2 Geometri Geometri är ett område som brukar uppskattas av eleverna, och på den här nivån inte upplevas så svårt. En hel del av det som tas upp i kapitlet har eleverna mött tidigare. Huvudsyftet med kapitlet är att eleverna ska få en känsla för olika dimensioner. Kapitlet inleds med ett uppslag som lämpar sig väl för gemensamma diskussioner om endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella figurer och kroppar samt enheter för de olika dimensionerna. Sedan behandlas begreppen kring olika tredimensionella kroppar liksom begrepp kopplade till månghörningar. En kort genomgång av hur man mäter vinklar och beräknar vinkelssummor leder vidare till hur man definierar olika trianglar och fyrhörningar. Begreppen omkrets och area tas upp och metoder för att beräkna omkrets och area för månghörningar och sammansatta figurer. Enkel volymberäkning av rätblock och enkel beräkning av begränsningsarea avslutar kapitlet. Vi har valt att ta upp cirkelns omkrets och area, volymen av cylindern och spetsiga kroppar samt enhetsomvandlingar i årskurs 8. Här i årskurs 7 fokuserar vi på de tre dimensionerna så att eleverna kan se likheter och skillnader mellan dessa och inser att det krävs olika enheter för att beskriva dem. Blå kurs är parallell med grön kurs. Avsnitten hur man beräknar area av en parallellogram och hur man ritar ett rätblock tas inte upp på blå kurs. Eftersom kurserna är parallella så kan man i Lärarguiden hitta tips och kommentarer som rör den blå kursen under motsvarande avsnitt i den gröna kursen. Röd kurs är parallell med grön kurs. Flera av de moment som tas upp på grön kurs fördjupas i röd kurs. Till exempel får eleverna här möjlighet att arbeta med olika månghörningars vinkelsumma, dra höjder i en trubbvinklig triangel, undersöka platonska kroppar och beräkna volym av prismor och parallellepipeder. 1 2 Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra hopp, där de snurrar i luften. När de gör en ”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar 360°. Då har de snurrat ett helt varv. Geometri ●● Hur många varv har snowboardåkaren snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”? ●● En Big Jump-åkare har just satt rekord med sina två skidor och gjort en ”sextontjugo”. Hur många varv är det? 2 Kommentarer och svar ●● När en snowboardåkare har gjort en ”sju tjugo” så har hon snurrat 720°. 720° = 2 · 360° Innehåll Mål När du arbetar med det här kapitlet Snowboardåkaren har alltså snurrat 2 varv. får du lära dig ●● När en Big air-åkare har gjort en ” sexton tjugo” har 1 620° han snurrat 1 620°. Det motsvarar ______ = 4,5 varv. 360° ●● att beskriva olika slags vinklar, månghörningar och kroppar ●● att beräkna omkrets och area av månghörningar ●● att beräkna volym av prismor ●● några enheter för längd, area och volym ●● att beräkna arean av begränsningsytor Begrepp endimensionell Begrepp längd sträcka meter tvådimensionell area yta kvadratmeter tredimensionell hörn prisma rätblock kub trubbvinklig triangel månghörning parallell sida parallelltrapets diagonal rät vinkel spetsig vinkel trubbig vinkel rak vinkel kropp vinkelsumma kubikmeter likbent triangel sidoyta basyta spetsvinklig triangel pyramid volym kant rätvinklig triangel liksidig triangel ●● En linje har en dimension – parallellogram längd. romb ●● En yta har två dimensioner – kvadrat längd och bredd. rektangel bas ●● En kropp har tre dimensioner – höjd längd, bredd och höjd. begränsningsyta 54 Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet: Geometri ●● Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt. ●● Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. ●● Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta. 55 Motsvarande centralt innehåll för årskurs 4–6: Geometri ●● Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. ●● Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer. ●● Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. ●● Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Mätningar med användning av nutida och äldre metoder. 54 55 G Olika dimensioner Syftet med avsnittet är att eleverna ska bekanta sig med de tre dimensionerna och vilka enheter som ska användas för de olika dimensionerna. I det centrala innehållet för åk 7–9 står att eleverna ska möta ”Geometriska objekt och dess inbördes relationer”. Här tas de upp samtidigt för att eleverna ska kunna jämföra och se skillnader mellan de olika dimensionerna. Eleverna får då en bra grund inför kommande avsnitt där de ska beräkna både omkrets, area och volym. Traditionellt används två olika enhetssystem för att mäta volym, en för vätskor och en för fasta kroppar. Vätskor anges ofta i enheterna liter, deciliter, centiliter och milliliter medan man för kroppar använder enheterna m3, dm3, cm3 och mm3. Eleverna får här bekanta sig med enheterna för fasta kroppar. Enheterna för vätskor har de mött under tidigare skolår. Stora mängder vätskor, som till exempel hur mycket vatten som ryms i en simbassäng eller hur mycket olja som finns i en oljecistern brukar dock anges i kubikmeter, m3. Kommentarer till uppgifter Grundkurs Olika dimensioner G Enheter för olika dimensioner En kropp är tredimensionell: En yta är tvådimensionell: Höjd Längd En linje är endimensionell: Föremål som är tredimensionella kallas för kroppar. 1 Vilka av figurerna har a) längd, bredd och höjd ●● att förklara vad som menas med olika dimensioner, endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell A B C ●● begreppen endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell, kropp, yta, sträcka, längd, bredd, höjd, area, volym, meter, kvadratmeter, kubikmeter Tänk på ●● Det kan underlätta för eleverna att man konkretiserar och visar verkliga ytor och kroppar. Använd gärna mjölkpaket, pastakartonger, kakelplattor, papper och andra vardagliga föremål för att tydliggöra vad ytor och kroppar är. Alla föremål är tredimensionella men ett föremåls yta är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tredimensionellt. ●● Påpeka att det är en svårighet att visa endimensionella objekt eftersom de blir tvådimensionella så fort man har ritat dem. Ett sätt kan vara att man ritar två punkter på tavlan och att man tänker sig att avståndet mellan två punkter blir en endimensionell sträcka. ●● Bygg gärna en kubikmeter så att eleverna får en känsla för storleken. Det finns byggsatser att köpa med rör som kanter. Visa även modeller av en kubikdecimeter och en kubikcentimeter. Berätta att en kubikdecimeter är lika mycket som en liter och kubikcentimeter är lika mycket som en milliliter. 56 2 GEOMETRI 3 Uppgiften kan fungera som utgångspunkt i diskussion kring svårigheten att rita en endimensionell figur. När man ritar en linje kan den uppfattas som tvådimensionell. Ett sätt att åskådliggöra en endimensionell sträcka är att tänka sig avståndet mellan två kryss. 5 Uppgiften är tänkt att ge eleverna en känsla för vilka typer av enheter som används tillsammans med olika dimensioner. Även om eleverna inte känner till begreppet potens ännu kan man ändå låta dem fundera över varför enheterna m, m2, m3 ser ut som de gör. Använd gärna klassrummet som utgångspunkt. 8 Som extrauppgift kan man låta eleverna formulera en liknande uppgift och sedan byta med en kompis. Barnet är en meter långt, golvet är 4 kvadratmeter stort och kuben är en kubikmeter stor. Välj den enhet man använder när man ska ange a) hur stort golvet i ett rum är m b) hur mycket luft som finns i ett rum m2 m3 c) hur lång golvlisten är i ett rum D d) hur stor en gräsmatta är e) hur långt ett staket är f) hur mycket vatten som får plats i ett badkar. 2 6 Vilka av figurerna är a) tredimensionella A a) meter b) tvådimensionella B C Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel på föremål som mäts i enheten D E 7 8 3 Vilken dimension har sträckan mellan kryssen? 4 Ge exempel på något som är a) tredimensionellt b) tvådimensionellt c) endimensionellt 56 b) kvadratmeter c) kubikmeter När man ska mäta behöver man ibland mindre enheter än meter, kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel på några andra mindre enheter för a) längd ●● att förklara vad det är för likheter och olikheter mellan begreppen längd, area och volym ●● använda och välja olika enheter för olika dimensioner 5 b) endast längd och bredd Lärandemål Här ska eleverna lära sig: 3D När vi mäter något som är tredimensionellt, så mäter vi volymen av en kropp. Enheten kan vara kubikmeter. En kubikmeter förkortas m3. När man ritar något som ska vara endimensionellt så blir det tvådimensionellt. Även om man använder en smal penna så får strecket man ritar en bredd och en längd. Längd Bredd 2D När vi mäter något som är tvådimensionellt, så mäter vi arean av en yta. Enheten kan vara kvadratmeter. En kvadratmeter förkortas m2. Längd Bredd G 1D När vi mäter något som är endimensionellt, så mäter vi längden av en sträcka. Enheten kan vara meter. En meter förkortas m. Vi lever i en tredimensionell värld. Allt vi ser runt omkring oss har tre dimensioner. Det har längd, bredd och höjd. Alla uppgifter i det här avsnittet lämpar sig väl till att ha gemensamma diskussioner kring. Uppgifterna behandlar viktiga, grundläggande begrepp i geometri. b) area Här ser du enheterna m, m2 och m3 . Lisa har skrivit det här på en lapp: Låt eleverna själva fundera över begreppen tredimensionell, tvådimensionell och endimensionell genom att fråga eller skriv på tavlan: Skriv ner några exempel på när man kan använda dessa enheter. Jag är 158 A lång. Jag bor i en lägenhet som har storleken 75 B. Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. När jag mätte arean på mattebokens framsida så var den ungefär 4 D. Längden på min penna är 12 E. Jag har fått en ny säng. Den är 2 F lång och 80 G bred. Vilka enheter ska det stå i stället för bokstäverna? 2 geometri Start Slut c) volym 2 geometri 57 Alternativ start Ställ följande frågor till eleverna: Ungefär hur långt är det runt om klassrummet? Gå vidare Ungefär hur stort är golvet i klassrummet? Vad menas med att en film är i 3D? Hitta exempel i klassrummet på något som är tredimensionellt, tvådimensionellt och endimensionellt. En bra arbetsmetod kan vara att låta eleverna tänka själva först, sedan diskutera parvis eller i mindre grupper och avslutningsvis alla tillsammans. Lyft fram att en sträcka är endimensionell och har en längd, att en yta är tvådimensionell och har längd och bredd samt att en kropp är tredimensionell och har längd, bredd och höjd. Man kan också ta hjälp av figurerna i uppgift 1 och 2 och diskutera skillnader och likheter mellan dessa figurer och kroppar. Uppgift 3 kan vara till hjälp att diskutera svårigheten med att rita något som är endimensionellt (se kommentar till uppgift 3). Låt gärna eleverna skriva ner sina svar på en lapp och lämna in anonymt. Det ger dig som lärare en tydlig bild över vad eleverna uppfattat och tagit till sig under arbetet med avsnittet. Anonymiteten ger ibland en tydligare bild över elevernas verkliga kunnande genom att eleven törs skriva något även om hon är osäker. Starta nästa lektion med att eleverna följa upp elevernas svar. Ungefär hur mycket luft finns det i klassrummet? Diskutera vilka enheter som används för olika dimensioner och hur man kan mäta omkrets, area och volym. Läs mer ●● Parera-Lopez, Juan, Hellblom, Oskar (2006) En leksak för att träna två- och tredimensionellt tänkande Nämnaren 4, 2006. Facit 1 a) A och C Blå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter som behandlar olika dimensioner finns på sidan 80. b) B och D 2 a) A, C och E b) B och D 3 Endimensionell 4 a) T.ex. ett hus eller en kula b) T.ex. ytan på ett papper c) T.ex. ett streck eller avståndet mellan två punkter 5 a) m2 d) m2 6 a) – b) m3 c) m e) m f) m3 b) – c) – 7 a) T.ex. dm, cm, mil b) T.ex. dm2, cm2, hektar c) T.ex. dm3, cm3, milliliter 8 A – cm, B – m2, C – m3, D – dm2, E – cm, F – m, G – cm 2 GEOMETRI 5 G G Kroppar och Månghörningar Syftet med dessa avsnitt är att eleverna ska lära sig några olika geometriska kroppars och månghörningars namn och egenskaper och att beskriva dem med hjälp av geometriska begrepp. Eleverna ska även inse att flera olika typer av månghörningar kan bilda kroppar. I det centrala innehållet står det att eleverna ska möta ”Geometriska objekt och dess inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt”. Slut Kroppar – föremål som är tredimensionella G Prisma, rätblock, kub och pyramid är exempel på rymdgeometriska kroppar. En sidoyta kallas ibland för basyta. Prisma Basytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar. Här ska eleverna lära sig: ●● vad olika kroppar och månghörningar heter och vad som utmärker dem ●● I båda dessa avsnitt presenteras ett stort antal geometriska begrepp. Flera av begreppen har eleverna mött tidigare, men för en del elever kan många av begreppen te sig ganska abstrakta. Ett sätt att göra geometrin mer begriplig är att använda konkret material och på det sättet synliggöra matematiska begrepp och samband. Om eleverna får se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, kant, sidoyta och vilken form de olika sidoytorna har. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar. ●● Ett hörn är den punkt där flera kanter möts, en kant är skärningslinje mellan två sidoytor och sidoyta är en plan yta som är en del av en kropp. Observera att hörn har två betydelser beroende på om man pratar om två eller tre dimensioner. Start Använd klipparket som finns på aktivitet 2:1. Klipp ut en av figurerna och vik längs de streckade linjerna. Forma en kropp och limma eller tejpa ihop den. Hur många kanter, hörn och sidoytor har kroppen? Vad kallas den? 58 2 geometri Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta. Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta. 9 C B 10 a) Vad kallas figurerna? hörn har de olika figurerna? G E 14 A B C D E F Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en a) fyrhörning D hörn diagonal b) femhörning Pyramiden och ett rätblocket har båda en basyta som är en fyrhörning. Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning? Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna? a) b) c) Pyramiden och prismat har båda sidoytor som har formen av en triangel. d) Rätblock och prisma är båda ”raka” kroppar till skillnad från pyramiden som är en spetsig kropp. F 15 Vilken av figurerna kan vikas till en kub? Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna? a) b) c) d) A 16 B C D E Bilden visar en utvikt tärning. På en tärning är summan av prickarna på två motstående sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar så att det blir rätt. ArbetsblAd 2:1 58 Visa bilder eller kroppar av en pyramid med en basyta som är en rektangel, ett rätblock och en prisma med en triangel som basyta (”tobleroneprisma”). Fråga vilken av kropparna som inte passar ihop med de två övriga och be eleverna skriva ned och motivera sina svar. Det blir då tydligt för dig som lärare vad eleverna uppfattat om kropparnas egenskaper. b) Hur många sidor och hur många 13 Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna? A 11 12 Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor. ●● begreppen prisma, rätblock, kub, pyramid, hörn, sidoyta, basyta, sida, hörn, kant, månghörning, diagonal Tänk på sida basyta I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad. En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida. Lärandemål ●● att beskriva likheter och skillnader hos tredimensionella kroppar och tvådimensionella objekt hörn I ett hörn möts flera kanter. G Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar. kant sidoyta Längs en kant möts två sidoytor. Månghörningar – figurer som är tvådimensionella 2 geometri 2 geometri 59 Starta gärna nästa lektion med att visa några olika prismor med olika bottenytor och låt eleverna ange antalet hörn, kanter och sidoytor. Gå vidare Blå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter om kroppar finns på sidan 81. Kommentarer till uppgifter 10 En uppgift som lyfter fram begreppen hörn, kant och sidoyta. 12 En undersökande uppgift där eleverna ska dra slutsatser utifrån egna figurer. 13 Resonemangsuppgift som berör begreppen diagonal, sida och hörn. Uppgiften lämpar sig väl till att diskutera i mindre grupper följt av gemensam diskussion i hela gruppen. 15, 16 Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt. Facit 9 A – Kub, B – Rätblock, C – Prisma, D – Pyramid, E – Prisma, F – Kub, G – Rätblock 10 a) 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor b)6 hörn, 9 kanter och 5 sido­ytor Röd kurs 12 a) 2 diagonaler T.ex. Repetition b)5 diagonaler T.ex. c) 10 hörn, 15 kanter och 7 sidoytor d)5 hörn, 8 kanter och 5 sido­ytor 11 a) A – Fyrhörning (kvadrat) B – Trehörning (triangel) C – Sexhörning D – Fyrhörning E – Fyrhörning (romb) F – Femhörning b)A – 4 hörn och 4 sidor B – 3 hörn och 3 sidor C – 6 hörn och 6 sidor D – 4 hörn och 4 sidor E – 4 hörn och 4 sidor F – 5 hörn och 5 sidor Mer om månghörningar finns på sidan 94–95. Platonska kroppar tas upp på sidan 96. Repetition 6 finns på sidan 279. Extramaterial Arbetsblad 13 Alla hörn i en triangel ligger intill varandra. 14 a) Prisma, fyrhörning (rektangel) och triangel b)Prisma, fyrhörning (rektangel) och sexhörning 2:1 Vika kuber ●● Aktiviteter 2:1 Vika kroppar ●● c) Pyramid, triangel och femhörning d)Pyramid, triangel och fyrhörning (kvadrat) 16 15C 2 geometri 59 G Vinklar G 4 En rät vinkel markeras med en hake. Rät vinkel 90° Trubbig vinkel större än 90° C B 90 H F 80 70 100 11 0 1260 0 23 3 4 5 6 7 8 9 10 ●● att triangelns vinkelsumma är 180° och göra beräkningar utifrån det B 50° d) b) x c) x 24 32° ●● begreppen spetsig vinkel, trubbig vinkel, rak vinkel, rät vinkel, helt varv, halvt varv, vinkelsumma Hur många varv har en snowboardåkare snurrat när han gjort en a) ”hundraåttio” 22 ●● En del elever har problem med att läsa av en gradskiva när de mäter vinklar. Poängtera att gradskivan har två skalor och att gradskivan läggs så att ena vinkelbenet går genom 0° på den skala som läses av. Ett annat bra råd är att först avgöra om 90 vinkeln är spetsig eller trubbig. På det sättet kan man direkt märka om man har läst av fel på skalan. 80 70 100 11 0 1 60 20 5 13 0 0 0 10 20 170 180 30 160 50 40 0 1 14 180 170 160 0 10 20 150 30 14 40 0 100 110 80 70 25 c) 16.00 ArbetsblAd 2:2–2:3 d) 21.30 C sant ibland D vet ej 3 I en triangel är vinkelsumman 180°. A sant B falskt C sant ibland D vet ej x c) 80° x x 120° Röd kurs Mer om vinklar och vinkelsummor för olika månghörningar finns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96. x a) Går det att rita en triangel som har två räta vinklar? Motivera ditt svar. b) Går det att rita en triangel som har två trubbiga vinklar? Motivera ditt svar. 2 geometri 61 Extramaterial Arbetsblad Alternativ start 1 Skriv 360°, 180°, 90° och 45° på tavlan. Vad vet eleverna om dessa vinklar? Låt eleverna tänka själva, diskutera i par och sedan i helklass. Be dem även gärna att fundera över var de hittar dessa vinklar i vardagen. Kommentarer till uppgifter 18 19 Alternativ start 2 Gör en genomgång av triangelns vinkelsumma genom att låta eleverna rita en valfri triangel på ett papper och markera vinklarna med en båge. Be dem sedan riva av hörnen och lägga hörnen som bilden på sidan 61 visar. Eleverna får då möjlighet att upptäcka att alla trianglars vinkelsumma är 180 grader, en rak vinkel, oavsett vilken triangel de har ritat. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Start Rita 5 olika vinklar på tavlan och låt eleverna uppskatta storleken. När alla elever har gjort en uppskattning så mäter ni vinklarna gemensamt. Eleverna kan sedan få räkna ut hur många grader de var från det rätta värdet och summerar antalet ”felgrader”. Den som har minst antal ”felgrader” blir vinnare. Startuppgiften är samma som Aktivitet 2:2. c) ”ten-eighty” B falskt Mer grundläggande genomgång och uppgifter om vinklar finns på sidan 82. 35° b) 85° 2 geometri 60 ●● Genom att konkretisera begrepp underlättar man elevers förståelse. Begreppet vinkel kan konkretiseras genom att man använder en sax och visar hur vinkeln mellan skärbladen ökar när man öppnar saxen. Man kan också använda saxen för att åskådliggöra en spetsig, en trubbig och en rät vinkel. b) 15.00 62° 45° Hur många grader är den minsta vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren när klockan är a) 18.00 Tänk på b) ”fem-fyrtio” A sant Räkna ut vinklarna markerade med x. a) 21 D vet ej Blå kurs x 25° 64° 38° 48° C sant ibland Gå vidare x x x Räkna ut vinkeln som är markerad med x. Använd inte gradskiva. a) 120° c) C B falskt 25° x ●● definiera och namnge olika trianglar och fyrhörningar 0 12 0 60 13 0 5 b) b) Vilken vinkel är störst? 20 En triangel har tre sidor och tre vinklar. tri = tre, angel = vinkel Räkna ut vinkeln x. 50° A 35° Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°. a) 50 13 0 180 170 160 0 10 20 150 30 14 40 0 100 110 80 70 40° Svar: Vinkeln v = 105° Här ser du tre vinklar. a) Vilka vinklar är lika stora? ●● att mäta, uppskatta och namnge vinklar v v = 180° − 75° = 105° 0 10 20 170 180 30 160 0 40 0 15 14 0 12 0 60 13 50 1 35° + 40° = 75° D Rita en trubbig vinkel, en rät vinkel och en spetsig vinkel. Mät vinklarnas storlek med en gradskiva. 2 3 A sant 2 Ett tredjedels varv är 30°. Beräkna vinkeln v. G c) räta 3 1 1 3 3 Här ska eleverna utgå från ett halvt varv eller ett helt varv för att beräkna de vinklar som är markerade med x. 21 Uppgiften handlar om snowboardåkare som snurrar eller gör volter som namnsätts efter hur många grader som snurren eller volten är. Ett varv heter” tre – sextio”, 360°. Det finns fler idrotter som använder samma benämningar. Fråga gärna eleverna. 2 1 Kontrollera elevernas svar på den här uppgiften, den kan avslöja en missuppfattning. Om eleven tror att B har störst vinkel så kan eleven ha missuppfattningen att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken. 20 24 2 Till den här uppgiften behöver eleverna en gradskiva. Fler liknande uppgifter finns på arbetsblad 2:2. 25 Genom att uppmana eleverna att förklara hur de beräknat de okända vinklarna så utvecklas deras resonemangsförmåga. Uppgiften bör diskuteras med hela klassen efter att eleverna har gjort uppgiften. Eleverna får då möjlighet att utveckla sin resonemangsförmåga utifrån begreppen vinklar och vinkelsumma. 2:2 Hur stor är vinkeln? ●● 2:3 Räkna med vinklar ●● Aktiviteter 2:2 Uppskatta vinkeln ●● 2:3 Konstruera trianglar ●● Facit 17 a) A, C och E 23 a) 80° b) 35° b) D, F och G c) 70° d) 55° c) B och H 2 GEOMETRI 24 a) x = 130° b) x = 50° 18 – c) x = 30° 19 a) A och C b) B 20 a) 142° b) 296° c) 123° 21 a) Ett halvt varv b) Ett och ett halvt varv c) Tre varv 22 a) 180° c) 120° 60 G 1 En trubbig vinkel är 120°. Exempel E A b) trubbiga 19 2 Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje vinkeln. Vilka av vinklarna är a) spetsiga 18 Rak vinkel 180°, ett halvt varv 2 17 Spetsig vinkel mindre än 90° G Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180°. Man säger att triangelns vinkelsumma är 180°. Det kan man visa genom att riva av hörnen på en papperstriangel och lägga dem intill varandra. 1 __ varv = 90° Lärandemål Här ska eleverna lära sig: 1 varv = 360° 1 __ varv = 180° 2 För att kunna beskriva olika månghörningar behöver man kunna namnge olika vinklar. 1 Eleverna bör från mellanstadiet känna till hur man ritar vinklar, hur man mäter vinklar och att vinklar mäts i enheten grader (°). Syftet med detta avsnitt är att eleverna ska lära sig olika vinklars namn för att kunna definiera månghörningar utifrån dessa. Eleverna ska också lära sig att triangelns vinkelsumma är 180° och kunna lösa problem utifrån det. För att kunna rita en triangel utifrån angivna mått på sidorna måste man använda passare. Passare och linjal var de redskap som användes för att göra geometriska konstruktioner för ett par tusen år sedan. I Aktivitet 2:3, Konstruera trianglar får eleverna själva rita trianglar med hjälp av passare och linjal. Triangelns vinkelsumma 0 G Slut Vinklar och Triangelns vinkelsumma b) 90° 25 a) Nej, summan av två vinklar i en triangel måste vara mindre än 180° b) Nej, summan av två vinklar i en triangel måste vara mindre än 180° d) 105° 2 GEOMETRI 61 G Slut Olika typer av trianglar Olika typer av fyrhörningar Huvudsyftet med dessa två avsnitt är att eleverna ska bli väl förtrogna med olika typer av trianglar och fyrhörningar och vad som utmärker dem. Trianglar namnges efter relationen mellan sidorna i triangeln eller efter vinklarna i triangeln. Fyrhörningarna namnsätt efter om motstående sidor är parallella, om det är en rät vinkel i alla hörn och efter om sidorna är lika långa. I rutan på sidan 63 finns ett exempel på en begreppskarta. I en begreppskarta är begreppen sammanlänkade med länkord som visar sambandet mellan begreppen. Olika typer av trianglar G En triangel har tre sidor och tre vinklar. Trianglar får namn både efter sidorna och efter vinklarna. ●● parallellogram, om sidorna är parvis parallella I en oliksidig triangel är sidorna olika långa. Alla vinklar är olika stora. Här ska eleverna lära sig: 40° 100° 5 cm 20° 30 7 cm d) v 6 cm 6 cm v 7 cm 31 v 6 cm 28 29 I en rätvinklig triangel är en vinkel 30°. Hur stor är den tredje vinkeln? I en likbent triangel är en vinkel 50°. Hur stora är de andra vinklarna? Det finns två lösningar. ArbetsblAd 2:4 5 l.e. 4 l.e. 62 31 Vilka egenskaper har figurerna? Exempel på egenskaper: Triangeln: tre sidor varav två är lika långa, tre hörn, en trubbig vinkel, två lika stora spetsiga vinklar. En sådan triangel kallas likbent. Fyrhörningen: fyra sidor varav två parallella, fyra hörn, en trubbig vinkel, en spetsig vinkel, två räta vinklar. En sådan fyrhörning kallas parallelltrapets. Redan för 4 000 år sedan odlade egyptierna marken vid Nilens strand. Varje år blev det översvämning och när vattnet drog sig tillbaka måste åkrarna mätas upp igen. För att varje åker skulle få räta vinklar använde de egyptiska lantmätarna rep med knutar. Knutarna var knutna med lika stora mellanrum. Genom att bilda trianglar med sidorna 3, 4 och 5 mellanrum visste de att vinkeln blev rät. Kommentarer till uppgifter Start B parallelltrapets parallellogram 34 Vilken eller vilka av fyrhörningarna är en a) kvadrat b) rektangel c) parallellogram d) parallelltrapets kvadrat rektangel A 32 Här ska eleven inse att det finns två trianglar som uppfyller kriterierna likbent och en vinkel 50°. Det kan underlätta för eleven att rita upp trianglarna. Uppgiften kan med fördel diskuteras i helklass. Begreppskartan i rutan kan tolkas även från höger till vänster. En kvadrat är en romb eftersom den har lika långa sidor, den är även en rektangel eftersom den har räta vinklar i hörnen. Kvadraten är en parallellogram eftersom den har motstående parallella sidor och den är ett parallelltrapets eftersom den har minst ett par parallella sidor och den är en fyrhörning eftersom den har fyra hörn. Gör gärna uppgiften tillsammans i klassen. Fråga att diskutera: Varför har en fyrhörning vinkelsumman 360° om triangeln har vinkelsumman 180°? Låt eleverna klippa en fyrhörning längs en diagonal och på så sätt få två trianglar. Visa att trianglarnas vinklar bildar fyrhörningens vinklar. Summan av de två trianglarnas vinklar är 2 · 180° = 360°. Oavsett fyrhörning så kan man dela den i två trianglar. Uppgiften kan utvecklas genom att låta eleverna undersöka femhörningar, sexhörningar osv och sedan försöka dra en generell slutsats utifrån antalet hörn. B falskt C sant ibland D vet ej E B Alla vinklar i en romb är räta. C Alla rektanglar är kvadrater. D Alla kvadrater är rektanglar. E Alla rektanglar är parallellogram. F Alla romber är kvadrater. Rita en fyrhörning som inte har räta vinklar i hörnen. Mät vinklarna i fyrhörningen och beräkna vinkelsumman. Om jag drar en diagonal i fyrhörningen, så kan jag visa att alla fyrhörningar har vinkelsumman 360°. Ta hjälp av Dilans påstående här intill och förklara varför alla fyrhörningar har vinkelsumman 360°. a) Rita en parallellogram där två av vinklarna är 45°. D vet ej A sant B falskt C sant ibland D vet ej Gå vidare Blå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter om olika typer av trianglar och månghörningar finns på sidan 83–84. Rita en kvadrat och en annan romb med sidan 10 cm och dra diagonalerna. Vilken slags vinkel bildas där diagonalerna skär varandra? 2 geometri C sant ibland Frågorna ger dig som lärare en bild över hur eleverna uppfattat begreppen och var eventuella missuppfattningar finns. Starta gärna nästa lektion med att följa upp frågorna. Vilka påståenden är sanna och vilka är falska? A Alla vinklar i en rektangel är 90°. B falskt är C D A sant 3 I en likbent triangel är alla vinklar spetsiga. Det med alla sidor lika långa kallas B b) Hur stora är de andra vinklarna? 35 med räta vinklar mellan sidorna kallas romb 2 geometri 29 Flera av begreppen i avsnittet har eleven mött i tidigare skolår. Genom att låta eleverna beskriva egenskaper hos en triangel och en fyrhörning får de möjlighet att repetera och befästa begrepp och även lära sig nya. Låt gärna eleverna diskutera i par och följ sedan upp i helklass. 32 33 3 l.e. ●● Begreppet parallell är ett viktigt begrepp när man definierar olika fyrhörningar. Det kan därför vara bra att kolla upp att alla elever har det begreppet klart för sig. fyrhörning med parvis parallella sidor kallas med alla sidor lika långa kallas med räta vinklar mellan sidorna kallas Egyptisk triangel ●● I geometriska figurer kan de sidor som är lika långa eller de vinklar som är lika stora markeras med lika många streck. På samma kan man markera sidor som är lika långa med samma antal streck. 