Geometri - Sanoma Utbildning

2
Geometri
Geometri är ett område som brukar uppskattas av eleverna, och på den här nivån inte upplevas så svårt. En hel
del av det som tas upp i kapitlet har eleverna mött tidigare. Huvudsyftet med kapitlet är att eleverna ska få en
känsla för olika dimensioner.
Kapitlet inleds med ett uppslag som lämpar sig väl för
gemensamma diskussioner om endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella figurer och kroppar
samt enheter för de olika dimensionerna. Sedan behandlas begreppen kring olika tredimensionella kroppar liksom begrepp kopplade till månghörningar. En kort
genomgång av hur man mäter vinklar och beräknar vinkelssummor leder vidare till hur man definierar olika trianglar och fyrhörningar. Begreppen omkrets och area tas
upp och metoder för att beräkna omkrets och area för
månghörningar och sammansatta figurer. Enkel volymberäkning av rätblock och enkel beräkning av begränsningsarea avslutar kapitlet.
Vi har valt att ta upp cirkelns omkrets och area, volymen av cylindern och spetsiga kroppar samt enhetsomvandlingar i årskurs 8. Här i årskurs 7 fokuserar vi på de
tre dimensionerna så att eleverna kan se likheter och
skillnader mellan dessa och inser att det krävs olika
enheter för att beskriva dem.
Blå kurs är parallell med grön kurs. Avsnitten hur man
beräknar area av en parallellogram och hur man ritar ett
rätblock tas inte upp på blå kurs. Eftersom kurserna är
parallella så kan man i Lärarguiden hitta tips och kommentarer som rör den blå kursen under motsvarande
avsnitt i den gröna kursen.
Röd kurs är parallell med grön kurs. Flera av de
moment som tas upp på grön kurs fördjupas i röd kurs.
Till exempel får eleverna här möjlighet att arbeta med
olika månghörningars vinkelsumma, dra höjder i en
trubbvinklig triangel, undersöka platonska kroppar och
beräkna volym av prismor och parallellepipeder.
1
2
Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra
hopp, där de snurrar i luften. När de gör en
”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar
360°. Då har de snurrat ett helt varv.
Geometri
●● Hur många varv har snowboardåkaren
snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”?
●● En Big Jump-åkare har just satt rekord
med sina två skidor och gjort en ”sextontjugo”. Hur många varv är det?
2
Kommentarer och svar
●● När en snowboardåkare har gjort en ”sju tjugo” så har
hon snurrat 720°.
720° = 2 · 360°
Innehåll
Mål
När du arbetar med det här kapitlet
Snowboardåkaren har alltså snurrat 2 varv.
får du lära dig
●● När en Big air-åkare har gjort en ” sexton tjugo” har
1 620°
han snurrat 1 620°. Det motsvarar ______ = 4,5 varv.
360°
●● att beskriva olika slags vinklar,
månghörningar och kroppar
●● att beräkna omkrets och area av
månghörningar
●● att beräkna volym av prismor
●● några enheter för längd, area och volym
●● att beräkna arean av begränsningsytor
Begrepp
endimensionell
Begrepp
längd
sträcka
meter
tvådimensionell
area
yta
kvadratmeter
tredimensionell
hörn
prisma
rätblock
kub
trubbvinklig
triangel
månghörning
parallell
sida
parallelltrapets
diagonal
rät vinkel
spetsig vinkel
trubbig vinkel
rak vinkel
kropp
vinkelsumma
kubikmeter
likbent
triangel
sidoyta
basyta
spetsvinklig
triangel
pyramid
volym
kant
rätvinklig
triangel
liksidig
triangel
●● En linje har en dimension –
parallellogram
längd.
romb
●● En yta har två dimensioner –
kvadrat
längd och bredd.
rektangel
bas
●● En kropp har tre dimensioner –
höjd
längd, bredd och höjd.
begränsningsyta
54
Centralt innehåll
I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:
Geometri
●● Geometriska objekt och deras inbördes relationer.
Geometriska egenskaper hos dessa objekt.
●● Avbildning och konstruktion av geometriska objekt.
●● Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos
geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med
detta.
55
Motsvarande centralt innehåll för årskurs 4–6:
Geometri
●● Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande
geometriska egenskaper hos dessa objekt.
●● Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess
användning i vardagliga situationer.
●● Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas.
●● Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area,
volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Mätningar med användning av nutida och äldre
metoder.
54
55
G
Olika dimensioner
Syftet med avsnittet är att eleverna ska bekanta sig med
de tre dimensionerna och vilka enheter som ska användas för de olika dimensionerna. I det centrala innehållet
för åk 7–9 står att eleverna ska möta ”Geometriska objekt
och dess inbördes relationer”. Här tas de upp samtidigt
för att eleverna ska kunna jämföra och se skillnader mellan de olika dimensionerna. Eleverna får då en bra grund
inför kommande avsnitt där de ska beräkna både
omkrets, area och volym.
Traditionellt används två olika enhetssystem för att
mäta volym, en för vätskor och en för fasta kroppar. Vätskor anges ofta i enheterna liter, deciliter, centiliter och
milliliter medan man för kroppar använder enheterna
m3, dm3, cm3 och mm3. Eleverna får här bekanta sig med
enheterna för fasta kroppar. Enheterna för vätskor har de
mött under tidigare skolår. Stora mängder vätskor, som
till exempel hur mycket vatten som ryms i en simbassäng
eller hur mycket olja som finns i en oljecistern brukar
dock anges i kubikmeter, m3.
Kommentarer till uppgifter
Grundkurs
Olika dimensioner
G
Enheter för olika dimensioner
En kropp är
tredimensionell:
En yta är
tvådimensionell:
Höjd
Längd
En linje är
endimensionell:
Föremål som är tredimensionella kallas för kroppar.
