎥
i) A = ⎢
⎥ i) A = ⎢ − 2 a ⎥ iii ) A = ⎢ 2 a 1⎥
−
2
a
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣⎢ 4 3 2⎦⎥
Lösning: i) det(A)= a 2 − 6 .
Härav det( A) = 0 ⇔ a 2 − 6 = 0 ⇔ a = ± 6 .
Matrisen är inverterbar om a ≠ ± 6 .
ii) det(A)= a 2 + 2 .
Härav det( A) = 0 ⇔ a 2 + 2 = 0 saknar reella lösningar
Matrisen är inverterbar för alla reella a.
iii) det(A)= 2a 2 − 7a + 6 .
det( A) = 0 ⇔ a = 2 eller a = 3 /2 .
Matrisen är inverterbar om a ≠ 2 och a ≠ 3 /2 .
Uppgift 2.
För vilka värden på den reella parametern a är vektorerna
(a,2,2) , (3, a,2) , (5,5,6) beroende.
Lösning: Vi bildar matrisen A av typ 3 × 3
⎡ a 2 2⎤
A = ⎢ 3 a 2⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣ 5 5 6⎥⎦
det(A)= 6a 2 − 20a + 14 ,
det(A)=0 ⇔ om a = 1 eller a = 7/3 .
2 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
Svar: vektorerna beroende om a = 1 eller a = 7/3 .
Beräkning av inversen för en n × n matris med hjälp av
"kofaktor -matrisen".
Låt A vara en inverterbar kvadratisk matris ( det A ≠ 0) av typ n × n och D= det(A)
tillhörande determinant
Låt vidare Dij vara den subdeterminanten som fås då rad i och kolonn j stryks ur D
Determinanten Cij = (−1)i+j Dij kallas kofaktorn till elementet aij ( eller kofaktorn till
platsen i,j )
Låt C vara en matris som består av alla kofaktorer dvs
⎡C11 C12 ... C1n ⎤
⎢C
C 22 ... C 2 n ⎥⎥
21
⎢
C=
⎢ ...
... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎣C n1 C n 2 ... C nn ⎦
Då gäller
A −1 =
1
CT
det( A)
( där C T betecknar transponat till C)
Uppgift 3.
⎡ 3 2 1⎤
Beräkna inversen till A = ⎢0 2 0⎥ .
⎥
⎢
⎢⎣0 0 5⎥⎦
Lösning:
Eftersom det(A)= 30 ≠ 0 är matrisen inverterbar.
Först beräknar vi alla kofaktorer dvs subdeterminanter med motsvarande tecken.
C11 = +
2 0
= 10
0 5
C12 = −
0 0
=0
0 5
2 1
3
= −10
C 22 = +
0 5
0
2 1
3
C 31 = +
= −2
C 32 = −
2 0
0
Nu bildar vi en "kofaktor - matris"
0
⎡C11 C12 C13 ⎤ ⎡ 10
⎢
⎥
⎢
C = ⎢C 21 C 22 C 23 ⎥ = ⎢− 10 15
⎢⎣C 31 C 32 C 33 ⎥⎦ ⎢⎣ − 2 0
C 21 = −
⎡10 − 10 − 2⎤
Härav C = ⎢⎢ 0 15
0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
6 ⎥⎦
Till slut
T
1
= 15
5
1
=0
0
0⎤
0⎥⎥
6⎥⎦
C13 = +
0 2
=0
0 0
3 2
=0
0 0
3 2
C 33 = +
=6
0 2
C 32 = −
3 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
⎡10 − 10 − 2⎤ ⎡1 / 3 − 1 / 3 − 1 / 15⎤
1
1 ⎢
T
0 15
0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0
1/ 2
0 ⎥⎥
A =
C =
⎢
det( A)
30
⎢⎣ 0
0
6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
1 / 5 ⎥⎦
−1
BERÄKNING AV VEKTORPRODUKTEN
r r
u × v I ETT ON-KOORDINATSYSTEM
r r r
r r r
För ortonormerade basvektorer som vi betecknar i , j , k ( eller ex , e y , ez ) gäller enligt
definitionen
r r r
r r r
r r r
j× j =0,
i ×i = 0,
k ×k = 0,
r
r r r
r r
i × j =k ,
j × i = −k ,
r r
r r r
r
j ×k = i ,
k × j = −i ,
r r r
r r
r
k ×i = j ,
i ×k = − j .
z
k
y
O
x
i
j
r r
Vi kan använda ovanstående resultat för att beräkna u × v för två vektorer
r
r
u = ( x1 , y1 , z1 ) och v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) vars koordinater är givna i ett ON-kordinatsystem.