2 GEOMETRI c) 5 cm Tänk på 62 b) v ●● kvadrat, om alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta med minst två parallella sidor kallas A sant 2 I en romb är alla sidor lika långa. Det är ●● rektangel, om alla vinklar är räta I en trubbvinklig triangel är en vinkel trubbig. Räkna ut vinkeln som är markerad med v. Mät inte med gradskiva. Skriv också vilken typ av triangel det är. ●● att definiera och namnge olika trianglar och fyrhörningar A I en spetsvinklig triangel är alla vinklar spetsiga. Rita en rätvinklig triangel där de två korta sidorna är 3 cm och 4 cm. Använd en linjal och mät den längsta sidan. Hur lång är den? a) ●● romb, om sidorna är parvis parallella och lika långa En likbent triangel har två I en liksidig triangel är vinklar som är lika stora alla vinklar 60°. Alla och två sidor som är lika långa. sidor är lika långa. En rätvinklig triangel har en rät vinkel. 27 ●● begreppen oliksidig triangel, likbent triangel, liksidig triangel, rätvinklig triangel, spetsvinklig triangel, trubbvinklig triangel, parallellogram, parallelltrapets, romb, rektangel, kvadrat G Sidorna och vinklarna bestämmer namnet på en fyrhörning. En fyrhörning kallas G 1 I en parallellogram är alla vinklar räta. Det är ●● parallelltrapets, om den har minst två parallella sidor 26 Lärandemål Olika typer av fyrhörningar 63 Röd kurs Mer om vinklar och vinkelsummor för olika månghörningar finns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96. Facit 26 5 cm (cm) 5 3 4 27 a) v = 50°, rätvinklig triangel b) v = 40°, likbent triangel c) v = 60°, liksidig triangel d) v = 140°, likbent triangel 32 Vinkelsumman är 360°. 33 När man drar en diagonal i en fyrhörning bildas två trianglar. Vinkelsumman är därför 2 · 180° = 360°. 30 a) A b) A och E c) A, B, D, E d) A, B, C, D, E 31 A – sant, B – falskt, C – falskt, D – sant, E – sant, F – falskt Repetition 7 finns på sidan 280. Extramaterial Arbetsblad 34 a) T.ex. 45° 2:4 Vinkelsumman i en triangel ●● 45° Aktiviteter b) 135° 2:4 35 T.ex. 28 60° 29 50° och 80° eller 65° och 65° Repetition 10 10 10 10 Vinklarna som bildas är 90° Geometriska begrepp med begreppskort och bildkort ●● Begreppskarta 2:1 Trianglar 2:2 Fyrhörningar 2:3 Månghörningar Läs mer ●● Laksman, Pesach (2012) Geometri med spagetti, Nämnaren 3, 2012. 2 GEOMETRI 63 G Slut Omkrets och Area I årskurs 4–6 har eleverna fått lära sig metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. Syftet med dessa två avsnitt är att ge eleverna möjlighet att repetera begreppen omkrets och area och koppla dem till begreppen endimensionell och tvådimensionell. I de här avsnitten och efterföljande avsnitt kommer eleverna att arbeta med både omkrets och area parallellt. Det kan hjälpa eleven att se skillnaden mellan dessa begrepp och att inse skillnaden mellan längdenheter och areaenheter. Lärandemål Här ska eleverna lära sig: ●● metoder för att uppskatta och beräkna omkrets och area av månghörningar och andra tvådimensionella objekt Omkrets G Area När man beräknar omkretsen räknar man ut hur långt det är runt om. Rektangelns omkrets är summan av rektangelns sidor. Omkrets förkortas ofta med O. 4 Exempel (cm) Beräkna rektangelns omkrets. En kvadratmeter (1 m2) är en yta som har lika stor area som en kvadrat med sidan en meter. Alla mått i rektangeln är i centimeter. 37 38 39 40 1m 1 cm2 Mät rektangelns sidor och beräkna omkretsen. 42 Vilken areaenhet ska stå i rutan? a) Golvet i ett klassrum kan ha arean 80 b) Framsidan på en bok kan ha arean 500 Rita tre olika rektanglar som har omkretsen 24 cm. c) Sitsen på en stol kan ha arean 16 d) En fotbollsplan kan ha arean 5 000 En liksidig triangel har en sida som är 8 cm. Hur lång är triangelns omkrets? 43 I en likbent triangel är en sida 8 cm. Triangelns omkrets är 28 cm. Hur långa är de andra sidorna? Det finns två lösningar. 1 dm2 . ●● att jämföra begreppen omkrets och area och koppla dem till rätt dimension 8 (cm) 1 Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på omkrets och area finns på sidorna 85 och 86. . Hur stor area har figurerna? Varje ruta är 1 cm2. a) b) c) Röd kurs Mer om area finns på sidan 97. x b) x (cm) 4 5 y ●● begreppen omkrets, area, kvadratmeter, kvadratdecimeter, kvadratcentimeter Extramaterial 10 8 Arbetsblad y 5 2:5 12 41 Tänk på 44 De tre figurerna har samma omkrets. Förklara hur man kan veta det. A B a) Ungefär hur stor area har ön? C Start Låt eleverna se sig omkring i klassrummet och uppskatta storleken av några olika ytor och längder. Det kan vara golvlisten, listen runt tavlan, tavlans yta, ytan av en bänk eller ett fönster. Fråga vilken enhet som är lämplig att använda. Tydliggör vilken dimension det handlar om, endimensionell: längden av en sträcka, tvådimensionell: arean av en yta. Se dig omkring i klassrummet. Uppskatta storleken av några sträckor och några ytor. Vilka enheter använder du? 64 2 GEOMETRI 2:6 Rita en oregelbunden sluten kurva på tavlan. 2 geometri 65 Kommentarer till uppgifter 39 Hur kan du mäta omkrets och area av området som är ritat på tavlan? Area av oregelbundna figurer ●● 1 km 2 geometri Alternativ start ●● Aktiviteter b) Ungefär hur stor omkrets har ArbetsblAd 2:5 64 Omkrets Här ser du en karta över en ö. sjön på ön? ●● Det händer att elever beräknar omkrets och area utan att ha förståelse för begreppen. Frågar man vad area är kan man få svaret: ”Area är längden gånger bredden”. Eleven har då lärt sig en metod utantill men förstår inte betydelsen av areabegreppet. Ett sätt att stärka elevernas förståelse av areabegreppet är att låta dem arbeta med uppgifter där de får uppskatta ytor med hjälp av areamallar. Man kan också arbeta med uppgifter där eleverna får klippa isär figurer och se att den totala arean är lika trots att figurens form har ändrats. Gå vidare Blå kurs . . Hur långa är sidorna som är markerade med x och y? a) Alternativt slut Låt eleverna bestämma ytan av en oregelbunden figur och sedan skriva ner svaren. Använd till exempel Aktivitet 2:9. Starta nästa lektion genom att följa upp aktiviteten. 1m En kvadratcentimeter (1 cm2)är ungefär lika stor som en lillfingernagel. Svar: Omkretsen är 12 cm. 36 1 m2 En kvadratdecimeter (1 dm2) är ungefär lika stor som en handflata. 2 O = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm G Area är ett mått på hur stort ett område eller en yta är. Låt eleverna uppskatta hur stor area och hur stor omkrets framsidan av deras lärobok har. 40 41 Uppgiften liknar uppgift 29 på sidan 62. Även här ska eleven inse att det finns två likbenta trianglar som uppfyller kriterierna. En del elever har svårt med den här typen av uppgifter. Låt gärna eleverna tänka efter själva först och gå sedan igenom med hela klassen hur man kan avgöra längden av de sträckor som är okända. Att figurerna har samma omkrets kan vara svårt att se vid en första anblick. Här får eleverna veta att figurerna har samma omkrets och ska föra ett resonemang som förklarar varför. Uppgiften är lämplig att följa upp i helklass. Att figurerna har olika area är ganska uppenbart men uppgiften kan leda till insikten att figurer med samma omkrets kan ha olika area. 42 Genom att låta eleverna diskutera och motivera sina val av enheter kan deras uppfattning om areaenheternas storlek stärkas och även deras förmåga att föra resonemang. 43 Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en areamall. Att jämföra en area med en känd enhet (cm2) är en bra övning som ger förståelse för begreppet area och areaenheten kvadratcentimeter. 44 Här ska eleverna uppskatta area och omkrets av ett oregelbundet område med hjälp av en angiven sträcka. Läs mer ●● Holmberg, Britt (2011), Analysera mera i geometri, Nämnaren 4, 2011. Facit 36 14 cm 37 T.ex. 7 cm och 5 cm, 8 cm och 4 cm och 9 cm och 3 cm 38 24 cm 39 10 cm och 10 cm eller 8 cm och 12 cm 41 Omkretsen förändras inte när man ”viker in hörnen”. 42 a) m2 c) dm b) cm2 d) m2 2 43 a) 4,5 cm2 b) 6 cm2 c) ca 12 cm 2 40 a) x = 3 cm och y = 4 cm b) x = 2 cm och y = 4 cm 2 GEOMETRI 65 G G Slut Rektangelns area och Parallellogrammens area Syftet med avsnitten är att eleverna ska lära sig att beräkna area av fyrhörningar. Hur man beräknar arean av en rektangel är något eleverna troligtvis stött på under mellanstadietiden men hur man beräknar arean av en parallellogram är nog inte lika bekant. Metoden att beräkna arean är densamma för rektanglar och parallellogrammer. En parallellogram med samma bas och höjd som en rektangel har lika stor area. Vi har därför valt att kalla rektangelns sidor för bas och höjd istället för längd och bredd. Det gör även att det blir lättare att förstå hur man beräknar triangelns area. I det centrala innehållet för årskurs 7–9 står att eleverna ska möta: ”Metoder för beräkning av area hos geometriska objekt”. Rektangelns area G Parallellogrammens area Längden och bredden av en rektangel kallas ofta för bas och höjd. Höjden är alltid vinkelrät mot basen. I en rektangel där sidorna är 4 cm och 3 cm får det plats 4 ∙ 3 = 12 hela rutor med arean 1 cm2. Rektangelns area är 12 cm2. bas G höjd Arean = basen · höjden bas Figuren visar att alla parallellogrammer kan göras om till en rektangel. A=b·h 51 1 cm2 Arean = 4 cm ∙ 3 cm = 12 cm2 Höjden är alltid vinkelrät mot basen. b) Här ska eleverna lära sig: ●● metoder för att beräkna rektangelns och parallellogrammens area ●● att göra jämförelser mellan hur man beräknar rektangelns och parallellogrammens area ●● Begreppet höjd är svårt för många elever. Varför kallas det höjd när objektet ligger ner? Vad är höjd i en parallellogram? Om eleverna får klippa ut en parallellogram och ställa den upp med en sida mot bordet kan de se vad som är bas och höjd. De kan även vrida parallellogrammen och se att det finns fyra baser med fyra tillhörande höjder. ●● En vanlig missuppfattning hos elever är att arean alltid ökar om omkretsen ökar, och tvärtom. En annan missuppfattning är att en rektangels area fördubblas om rektangelns längd och bredd fördubblas, när den egentligen blir fyra gånger så stor. Ytterligare en missuppfattning är att parallellogrammens sida är en höjd. Start Låt eleverna själva upptäcka hur man beräknar arean av en rektangel och en parallellogram. Använd centimeterpapper (se Aktivitet 2:5 A) och låt dem rita upp tre olika rektanglar med given höjd och bredd, alla med samma area. Eleverna kan sedan beräkna arean genom att räkna rutor, men kommer även att inse att det går att få fram arean på ett enklare sätt, genom att multiplicera rektangelns bredd (bas) med rektangelns höjd. A ja B nej C stämmer ibland D vet ej 2 En kvadrat som har arean 25 cm2 har basen 5 cm. A ja B nej C stämmer ibland D vet ej Mät i figuren och beräkna arean. a) 3 En parallellogram som inte är en rektangel har b) längden 5 cm och höjden 4 cm. Omkretsen är 46 47 52 a) Rita en rektangel med bredden 2,5 cm och längden 6 cm. Rita en kvadrat som har arean a) 4 cm2 48 49 50 b) 9 cm2 A 20 cm Anna, Benjamin och Dilan har räknat ut parallellogrammens area. 3 cm Rita två olika rektanglar som har omkretsen 12 cm. Beräkna arean av varje rektangel. 5+4+5+4= = 18 Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2. Beräkna omkretsen av varje rektangel. Anna a) Vem har rätt? a) Rita en rektangel med dubbelt så stor area Här kan man få reda på om eleverna har förstått att rektanglar som har olika bas och höjd ändå kan ha samma area, om eleverna använder parallellogrammens höjd som sida eller tror att en rektangel inte kan ha formen av en kvadrat. 5 · 3 = 15 Benjamin Dilan b) Vad har de andra räknat ut? som rektangeln här bredvid. 53 en rektangel om du fördubblar både längden och bredden? Gå vidare a) Rita en parallellogram med basen 5 cm och höjden 3 cm. b) Beräkna arean. c) Hur många gånger större blir arean om du gör både längden och bredden tre gånger större? 66 5 · 4 = 20 B 18 cm C går ej att beräkna 4 cm 5 cm Här ser du deras beräkningar. c) 25 cm2 b) Hur många gånger större blir arean av ●● begreppen bas, höjd, längd, bredd, rektangel, parallellogram Tänk på A=b·h c) b) Beräkna rektangelns area. Lärandemål Arean = basen · höjden Mät bas och höjd och beräkna parallellogrammens areor. a) 4 cm 5 cm. bas 3 cm Arean = basen · höjden 45 Arean av en parallellogram beräknar man på samma sätt som arean av en rektangel. höjd G 1 En rektangel som har arean 25 cm2 har basen ArbetsblAd 2:6 54 Blå kurs Rita två olika parallellogrammer (som inte är rektanglar) som har arean 20 cm2. 2 geometri 2 geometri Rita 3 rektanglar med följande mått: Rektangel A Bredd: 12 cm Höjd: 2 cm Rektangel B Bredd: 3 cm Höjd: 8 cm Rektangel C Bredd: 6 cm Höjd: 4 cm Vad har rektanglarna gemensamt? Hur beräknar man en rektangels area? Kommentarer till uppgifter 48, 49 50 Fortsättning eller alternativ start Här ska eleverna inse att man kan beräkna parallellogrammens area på samma sätt som för en rektangel, nämligen genom att multiplicera basen med höjden. Rita en parallellogram som inte är en rektangel. Välj en sida som bas och rita en höjd mot basen. Klipp längs höjden och lägg den avklippta triangeln så att en rektangel bildas. Hur beräknar man arean av en parallellogram? 67 53, 54 Uppgifter där eleverna har möjlighet att upptäcka att rektanglar med lika lång omkrets kan ha olika area. De får också upptäcka att rektanglar med lika stor area kan ha olika lång omkrets. Diskutera dessa uppgifter med eleverna så att de blir uppmärksammade på syftet med uppgifterna. En uppgift som visar att arean av en rektangel ökar fyra gånger om både längden och bredden fördubblas och att arean ökar med 9 gånger om sidorna tredubblas. Låt gärna eleverna jämföra sina rektanglar med varandra och se att dessa samband gäller oavsett vilka ursprungsmåtten är. Du kan även utmana eleverna förklara varför det är så och sedan följa upp i helklass. Eleverna får då möjlighet utveckla sin förmåga att följa och föra matematiska resonemang. Under årskurs 9 kommer eleverna att få arbeta med areaskala. Om eleverna inte tidigare ritat parallellogram så kan det vara bra att tillsammans gå igenom hur man gör det. Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på rektangelns och parallellogrammens area finns på sidan 87. Repetition Repetition 8 finns på sidan 281. Extramaterial Arbetsblad 2:6 Area och omkrets ●● Facit 45 a) 12 cm2 46 a) – b) 5,5 cm2 b) 15 cm2 47 a) Kvadrat med sidan 2 cm b) Kvadrat med sidan 3 cm c) Kvadrat med sidan 5 cm 48 – 49 – 51 a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 10 cm 2 52 a) Dilan har räknat rätt. b) Anna har beräknat omkretsen. Benjamin har beräknat arean av en annan parallellogram med basen 5 cm och höjden 4 cm. 53 a) – b) 15 cm2 54 – 50 a) Rektangel med arean 16 cm2 b) 4 gånger större c) 9 gånger större 66 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI 6 Metoden för att beräkna area av trianglar har eleverna redan mött i årskurs 4–6. Syftet med detta avsnitt är att befästa metoden samt att öva eleverna på att mäta och bestämma höjden i en triangel oavsett vilken sida som anges som bas. I det centrala innehållet för årskurs 7–9 står det att eleverna ska möta: ”Metoder för beräkning av area hos geometriska objekt”. Triangelns area G 57 4 cm · 3 cm Arean = __________ = 6 cm2 2 basen · höjden Arean av en triangel = _____________ 2 höjd ●● begreppen bas, höjd, triangel b) Mät och beräkna parallellogrammens area. Mät bas och höjd och beräkna arean av trianglarna. Välj själv vilken höjd och bas du mäter. b) c) Mät höjden mot den sida som kallas bas och beräkna triangelns area. Kom ihåg att höjden är vinkelrät mot basen. a) höjd C B 6 cm2 C 7 cm2 D vet ej jd Rita en triangel som har arean a) 12 cm2 61 A bas 60 B bas bas b) 9 cm2 c) 15 cm2 Gå vidare Här intill har vi ritat ett så kallat tangrampussel. a) Vad heter månghörningarna i tangrampusslet? hö bas A 12 cm2 Be eleverna rita en triangel och rita alla höjderna i triangeln. Be dem sedan räkna ut omkretsen och arean. A b) c) Hur stor är triangelns area? Alternativt slut 5 dm 56 Rita en triangel på tavlan och skriv måtten 4 cm på basen och 3 cm på höjden. Läraren får en snabb koll på om eleverna har förstått och kan beräkna arean av en triangel. Eventuella missuppfattningar (t.ex. glömt att dividera med två) kommer också fram. Rita tre olika trianglar som alla har basen 5 cm och höjden 4 cm. Beräkna arean. a) 32 m s Rita en parallellogram. 