1
Vilka av figurerna har
a) längd, bredd och höjd
●● att förklara vad som menas med olika dimensioner,
endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell
A
B
C
●● begreppen endimensionell, tvådimensionell,
tredimensionell, kropp, yta, sträcka, längd, bredd,
höjd, area, volym, meter, kvadratmeter,
kubikmeter
Tänk på
●● Det kan underlätta för eleverna att man konkretiserar
och visar verkliga ytor och kroppar. Använd gärna
mjölkpaket, pastakartonger, kakelplattor, papper och
andra vardagliga föremål för att tydliggöra vad ytor
och kroppar är. Alla föremål är tredimensionella men
ett föremåls yta är tvådimensionell. Till exempel är ett
mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tredimensionellt.
●● Påpeka att det är en svårighet att visa endimensionella
objekt eftersom de blir tvådimensionella så fort man
har ritat dem. Ett sätt kan vara att man ritar två punkter på tavlan och att man tänker sig att avståndet mellan två punkter blir en endimensionell sträcka.
●● Bygg gärna en kubikmeter så att eleverna får en känsla
för storleken. Det finns byggsatser att köpa med rör
som kanter. Visa även modeller av en kubikdecimeter
och en kubikcentimeter. Berätta att en kubikdecimeter är lika mycket som en liter och kubikcentimeter är
lika mycket som en milliliter.
56
2 GEOMETRI
3
Uppgiften kan fungera som utgångspunkt i diskussion kring svårigheten att rita en endimensionell
figur. När man ritar en linje kan den uppfattas som
tvådimensionell. Ett sätt att åskådliggöra en endimensionell sträcka är att tänka sig avståndet mellan
två kryss.
5
Uppgiften är tänkt att ge eleverna en känsla för vilka
typer av enheter som används tillsammans med olika
dimensioner. Även om eleverna inte känner till
begreppet potens ännu kan man ändå låta dem fundera över varför enheterna m, m2, m3 ser ut som de
gör. Använd gärna klassrummet som utgångspunkt.
8
Som extrauppgift kan man låta eleverna formulera en
liknande uppgift och sedan byta med en kompis.
Barnet är en meter långt, golvet är 4 kvadratmeter stort och kuben är en kubikmeter stor.
Välj den enhet man använder när man ska ange
a) hur stort golvet i ett rum är
m
b) hur mycket luft som finns i ett rum
m2
m3
c) hur lång golvlisten är i ett rum
D
d) hur stor en gräsmatta är
e) hur långt ett staket är
f) hur mycket vatten som får plats i ett badkar.
2
6
Vilka av figurerna är
a) tredimensionella
A
a) meter
b) tvådimensionella
B
C
Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel på föremål som
mäts i enheten
D
E
7
8
3
Vilken dimension har sträckan mellan kryssen?
4
Ge exempel på något som är
a) tredimensionellt
b) tvådimensionellt
c) endimensionellt
56
b) kvadratmeter
c) kubikmeter
När man ska mäta behöver man ibland mindre enheter än meter,
kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel på några andra mindre
enheter för
a) längd
●● att förklara vad det är för likheter och olikheter mellan
begreppen längd, area och volym
●● använda och välja olika enheter för olika dimensioner
5
b) endast längd och bredd
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
3D När vi mäter något som är
tredimensionellt, så mäter vi volymen
av en kropp. Enheten kan vara kubikmeter. En kubikmeter förkortas m3.
När man
ritar något som
ska vara endimensionellt så blir det
tvådimensionellt. Även om
man använder en smal
penna så får strecket
man ritar en bredd
och en längd.
Längd
Bredd
2D När vi mäter något som är
tvådimensionellt, så mäter vi arean av
en yta. Enheten kan vara kvadratmeter. En kvadratmeter förkortas m2.
Längd
Bredd
G
1D När vi mäter något som är
endimensionellt, så mäter vi längden
av en sträcka. Enheten kan vara meter.
En meter förkortas m.
Vi lever i en tredimensionell värld. Allt vi ser runt omkring oss
har tre dimensioner. Det har längd, bredd och höjd.
Alla uppgifter i det här avsnittet lämpar sig väl till att ha
gemensamma diskussioner kring. Uppgifterna behandlar
viktiga, grundläggande begrepp i geometri.
b) area
Här ser du enheterna m, m2 och m3 .
Lisa har skrivit det här på en lapp:
Låt eleverna själva fundera över begreppen tredimensionell, tvådimensionell och endimensionell genom att
fråga eller skriv på tavlan:
Skriv ner några exempel på när man kan använda
dessa enheter.
Jag är 158 A lång. Jag bor i en lägenhet som har storleken 75 B.
Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. När jag mätte arean på
mattebokens framsida så var den ungefär 4 D. Längden på min penna
är 12 E. Jag har fått en ny säng. Den är 2 F lång och 80 G bred.
Vilka enheter ska det stå i stället för bokstäverna?
2 geometri
Start
Slut
c) volym
2 geometri
57
Alternativ start
Ställ följande frågor till eleverna:
Ungefär hur långt är det runt om klassrummet?
Gå vidare
Ungefär hur stort är golvet i klassrummet?
Vad menas med att en film är i 3D?
Hitta exempel i klassrummet på något som är tredimensionellt, tvådimensionellt och endimensionellt.
En bra arbetsmetod kan vara att låta eleverna tänka själva först, sedan diskutera parvis eller i mindre grupper
och avslutningsvis alla tillsammans. Lyft fram att en
sträcka är endimensionell och har en längd, att en yta är
tvådimensionell och har längd och bredd samt att en
kropp är tredimensionell och har längd, bredd och höjd.
Man kan också ta hjälp av figurerna i uppgift 1 och 2 och
diskutera skillnader och likheter mellan dessa figurer
och kroppar. Uppgift 3 kan vara till hjälp att diskutera
svårigheten med att rita något som är endimensionellt
(se kommentar till uppgift 3).