Vi har:
r
r
r
r
r
r
= ( x1i + y1 j ,+ z1k ) × ( x2 i + y 2 j + z 2 k )
r
r r r r r
Vi använder i × j = k , j × i = −k ,...)
r
r
r
r r
u × v = ( y1 z 2 − y2 z1 )i + ( x2 z1 − x1 z 2 ) j + ( x1 y2 − x2 y1 )k
F1
Formeln F1 är svårt att komma ihåg. Man kan använda följande symbolisk determinant för
r r
att beräkna u × v .
r
i
r r
u × v = x1
x2
r
j
y1
y2
r
k
z1
z2
Anmärkning: Vi får samma resultat i b om vi beräknar följande determinant:
r
i x1 x2
r r r
u × v = j y1 y2
r
k z1 z2
Uppgift 4.
r r
Vi kan använda ovanstående resultat för att beräkna u × v för två vektorer
r
r
Låt u = (1, 2, 3) och v = ( 2,2,5) vars koordinater är givna i ett ON-kordinatsystem.
r r
Beräkna u × v .
Lösning:
4 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
r
i
r r
u × v = x1
x2
r
j
y1
y2
r
k
Tillämpningar av determinanter
r r
j k
r
i
r
r2 3 r1 3 r1 2
r r
z1 = 1 2 3 = i
−j
+k
= 4i + j − 2k
2 5
2 5
2 2
z2
2 2 5
r r
Alltså u × v = (4, –1, 2).
r r
Svar: u × v = (4, 1,−2)
r r
Uppgift 5. Beräkna vektorprodukten u × v då
⎛ 2⎞
⎛ 0⎞
r
r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟
v
a) u = (4,2,0) och v = (−1,1,2)
b) u = ⎜ 1 ⎟ , v = ⎜ 1 ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Lösning:
a)
r
i
r r
u × v = x1
x2
b)
r
i
r r
u × v = x1
x2
r
j
y1
y2
r
j
y1
y2
r
r r r
k
i
j k
r
r2 0 r 4 0 r 4 2
r
r
z1 = 4 2 0 = i
− j
+k
= 4i − 8 j + 6k = (4,−8,6)
1 2
−1 2
−1 1
z2
−1 1 2
r
r r r
k
i j k
r
r1 1 r 2 1 r 2 1
r
r
z1 = 2 1 1 = i
−j
+k
= 0i − 2 j + 2k = (0,−2,2)
1 1
0 1
0 1
z2
0 1 1
Anmärkning: Vi får samma resultat i b om vi beräknar följande determinant:
r
i x1 x2
r r r
u × v = j y1 y2
r
k z1 z2
=========================================
SKALÄR TRIPPELPRODUKT
r
r
r
Låt u = ( x1 , y1 , z1 ) , v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) och w = ( x 3 , y 3 , z 3 ) vara tre vektorer.
r r r
Skalär trippelprodukt definieras som talet (u × v ) o w och kan beräknas direkt, enligt
r r
r r r
definitionen [först vektorprodukt (u × v ) och därefter (u × v ) o w ].
Ett enkelt sätt att beräkna skalära trippelprodukten är beräkning med hjälp av fäljande
determinant:
x1
r r r
(u × v ) o w = x 2
x3
y1
z1
y2
y3
z2
z3
Geometriska tillämpningar:
r
r
Låt ur = ( x1 , y1 , z1 ) och v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) w = ( x 3 , y 3 , z 3 ) vara tre vektorer i rummet.
5 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
Då gäller :
C
B
r r
r
1. Den parallellepiped som bestäms (späns upp) av u , v och w har volymen
x1 y1 z1
r r r
V =| (u × v ) o w |=| x 2 y 2 z 2 |
x3 y 3 z 3
r r r
⎧ V om u , v , w bildar högersystem
r r r ⎪
r r r
2. (u × v ) o w = ⎨− V om u , v , w bildar vänstersystem
r
⎪ 0 om och endast om ur, vr , w
är komplana vektorer
⎩
r r r
r r r
3. (u × v ) o u = 0 , (u × v ) o v = 0
r r r r r r
4. (u × v ) o w = u o ( w × v )
r r r
r r r
5. Om vi betecknar kortare [u , v , w] = (u × v ) o w då har vi följande relationer beroende på
ordningen mellan vektorerna.
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
[u , v , w] = [ w, u , v ] = [v , w, u ] = − [v , u , w] = −[ w, v , u ] = −[u , w, v ]
6. Den pyramid som bestäms
r r
r
(späns upp) av u , v och w har
volymen V =
C
1 r r r
| (u × v ) o w |
6
B
============================================================
Uppgift 7. Beräkna arean av den parallellogram som späns upp av vektorerna
r
v
a) u = (1,2,0) och v = (−1,1,−2)
Lösning:
r r
Parallellogrammens area är A= | u × v |
6 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
r r r
i
j k
r r
Först u × v == 1 2 0 = L = (-4,2,3)
−1 1 − 2
r r
Härav arean A= | u × v |= 16 + 4 + 9 = 29
Svar: Parallellogrammens area är A=
Tillämpningar av determinanter
29 a.e.