20 m ba Låt eleverna rita och klippa ut en rektangel/parallellogram av papper och sedan mäta och beräkna figurens area. Därefter ska eleverna klippa itu rektangeln/parallellogrammen längs diagonalen så att det bildas två trianglar. Steget är nu inte långt för eleverna att inse att man kan beräkna triangelns area genom att dividera rektangelns/parallellogrammens area med två. B 3m ●● En del elever lär sig formeln för triangelns area utan att ha förståelse för vad den innebär. Att utgå från en rektangel och visa att en triangel är en halv rektangel kan hjälpa eleverna att inse varför man ska dividera b·h med två när man beräknar triangelns area, ____ . 2 Det är också viktigt att eleverna får öva på att dra höjden vinkelrät mot den sida som man kallar för bas. Använd gärna Arbetsblad 2:7. Start 58 59 c) 2m 4 dm Tänk på ●● Elever som alltid ser trianglar där basen är den sida som triangeln vilar på, kan tro att trianglar alltid måste vara placerade så för att kallas triangel. En triangel som har ett hörn nederst kan uppfattas som en triangel som är upp och ned. Eleverna bör få arbeta med trianglar där vilken sida som helst kan väljas som bas. Om eleverna får klippa ut en triangel och ställa den upp med en sida mot bordet kan de lättare se vad som är bas och höjd. De kan även vrida triangeln och se att det finns tre baser och tre till dem tillhörande höjder. basen · höjden Arean = _____________ 2 b·h A = ____ 2 Beräkna arean av den färgade triangeln. ●● att bestämma och mäta olika baser och höjder i trianglar ●● en metod för att beräkna area av trianglar A bas a) G har ritat noggrant, möts alla tre höjderna i en punkt. 4 cm Dividera med 2, eftersom en triangel är en halv parallellogram. 55 form som trianglarna A och B, men rita dem gärna lite större. 3 cm Lärandemål Här ska eleverna lära sig: a) Rita två trianglar i ditt räknehäfte. De ska ha ungefär samma b) Rita höjder från alla tre hörnen i varje triangel. Om du Triangelns area är hälften av en parallellograms area, om deras bas och höjd är lika. Blå kurs b) Bestäm hur stor area de olika figurerna har. C B s A ba G Slut Triangelns area 62 jd B Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om triangelns area finns på sidorna 88– 89. (cm) 2 a) omkrets hö C Beräkna triangelns 3 1,5 b) area 4 ArbetsblAd 2:7 Röd kurs Hur man beräknar arean av trubbvinkliga trianglar finns på sidan 97. 68 2 geometri Kommentarer till uppgifter 57 59 Uppgiften kan göras gemensamt med hela klassen. Uppmana eleverna att rita stora trianglar och tipsa om att de kan ha användning av en genomskinlig plastlinjal när de ska rita höjden mot basen. Visa gärna elevernas trianglar med dokumentkamera. Det är vanligt att höjden inte ritas vinkelrät mot basen trots upprepad undervisning. Uppgiften kan utvecklas genom att låta eleverna mäta alla tre baserna och alla tre höjderna i varje triangel och upptäcka att det alltid blir lika stora area. 60 Den här uppgiften kan utvecklas till en resonemangsoch problemlösningsuppgift om eleverna uppmanas att hitta flera olika trianglar med en given area. 61 Den här uppgiften är baserad på ett tangrampussel. I b-uppgiften är det inte meningen att eleverna ska mäta och göra beräkningar utan att de ska utgå från helheten. De ska se hur stor del av hela pusslet som de olika månghörningarna upptar. 62 Uppgiften testar om eleverna även tar med triangelns höjd när de beräknar omkretsen. Var uppmärksam på det. 2 geometri 69 Arbetsblad Facit 2:7 55 a) 10 dm2 c) 320 m Extramaterial b)3 m2 2 56 a) Höjden är 3 cm och arean är 7,5 cm2. b)Höjden är 3,5 cm och arean är 5,25 cm2. c) Höjden är 4 cm och arean är 16 cm2. 57 a)– b)T.ex. 59 a) 3,5 cm2 b)6 cm2 c) 10,5 cm2 60 a)– b)– c)– 61 a) Rätvinklig och likbent triangel, kvadrat och parallellogram. b)Trianglar: 4 cm2, 2 cm2 och 1 cm2 Triangel – bas, höjd och area ●● Aktiviteter 2:6 Triangeln är en halv fyrhörning ●● Begreppskarta 2:4 Area Kvadrat: 2 cm2 Parallellogram: 2 cm2 62 a) 9 cm b)3 cm2 58Arean är 10 cm2 Klipp itu parallellogrammen längs diagonalen så att det bildas två lika stora trianglar. Bestäm arean av varje triangel. 68 2 geometri 2 geometri 69 G G Slut Sammansatta figurer I det här avsnittet får eleverna möjlighet att tillämpa den kunskap de inhämtat i tidigare avsnitt. Att kunna tillämpa metoder i nya situationer är ett bra sätt att befästa de metoder man tidigare övat på och visa att man förstått. Här får eleverna också möjlighet att öva på hur sammansatta figurer kan delas in för att underlätta vid beräkning av arean. Det ger eleverna en förförståelse inför nästa avsnitt där de ska beräkna arean av kroppars begränsningsyta. Lärandemål Sammansatta figurer G Titta på ritningen och mät med linjal. 66 b) Hur långt är vardagsrummet i verkligheten? När man ska beräkna arean av en sammansatt figur kan man dela in den i mindre figurer som är lättare att beräkna arean av. Man kan dela in husväggen i en rektangel och en triangel. c) Beräkna vardagsrummets area. d) Hur mycket skulle det kosta att lägga in parkettgolv i vardagsrummet? 5,5 m Triangelns höjd är 5,5 m – 3 m = = 2,5 m. 6m Sovrum Husets kortsida har formen av en rektangel och en triangel. Beräkna ●● metoder för att beräkna area på sammansatta figurer c) hela arean av husets kortsida ●● att kunna tolka en ritning och göra enkla vardagsnära beräkningar ●● Många elever har svårt att dela in en sammansatt figur i delar som är möjliga att beräkna arean av. Det kan underlätta för eleverna att vi ger dem en tydlig arbetsgång. En sådan arbetsgång kan vara: 64 67 5 Är svaret rimligt? Hur stor area har kortsidorna på husen? a) 65 3,5 m c) ramen kring spegelglaset. 70 4m 7m 8m (dm) a) hela kvadraten (spegelglas och ram) b) spegelglaset 68 5m Emelie sätter in en kvadratisk spegel i en kvadratisk ram. Beräkna arean av a) Hur mycket golv måste du minst köpa? Vardagsrum 4 69 6 4 Tänk på att inte räkna med dörren. 6 Du ska lägga stenplattor på en yta som är 1 m2. Hur många plattor behöver du om de är kvadratiska och har sidlängden a) 50 cm b) 25 cm c) 20 cm d) 10 cm Du ska lägga stenplattor på uteplatsen. Hur många plattor behövs det om en platta har måtten a) 50 cm × 50 cm b) 25 cm × 25 cm Här ska spegelglasets area tas bort från den totala arean. Det kan finnas elever som inte inser det. Uppgiften kan därför med fördel diskuteras i helklass. Fler liknande uppgifter finns på arbetsblad 2:8. Här ska eleverna utgå ifrån en ritning och använda skala för att göra areaberäkningar. Man kan göra liknande uppgifter genom att låta eleverna arbeta utifrån en katalog eller ett reklamblad från ett byggvaruhus och samtidigt ha tillgång till en ritning över ett hus eller lägenhet. 4 50 cm × 50 cm betyder att plattans bredd är 50 cm och att plattans längd är 50 cm. ArbetsblAd 2:8 Kommentarer till uppgifter 66 Alternativt slut Rita upp en skiss av en gräsmatta med några uteplatser på och mått utsatta. Fråga eleverna hur stor area gräsmattan har. a) Beräkna hur mycket golvlist som behövs i klädkammaren. 6 8 4 ArbetsblAd 2:9 2 geometri Start Hur gör man för att beräkna arean av husgaveln och ramen? Hall b) Hur lång golvlist behövs i vardagsrummet? c) 5m 6m 65 Rita upp en ”husgavel” och en ram på tavlan och fråga hur man kan gå till väga för att beräkna arean. Syftet med den här övningen är att eleverna själva får fundera över hur man kan gå till väga för att bestämma arean av en sammansatt figur. Tanken är inte att de ska beräkna ett svar utan att de ska hitta ett tillvägagångssätt för att kunna beräkna arean. b) 2m 4m 2 Skriv ut alla mått. Vilka mått saknas? Kan du beräkna dem? 4 Beräkna arean av de olika delarna och addera. Du renoverar och ska lägga in nytt golv och köpa nya lister. 3m 1 Rita av figuren 3 Dela in figuren i delar som är möjliga att beräkna arean av. 7 285 kr/m2 b) Hur många meter golvlist behöver du minst köpa? 5m Tänk på 3 Parkettgolv K/F TM Klädkammare 2m b) triangelns area (m) 2 Kök Väggens area: 18 m2 + 7,5 m2 = 25,5 m2 a) rektangelns area 4 Uteplats 6 m ∙ 2,5 m 15 Triangelns area: __________ = ___ m2 = 7,5 m2 2 2 Här ska eleverna lära sig: G G Den här är en ritning av ett rum. Skala 1:100 3m Rektangelns area: 6 m ∙ 3 m = 18 m2 63 Ritningar är ofta ritade i skala 1:100. Det betyder att 1 centimeter på ritningen är 1 meter i verkligheten. a) Hur brett är vardagsrummet i verkligheten? 2 geometri 7 71 15 Gå vidare Facit 63 a) 15 m2 b) 5 m2 c) 20 m2 64 a) 30 m2 b) 34 m2 c) 31,5 m 2 65 a) 36 dm2 67 a) 6,1 m b) 17 m 68 a) 4 st b) 16 st c) 25 st d) 100 st 69 a) 28 st b) 112 st Blå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter om sammansatta figurer finns på sidan 90. Repetition b) 16 dm2 Repetition 9 finns på sidan 282. b) 6 m Extramaterial c) 20 dm2 66 a) 3,5 m c) 21 m2 d) ca 6 000 kr (5 985 kr) Arbetsblad 2:8 Sammansatta figurer ●● 2:9 Renovera lägenheten ●● Följ upp i helklass. Sätt sedan ut mått på husgaveln och ramen och låt eleverna beräkna arean. 70 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI 1 G Slut Volym och Rätblock Syftet med det första avsnittet är att eleverna ska få en känsla för begreppet volym. Att kroppar är tredimensionella och att volymen anger hur stor en kropp är eller hur mycket något innehåller är centralt. Eleverna får även möta två sätt att ange enhet för volym, litersystemet och metersystemet. Det andra avsnittet handlar om rätblock. Det är bra om eleverna lär sig att rita ett rätblock med stöd av rutnätet i räknehäftet. Det gör att de inte behöver fundera på hur de ska gå till väga när de senare behöver göra en skiss av ett rätblock. Eleverna brukar dessutom tycka att det är roligt. Att inte kunna rita fint, att inte veta hur man ska göra, brukar däremot uppfattas som mycket frustrerande. I det centrala innehållet för årkurs 7–9 står att eleverna ska möta ”Avbildning och konstruktion av geometriska objekt”. Volym G Rätblock En kubikdecimeter = = 1 liter Rita ett rätblock Volym är ett mått på hur stor en kropp är. Volym kan också vara ett mått på hur mycket till exempel en läskburk kan innehålla. Stenen har volymen 975 cm3. Rita ett rätblock där basytan är en rektangel med längden 3 cm och bredden 2 cm. Höjden ska vara 1,5 cm. Följ beskrivningen. 1 cm3 Burken har volymen 0,33 dm3. med längden 3 cm och höjden 1,5 cm. 2. Rita sedan bredden från varje hörn som en sträcka 1 dm 10 cm Här ska eleverna lära sig: 2. 1 dm3 Strecka de kantlinjer som man inte ser. Välj rätt enhet. a) En läskburk kan innehålla 330 b) Ett badkar kan rymma 450 . . c) En bassäng kan rymma 500 vatten. liter 1 dm 10 cm 1 dm 10 cm cm3 73 3. a) längden 4 cm, bredden 3 cm och höjden 5 cm m3 b) längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 4 cm b) 75 Hur mycket kostar det att fylla en kubikmeter med mjölk? En liter mjölk kostar 10,90 kr. 76 77 1m 10 dm 1 dm3 mjölk 1 m liter ●● en metod för att rita ett rätblock ●● begreppen volym, liter, deciliter, centiliter, milliliter, kubikmeter, kubikdecimeter, kubikcentimeter liter 72 f) läroboken 1m 10 dm 3 Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om volym finns på sidan 91. Rita en kub som har kantlängden b) 4 cm c) 5 cm Hur många kuber med kantlängden 1 cm får plats i de kuber du ritat? Extramaterial Rita ett rätblock som har volymen a) 1 cm3 ●● att kunna förklara vad volym är för något ●● använda och välja olika enheter för volym e) en limpa Blå kurs plats i vart och ett av de rätblock du ritade? c) 74 72 d) en tegelsten Gå vidare d) Hur många kuber med kantlängden 1 cm får Hur stor volym har figuren? Varje kub är 1 cm3. a) c) ett badkar Rita ett rätblock med dm3 c) längden 2 cm, bredden 2 cm och höjden 2 cm 71 b) en kopp Här har läraren en möjlighet att se hur väl eleverna har förstått och kan uppskatta en volym av en kropp. Vid uppföljning av svaren kan man jämföra de största och minsta måtten som eleverna föreslog på kropparna. Är svaren rimliga? Vad borde ”rätt svar” vara? snett uppåt höger, längs rutans diagonal. Låt den vara hälften så lång som det angivna måttet. Här ska den alltså ritas 1 cm. 3. Rita de sträckor som saknas på rätblockets baksida. 70 a) en hink 1. Rita först framsidan av rätblocket som en rektangel a) 3 cm Lärandemål G 1. G Ange rimlig volym av b) 4 cm3 c) 12 cm3 Aktiviteter Rita två olika rätblock som båda har volymen 1 dm3. 2:8 Rita rätblock ●● 1m 10 dm 2 geometri 2 geometri 73 Tänk på Att uttrycka volym i metersystemet kan vara nytt för eleverna. Eleverna kan behöva få se på, ta på och bygga med centikuber (kuber med volymen 1 cm3) och kuber med volymen 1 dm3 för att få en känsla för storleken av de olika enheterna. Bygg gärna en kubikmeter (byggsats finns att köpa) och resonera kring hur många kuber med sidan 1 dm den kan rymma. Vi har inte så många uppgifter med enhetsomvandlingar här i åk 7 men eleverna bör ändå få en storleksuppfattning av de olika enheterna. Mer om enhetsomvandlingar för volym kommer i årskurs 8. Start Uppmana eleverna att bygga rätblock av ett bestämt antal centikuber på så många olika sätt de kan. Här ska eleverna få en känsla för volym och enheten kubikcentimeter och även inse att olika rätblock kan ha samma volym. Alternativ start Gör uppgift 73 tillsammans steg för steg. Kontrollera att alla elever Kommentarer till uppgifter 70 ●● använder rutnätet som stöd ●● förstår att alla hörnen för ett rätblock är 90° även om det bildas en vinkel som är 45° när man ritar diagonalen i en ruta i rutnätet och att man ritar så för att perspektivet ska stämma. ●● förstår att man ska rita rätblockets bredd hälften så lång som det angivna måttet för att ögat ska uppfatta proportionerna korrekt. 71 För att utveckla resonemangsförmågan och begreppsförståelsen ytterligare kan man göra en liknande uppgift gemensamt i klassen. Låt eleverna först tänka själva och skriva ned förslag på föremål som har volymen i storleksordningen m3, dm3 och cm3. De kan sedan jämföra sina förslag med en klasskompis och därefter har man en gemensam diskussion i helklass. Här kan man låta de elever som behöver använda centikuber och bygga rätblocken. 