Låt gärna eleverna skriva ner sina svar på en lapp och
lämna in anonymt. Det ger dig som lärare en tydlig bild
över vad eleverna uppfattat och tagit till sig under arbetet med avsnittet. Anonymiteten ger ibland en tydligare
bild över elevernas verkliga kunnande genom att eleven
törs skriva något även om hon är osäker. Starta nästa lektion med att eleverna följa upp elevernas svar.
Ungefär hur mycket luft finns det i klassrummet?
Diskutera vilka enheter som används för olika dimensioner och hur man kan mäta omkrets, area och volym.
Läs mer
●● Parera-Lopez, Juan, Hellblom, Oskar (2006) En leksak
för att träna två- och tredimensionellt tänkande
Nämnaren 4, 2006.
Facit
1 a) A och C
Blå kurs
Mer grundläggande genomgång och uppgifter som
behandlar olika dimensioner finns på sidan 80.
b) B och D
2 a) A, C och E
b) B och D
3 Endimensionell
4 a) T.ex. ett hus eller en
kula
b) T.ex. ytan på ett papper
c) T.ex. ett streck eller
avståndet mellan två
punkter
5 a) m2
d) m2
6 a) –
b) m3
c) m
e) m
f) m3
b) –
c) –
7 a) T.ex. dm, cm, mil
b) T.ex. dm2, cm2, hektar
c) T.ex. dm3, cm3, milliliter
8 A – cm, B – m2, C – m3,
D – dm2, E – cm, F – m,
G – cm
2 GEOMETRI
5
G
G
Kroppar och Månghörningar
Syftet med dessa avsnitt är att eleverna ska lära sig några
olika geometriska kroppars och månghörningars namn
och egenskaper och att beskriva dem med hjälp av geometriska begrepp. Eleverna ska även inse att flera olika
typer av månghörningar kan bilda kroppar. I det centrala
innehållet står det att eleverna ska möta ”Geometriska
objekt och dess inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt”.
Slut
Kroppar – föremål som är tredimensionella
G
Prisma, rätblock, kub och pyramid är
exempel på rymdgeometriska kroppar.
En sidoyta kallas ibland för basyta.
Prisma
Basytan är en
månghörning
och sidoytorna
är rektanglar.
Här ska eleverna lära sig:
●● vad olika kroppar och månghörningar heter och vad
som utmärker dem
●● I båda dessa avsnitt presenteras ett stort antal geometriska begrepp. Flera av begreppen har eleverna mött
tidigare, men för en del elever kan många av begreppen te sig ganska abstrakta. Ett sätt att göra geometrin
mer begriplig är att använda konkret material och på
det sättet synliggöra matematiska begrepp och samband. Om eleverna får se och ta på de geometriska
kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn,
kant, sidoyta och vilken form de olika sidoytorna har.
Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast
som finns på de flesta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar.
●● Ett hörn är den punkt där flera kanter möts, en kant är
skärningslinje mellan två sidoytor och sidoyta är en
plan yta som är en del av en kropp. Observera att hörn
har två betydelser beroende på om man pratar om två
eller tre dimensioner.
Start
Använd klipparket som finns på aktivitet 2:1.
Klipp ut en av figurerna och vik längs de streckade
linjerna. Forma en kropp och limma eller tejpa ihop
den. Hur många kanter, hörn och sidoytor har kroppen? Vad kallas den?
58
2 geometri
Rätblock
Ett prisma med en
rektangel som
basyta.
Kub
Ett rätblock där
alla sidoytor är
kvadratiska
Pyramid
Spetsig kropp med
en månghörning
som basyta.
9
C
B
10
a) Vad kallas figurerna?
hörn har de olika figurerna?
G
E
14
A
B
C
D
E
F
Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en
a) fyrhörning
D
hörn
diagonal
b) femhörning
Pyramiden och ett rätblocket har båda en basyta som är
en fyrhörning.
Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning?
Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna?
a)
b)
c)
Pyramiden och prismat har båda sidoytor som har formen av en triangel.
d)
Rätblock och prisma är båda ”raka” kroppar till skillnad
från pyramiden som är en spetsig kropp.
F
15
Vilken av figurerna kan vikas till en kub?
Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna?
a)
b)
c)
d)
A
16
B
C
D
E
Bilden visar en utvikt tärning. På en
tärning är summan av prickarna på två
motstående sidor alltid sju. Rita av bilden
och rita prickar så att det blir rätt.
ArbetsblAd
2:1
58
Visa bilder eller kroppar av en pyramid med en basyta
som är en rektangel, ett rätblock och en prisma med en
triangel som basyta (”tobleroneprisma”). Fråga vilken av
kropparna som inte passar ihop med de två övriga och be
eleverna skriva ned och motivera sina svar. Det blir då
tydligt för dig som lärare vad eleverna uppfattat om
kropparnas egenskaper.
b) Hur många sidor och hur många
13
Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna?
A
11
12
Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor.
●● begreppen prisma, rätblock, kub, pyramid, hörn,
sidoyta, basyta, sida, hörn, kant, månghörning,
diagonal
Tänk på
sida
basyta
I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad.
En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger
intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida.
Lärandemål
●● att beskriva likheter och skillnader hos tredimensionella kroppar och tvådimensionella objekt
hörn
I ett hörn möts flera kanter.
G
Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar.
kant
sidoyta
Längs en kant möts två sidoytor.
Månghörningar – figurer som
är tvådimensionella
2 geometri
2 geometri
59
Starta gärna nästa lektion med att visa några olika prismor med olika bottenytor och låt eleverna ange antalet
hörn, kanter och sidoytor.