Uppgift 8.
a) Beräkna arean av triangeln ABC då
A= ( 1,2,2), B=(1,3,4) och C=( 1,3,6).
b) Beräkna längden av höjden i triangeln ABC, som går från punkten C till sidan AB.
Lösning:
→
→
AB = (0,1,2),
AC = (0,1,4)
r r r
i j k
→
→
r
AB× AC = 0 1 2 = 2i = (2,0,0)
0 1 4
→
→
| AB× AC | =2
Arean(ABC)=
→
1 →
| AB× AC |= 1
2
→
→
b) Först AB = (0,1,2) , och därför | AB |= 5
Vi har redan beräknat arean av triangeln arean=1.
Eftersom arean kan beräknas med hjälp av formeln
→
| AB | ⋅hc
arean =
( ” basen * höjden /2 ”)
2
2 ⋅ arean 2 ⋅1 2
har vi hc =
=
=
→
5
5
| AB |
Svar: a) arean = 1 a e.
b) höjden hc =
2
5
Anmärkning: Vektorprodukt är definierad för vektorer i 3D rummet. Några problem i 2D
omvandlar vi till 3D genom att lägga till z=0 som tredje koordinat. Därefter kan vi använda
formler som inkluderar vektorprodukt.
Uppgift 9. Beräkna arean av triangeln PQR som ligger i xy- planet då
P= ( 1,2), Q=(2,3) och R=( 2,4).
Lösning: Vi inför tredje koordinat z= 0 och beräknar arean av triangeln med hörnen i
punkterna
7 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
A= ( 1,2,0), B=(2,3,0 ) och R=( 2,4,0).
→
Vi har AB = (1,1,0),
→
AC = (1,20)
r r r
i j k
→
→
r
AB× AC = 1 1 0 = (2 − 1)k = (1,0,0) ,
1 2 0
→
→
och därför | AB× AC |= 1 = 1
→
1 →
1
Arean(ABC)= | AB× AC |=
2
2
Uppgift 10. Visa att arean av den parallellogram som späns upp av tvådimensionella
x y1
r
r
vektorer u = ( x1 , y1 ) och v = ( x 2 , y 2 ) är lika med A= | 1
| . ( koordinater är i ett ON
x2 y 2
system).
Lösning: Vi lägger till tredje koordinaten z=0 och överför frågan till ett ekvivalent problem i
3D.
r
r
Vi betecknar U = ( x1 , y1 ,0) , och V = ( x 2 , y 2 ,0) och beräknar vektorprodukten
r r r
i
j k
r r
x y1 r
U × V = x1 y1 0 = 1
⋅k
x2 y 2
x2 y 2 0
r
r
Lägg märke till att | λ ⋅ k |=| λ | ⋅ | k |=| λ | ⋅1 =| λ |
Därför blir arean av parallellogrammen
r r
x y1 r
x y1
A = | U × V |=| 1
| ( Vad skulle bevisas)
⋅ k |=| 1
x2 y 2
x2 y 2
Uppgift 11. Vi betraktar tre punkter i ett xy-plan P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) och R ( x3 , y3 ) . Visa att
arean av arean av triangeln PQR är lika med är lika med
1 ( x − x ) ( y2 − y1 )
A= | 2 1
| . ( koordinater är i ett ON system).
2 ( x3 − x1 ) ( y3 − y1 )
Lösning:
r →
r →
Låt u = PQ = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) och v = PR = ( x3 − x1 , y3 − y1 )
Enligt föregående uppgift är arean den parallellogram
→
→
( x − x ) ( y2 − y1 )
som späns av PQ och PR lika med | 2 1
|.
( x3 − x1 ) ( y3 − y1 )
Därmed blir arean av triangeln PQR
8 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Tillämpningar av determinanter
1 ( x − x ) ( y2 − y1 )
A= | 2 1
( vad skulle visas)
|
2 ( x3 − x1 ) ( y3 − y1 )
.
Arean av triangeln PQR är lika med en halv av arean den paralellogram
r
r
som späns av u = ( x1 , y1 ) och v = ( x 2 , y 2 )
Uppgift 12. Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av
r
r
r
vektorerna a = ( 1,2,3), b =(2,3,0) och c =( 1,4,0) .
Lösning:
1 2 3
2 3
r r r
(a × b ) o c = 2 3 0 = 3
= 15
1 4
1 4 0
r r r
Volymen=| (a × b ) o c |=|15|=15
Svar: 15 v e.
r
r
r
Uppgift 13. Använd trippelprodukten för att visa att a = ( 2,2,3), b =(2,3,0) och c =( 6,8,3)
är komplana vektorer.