72 Resultatet på uppgiften kan vara förvånande för eleverna. Här är det bra att ha en kubikmeter i naturlig storlek och en förpackning med en liter mjölk. 77 Det finns troligtvis elever i klassen som tänker att det bara finns en kub med måtten 1 dm x 1 dm x 1 dm och inte kommer vidare. Det kan därför vara bra att följa upp uppgiften med en diskussion i klassen. Vilka olika mått har eleverna använt och vilken metod använde de för att lösa problemet? Facit 70 a) cm3 75 27, 64 och 125 st b) liter eller dm3 76 a) T.ex. 1 cm × 1 cm × 1 cm c) m3 71 a) 24 cm3 b) 16 cm3 c) 18 cm3 c) T.ex. 2 cm × 2 cm × 3 cm 72 10 900 kr 73 a) – b) – c) – d) 60, 96 och 8 st 74 a) – b) – b) T.ex. 1 cm × 2 cm × 2 cm c) – 77 T.ex. 1 dm × 2 dm × 0,5 dm och 2 dm × 2 dm × 0,25 dm Bygg ett rätblock av 12 centikuber. Finns det andra rätblock som också består 12 centikuber? Om ja, bygg på så många olika sätt du kan komma på. Jämför med en kompis. 72 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI 3 G Slut Rätblockets volym och Begränsningsyta Syftet med detta uppslag är att eleverna ska lära sig att beräkna volym och begräsningsytans area för ett rätblock. Avsnittet rätblockets volym är en fortsättning på föregående avsnitt där eleverna fick lära sig att rita ett rätblock. Begreppet begränsningsyta är troligtvis helt nytt för de flesta eleverna. De har tidigare beräknat area av rektanglar och får här möjlighet att tillämpa dessa kunskaper genom att dela upp en kropp i dess sidoytor och därefter beräkna summan av alla sidoytors area. Bottenlagret rymmer 3 · 2 kuber = 6 kuber. Hela rätblocket rymmer 6 · 4 = 24 kuber. Om varje kub är 1 cm3 så är hela rätblockets volym 24 cm3. ●● en metod för att räkna volym på ett rätblock Volymen = basytan · höjden 3 cm basyta 78 V=B·h Beräkna volymen b) c) 84 79 82 83 2 GEOMETRI 2 dm 12 dm2 b) Beräkna kubens volym. 10 cm c) 12 dm2 85 18 cm 12 cm 87 B 5 dm 10 cm 20 cm Beräkna arean av chokladkartongens begränsningsyta. 2 cm Beräkna arean av glasspaketets begränsningsyta. 10 cm 15,5 cm a) Hur många sidoytor har 3 cm chokladförpackningen? 4 cm 8 cm S GLAS 15,5 cm ser ut och sätt ut måtten. begränsningsyta. Avrunda till hela kvadratcentimeter. Blå kurs Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om volym och begränsningsyta finns på sidorna 91–92. 16,5 cm Röd kurs 3 cm 2,6 cm 3 cm ArbetsblAd 2:11 14 cm 2 geometri Gå vidare 8 cm S GLAS 4 cm c) Beräkna arean av förpackningens ArbetsblAd 2:10 4 dm Låt eleverna i par beskriva skillnaden mellan volym och begräsningsyta av ett rätblock. Här blir det tydligt om eleverna förstått skillnaden mellan dessa begrepp. Vid uppföljning av uppgiften kan man presentera de vanligaste felsvaren. Att utgå från vanliga felsvar och resonera sig fram är ofta givande och belyser vanliga missuppfattningar som eleverna kan ha. 10 cm b) Gör en skiss av hur sidorna 14 cm 12 cm 16 cm 3 dm 20 cm 86 10 cm 3 dm 10 cm 16 cm Max och Åsa har hittat två stenar på stranden. De tar reda på hur stora 18 cm plastlåda, 16en cmlinjal och vatten. stenarna är med hjälp av en genomskinlig Hur stor volym har varje sten, A och B? 10 cm 12 dm2 4 dm 6 dm2 b) höjden Rita två olika rätblock som båda har volymen 24 cm3. 6 dm2 3 dm 8 dm2 2 cm Ett rätblock har längden 8 cm och bredden 5 cm. Volymen är 200 cm . Beräkna 18 cm 4 dm 10 cm 3 2 geometri 75 12 cm Hur man beräknar volymen av en prisma och av en parallellepiped finns på sidorna 98 och 99. Fler uppgifter om begränsningsyta och volym finns på sidan 100. Repetition Repetition 10 finns på sidan 283. Alternativ start 14 cm Använd klipparken som finns till Aktivitet 2:12 A och låt eleverna beräkna arean av varje sidoyta. Be dem sedan bygga ihop kropparna och beräkna begränsningsytans area. Facit Extramaterial 78 a) 12 cm3 b) 27 cm3 c) 24 cm 3 79 a) – Kommentarer till uppgifter 78–80 Om någon elev har svårt att förstå hur volymen av ett rätblock beräknas kan man inledningsvis låta eleven använda centikuber som stöd och bygga de aktuella rätblocken. 82 Uppgiften uppmärksammar att olika rätblock kan ha samma volym. 83 Uppgiften är av problemlösande karaktär och visar en metod att beräkna volymen av oregelbundna föremål. Utför en liknande uppgift praktiskt med eleverna. 87 Den här uppgiften lämpar sig väl till att låta eleverna arbeta med enskilt för att sedan diskutera i grupp. Titta gemensamt på några elevlösningar, gärna med hjälp av dokumentkamera. Diskutera olika metoder att lösa uppgiften. Hur väl har eleverna ritat figurer och måttsatt dem? Vilken metod använde man för att beräkna den sammanlagda arean? Vilken lösning visar på tydlig kommunikation? 83 A 576 cm3 B 1 152 cm3 84 a) 150 cm2 b) 600 cm2 b) 24 cm2 c) 72 cm3 Hur stor volym har rätblocket? 74 6 dm2 2 dm 12 dm2 3 dm 8 dm2 2 dm 8 dm2 5 cm c) Beräkna rätblockets volym. a) Rita en kub med sidan 4 cm. Tänk på 74 b) 2 cm A Skrivsättet med � mellan längderna kan behöva förklaras. Följ upp i helklass och diskutera hur man kan beräkna att volymen är 24 cm3 utan att räkna kuberna var och en för sig. Formulera formeln för volymen av ett rätblock: Volymen = Basytans area · höjden. Visa även hur formeln kan skrivas med beteckningar som V = B · h. Man använder oftast beteckningen B för basyta istället för b för att inte förväxla med begreppet bas. a) 5 cm a) bottenytans area ●● begreppen basyta, begränsningsyta, sidoyta 4 dm 6 dm2 12 dm2 a) Rita ett rätblock med längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 3 cm. b) Beräkna basytans area. ●● redogöra för skillnaden mellan volym och begräsningsytans area 2 dm 4 dm 6 dm2 8 dm2 5 cm 3 cm 12 dm2 8 dm2 2 dm Beräkna arean av begräsningsytan av kropparna. 3 cm 3 cm 81 Bygg med centikuber ett rätblock med måtten 3 cm � 2 cm � 4 cm. 6 dm2 6 cm ●● en metod för att beräkna begränsningsytans area på ett rätblock Start Svar: Begränsningsytans area är 52 dm2. 2 cm 2 cm 2 cm Alternativ 4 dm 4 dm 3 cm 80 ●● Det är lätt att glömma någon sidoyta när man beräknar en kropps begränsningsyta. Det kan underlätta för eleverna om de ritar ut alla sidoytor och skriver måttten de har innan de räknar ut begräsningsytans area. Om man viker ut lådan som i figuren ser man att begränsningsytan består av sex sidoytor. måttsätt sidorna och beräkna arean av varje sidoyta. 2 · 8 dm2 + 2 · 12 dm2 + 2 · 6 dm2 = 2 2 8 dm = 16 dm2 + 24 dm2 + 12 dm2 = 52 dm a) 4 dm 4 dm Visa ett rätblock, t.ex. en låda av något slag. Ange måtten och låt eleverna parvis beräkna lådans volym och begränsningsarea. Att eleverna arbetar parvis gör att de får träna på att kommunicera och att föra ett matematiskt resonemang. Beräkna arean av lådans begränsningsyta. Volymen = basytan · höjden höjd G 3 dm 3 dm 2 dm Exempel 2 cm Volymen = 3 cm · 2 cm · 4 cm = 24 cm3 ●● förklara vad begränsningsyta är ●● Det kan vara bra att lyfta fram skillnaden på beteckningarna b och B. Basen i en två dimensionell kropp förkortas ofta med b, medan basytan i en tredimensionell kropp ofta förkortas med B. 4 dm Begränsningsytan av en kropp är den sammanlagda arean av sidoytorna. 2 dm 4 cm Volymen av ett rätblock: Lärandemål Här ska eleverna lära sig Begränsningsyta 2 dm Rätblockets volym G 3 dm c) 94 cm2 85 520 cm2 80 a) – b) 64 cm3 81 a) 40 cm2 b) 5 cm 82 T.ex. 2 cm × 2 cm × 6 cm eller 2 cm × 3 cm × 4 cm Arbetsblad 2:10 Rätblockets volym ●● 2:11 Beräkna begränsningsytans area ●● 86 448 cm2 87 a) 5 st c) ≈ 156 cm b) – 2 2 GEOMETRI 5 G G Uppslaget Begrepp och resonemang Uppslaget Vem eller vilka har rätt? Begrepp och resonemang Uppgiften fördjupar förståelsen av begreppen omkrets och area och tränar eleven på att föra ett matematiskt resonemang. Gör övningen parvis eller i helklass. G Klipp av en bit snöre eller metalltråd som är 30 cm lång. När omkretsen ökar i en rektangel, så minskar alltid arean. När omkretsen ökar i en rektangel, så ökar alltid arean. Anna Clara A Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan. B B Begreppskarta Triangel Rita av begreppskartan och fyll i det som saknas. Begreppskarta A som har lika långa sidor kallas ? ? ? likbent triangel rätvinklig triangel Triangel som har två lika långa sidor och två lika stora vinklar 76 liksidig triangel likbent triangel lika stora (60°) I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns fler begreppskartor som passar till kapitlet. Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2. 4 När man beräknar arean tar man reda på hur långt det är runt om en figur. Hans ska sätta staket runt en kaninhage som ligger mot en vägg. Hagen behöver alltså bara ha staket på tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter. Staketet är 20 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt? 5 En kropp som har volymen en kubikmeter är alltid en kub. 6 Du räknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med höjden. 7 8 I en triangel kan man dra tre höjder. 9 Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock. Volym mäts i meter. Det finns fyra räta vinklar i en rektangel. Platta Mellanrum Totalt 7 · 40 cm = = 280 cm 6 ·30 cm = = 180 cm 280 cm + 180 cm = = 460 cm 11 · 40 cm = = 440 cm 10 · 30 cm = = 300 cm 440 cm + 300 cm = = 740 cm 9 · 40 cm = = 360 cm 8 · 30 cm = = 240 cm 360 cm + 240 cm = = 600 cm Svar: Basim behöver 9 plattor. Det spelar ingen roll vilken vinkel som höjden har mot basen. B Börja med att rita en bild. Vägg 11 En kvadratdecimeter är ungefär lika Kaninhage stor som en fingernagel. 12 Ett rätblock har 8 kanter. 2 geometri 2 geometri Sant eller falskt 77 Arbeta tillsammans Påståendena handlar mycket om begrepp och metoder. Om övningen används gemensamt där eleverna får diskutera tillsammans så tränas både resonemang och kommunikation. Bra frågor att ställa ●● om svaret är sant. Hur visar du att påståendet är sant? Hur visar du att påståendet alltid gäller? ●● om svaret är falskt. Hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant? Facit 2 GEOMETRI 1 2 3 rätvinklig triangel och i den är alla vinklar 76 Basim lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan varje platta. Gången är 6 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver han? area. ? som har en vinkel som är 90° 40 Sedan kan man pröva i tabell Sant eller falskt? 10 Kvadratcentimeter är en enhet för och i den är alla vinklar som har lika långa sidor kallas 40 En slutsats är att det alltid ska vara en platta mer än antalet mellanrum. Problemlösning Begrepp (cm) … osv. 30 40 Gör området så stort som möjligt. Hur ser området ut nu? Hur stor area har området? Dilan Rät vinkel höjd basyta kant hörn sida sidoyta bas area volym omkrets endimensionell tvådimensionell tredimensionell 30 Gör området så litet som möjligt. Hur ser området ut? Hur stor area har området? När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean minska. Lösningar och kommentarer Både A och B uppgiften kan lösas genom att rita en bild och göra en tabell. A Här är det lämpligt att börja rita en bild. Lägg snöret på rutnätet så att snöret stänger in ett område. Hur stor area har området? Bemjamin När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean öka. G Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2. Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel? Begrepp Den här övningen lämpar sig bra att göra parvis eller i grupp. Låt eleverna tillsammans använda begreppen i rutan för att beskriva figurerna. Man kan också låta en elev beskriva för någon annan så kan den gissa vilken figur som beskrivs. Uppgiften kan utvecklas genom att eleverna ritar egna figurer som de beskriver för en kompis som i sin tur ska rita den utifrån beskrivningen. Se aktivitet 2:8. Uppgiften utvecklar både elevernas begrepps- och resonemangsförmåga. Arbeta tillsammans Vem eller vilka har rätt? Både Clara och Dilan har rätt. Utveckla gärna uppgiften med att be eleverna ge exempel på när Clara har rätt och när Dilan har rätt. Problemlösning Uppslaget 1 sant 7 sant 2 falskt 8 falskt 3 sant 9 sant 4 falskt 10 sant 5 falskt 11 falskt 6 falskt 12 sant Syftet med övningen är att eleverna ska upptäcka att arean kan vara olika hos två figurer trots att omkretsen är densamma. Den figur som ger störst area är cirkeln och cirkelns area tar vi upp först i åk 8. Om eleverna vill ha en räknemetod för att beräkna cirkelns area kan du förstås visa dem den, men här är det annars tänkt att eleverna ska uppskatta arean genom att räkna rutor, vilket ger en bra förståelse för areabegreppet. Gör sedan en tabell. Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om bredden till exempel är 3 meter så kommer längden att vara 14 meter eftersom 20 meter – 2 · 3 meter = 14 meter. Bredd Längd Area 2m 16 m 32 m2 3m 14 m 42 m2 4m 12m 48 m2 5m 10 m 50 m2 6m 8m 48 m2 7m 6m 42 m2 Svar: Hagens sidor ska vara 5 meter och 10 meter om man vill att arean ska vara så stor som möjligt. Fler problem som kan lösas med strategierna Rita en bild och Rita en tabell finns på sidorna 266 och 269. 2 GEOMETRI G I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns även en alternativ diagnos, som du som lärare kan använda om eleven behöver genomföra ytterligare en diagnos. Begrepp och metod ARBETS BLAD AVSNITT 1 a) A och D b) B och C Olika dimensioner 50 80 2:1 2 a) kubikmeter, m3 b) kvadratmeter, m2 c) meter, m Enheter för olika dimensioner 57 80 2:1 a) Omkrets: 12 cm, area: 9 cm2 b) Omkrets: 13,4 cm, area: 10 cm2 c) Omkrets: 13 cm, area: 7,5 cm2 Omkrets och Area 64 66 67 a) T.ex. Omkrets och Area B 64 66 85 87 85 87 2:5 2:6 4 Resonemang och kommunikation c) 11 5 Rita en triangel som har arean 12 cm . 6 Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben? 7 Räkna ut ramens area. Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du resonerar. 13 2 5 dm 60 cm 3 dm 8 Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för skillnad på sida och kant? Triangelns area 68 89 45 m 450 m2 20 m 35 m 700 m2 30 m 25 m 750 m2 40 m 15 m 600 m2 31 m 24 m 744 m2 28 m 27 m 756 m2 29 m 26 m 754 m2 27,5 m 27,5 m 756,25 m2 Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm. a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel? b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den 2 geometri 2 geometri 79 Resonemang och kommunikation Sammansatta figurer 70 90 2:8 7 12 dm2 (1 200 cm2) Sammansatta figurer 70 90 2:8 8 En sida är avståndet mellan två närliggande hörn i en månghörning och en sidoyta är ytan mellan kanterna i en kropp. I en kant möts två sidoytor. Kroppar – föremål som är tredimensionella 58 81 a) 24 cm3 b) 12 cm3 c) 40 cm3 Rätblockets volym 74 91 2:10 24 cm3 Begränsningsyta 75 92 2:11 FACIT AVSNITT 11 Andrea har fel. En rektangel med större omkrets kan ha större area, men det behöver inte alltid vara så. Till exempel om jag har en rektangel med sidorna 4 cm och 5 cm. Då är omkretsen 18 cm och arean 20 cm2. En annan rektangel har sidorna 2 cm och 9 cm. Då är omkretsen 22 cm och arean är 18 cm2. Omkretsen är längre men arean är mindre. Omkrets och Area – Rätblockets volym 12 2 GEOMETRI 10 m 2:7 10,5 dm 78 Area långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel. 6 10 Längd Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i tabell finns på sidan 269. Bedömningsuppgift 6 9 Bredd Kommentar: Eleverna behöver en räknare när de löser problemlösningsuppgiften. Ett godtagbart svar är 756 m2 om eleverna kan motivera sin undersökning. Petter har 110 meter stängsel att sätta upp för att skydda sina får. Han vill att fåren ska få så mycket yta att beta på som möjligt och att fårhagen ska vara en fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning som ger mest yta till Petters får? 2 dm 50 cm 13 Gör en tabell och pröva dig fram. Svar: En kvadratisk hage med sidorna 27,5 m ger den största arean. Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock. Problemlösning a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm. b) Räkna ut rektanglarnas area. 78 2 3 cm 2 cm b) 70 cm 6 4 4 cm 4 cm 80 cm (cm) 4 cm 2 cm b) begränsningsarea Mät och beräkna figurens omkrets och area. a) 2 cm D Beräkna rätblockets c) långt det är runt fotbollsplanen 2:5 2:6 (cm) 2 cm a) volym 12 5 T.ex. 10 b) stort klassrummet är 3 2 cm D Vilken enhet använder man när man ska ange hur 2 5 C 2 cm 4 cm 4 cm a) mycket vatten det finns i en simbassäng 3 b) T.ex. b) endast längd och bredd 2 cm c) 64 66 85 87 ARBETS BLAD (cm) A b) SIDA KURS 4 Vilka av figurerna har a) längd, bredd och höjd Hur stor volym har figurerna? a) SIDA KURS 3 1 2 SIDA KURS FACIT 9 Begrepp och metod D D Problemlösning Diagnos 3 cm SIDA KURS D Diagnos 2:5 2:6 Bedömningsuppgift Lösningar och kommentarer: a) Det finns tre möjliga varianter: 3 cm, 6 cm och 8 cm 6 cm, 8 cm och 11 cm 8 cm, 11 cm och 18 cm b) Man kan skriva villkoret med ord. Till exempel: ”De två kortare sidorna måste tillsammans vara längre än den längsta sidan”. Man kan även använda matematiska symboler eller variabler. Till exempel: ”Kalla de korta sidorna för a och b och den längsta sidan för c. Summan av a och b skrivs som a + b. Villkoret att a + b måste vara större än c kan beskrivas matematiskt som a + b � c. 74 91 2:10 Kommentar: Om man ska beskriva något matematiskt villkor är det bra att kunna använda ord men man visar en högre matematisk nivå genom att uttrycka sig med hjälp av symboler och algebraiska uttryck. På sidan xxx finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift. 2 GEOMETRI 9 B Blå kurs Olika dimensioner Kroppar – föremål som har längd, bredd och höjd Vi lever i en tredimensionell värld. Om något har tre dimensioner så har det längd, bredd och höjd. B Vinklar B Ett föremål som har längd, bredd och höjd kallas för kropp. Tredimensionell Rummet har längd, bredd och höjd. B Rät vinkel 90° 2,4 m 2,5 m 2,5 m Endimensionell Golvlisten under fönstret brukar man endast mäta längden av. 1 kant 3m hörn C D basyta 3 a) längd, bredd och höjd b) Hur många hörn har de? b) endast bredd och längd c) Hur många sidoytor har de? B 7 Välj i rutan vilken enhet man använder när man ska ange 4 kubikmeter kvadratmeter meter C 8 b) hur mycket en tunna rymmer c) längden på en flaggstång d) hur mycket vatten som ryms i en bassäng 1 m2 2 3 4, 5 B C D ArbetsblAd 2:1 Elever kan ha svårt att hålla isär vilken enhet som hör till vilken dimension. Utmana gärna eleven att ge egna förslag på sammanhang där enheterna m, m2 och m3 passar in. Facit 2:1 2 GEOMETRI x 11 7 ●● 9 Aktiviteter 2:1 Vika kroppar ●● 10 Repetition Repetition 6 finns på sidan 279. 1 a) B och D b) A 2 a) m c) m b) m B – Kub, C – Pyramid, D – Prisma 3 d) m3 Vinkel B är större än vinkel A. Benjamin Dilan c) A – 6, B – 6, C – 5, D–8 b) C d) 45° x 70° x 60° x Vad kallas trianglarna i uppgift 10? På flaggorna syns olika trianglar. Vilka olika trianglar hittar du och vilka färger har de i b) Eritreas flagga c) Jamaicas flagga ArbetsblAd 2:2–2:3 ArbetsblAd 2:4 2 geometri 83 Facit Här kan man uppmana eleverna att även motivera varför de namngett vinklarna på det sätt de gjort, dvs. vad som utmärker en spetsig, rät respektive trubbig vinkel. Om eleven tror att vinkel B är störst så kan eleven ha missuppfattningen att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken. En del elever kan uppfatta den här uppgiften som svårare än vad den är eftersom uppgiften innehåller det okända talet x. Här kan man förklara att det lika gärna kunde ha stått att man ska beräkna den tredje vinkeln men att det är vanligt inom matematiken att använda x för något man ännu inte känner till storleken av. 6 a) A och D b) B c) C 7 a) A och D b) C 8 a) c) B 9 Benjamin har rätt. Vinklarna är lika stora. 10 a) x = 70° b) x = 30° c) x = 60° d) x = 45° 11 a) likbent b) rätvinklig c) liksidig b) d) rätvinklig och likbent 12 a) 1 röd likbent, 2 gröna b) c) rätvinkliga b) 1 röd likbent, 1 blå rätvinklig, 1 grön rätvinklig c) 2 svarta likbenta, 2 gröna likbenta Arbetsblad b) A – 8, B – 8, C – 5, D – 12 4 a) A c) 60° 60° a) Guyanas flagga Extramaterial 3 a) A – rätblock, c) C 2 Vinklarna är lika stora. Kommentarer till uppgifter Vika kuber b) 40° d) 180° 2 geometri 82 Extramaterial 5A 80 c) mindre än 90° B Anna 81 Beräkna den vinkel som är markerad med x. a) b) större än 90° x Svar: Vinkeln x är 80°. 12 2 geometri Arbetsblad Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt. C 10 A Du viker ihop den utvikta figuren till en kub. Vilken av kuberna A–D visar resultatet? Uppgiften behandlar olika dimensioner och vad som utmärker dem. Här kan man lyfta fram att alla föremål är tredimensionella medan ett föremåls yta är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tredimensionellt. Sträckan mellan två hörn på mjölkpaketet är endimensionell. När det gäller tecknade föremål är det här inte lika lätt att se. Det underlättar för eleven om man konkretiserar t.ex. genom att ta med ett mjölkpaket. Man kan även låta eleverna se sig runt i klassrummet och ge exempel på något som är endimensionellt, tvådimensionellt respektive tredimensionellt. Om eleverna få se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, och sidoytor. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar. D 40° Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°. 180° – 100° = 80° B A Vinkel A är större än vinkel B. 60° 60° + 40° = 100° Vem har rätt? Motivera ditt svar. C 2 geometri Kommentarer till uppgifter Beräkna vinkeln som är markerad med x. c) rätblocket 1m A 1 9 B I en liksidig triangel är alla vinklar 60° och alla sidor är lika långa. En likbent triangel är två vinklar lika stora och två sidor lika långa. Exempel D Rita en vinkel som är b) pyramiden 1 m3 5 80 A C c) räta D Bilderna visar hur det ser ut när vi har vikt ut sidoytorna på föremålen i rutan. Vilken av bilderna hör till a) kuben I en rätvinklig triangel är en vinkel rät. Vilka av vinklarna är a) 90° a) hur stort ett golv är 90 grader skrivs 90° B c) trubbig B a) spetsiga A Rak vinkel 180°, ett halvt varv Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje. c) endast längd 2 b) spetsig b) trubbiga a) Vad kallas formen på kropparna? Trubbig vinkel större än 90° Vilken eller vilka av figurerna visar en vinkel som är a) rät Basytan till de här kropparna har formen av en månghörning. Vilka bilder visar något som har B 6 A sidoyta A Pyramid Spetsig kropp. Basytan är en månghörning. Kub Basytan är en kvadrat. Rätblock Basytan är en rektangel. Prisma Basytan är en månghörning. 3m En triangel har tre sidor och tre vinklar. Om man adderar en triangels vinklar blir summan alltid 180°. Man säger att vinkelsumman är 180°. 4 Spetsig vinkel mindre än 90° B Trianglar 1 __ varv = 90° En rät vinkel markeras med en hake. Tvådimensionell Golvet har längd och bredd. 3m 1 varv = 360° 1 __ varv = 180° 2 c) B 2:2 Mäta vinklar ●● 2:3 Beräkna vinklar ●● 2:4 Vinkelsumman i en triangel ●● Aktiviteter 2:2 Uppskatta vinkeln ●● 2:3 Konstruera trianglar ●● 2:3 Begreppskarta trianglar ●● 2 GEOMETRI 81 B Fyrhörningar Omkrets Alla fyrhörningar har fyra hörn och fyra sidor. B Exempel Sida Räkna ut rektangelns omkrets. Parallellogram Sidorna som är mittemot varandra är parallella. Romb En parallellogram med alla sidor lika långa. Parallelltrapets Minst två sidor är parallella. Parallella linjer kan aldrig mötas. Rektangel Alla vinklar är räta. 13 Omkretsen = 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm = 10 cm 17 Arean = 4 cm · 2 cm = 8 cm2 En månghörning är en figur som har flera hörn. A B C 21 23 Varje ruta har arean 1 cm2. C D a) Rita en kvadrat där sidorna är 4 cm. a) Rita en rektangel där sidorna är 3 cm och 4 cm. b) b) c) Varje ruta har arean 1 cm2. Hur stor area har figurerna? a) b) c) 24 Beräkna arean a) E 19 b) Beräkna figurens omkrets. En sträcka som går mellan två hörn som inte ligger intill varandra kallas för en diagonal. b) c) x 5 2,5 dm y 3 cm 22 8 En svensk flagga får inte se ut hur som helst. En flagga med rätt mått ser du här intill. 2 dm 2,5 cm 9 cm (cm) 2 20 c) 3 a) Bestäm sträckorna markerade med x och y. 5 dm 2 dm b) c) 25 cm2 9 dm m 78 2 dm d) 96 e) Rita en kvadrat som har arean a) 4 cm2 dm2 4 dm a) Beräkna flaggans omkrets. 6 cm Vilken areaenhet ska stå i rutorna? Välj i rutan till höger. a) 4 dm e) Mät i figuren och beräkna rektangelns area. D b) Beräkna omkretsen av det gula korset. d) A=b·h b) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 22 cm. al on ag di a) basen 4 cm a) a) Rita en kvadrat som har omkretsen 20 cm. b) Rita en diagonal i rektangeln. Hur lång är diagonalen? Vilket namn har formen på de olika sidoytorna? B höjden 2 cm Arean = basen · höjden b) Vad heter månghörningarna? B 1 cm2 1m 1m En mindre enhet är kvadratcentimeter (cm ). Frimärket har arean 12 cm2. a) Mät i figurerna och räkna ut omkretsen. Kvadrat En rektangel med alla sidor lika långa. b) Dra diagonalerna i kvadraten. 16 När du ska beräkna arean av en rektangel multiplicerar du längden med bredden. Ofta använder man orden bas och höjd i stället för längd och bredd. 2 Vad heter fyrhörningarna? A 15 Ett rum kan ha arean 15 kvadratmeter (m2). Det betyder att 15 kvadrater med sidan 1 meter får plats på golvet. Omkrets förkortas ofta med O. Här är O = 10 cm. 3 cm Svar: Omkretsen är 10 cm. 18 14 2 cm B B Rektangelns area För att beskriva hur stort ett område är använder man ordet area. Med omkrets menar man hur långt det är runt om en figur. Hörn B Area 26 2 6 27 f) b) 9 cm2 c) 16 cm2 Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2. Rummet är ritat i skala 1:100. Det betyder att 1 cm på ritningen är 100 cm i verkligheten. a) Hur brett är rummet? f) b) Hur långt är rummet? c) Vilken area har rummet? ArbetsblAd 2:5 2 geometri 84 2 geometri Kommentarer till uppgifter 13 18 Här kan det vara bra att lyfta fram att fyrhörningarna kan ha olika namn. Till exempel är en kvadrat även en rektangel, en parallellogram och en parallelltrapets. Vi har i facit valt att ange det namn som anger fyrhörningens egenskaper mest noggrant. Att säga att alla fem fyrhörningar är parallelltrapetser är ju i och för sig sant, men säger inget om hur fyrhörningarna skiljer sig åt. Här kan man utvidga uppgiften och träna elevernas förmåga att föra resonemang genom att ställa frågor och låta eleverna motivera sina svar. Till exempel: Arbetsblad Repetition B – parallellogram C – romb D – kvadrat E – parallelltrapets 14 a) – b) – 15 a) – b) 5 cm 16 a) kvadrat b) rektangel och kvadrat d) triangel e) triangel och rektangel f) parallelltrapets och rektangel 17 a) A – 7 cm, B – 6 cm, 21 C – 6 cm, D – 7,5 cm b) A – rektangel B – parallellogram C – rätvinklig triangel D – liksidig triangel 22 18 a) Kvadrat med sidan 5 cm b) T.ex. med sidorna 5 cm och 6 cm eller 4 cm och 7 cm 26 19 a) x = 3 cm, y = 5 cm b) 26 cm 20 a) 52 dm b) 52 dm 27 Extramaterial Omkrets 13 A – rektangel c) triangel och kvadrat Finns det fler rektanglar än de du ritat som har omkretsen 22 cm och där alla sidors längd är heltal? Om nej, varför? Om ja, rita dem. 86 ●● 21 ArbetsblAd 2:6 5 000 Skala 1:100 2 geometri Kommentarer till uppgifter Facit Finns det fler kvadrater med omkretsen 20 cm? 2:5 85 4,5 2 geometri Extramaterial Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en areamall. Att jämföra en area med en känd enhet (cm2) kan ge förståelse för begreppet area och areaenheten kvadratcentimeter. Arbetsblad Genom att kombinera olika föremåls ytor med olika areaenheter stärks elevernas uppfattning av storleken på enheterna. Uppmana gärna eleverna att ge ytterligare exempel på ytor som kan kopplas till enheterna cm2, dm2 och m3. Repetition Uppgiften leder till insikten att två rektanglar med olika bas och höjd kan ha samma area. Utmana gärna eleverna att rita ytterligare en rektangel med arean 12 cm2. För att träna elevernas resonemangsförmåga kan man även återkoppla till uppgift 25 och fråga varför det bara finns en kvadrat som har arean 4 cm2, 9 cm2 respektive 16 cm2. Här ska eleverna utgå från en ritning och använda skala för att och ta reda på ett rums längd, bredd och area. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9, men skala har eleverna arbetat med i åk 4–6 och i uppgiften får eleverna tillräckligt med information för att de ska kunna klara av att lösa den. 87 2:6 Area och omkrets ●● Repetition 8 finns på sidan 281. Facit 21 a) 9 cm2 b) 10 cm2 c) 7 cm 2 22 a) cm2 b) dm2 c) m2 e) cm d) dm2 f) m2 2 23 a) 12 cm2 b) 6 cm2 c) 10 cm 2 24 a) 54 cm2 c) 5 dm2 b) 7,5 cm2 25 a) Kvadrat med sidan 2 cm b) Kvadrat med sidan 3 cm c) Kvadrat med sidan 4 cm 26 T.ex. med sidorna 3 cm och 4 cm eller 2 cm och 6 cm 27 a) 3,5 m b) 4 m c) 14 m2 Repetition 7 finns på sidan 280. 82 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI 83 B Höjder i trianglar 28 j hö Sammansatta figurer b·h A = ____ 2 basen · höjden En triangel är en halv rektangel. Arean av en triangel = _____________ 2 ba s d höjd jd Exempel Beräkna arean av de färgade trianglarna. En höjd kan ritas från alla hörn i triangeln. b · h 6 cm · 4 cm 24 cm2 Arean = ____ = __________ = _______ = 12 cm2 2 2 2 4 cm c) hö 29 6 cm a) b) 34 6 cm 3 a) (cm) b) 2 b) 35 c) bas c) (dm) 4 bas 32 8 m 4c 36 3 cm 4 cm 2 c) 2 5 38 6 4+4+4 Beräkna drakens area. 40 m m 4d Här ska eleverna utgå från en bild, mäta och använda skala för att ta reda på varningstriangelns verkliga mått. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9, men eleverna har arbetat med längdskala på mellanstadiet så de bör kunna lösa uppgiften. En del elever lär sig formeln för triangelns area utan att ha förståelsen för vad den innebär. Att utgå från en rektangel och visa att en triangel är en halv rektangel kan hjälpa eleverna att inse varför man ska dividera med två när man räknar ut triangelns area. Extramaterial Triangel – bas, höjd och area ●● Triangeln är en halv fyrhörning c) 4 cm c) bas 2 cm, höjd 4 cm 32 a) 5 cm 35 2 c) 2 b) 7,5 cm 2 c) 6 cm2 33 44 dm 2 b) 5 dm 5 dm ArbetsblAd 2:10 2 geometri 90 b) 4,5 cm2 3 dm 1 dm3 är lika med 1 liter. 