Gå vidare
Blå kurs
Mer grundläggande genomgång och uppgifter om kroppar finns på sidan 81.
Kommentarer till uppgifter
10
En uppgift som lyfter fram begreppen hörn, kant och
sidoyta.
12
En undersökande uppgift där eleverna ska dra slutsatser utifrån egna figurer.
13
Resonemangsuppgift som berör begreppen diagonal,
sida och hörn. Uppgiften lämpar sig väl till att diskutera i mindre grupper följt av gemensam diskussion i
hela gruppen.
15, 16
Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och
tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt.
Facit
9
A – Kub, B – Rätblock,
C – Prisma, D – Pyramid,
E – Prisma, F – Kub,
G – Rätblock
10 a) 8 hörn, 12 kanter och
6 sidoytor
b)6 hörn, 9 kanter och
5 sido­ytor
Röd kurs
12 a) 2 diagonaler
T.ex.
Repetition
b)5 diagonaler
T.ex.
c) 10 hörn, 15 kanter och
7 sidoytor
d)5 hörn, 8 kanter och
5 sido­ytor
11 a) A – Fyrhörning
(kvadrat)
B – Trehörning
(triangel)
C – Sexhörning
D – Fyrhörning
E – Fyrhörning (romb)
F – Femhörning
b)A – 4 hörn och 4 sidor
B – 3 hörn och 3 sidor
C – 6 hörn och 6 sidor
D – 4 hörn och 4 sidor
E – 4 hörn och 4 sidor
F – 5 hörn och 5 sidor
Mer om månghörningar finns på sidan 94–95.
Platonska kroppar tas upp på sidan 96.
Repetition 6 finns på sidan 279.
Extramaterial
Arbetsblad
13
Alla hörn i en triangel
ligger intill varandra.
14 a) Prisma, fyrhörning
(rektangel) och triangel
b)Prisma, fyrhörning
(rektangel) och
sexhörning
2:1
Vika kuber
●●
Aktiviteter
2:1
Vika kroppar
●●
c) Pyramid, triangel och
femhörning
d)Pyramid, triangel och
fyrhörning (kvadrat)
16
15C
2 geometri
59
G
Vinklar
G
4
En rät vinkel
markeras
med en hake.
Rät vinkel
90°
Trubbig vinkel
större än 90°
C
B
90
H
F
80
70
100 11
0 1260
0
23
3
4
5
6
7
8
9
10
●● att triangelns vinkelsumma är 180° och göra beräkningar utifrån det
B
50°
d)
b)
x
c)
x
24
32°
●● begreppen spetsig vinkel, trubbig vinkel, rak
vinkel, rät vinkel, helt varv, halvt varv,
vinkelsumma
Hur många varv har en snowboardåkare snurrat när han gjort en
a) ”hundraåttio”
22
●● En del elever har problem med att läsa av en gradskiva
när de mäter vinklar. Poängtera att gradskivan har två
skalor och att gradskivan läggs så att ena vinkelbenet
går genom 0° på den skala som läses av. Ett annat bra
råd är att först avgöra om
90
vinkeln är spetsig eller
trubbig. På det sättet kan
man direkt märka om man
har läst av fel på skalan.
80
70
100 11
0 1 60
20
5
13 0
0
0
10
20 170 180
30 160
50
40 0 1
14
180 170
160
0 10
20 150
30 14
40 0
100
110 80
70
25
c) 16.00
ArbetsblAd
2:2–2:3
d) 21.30
C sant ibland
D vet ej
3 I en triangel är vinkelsumman 180°.
A sant
B falskt
C sant ibland
D vet ej
x
c)
80°
x
x
120°
Röd kurs
Mer om vinklar och vinkelsummor för olika månghörningar finns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband
med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96.
x
a) Går det att rita en triangel som har två räta vinklar?
Motivera ditt svar.
b) Går det att rita en triangel som har två trubbiga vinklar?
Motivera ditt svar.
2 geometri
61
Extramaterial
Arbetsblad
Alternativ start 1
Skriv 360°, 180°, 90° och 45° på tavlan. Vad vet eleverna
om dessa vinklar? Låt eleverna tänka själva, diskutera i
par och sedan i helklass. Be dem även gärna att fundera
över var de hittar dessa vinklar i vardagen.
Kommentarer till uppgifter
18
19
Alternativ start 2
Gör en genomgång av triangelns vinkelsumma genom att
låta eleverna rita en valfri triangel på ett papper och markera vinklarna med en båge. Be dem sedan riva av hörnen och lägga hörnen som bilden på sidan 61 visar. Eleverna får då möjlighet att upptäcka att alla trianglars vinkelsumma är 180 grader, en rak vinkel, oavsett vilken
triangel de har ritat.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Start
Rita 5 olika vinklar på tavlan och låt eleverna uppskatta storleken. När alla elever har gjort en uppskattning så mäter ni vinklarna gemensamt. Eleverna kan sedan få räkna ut hur många grader de var
från det rätta värdet och summerar antalet ”felgrader”. Den som har minst antal ”felgrader” blir vinnare. Startuppgiften är samma som Aktivitet 2:2.
c) ”ten-eighty”
B falskt
Mer grundläggande genomgång och uppgifter om vinklar finns på sidan 82.
35°
b)
85°
2 geometri
60
●● Genom att konkretisera begrepp underlättar man
elevers förståelse. Begreppet vinkel kan konkretiseras
genom att man använder en sax och visar hur vinkeln
mellan skärbladen ökar när man öppnar saxen. Man
kan också använda saxen för att åskådliggöra en spetsig, en trubbig och en rät vinkel.
b) 15.00
62°
45°
Hur många grader är den minsta vinkeln mellan timvisaren och
minutvisaren när klockan är
a) 18.00
Tänk på
b) ”fem-fyrtio”
A sant
Räkna ut vinklarna markerade med x.
a)
21
D vet ej
Blå kurs
x
25°
64°
38°
48°
C sant ibland
Gå vidare
x
x
x
Räkna ut vinkeln som är markerad med x. Använd inte gradskiva.
a)
120°
c)
C
B falskt
25°
x
●● definiera och namnge olika trianglar och fyrhörningar
0
12
0 60
13 0
5
b)
b) Vilken vinkel är störst?