2 2 3
r r r
(a × b ) o c = 2 3 0 = 0 ⇒
r r
r
a , b och c är komplana vektorer (V.S.B.)
6 8 3
r
r r r
r
Uppgift 14. Låt a och b vara två vektorer i rummet. Beräkna (a × b ) o c om
r
r
r
r
r
r
r
i) c = 3a , ii) c = 5 b iii) c = 2a – 10 b
r r
r
Lösning. Svaret är 0 för alla tre fall eftersom a , b och c är linjärt beroende( och därmed
komplana) vektorer.
Uppgift 15. Bevisa
r r
r r
r r
| a × b | 2 + | a ⋅ b | 2 =| a | 2 | b | 2
Lösning:
Enligt produkternas definitioner har vi för vänsterledet (VL):
r r
r r
r r
r r
VL= | a × b | 2 + | a ⋅ b | 2 = (| a || b | sin θ ) 2 + (| a || b | cosθ ) 2
r r
=| a | 2 | b | 2 (sin 2 θ + cos 2 θ )
( trigonometriska ettan )
r r
=| a | 2 | b | 2 = HL
r r
r r
r r
Alltså | a × b | 2 + | a ⋅ b | 2 =| a | 2 | b | 2 (V.S.B.)
Uppgift 16.
r r
r
Låt u , v och w vara tre vektorer i rummet som satisfierar
r r
r r
r r
(u × v ) + 2(u × w) + 8( w × v ) = 0 .
9 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
r r
Visa att u , v och
Tillämpningar av determinanter
r
w är komplana vektorer.
( Tips: skalärmultiplicera relationen med en av vektorerna)
Lösning:
r r
r r
r r
r
Vi skalärmultiplicerar (u × v ) + 2(u × w) + 8( w × v ) = 0 med w och får
r r r
r r r
r r r
(u × v ) ⋅ w + 2(u × w) ⋅ w + 8( w × v ) ⋅ w = 0
r r r
r r r
Eftersom (u × w) ⋅ w =0 och ( w × v ) ⋅ w = 0 har vi
r r r
(u × v ) ⋅ w +0+0=0
dvs
r r r
(u × v ) ⋅ w =0
r r
r
som implicerar att u , v och w är komplana vektorer (V.S.B)
r r r
Skalär trippelprodukt definieras som talet (u × v ) o w och kan beräknas direkt, enligt
r r
r r r
definitionen [först vektorprodukt (u × v ) och därefter (u × v ) o w ].
Uppgift 17. Ett koordinatsystem Oxyz är definierat i ett rum ( rät block) med dimensioner
8m×6m× 3m, enligt bilden nedan. Dessutom gäller CG=2m , AF=6m , DE=2m.
Beräkna volymen av pyramiden OGEF.
Lösning: Volymen av parallellepipeden som späns upp av vektorerna
→
OG = (0,2,3) ,
0 2
V1= | 6 6
6 8
→
→
OF = (6,6,0) och OE = (6,8,2) är
3
0 | =12.
2
1
⋅ 12 =2.
6
Svar: Volymen av pyramiden OGEF 2 m3 .
Volymen av pyramiden OGEF är
r
r
Uppgift 18. Låt ur = ( x1 , y1 , z1 ) och v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) w = ( x 3 , y 3 , z 3 ) vara tre vektorer i rummet.
Bevisa formeln
10 av 10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
x1
r r r
(u × v ) o w = x 2
x3
y1
z1
y2
y3
z2
z3
Lösning:
Vänsterledet:
Först vektorprodukten ( enligt formeln F1)
r
r
r
r r
u × v = ( y1 z 2 − y 2 z1 )i + ( x 2 z1 − x1 z 2 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 )k
Därför
r r r
(u × v ) ⋅ w = x3 ( y1 z 2 − y 2 z1 ) + y3 ( x2 z1 − x1 z 2 ) + z3 ( x1 y 2 − x2 y1 )
Högerledet:
Vi utvecklar determinanten efter tredje raden och får
x1 y1 z1
y z1
x z1
x y1
x2 y2 z 2 = x3 ⋅ 1
− y3 ⋅ 1
+ z3 ⋅ 1
y2 z 2
x2 z 2
x2 y 2
x3 y3 z3
= x3 ( y1 z 2 − y2 z1 ) − y3 ( x1 z2 − x2 z1 ) + z3 ( x1 y2 − x2 y1 )
= x3 ( y1 z 2 − y2 z1 ) + y3 ( x2 z1 − x1 z2 ) + z3 ( x1 y2 − x2 y1 ) (**)
Från (*) och (**) har vi
x1
r r r
(u × v ) ⋅ w = x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 ,
z3
vad skulle bevisas.
Tillämpningar av determinanter
(*)