2 geometri 91 Facit En del elever kan tycka att uppgiften är svår att tyda. Man ser inte vilka figurer som hela figuren kan delas upp i. Här kan eleven behöva hjälp att avläsa i figurerna. 35 c) skiljer sig från övriga uppgifter genom att man här drar ifrån en yta istället för att lägga ihop ytor. 37 Här kan man låta de elever som behöver använda centikuber för att bygga rätblocken. Det gör det även tydligare att det är volymsenheten kubikcentimeter man använder. 40 Att en liter är lika mycket som 1 dm3 är inte känt av alla elever. Konkretisera gärna genom att visa ett mjölkpaket och en plastmodell av en kub som är 1 dm3. Använd ris, vatten eller liknande för att visa att det är lika mycket. 34 a) 8 cm2 b) 18 dm2 c) 20 m 35 a) 44 m b) 24 cm3 3 b) 28 cm 2 2 c) 24 dm2 36 a) 32 cm 37 a) 12 cm3 c) 27 cm 2 2 38 4 · 4 · 4 39 a) 240 cm3 b) 140 dm3 b) 15 cm 2 40 a) 60 dm3 b) 60 liter Extramaterial 2:8 Sammansatta figurer ●● 2:10 Rätblockets volym ●● Repetition Aktiviteter 2:6 31 a) 6 cm2 b) bas 5 cm, höjd 3 cm 30 a) 5,5 dm 4 dm Arbetsblad Arbetsblad 2:7 89 Kommentarer till uppgifter 28 a) bas 4 cm, höjd 2 cm 4 cm 4 dm 7 dm Räkna ut akvariets volym. Svara i ArbetsblAd 2:8 Facit b) 2,7 cm 5 cm b) liter 2 geometri 29 a) 3 cm 5 dm a) kubikdecimeter 2 geometri 31 b) 8 cm b) ArbetsblAd 2:7 30 Beräkna volymen. a) m Det är viktigt att eleverna, som i den här uppgiften, får möta trianglar där basen inte alltid är den sida som triangeln ”vilar på”. Här får eleven på egen hand mäta höjden vinkelrät mot den sida som man kallar för bas. I arbetsblad 2:7 finns fler liknande övningar där eleven själv ska rita och mäta en höjd mot en bas. 4 4 39 7d Kommentarer till uppgifter 4 4∙4∙4 6 cm bas 4d 33 b) höjden 29 3∙4 b a) basen 88 Vilket uttryck visar hur man räknar ut volymen av en kub? Välj i rutan. as bas c) (cm) 3 hö höjd höjd (cm) Räkna först ut arean av varje del. Addera sedan areorna. c) b) 5 2 a) b) Hur stor volym har rätblocken? Varje liten kub är 1 cm3. a) Mät i figuren och beräkna arean. jd Bilden är i skala 1:10. I verkligheten är varningstriangelns bas och höjd tio gånger längre. Mät och beräkna längden av 37 3 3 4 Mät höjden och basen i trianglarna och beräkna arean. a) 2 cm 4 cm Höjden är 3 cm. (m) 2 3 5 b) 7 4 2c 3 cm c) 2 3 (m) a) m 3 cm bas 30 2 Rätblockets volym är alltså: 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 cm3 Beräkna arean av den färgade triangeln. a) Mät höjden mot den sida som är markerad som bas. 5 B 3 cm Basytan är 8 cm2. Det får plats 3 rader ovanpå varandra. Det får plats 3 ∙ 8 = 24 kuber i rätblocket. 4 cm 2 31 4 ∙ 2 = 8 kuber 3 3 cm ∙ 2 cm 6 cm2 Triangelns area: __________ = ______ = 3 cm2 2 2 bas bas På botten av rätblocket får det plats (cm) Rektangelns area: 5 cm ∙ 3 cm = 15 cm2 Svar: Båda trianglarna har arean 12 cm2. jd höjd Figuren består av en rektangel och en triangel. Svar: Hela figurens area är 15 cm2 + 3 cm2 = 18 cm2 4 cm 6 cm ba höjd B Varje liten kub har kantlängden 1 cm och volymen 1 cm3. Alla mått är i centimeter Beräkna arean av figurerna. s b) Beräkna arean av figuren. Trianglarna har samma area. B Volym Exempel B hö bas Mät de markerade höjderna och baserna i trianglarna. a) s B ba En höjd i en triangel går från ett av hörnen vinkelrätt mot den sida som är mittemot hörnet. Den sidan kallas för triangelns bas. Triangelns area ●● Repetition 10 finns på sidan 283. Repetition Repetition 9 finns på sidan 282. 84 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI 85 B Uppslaget Begränsningsyta Problemlösning A En kub har 6 sidoytor. Varje sidoyta är en kvadrat. När man räknar ut begränsningsytans storlek så adderar man arean av alla sidoytor. B B 3 cm 3 cm Röd kurs Mer om månghörningar 3 cm 3 cm Leyla lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 50 cm. Det är 25 cm mellan varje platta. Gången är 5 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver hon? Anna ska sätta staket runt en kaninhage. Sidorna ska vara i hela meter. Staketet är 12 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt? Ta hjälp av tabellen. B Bredd Längd Area 1m 5m 5 m2 R 41 A b) 5 cm 5 cm 4 cm 3 ? 2 cm 4 cm b) rektangel 4 dm 5 dm 3 dm som har lika långa sidor kallas som har lika långa sidor kallas som har rät vinkel i hörnen kallas 6 dm 4 cm b) 96 cm2 43 a) 62 dm2 c) 150 cm b) 108 dm2 c) 78 cm 2 42 40 cm 2 att det alltid ska vara en platta mer än antalet mellanrum. Uppgiften kan även lösas genom att man prövar i tabell: Mellanrum Totalt 6 · 50 cm = = 300 cm 5 · 25 cm = = 125 cm 350 cm + 150 cm = = 425 cm 7 · 50 cm = = 350 cm 6 · 25 cm = = 150 cm 350 cm + 150 cm = = 500 cm Svar: Leyla behöver 7 plattor. 2 GEOMETRI B C D E Namn b) Förklara varför en kvadrat tessellerar men inte en femhörning. Antal hörn Vinkelsumma Triangel 3 180° Fyrhörning 4 2 · 180° = 360° Femhörning 5 c) Oktagonen tessellerar tillsammans med en kvadrat. Varför är det så? Tips! Räkna ut summan av vinklarna där figurernas hörn möts. ArbetsblAd 2:12 Prövning i tabell: Bredd Längd Area 1m 5m 5 m2 2m 4m 8 m2 3m 3m 9 m2 2 geometri Svar: Både längd och bredd ska vara 3 m för att arean ska bli så stor som möjligt. En kvadratisk hage ger den största ytan. 7 A Andra rektanglar med arean 12 cm2 är: 12 cm 6 cm 1 cm Här får eleverna bekanta sig med begreppet tesselera, undersöka om några olika månghörningar tesselerar och fundera över vad det beror på. Anledningen till att vissa polygoner tesselerar är att vinkelsumman av de hörn som möts måste vara 360°. B Andra rektanglar med omkretsen 14 cm förutom den som visas är: 2 cm 5 cm och 6 cm 1 cm Begrepp Extramaterial Månghörningar klippark gon, C – hexagon, D – heptagon, E – tetragon (kvadrat) b) Vinkelsumman är 180° i varje triangel. c) 360° Triangel b) Vinkelsumman = = 180° · (antalet hörn i polygonen – 2) v = vinkelsumma, n = antal hörn i polygonen c) 17 640° d) 3 Namn 4 a) 1 440° v = 180°(n – 2) 2 a) – 5 C, D och E 6 a) – Antal hörn Vinkelsumma 3 180° Fyrhörning 4 2 · 180° = = 360° Femhörning 5 3 · 180° = = 540° Sexhörning 6 4 · 180° = = 720° Sjuhörning 7 5 · 180° = = 900° 8 6 · 180° = = 1 080° Åttahörning Arbetsblad 2:12 1 A – pentagon, B – okta- 3 Dessa uppgifter hör ihop och utmynnar i att eleverna ska kunna se ett samband mellan vinkelsumman och antalet hörn i en månghörning. 95 Facit e) 540° Kommentarer till uppgifter Resonemang och kommunikation 2 cm och 2 geometri I detta avsnitt får eleverna bekanta sig med regelbundna månghörningar och undersöka deras egenskaper. Ett annat namn för månghörning är det grekiska ordet polygon (poly = många och gon = hörn). Här kan eleverna lära sig de grekiska namnen på några vanliga regelbundna månghörningar: tetragon, pentagon, hexagon, heptagon och oktagon. Prefixen återkommer i nästa avsnitt i samband med de platonska kropparna och används även i organisk kemi där de namnger olika kolväten efter antal kolatomer i molekylen; pentan, hexan, heptan osv. 2, 3 A Man kan börja med att rita en bild. En slutsats är då A a) Hur stor är vinkelsumman i en tiohörning? 94 Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i tabell finns på sidan 269. Problemlösning Platta 93 rektangel. Om omkretsen är 12 m så är rektangelns längd och bredd tillsammans 6 m. 2 a) Undersök vilka av figurerna här nedanför som tessellerar. c) Hur stor är vinkelsumman i en hundrahörning? Facit 41 a) 24 cm2 Femhörningar tessellerar inte 8 B Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en ●● Man säger att kvadrater tessellerar. Det betyder att man kan täcka en oändligt stor yta med ett oändligt antal kvadrater utan att det blir något mellanrum mellan dem eller att de ligger över varandra. 108° b) Beskriv sambandet mellan antalet hörn i en polygon och vinkelsumman i polygonen. 2 geometri Begränsningsytans area 108° 7 4 2 geometri Arbetsblad 108° 6 ArbetsblAd 2:11 1,5 cm Undersök hur stora vinkelsummorna är hos olika månghörningar. Rita av och fyll i tabellen. ? ? romb Extramaterial 86 som har rät vinkel i hörnen kallas parallellogram 6 cm 3 dm 2 dm ? kvadrat c) a) Rita först en fyrhörning ungefär så stor som en halv sida i räknehäftet. Rita sedan en diagonal i fyrhörningen. Nu har det bildats två trianglar i fyrhörningen. e) Räkna ut vinkelsumman i femhörningen. 2 cm a) 108° a) Rita en regelbunden femhörning med sidan 5 cm. d) Rita en femhörning. Dra alla diagonaler från ett hörn. Hur många trianglar har du delat in femhörningen i? 2 cm Beräkna arean av rätblockens begränsningsytor. R 108° c) Räkna ut vinkelsumman i fyrhörningen. Fyrhörning som har parvis parallella sidor kallas 4 cm E En femhörning har vinkelsumman 540°. I en regelbunden femhörning är varje vinkel b) Mät vinklarna i varje triangel och räkna ut varje triangels vinkelsumma. Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i rätt begrepp i cirklarna. Så här ser det ut när man viker ut rätblockets sidoytor. Beräkna arean av rätblockets begränsningsyta. D 5 E 7 2 Begrepp 5 cm 4 cm 2:11 D 3 cm b) Visa med exempel att det finns flera rektanglar med omkretsen 14 cm. 4 cm 4 cm C b) Dra alla diagonaler från samtliga hörn i femhörningen. Vad kallas figuren som diagonalerna bildar? a) Visa med ett exempel att det finns flera rektanglar som har arean 12 cm2. c) 2 cm 2 cm 92 C Lisa säger att det bara finns en rektangel med arean 12 cm2. 2 cm 43 B B 540° _____ = 108° Vilket grekiskt namn har de olika figurerna? Resonemang och kommunikation Beräkna arean av kubernas begränsningsyta. a) 42 6 åttahörning – oktagon 1 All kvadrater tillsammans har arean 6 ∙ 9 cm2 = 54 cm2 A sjuhörning – heptagon R I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Vilka av figurerna är regelbundna månghörningar? De regelbundna månghörningarna har namn efter de grekiska räkneorden. fyrhörning – tetragon femhörning – pentagon sexhörning – hexagon En månghörning där alla sidorna är lika långa kallas en regelbunden mångörning. En regelbunden månghörning har grekiska namn efter hur många hörn den har. Till exempel kallas en regelbunden femhörning för pentagon eftersom penta betyder fem och gon betyder hörn. 3 cm Varje kvadrat har arean: 3 cm ∙ 3 cm = 9 cm2 5 b) en femuddig stjärna (ett pentagram) 7 a) A, B, C och D b) Summan av vinklarna i hörnen måste vara 360°. c) När oktagoner läggs intill varandra bildas ett kvadratiskt mellanrum. Summan av vinklarna blir 135° + 135° + 90° = = 360° ●● Övre cirkel: parallellogram, vänster cirkel: rektangel, höger cirkel: romb, nedre cirkel: kvadrat. 2 GEOMETRI 8 R Platonska kroppar Mer om area Ordet eder kommer från det grekiska ordet heder och som betyder sidoyta. En tetraeder har alltså fyra sidoytor. Det här är de fem platonska kropparna. I en platonsk kropp är sidoytorna likadana regelbundna månghörningar. De platonska kropparna har namn efter hur många sidoytor de har. R Mer om volym I alla trianglar kan man rita tre höjder, en från varje hörn. I spetsvinkliga trianglar är alla höjder innanför triangeln. I en trubbvinklig triangel är två höjder utanför triangeln. bas R C För att kunna rita en höjd i den trubbvinkliga triangeln ABC mot sidan BC, måste basen förlängas så som figuren visar. tetraeder tetra = 4 8 hexaeder hexa = 6 oktaeder okta = 8 dodekaeder dodeka = 12 ikosaeder ikosa = 20 11 Rita av tabellen och gör den klar. Namn Tetraeder Form på sidoytan Triangel Antal sidoytor som bildar ett hörn 60° 3 Summan av vinklarna i hörnet b) 3 sidoytor bildar ett hörn. Summan av vinklarna i hörnet är 3 · 60°. Dodekaeder 12 108° Ikosaeder 9 Förklara varför det inte går att göra en platonsk kropp b) Rita höjder från alla tre hörnen. c) Beräkna arean. 13 c) av regelbundna sexhörningar Ta hjälp av det du kommit fram till på den här sidan och förklara varför det endast kan finnas 5 platonska kroppar. ArbetsblAd 2:13A och 2:13b bas 16 Bilden visar flagga. Beräkna arean av det 0,43 m 0,34 m 17 0,43 m a) blå fältet 0,2 m b) gula fältet 0,2 m C 2 geometri Extramaterial 5 · 60° = 300° 5 3 · 108° = 324° 3 4 · 60° = 240° 3 · 90° = 270° 3 4 3 3 · 60° = 180° b)Summan av vinklarna blir 6 ∙ 60° = 360° 2:13 A Platonska kroppar, klippark ● 2:13 B Platonska kroppar, tabell ● 2:14 Trubbvinkliga trianglar ● 10Summan av vinklarna i ett hörn måste vara mindre än 360°. De fem platonska kropparna är de enda som uppfyller det kravet. 60° 108° 90° 60° 60° c) 4,2 cm 2 4,5 98 Kvadrat Triangel Pentagon Triangel Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Triangel blir 4 ∙ 90° = 360°. Det betyder att man får en plan eller platt figur, som inte kan bli någon tredimensionell kropp. 2,6 cm 12 a)och b) 20 3 4,1 6,0 23 cm b) 3 6,5 6 c) sidoytor har den 21 (cm) 5 (cm) a) hörn har den a) Vilken form har sidoytorna? 2,5 2,5 b) Beräkna begränsningsytans area. c) Beräkna volymen. 2 4 2 geometri Bottenytan kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats, men eftersom eleverna ännu inte lärt sig den metoden så får eleverna istället rita, mäta och göra en uppskattning. Här kan en del elever missta sig på vilken av sidoytorna som är Tobleroneaskens basyta eftersom asken ligger ner. 2 geometri 99 Facit 15 a)– ) 2,5 ∙ 2,2 b)16,5 cm 6 ∙ _______ 2 ( 2 Mät i figur. c) 297 cm3 16,5 ∙ 18 = 297 16 a) 3,9 cm2 3 ∙ 2,6 = 3,9 ______ 2 b)64 cm2 3,9 ∙ 16,5 = 64,35 17 a) 1 266 cm2 2(23 ∙ 5) + 2(18,5 ∙ 5) + + 2(23 ∙ 18,5) = 1 266 b)156 cm2 (156,3) 3(16,5 ∙ 3) + 2∙ 3,9 = = 156,3 6(2,5 ∙ 18) + 2∙ 16,5 = = 303 13 a) ≈ 0,13 m2b)≈ 0,10 m2 6,5 4 c) 303 cm2 c)– (dm) 3,2 b) kanter har den 18,5 cm Kommentarer till uppgifter 15 2 cm 5 cm c) (m) Bilden visar en parallellepiped. Hur många 3 cm Detta uppslag är en utvidgning av området volym. Här får eleverna möta prismats och parallellepipedens volym. I egentlig mening är det många kroppar som är prismor eftersom definitionen av en prisma är en kropp som har sidoytor som är parallellogrammer och en basyta som har formen av en polygon. Parallellepipeden är en prisma där sidorna som står mot varandra är parallella. Sidoytorna är parallellogrammer. 16 9 a) Summan av vinklarna Arbetsblad c) Summan av vinklarna blir 3 ∙ 120° = 360° 11 a) 2,5 cm2 b)5,6 cm2 Tetraeder Storlek på vinklar hos sidoytan Antal sidoytor som bildar hörn Vinkelsumma av sidoytorna som bildar hörn 8 Form på sidoyta En del elever har svårt att se hur de ska markera höjden utanför triangeln. Betona vikten av att höjden måste vara vinkelrät mot den förlängda basen. 97 Facit Namn Kommentarer till uppgifter 2 geometri 3 ArbetsblAd 2:14 2 geometri Här får eleverna möta och bekanta sig med de platonska kropparna. De är alla regelbundna polyedrar dvs. kroppar där alla sidoytor är likadana regelbundna månghörningar. Platon (430–249 f.Kr.) var en grekisk filosof och lärjunge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle ägna sig åt matematikstudier. Genom att tänka logiskt skulle de bli bättre ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum. Ovanför Platons Akademia stod skrivet: ”ATEΩMETRPHTOΣ MHΔEIΣ EIZITΩ”, ”Må ingen okunnig i geometri här inträda (Olsson, Matematiska nedslag i historien 1999). Tidigare har eleverna bara mött trianglar där höjden faller innanför triangeln. I avsnittet Mer om area får eleverna lära sig att markera höjden i en trubbvinklig triangel och sedan beräkna triangelns area. 11 4 h2 B 96 16,5 cm 5 cm D h1 b) 3 4 Beräkna volymen på kropparna. h1 = h2 4 cm 3 cm c) Drosteasken (cm) (cm) 3 cm 2,5 cm Hur stor area har alla sidoytorna tillsammans på a) A 5 cm 2 a) Beräkna arean av bottenytan på Tobleroneasken. b) Tobleroneasken 18 4 cm 2 cm Beräkna volymen av parallellepipederna. a) a) Alladinasken 0,2 m Förklara varför de båda trianglarna ABC och BCD har samma area. Beräkna volymen av parallellepipederna. 