20
En triangel har tre
sidor och tre vinklar.
tri = tre, angel = vinkel
Räkna ut vinkeln x.
50°
A
35°
Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°.
a)
50
13
0
180 170
160
0 10
20 150
30
14
40 0
100
110 80
70
40°
Svar: Vinkeln v = 105°
Här ser du tre vinklar.
a) Vilka vinklar är lika stora?
●● att mäta, uppskatta och namnge vinklar
v
v = 180° − 75° = 105°
0
10
20 170 180
30 160
0
40 0 15
14
0
12
0 60
13
50
1
35° + 40° = 75°
D
Rita en trubbig vinkel, en rät vinkel
och en spetsig vinkel. Mät vinklarnas
storlek med en gradskiva.
2
3
A sant
2 Ett tredjedels varv är 30°.
Beräkna vinkeln v.
G
c) räta
3
1
1
3
3
Här ska eleverna utgå från ett halvt varv eller ett helt
varv för att beräkna de vinklar som är markerade med x.
21
Uppgiften handlar om snowboardåkare som snurrar
eller gör volter som namnsätts efter hur många grader som snurren eller volten är. Ett varv heter” tre –
sextio”, 360°. Det finns fler idrotter som använder
samma benämningar. Fråga gärna eleverna.
2
1
Kontrollera elevernas svar på den här uppgiften, den
kan avslöja en missuppfattning. Om eleven tror att B
har störst vinkel så kan eleven ha missuppfattningen
att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken.
20
24
2
Till den här uppgiften behöver eleverna en gradskiva.
Fler liknande uppgifter finns på arbetsblad 2:2.
25
Genom att uppmana eleverna att förklara hur de
beräknat de okända vinklarna så utvecklas deras
resonemangsförmåga.
Uppgiften bör diskuteras med hela klassen efter att
eleverna har gjort uppgiften. Eleverna får då möjlighet att utveckla sin resonemangsförmåga utifrån
begreppen vinklar och vinkelsumma.
2:2
Hur stor är vinkeln?
●●
2:3
Räkna med vinklar
●●
Aktiviteter
2:2
Uppskatta vinkeln
●●
2:3
Konstruera trianglar
●●
Facit
17 a) A, C och E
23 a) 80°
b) 35°
b) D, F och G
c) 70°
d) 55°
c) B och H
2 GEOMETRI
24 a) x = 130° b) x = 50°
18 –
c) x = 30°
19 a) A och C
b) B
20 a) 142°
b) 296°
c) 123°
21 a) Ett halvt varv
b) Ett och ett halvt varv
c) Tre varv
22 a) 180°
c) 120°
60
G
1 En trubbig vinkel är 120°.
Exempel
E
A
b) trubbiga
19
2
Om man vet två av triangelns vinklar
kan man räkna ut den tredje vinkeln.
Vilka av vinklarna är
a) spetsiga
18
Rak vinkel
180°, ett halvt varv
2
17
Spetsig vinkel
mindre än 90°
G
Summan av vinklarna i en triangel
är alltid 180°. Man säger att
triangelns vinkelsumma är 180°.
Det kan man visa genom att riva av
hörnen på en papperstriangel och
lägga dem intill varandra.
1
__
varv = 90°
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
1 varv = 360°
1
__
varv = 180°
2
För att kunna beskriva olika månghörningar
behöver man kunna namnge olika vinklar.
1
Eleverna bör från mellanstadiet känna till hur man ritar
vinklar, hur man mäter vinklar och att vinklar mäts i
enheten grader (°). Syftet med detta avsnitt är att eleverna ska lära sig olika vinklars namn för att kunna definiera månghörningar utifrån dessa. Eleverna ska också lära
sig att triangelns vinkelsumma är 180° och kunna lösa
problem utifrån det. För att kunna rita en triangel utifrån
angivna mått på sidorna måste man använda passare.
Passare och linjal var de redskap som användes för att
göra geometriska konstruktioner för ett par tusen år
sedan. I Aktivitet 2:3, Konstruera trianglar får eleverna
själva rita trianglar med hjälp av passare och linjal.
Triangelns vinkelsumma
0
G
Slut
Vinklar och Triangelns
vinkelsumma
b) 90°
25 a) Nej, summan av två
vinklar i en triangel
måste vara mindre än
180°
b) Nej, summan av två
vinklar i en triangel
måste vara mindre än
180°
d) 105°
2 GEOMETRI
61
G
Slut
Olika typer av trianglar
Olika typer av fyrhörningar
Huvudsyftet med dessa två avsnitt är att eleverna ska bli
väl förtrogna med olika typer av trianglar och fyrhörningar och vad som utmärker dem. Trianglar namnges
efter relationen mellan sidorna i triangeln eller efter
vinklarna i triangeln. Fyrhörningarna namnsätt efter om
motstående sidor är parallella, om det är en rät vinkel i
alla hörn och efter om sidorna är lika långa. I rutan på
sidan 63 finns ett exempel på en begreppskarta. I en
begreppskarta är begreppen sammanlänkade med
länkord som visar sambandet mellan begreppen.
Olika typer av trianglar
G
En triangel har tre sidor och tre vinklar. Trianglar får namn
både efter sidorna och efter vinklarna.
●● parallellogram, om sidorna är parvis parallella
I en oliksidig triangel
är sidorna olika långa.
Alla vinklar är olika stora.
Här ska eleverna lära sig:
40°
100°
5 cm
20°
30
7 cm
d)
v
6 cm
6 cm
v
7 cm
31
v
6 cm
28
29
I en rätvinklig triangel är en vinkel 30°. Hur stor är
den tredje vinkeln?
I en likbent triangel är en vinkel 50°. Hur stora är de
andra vinklarna? Det finns två lösningar.
ArbetsblAd
2:4
5 l.e.
4 l.e.
62
31
Vilka egenskaper har figurerna?
Exempel på egenskaper:
Triangeln: tre sidor varav två är lika långa, tre hörn, en
trubbig vinkel, två lika stora spetsiga vinklar. En sådan
triangel kallas likbent.
Fyrhörningen: fyra sidor varav två parallella, fyra hörn,
en trubbig vinkel, en spetsig vinkel, två räta vinklar.
En sådan fyrhörning kallas parallelltrapets.
Redan för 4 000 år sedan odlade egyptierna marken vid Nilens
strand. Varje år blev det översvämning och när vattnet drog sig
tillbaka måste åkrarna mätas upp igen. För att varje åker skulle få räta
vinklar använde de egyptiska lantmätarna rep med knutar. Knutarna
var knutna med lika stora mellanrum. Genom att bilda trianglar med
sidorna 3, 4 och 5 mellanrum visste de att vinkeln blev rät.
Kommentarer till uppgifter
Start
B
parallelltrapets
parallellogram
34
Vilken eller vilka av fyrhörningarna är en
a) kvadrat
b) rektangel
c) parallellogram
d) parallelltrapets
kvadrat
rektangel
A
32
Här ska eleven inse att det finns två trianglar som
uppfyller kriterierna likbent och en vinkel 50°. Det
kan underlätta för eleven att rita upp trianglarna.
Uppgiften kan med fördel diskuteras i helklass.
Begreppskartan i rutan kan tolkas även från höger till
vänster. En kvadrat är en romb eftersom den har lika
långa sidor, den är även en rektangel eftersom den
har räta vinklar i hörnen. Kvadraten är en parallellogram eftersom den har motstående parallella sidor
och den är ett parallelltrapets eftersom den har minst
ett par parallella sidor och den är en fyrhörning eftersom den har fyra hörn.
Gör gärna uppgiften tillsammans i klassen. Fråga att
diskutera: Varför har en fyrhörning vinkelsumman
360° om triangeln har vinkelsumman 180°? Låt eleverna klippa en fyrhörning längs en diagonal och på så
sätt få två trianglar. Visa att trianglarnas vinklar bildar fyrhörningens vinklar. Summan av de två trianglarnas vinklar är 2 · 180° = 360°. Oavsett fyrhörning så
kan man dela den i två trianglar. Uppgiften kan
utvecklas genom att låta eleverna undersöka femhörningar, sexhörningar osv och sedan försöka dra en
generell slutsats utifrån antalet hörn.
B falskt
C sant ibland
D vet ej
E
B Alla vinklar i en romb är räta.
C Alla rektanglar är kvadrater.
D Alla kvadrater är rektanglar.
E Alla rektanglar är parallellogram.
F Alla romber är kvadrater.
Rita en fyrhörning som inte har räta vinklar i hörnen.
Mät vinklarna i fyrhörningen och beräkna vinkelsumman.
Om
jag drar en
diagonal i
fyrhörningen, så kan
jag visa att alla
fyrhörningar har
vinkelsumman
360°.
Ta hjälp av Dilans påstående här intill och förklara varför
alla fyrhörningar har vinkelsumman 360°.
a) Rita en parallellogram där två av vinklarna är 45°.
D vet ej
A sant
B falskt
C sant ibland
D vet ej
Gå vidare
Blå kurs
Mer grundläggande genomgång och uppgifter om olika
typer av trianglar och månghörningar finns på sidan
83–84.
Rita en kvadrat och en annan romb med sidan 10 cm och dra diagonalerna.
Vilken slags vinkel bildas där diagonalerna skär varandra?
2 geometri
C sant ibland
Frågorna ger dig som lärare en bild över hur eleverna
uppfattat begreppen och var eventuella missuppfattningar finns. Starta gärna nästa lektion med att följa upp
frågorna.
Vilka påståenden är sanna och vilka är falska?
A Alla vinklar i en rektangel är 90°.
B falskt
är
C
D
A sant
3 I en likbent triangel är alla vinklar spetsiga. Det
med alla
sidor lika
långa kallas
B
b) Hur stora är de andra vinklarna?
35
med räta
vinklar mellan
sidorna kallas
romb
2 geometri
29
Flera av begreppen i avsnittet har eleven mött i tidigare
skolår. Genom att låta eleverna beskriva egenskaper hos
en triangel och en fyrhörning får de möjlighet att repetera och befästa begrepp och även lära sig nya. Låt gärna
eleverna diskutera i par och följ sedan upp i helklass.
32
33
3 l.e.
●● Begreppet parallell är ett viktigt begrepp när man definierar olika fyrhörningar. Det kan därför vara bra att
kolla upp att alla elever har det begreppet klart för sig.
fyrhörning
med parvis
parallella
sidor kallas
med alla
sidor lika
långa kallas
med räta
vinklar mellan
sidorna kallas
Egyptisk triangel
●● I geometriska figurer kan de sidor som är lika långa
eller de vinklar som är lika stora markeras med lika
många streck. På samma kan man markera sidor som
är lika långa med samma antal streck.
2 GEOMETRI
c)
5 cm
Tänk på
62
b)
v
●● kvadrat, om alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta
med minst
två parallella
sidor kallas
A sant
2 I en romb är alla sidor lika långa. Det är
●● rektangel, om alla vinklar är räta
I en trubbvinklig triangel
är en vinkel trubbig.