19 2,5 cm 18 cm b) Beräkna askens volym. Svara i kvadratmeter med två decimaler. 14 Exempel Volymen = Basytans area ∙ höjden V=B∙h Svar: Båda parallellepipederna har volymen 40 cm3 eftersom de har samma basyta och höjd. c) Uppskatta Drosteaskens volym. d) röda fältet Pythagoreerna var ett sällskap som bildades av den grekiska matematikern Pythagoras. De platonska kropparna har fått sitt namn från den grekiska matematikern Platon. För Pythagoreerna symboliserade de platonska kropparna de fyra elementen jord, luft, eld, och vatten samt universum. Vi beräknar alltså volymen av en parallellepiped på samma sätt som ett rätblock. a) Rita av Drosteaskens bottenyta i rätt mått. b) Uppskatta arean av bottenytan med hjälp av din figur. c) vita fältet Historik Basytan är en sexhörning. V = 5 cm · 2 cm · 4 cm = 40 cm3 15 a) Rita triangeln i ditt räknehäfte. Triangeln ska ha ungefär samma form som triangeln till höger, men rita den gärna större. a) där fyra kvadrater möts i ett hörn b) där sex liksidiga trianglar möts i ett hörn 10 c) bas Oktaeder Basytan är en triangel När man beräknar volymen av ett prisma så räknar man på samma sätt som när man räknar ut volymen av ett rätblock. Man räknar först ut basytans area och multiplicerar sedan med höjden. bas 3 · 60° = 180° R Kropparna har samma volym. De har samma bottenyta och samma höjd. Basytan är en rektangel a) Storlek på vinklarna hos sidoytan De här förpackningarna är exempel på prismor. R Mät först höjden mot den markerade basen. Beräkna sedan arean. Hexaeder 88 En kropp som har sidoytor som är rektanglar och en basyta som är en månghörning kallas prisma. höjd B En parallellepiped är en prisma där sidoytor som står mot varandra är parallella. Prismats volym A R Parallellepipedens volym 18 a) 27 cm3 4,5 ∙ 3 ______ ∙ 4 = 27 2 b)55 cm3 5∙3 (4 ∙ 2 ∙ 5) + ____ ∙ 2 = 55 2 19 a) 24 cm3 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 b)78 m3 4 ∙ 3 ∙ 6,5 = 78 c) 78,72 dm3 ≈ 79 dm3 6 ∙ 4,1 ∙ 3,2 = 78,72 20 a)8 b)12 c)6 21 a)parallellogrammer, rektanglar och kvadrater b)75 cm2 2(2,5 ∙ 2,5) + + 2(2,5 ∙ 6) + + 2(2,5 ∙ 6,5) = 75 c) 37,5 cm3 2,5 ∙ 2,5 ∙ 6 = 37,5 c) 0,12 m2 d)≈ 0,25 m2 14Trianglarna har gemensam bas (sträckan BC) och höjderna är lika långa. 2 geometri 89 R Syftet med avsnittet är att elevernas ska få praktisera de kunskaper de inhämtat från tidigare avsnitt. Eleverna får här öva mer på att beräkna volym och begräsningsarea. Mer om begränsningsyta och volym 22 Kommentarer till uppgifter 24 Vilka av figurerna är a) parallellepipeder A B C Problemlösning, resonemang och kommunikation D A b) rätblock För att öka förståelsen kan eleverna gärna rita en skiss av kuberna och sätta ut måtten. R c) kuber E d) pyramider 23 F G B A B 5 cm2 ● 25 b)A, C, E, G c) A, G 24 a) 1 dm � 1 dm � 1 dm 23 a) A – 12,5 cm3 B – 7,7 m C – 54 dm3 (53,75) 3 b)A – 31,25 cm2 B – 27,5 m2 C – 96,5 dm3 4,3 dm 5 dm C 5 dm b) 8 dm3 8 cm 4 Tänk dig att du ska göra en förpackning som har volymen en liter. Förpackningen ska vara en parallellepiped och du vill att begränsningsytan ska vara så liten som möjligt. 25 a) En kub med sidan Kvadraten har alltså störst area och triangeln har minst area om omkretsen är lika. Begrepp B a) Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i länkord i rektangeln och begrepp i cirklarna. form som gör att det går åt så lite material som möjligt till förpackningen. Varför är det så? ArbetsblAd 2:15 1 dm ger den minsta begränsningsytan. 8 cm h Uppmärksamma eleverna på att triangelns höjd måste vara vinkelrät mot basen. Rita och mät i figuren. Triangelns area 8 cm · 6,9 cm är ungefär ____________ ≈ 27,7 cm2. 2 6 c) 64 dm3 b) När vi köper mjölk i förpackningar så har de inte en 100 8 cm 8 Beräkna volymen av prismat. 4 bredd och höjd kommer din förpackning att ha? b)2 dm � 2 dm � 2 dm b)En kub är opraktisk att hantera, framförallt att hälla ur. Den blir även ganska ostadig när den är fylld med vätska. 2m a) Vilken form kommer din förpackning att ha? Vilken längd, c) 4 dm � 4 dm � 4 dm d)B, F 1,7 cm 30° v 32° Vilka mått har en kub som har volymen a) 1 dm3 22 a) A, C, D, E, G 3,5 m 2,2 m 24 Facit u 6 cm Kvadratens area: 6 cm · 6 cm = 36 cm2. v u 47° 2,5 cm 6 cm 45° 132° 5 dm Volym och begränsningsarea b) C 4 cm R Räkna ut vinklarna som är markerade med u och v. a) R 8 cm Rektangelns area: 4 cm · 8 cm = 32 cm2. En liksidig triangel b) arean av prismornas begränsningsyta 2:15 Undersök vilken av figurerna som har störst area. Alla figurer har omkretsen 24 cm. En kvadrat. Prismornas basyta är regelbundna månghörningar. Beräkna Arbetsblad A En rektangel där längden är dubbelt så lång som bredden. a) volymen av prismorna Extramaterial Lösningsförslag uppslaget Uppslaget 180° – 132° = 48° Geometrisk kropp ? där alla sidoytor är rektanglar kallas kub ? 180° – 90° – 32° = 58° 132° där alla sidoytor är likadana är t.ex. ? ? 2 geometri 47° ? u 2 geometri 101 v 32° u = 180° – 47° – 48° = 75° b) Begrepp u Geometrisk kropp u = 180° – 45° = 135° 45° v v = 180° – 48° – 58° = 74° v = 180° – 105° = 75° 30° 180° – 135° = 45° 180° – 30° – 45° = 105° där alla sidoytor är kvadrater där alla sidoytor är rektanglar kallas kub rätblock där alla sidoytor är likadana är t.ex. tetraeder oktaeder dodekaeder 180° – 45° – 90°= 45° 180° – 90° – 45° = 45° 8·6 4 · 6 _____ + C Bottenytan = ____ = 12 + 24 = 36 cm2. 2 2 Volymen = 36 cm2 · 4 cm = 144 cm3. 90 2 geometri 2 geometri 91 S Svarta sidorna Svarta sidorna De svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter. 1 2 En kvadrat med sidan 10 centimeter är sönderklippt som bilden visar. Alla vinklar är räta. Beräkna figurens omkrets. 7 (cm) 10 Hur många kvadrater går det att hitta i figuren? 8 10 S Kommentarer och lösningar till uppgifter 1 40 centimeter Summan av de vågräta sidorna är 20 centimeter. Det gäller även summan av de lodräta sidorna. 9 3 4 5 1 dm 3 dm Tre identiska tärningar har limmats ihop som på bilden. Summan av prickarna på tärningens motstående sidor är alltid 7. Vilken är summan av prickarna på de sidor som limmats ihop? 10 a) I figuren är arean av rektangeln ABCD 72 cm2 och området DFG 15 cm2. A B (cm) E F H En kub har kantlängden 1 meter. Kubens volym är 1 m3 och arean av begränsningsytan är 6 m2. D 5 G 4 C Hur stor är arean av det vita området? Motivera. b) Till vilka av figurens områden finns det inte tillräckligt med b) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan information om för att man ska kunna beräkna deras area? Motivera. av alla småkuber tillsammans. c) Kuben delas i 64 mindre kuber. Beräkna 11 volymen och arean av begränsningsytan av en liten kub. d) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan I triangeln har vi markerat tre yttervinklar. Summan av yttervinklarna är 360 grader. Varför är det alltid så? Motivera ditt svar. av alla småkuber tillsammans. 3 20 kuber e) Vad blir resultatet om du upprepar En kub med kantängden 3 cm innehåller 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 kuber. Eller: I översta och understa lagret saknas 8 kuber och i det mellersta saknas 4 kuber. S Du ska bygga en kub. Till din hjälp har du ett antal rätblock som har längden 3 dm, bredden 2 dm och höjden 1 dm. Hur många rätblock går det minst åt för att bygga kuben. Motivera ditt svar. 2 dm och arean av begränsningsytan av en liten kub. 16 st med sidan 1 längdenhet (l.e.). 9 st med sidan 2 l.e. 4 st med sidan 3 l.e. 1 st med sidan 4 l.e. (Rita på motsvarande sätt en kvadrat med 10 l.e. Hur många kvadrater finns i en sådan? 385) En rektangel är uppdelad i fem mindre rektanglar som på bilden. Omkretsen av var och en av de fyra bruna rektanglarna är 6, 11, 12 och 13 längdenheter. Beräkna omkretsen av den stora rektangeln. Figuren är byggd av 7 st kuber med kantlängden 1 cm. Hur många kuber behövs ytterligare för att bygga en kub med kantlängden 3 cm? a) Kuben delas i 8 mindre kuber. Beräkna volymen 2 30 kvadrater S En 2 km lång väg ska beläggas med asfalt. Vägbanan, som är 7 meter bred ska täckas med ett 5 cm tjockt asfaltlager. Ungefär hur många lastbilslass asfalt behövs det till vägbeläggningen om varje lastbil lastar 8 m3 asfalt? 12 delningen en gång till? 6 En trädgård har formen av en rektangel. På tomten finns en gräsmatta med en gång runt. Gången har lika stor area som gräsmattan. Hur bred är gången? Hur många diagonaler kan du som mest dra i en a) triangel b) fyrhörning c) femhörning d) sexhörning e) åttahörning f) hundrahörning 18 4 Summan är 14 Vi vet att summan av prickarna på sidorna på den mittersta tärningen är 7. De två yttersta tärningarna ligger identiskt så vi kan dra slutsatsen att de hoplimmade sidorna har 2 respektive 5 prickar. 1 3 5 a) Volymen är __ m = 0,125 m3. 8 Arean av begränsningsytan är 1,5 m2 (6 ∙ 0,5 ∙ 0,5) b)Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 12 m2 (8 ∙ 1,5) 1 c) Volymen är ___ m3 ≈ 0,016 m3. Arean av begränsnings64 ytan är 0,375 m2 (6 ∙ 0,25 ∙ 0,25) d)Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 24 m2 (64 ∙ 0,375) e) Volymen av en liten kub är 1 ____ m3 ≈ 0,00195 m3 ≈ 1,95 dm3 512 1 1 __ 1 ∙ __ ∙ __ 8 8 8 ( ) Arean av begränsningsytan är 0,09375 m2 ≈ 9,4 dm2 (6 ∙ 0, 125 ∙ 0,125) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 48 m2 (512 ∙ 0,09375) 24 ∙ 18 Gräsmattans area är 216 m2 ______ . 2 ( ) Kortsidan av gräsmattan måste vara mindre än 18 m och långsidan måste vara mindre än 24 m. Prövning ger enda alternativet 18 m × 12 m. Det ger bredden 3 m för gången. 7 Ett tips till de elever som behöver kan vara att göra enhetsbyten innan de börjar med sina beräkningar. Volymen av asfalten i m3 = 2 000 ∙ 7 ∙ 0,05 = 700 m3 ≈ 88. 700 Antal lass ____ = 87,5. 8 92 2 geometri 102 2 geometri 8 21 längdenheter Omkretsen av den stora rektangeln är hälften av de fyra färgade små rektanglarna och har längden 6 + 11 + 12 +13 ______________ = 21 2 9 36 rätblock Volymen av ett byggblock är 6 dm3. Av sex rätblock kan man bygga en kvadratisk ”bottenplatta” och sedan lägga sex sådana ”våningar ovanpå varandra. 6 3 meter 24 10 a) 9 cm2 2 geometri 103 11Varje yttervinkel bildar tillsammans med vinkeln i triang- eln en rak vinkel som är 180°. Det betyder att det i de tre hörnen totalt finns 3 raka vinklar, 180° ∙ 3 = 540°. Eftersom triangelns vinkelsumma är 180° blir summan av yttervinklarna 540° – 180° = 360° 12 a)0 b)2 c)5 d)9 e)20 f) 4 850 diagonaler Från varje hörn kan man dra lika många diagonaler som antalet hörn minus 3. Man kan inte dra en diagonal till det egna hörnet och till de två närliggande hörnen. Man delar sedan med 2 eftersom varje diagonal annars räknas 2 gånger. Om antalet sidor är n kan man skriva n(n – 3) antalet diagonaler som _______ . 2 Arean av ABCD är 72 cm2 och sträckan DC är 9 cm. Då är både BC och AD 8 cm. Triangeln DFG har arean 15 cm2. Då är höjden FG 6 cm. Sträckan EF är 8 – 6 = 2 cm. Det vita området kan delas upp i två trianglar med basen 2 cm höjden 5 cm respektive 4 cm. 2∙5 2∙4 Arean = ____ + ____ = 9 cm2 2 2 b)Områdena FHCG och EBH. Vi vet inte var punkten H är belägen mellan hörnen B och C. 2 geometri 93 S Sammanfattning Sammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska repetera. Bedömning Sammanfattning S ●●Olika dimensioner Höjd Bredd Längd Längd En sträcka är endimensionell. Enheten kan vara meter, m. ●●Kroppar Trianglar Begreppskarta 2:2 Fyrhörningar Begreppskarta 2:3 Månghörningar Begreppskarta 2:4 Area En kropp är tredimensionell. Enheten kan vara kubikmeter, m3. kant hörn Spetsig vinkel mindre än 90° Prisma Basytan är en mång­ hörning och sido­ ytorna är rektanglar. Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta. ●●Area ●●Triangelns vinkelsumma En triangels vinkelsumma är alltid 180° v 40° A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2 Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta. Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska. Trubbig vinkel större än 90° Storleken av en yta Rektangelns area 4 cm basyta Arean är 8 kvadratcentimeter 35° Exempel 180° – 40° – 35° = 180° – 75° = 105° Parallellogrammens area Vinkeln v = 105° 2 cm 4 cm A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2 Figurer med tre eller flera hörn. Det här är en femhörning. diagonal Arean är 8 kvadratcentimeter ●●Fyrhörningar sida hörn ●●Volym Storleken av en kropp Triangelns area 4 cm 2 cm Parallelltrapets Parallellogram 4 cm basen · höjden 4 cm · 2 cm 8 cm A = _____________ = __________ = _____ = 2 Romb Rektangel Kvadrat = 4 cm2 2 2 2 Arean är 4 kvadratcentimeter Volym = Basytan · höjden 3 cm 2 cm Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är önskvart att eleverna får visa sina kunskaper på olika satt. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns förslag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även förslag till muntligt prov. Till proven finns dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser. Till varje kapitel finns också en självskattningsmatris där eleven själv får bedöma sina kunskaper mot kapitlets lärandemål. Den kan hjälpa eleven att reflektera over sitt eget lärande men kan också ge dig som lärare en bild av elevens kunskapsnivå. Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, förutom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, aven fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper. Mer om bedömning, prov och hur de kan användas finns att läsa om i lärarguidens inledande text. V = B · h = 3 cm · 2 cm · 4 cm = = 6 cm2 · 4 cm = 24 cm3 Volymen är 24 kubikcentimeter. ●●Trianglar bas Oliksidig triangel Alla sidor är olika långa och alla vinklar är olika stora. 104 2 geometri Rak vinkel 180°, ett halvt varv 2 cm ●●Begränsningsyta höjd 94 Rät vinkel 90° sidoyta ●●Månghörning Begreppskarta 2:1 S En rät vinkel markeras med en hake. Bredd Längd En yta är tvådimensionell. Enheten kan vara kvadratmeter, m2. Begreppskartor Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med begreppskartor. ●●Vinklar 2 geometri Arean av rektangelns begränsningsyta är Likbent triangel Två sidor är lika långa och två vinklar är lika stora. Liksidig triangel Alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. Rätvinklig triangel En vinkel är rät. 2 · 4 cm · 2 cm + 2 · 4 cm · 3 cm + 2 · 3 cm · 2 cm = = 2 · 8 cm2 + 2 · 12 cm2 + 2 · 6 cm2 = = 16 cm2 + 24 cm2 + 12 cm2 = 52 cm2 4 cm 3 cm 2 cm 2 cm 4 cm 4 cm 3 cm 4 cm 3 cm 2 geometri 105 2 geometri 95 S