Räkna ut vinkeln som är markerad med v. Mät inte med
gradskiva. Skriv också vilken typ av triangel det är.
●● att definiera och namnge olika trianglar och
fyrhörningar
A
I en spetsvinklig triangel
är alla vinklar spetsiga.
Rita en rätvinklig triangel där de två korta sidorna är 3 cm och 4 cm.
Använd en linjal och mät den längsta sidan. Hur lång är den?
a)
●● romb, om sidorna är parvis parallella och lika långa
En likbent triangel har två
I en liksidig triangel är
vinklar som är lika stora
alla vinklar 60°. Alla
och två sidor som är lika långa. sidor är lika långa.
En rätvinklig triangel
har en rät vinkel.
27
●● begreppen oliksidig triangel, likbent triangel,
liksidig triangel, rätvinklig triangel, spetsvinklig
triangel, trubbvinklig triangel, parallellogram,
parallelltrapets, romb, rektangel, kvadrat
G
Sidorna och vinklarna bestämmer namnet på en fyrhörning.
En fyrhörning kallas
G
1 I en parallellogram är alla vinklar räta. Det är
●● parallelltrapets, om den har minst två parallella sidor
26
Lärandemål
Olika typer av fyrhörningar
63
Röd kurs
Mer om vinklar och vinkelsummor för olika månghörningar finns på sidan 94. Vinklar tas även upp i samband
med avsnittet Platonska kroppar på sidan 96.
Facit
26 5 cm
(cm)
5
3
4
27 a) v = 50°, rätvinklig
triangel
b) v = 40°, likbent
triangel
c) v = 60°, liksidig
triangel
d) v = 140°, likbent
triangel
32 Vinkelsumman är 360°.
33 När man drar en diagonal i en fyrhörning bildas två trianglar. Vinkelsumman är därför
2 · 180° = 360°.
30 a) A
b) A och E
c) A, B, D, E
d) A, B, C, D, E
31 A – sant, B – falskt,
C – falskt, D – sant,
E – sant, F – falskt
Repetition 7 finns på sidan 280.
Extramaterial
Arbetsblad
34 a) T.ex.
45°
2:4
Vinkelsumman i en triangel
●●
45°
Aktiviteter
b) 135°
2:4
35 T.ex.
28 60°
29 50° och 80° eller 65° och
65°
Repetition
10
10
10
10
Vinklarna som bildas är
90°
Geometriska begrepp med begreppskort
och bildkort
●●
Begreppskarta
2:1
Trianglar
2:2
Fyrhörningar
2:3
Månghörningar
Läs mer
●● Laksman, Pesach (2012) Geometri med spagetti,
Nämnaren 3, 2012.
2 GEOMETRI
63
G
Slut
Omkrets och Area
I årskurs 4–6 har eleverna fått lära sig metoder för hur
omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. Syftet med
dessa två avsnitt är att ge eleverna möjlighet att repetera
begreppen omkrets och area och koppla dem till begreppen endimensionell och tvådimensionell. I de här avsnitten och efterföljande avsnitt kommer eleverna att arbeta
med både omkrets och area parallellt. Det kan hjälpa
eleven att se skillnaden mellan dessa begrepp och att
inse skillnaden mellan längdenheter och areaenheter.
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
●● metoder för att uppskatta och beräkna omkrets och
area av månghörningar och andra tvådimensionella
objekt
Omkrets
G
Area
När man beräknar omkretsen räknar man ut hur långt det är runt om.
Rektangelns omkrets är summan av rektangelns sidor.
Omkrets förkortas ofta med O.
4
Exempel
(cm)
Beräkna rektangelns omkrets.
En kvadratmeter (1 m2) är en yta som har
lika stor area som en kvadrat med sidan
en meter.
Alla mått i
rektangeln är
i centimeter.
37
38
39
40
1m
1 cm2
Mät rektangelns sidor och beräkna
omkretsen.
42
Vilken areaenhet ska stå i rutan?
a) Golvet i ett klassrum kan ha arean 80
b) Framsidan på en bok kan ha arean 500
Rita tre olika rektanglar som har
omkretsen 24 cm.
c) Sitsen på en stol kan ha arean 16
d) En fotbollsplan kan ha arean 5 000
En liksidig triangel har en sida som är 8 cm.
Hur lång är triangelns omkrets?
43
I en likbent triangel är en sida 8 cm. Triangelns omkrets är 28 cm.
Hur långa är de andra sidorna? Det finns två lösningar.
1 dm2
.
●● att jämföra begreppen omkrets och area och koppla
dem till rätt dimension
8
(cm)
1
Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på
omkrets och area finns på sidorna 85 och 86.
.
Hur stor area har figurerna? Varje ruta är 1 cm2.
a)
b)
c)
Röd kurs
Mer om area finns på sidan 97.
x
b)
x
(cm)
4
5
y
●● begreppen omkrets, area, kvadratmeter, kvadratdecimeter, kvadratcentimeter
Extramaterial
10
8
Arbetsblad
y
5
2:5
12
41
Tänk på
44
De tre figurerna har samma omkrets. Förklara hur man kan veta det.
A
B
a) Ungefär hur stor area har ön?
C
Start
Låt eleverna se sig omkring i klassrummet och uppskatta
storleken av några olika ytor och längder. Det kan vara
golvlisten, listen runt tavlan, tavlans yta, ytan av en bänk
eller ett fönster. Fråga vilken enhet som är lämplig att
använda. Tydliggör vilken dimension det handlar om,
endimensionell: längden av en sträcka, tvådimensionell:
arean av en yta.
Se dig omkring i klassrummet. Uppskatta storleken
av några sträckor och några ytor. Vilka enheter
använder du?
64
2 GEOMETRI
2:6
Rita en oregelbunden sluten kurva på tavlan.
2 geometri
65
Kommentarer till uppgifter
39
Hur kan du mäta omkrets och area av området som
är ritat på tavlan?
Area av oregelbundna figurer
●●
1 km
2 geometri
Alternativ start
●●
Aktiviteter
b) Ungefär hur stor omkrets har
ArbetsblAd
2:5
64
Omkrets
Här ser du en karta över en ö.
sjön på ön?
●● Det händer att elever beräknar omkrets och area utan
att ha förståelse för begreppen. Frågar man vad area är
kan man få svaret: ”Area är längden gånger bredden”.
Eleven har då lärt sig en metod utantill men förstår
inte betydelsen av areabegreppet. Ett sätt att stärka
elevernas förståelse av areabegreppet är att låta dem
arbeta med uppgifter där de får uppskatta ytor med
hjälp av areamallar. Man kan också arbeta med uppgifter där eleverna får klippa isär figurer och se att den
totala arean är lika trots att figurens form har ändrats.
Gå vidare
Blå kurs
.
.
Hur långa är sidorna som är markerade med x och y?
a)
Alternativt slut
Låt eleverna bestämma ytan av en oregelbunden figur och
sedan skriva ner svaren. Använd till exempel Aktivitet 2:9.
Starta nästa lektion genom att följa upp aktiviteten.
1m
En kvadratcentimeter (1 cm2)är ungefär
lika stor som en lillfingernagel.
Svar: Omkretsen är 12 cm.
36
1 m2
En kvadratdecimeter (1 dm2) är ungefär
lika stor som en handflata.
2
O = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm
G
Area är ett mått på hur stort ett område
eller en yta är.
Låt eleverna uppskatta hur stor area och hur stor omkrets
framsidan av deras lärobok har.
40
41
Uppgiften liknar uppgift 29 på sidan 62. Även här ska
eleven inse att det finns två likbenta trianglar som
uppfyller kriterierna.
En del elever har svårt med den här typen av uppgifter. Låt gärna eleverna tänka efter själva först och gå
sedan igenom med hela klassen hur man kan avgöra
längden av de sträckor som är okända.
Att figurerna har samma omkrets kan vara svårt att se
vid en första anblick. Här får eleverna veta att figurerna har samma omkrets och ska föra ett resonemang
som förklarar varför. Uppgiften är lämplig att följa
upp i helklass. Att figurerna har olika area är ganska
uppenbart men uppgiften kan leda till insikten att
figurer med samma omkrets kan ha olika area.
42
Genom att låta eleverna diskutera och motivera sina
val av enheter kan deras uppfattning om areaenheternas storlek stärkas och även deras förmåga att föra
resonemang.
43
Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en
areamall. Att jämföra en area med en känd enhet
(cm2) är en bra övning som ger förståelse för begreppet area och areaenheten kvadratcentimeter.
44
Här ska eleverna uppskatta area och omkrets av ett
oregelbundet område med hjälp av en angiven
sträcka.
Läs mer
●● Holmberg, Britt (2011), Analysera mera i geometri,
Nämnaren 4, 2011.
Facit
36 14 cm
37 T.ex. 7 cm och 5 cm,
8 cm och 4 cm och 9 cm
och 3 cm
38 24 cm
39 10 cm och 10 cm eller
8 cm och 12 cm
41 Omkretsen förändras
inte när man ”viker in
hörnen”.
42 a) m2
c) dm
b) cm2
d) m2
2
43 a) 4,5 cm2
b) 6 cm2
c) ca 12 cm
2
40 a) x = 3 cm och y = 4 cm
b) x = 2 cm och y = 4 cm
2 GEOMETRI
65
G
G
Slut
Rektangelns area och
Parallellogrammens area
Syftet med avsnitten är att eleverna ska lära sig att beräkna area av fyrhörningar. Hur man beräknar arean av en
rektangel är något eleverna troligtvis stött på under mellanstadietiden men hur man beräknar arean av en parallellogram är nog inte lika bekant. Metoden att beräkna
arean är densamma för rektanglar och parallellogrammer. En parallellogram med samma bas och höjd som en
rektangel har lika stor area. Vi har därför valt att kalla
rektangelns sidor för bas och höjd istället för längd och
bredd. Det gör även att det blir lättare att förstå hur man
beräknar triangelns area.
I det centrala innehållet för årskurs 7–9 står att eleverna ska möta: ”Metoder för beräkning av area hos geometriska objekt”.
Rektangelns area
G
Parallellogrammens area
Längden och bredden av en rektangel kallas
ofta för bas och höjd. Höjden är alltid vinkelrät
mot basen.
I en rektangel där sidorna är
4 cm och 3 cm får det plats
4 ∙ 3 = 12 hela rutor med arean 1 cm2.
Rektangelns area är 12 cm2.
bas
G
höjd
Arean = basen · höjden
bas
Figuren visar att alla
parallellogrammer kan
göras om till en rektangel.
A=b·h
51
1 cm2
Arean = 4 cm ∙ 3 cm = 12 cm2
Höjden är alltid vinkelrät
mot basen.
b)
Här ska eleverna lära sig:
●● metoder för att beräkna rektangelns och parallellogrammens area
●● att göra jämförelser mellan hur man beräknar rektangelns och parallellogrammens area
●● Begreppet höjd är svårt för många elever. Varför kallas
det höjd när objektet ligger ner? Vad är höjd i en parallellogram? Om eleverna får klippa ut en parallellogram
och ställa den upp med en sida mot bordet kan de se
vad som är bas och höjd. De kan även vrida parallellogrammen och se att det finns fyra baser med fyra
tillhörande höjder.
●● En vanlig missuppfattning hos elever är att arean alltid ökar om omkretsen ökar, och tvärtom. En annan
missuppfattning är att en rektangels area fördubblas
om rektangelns längd och bredd fördubblas, när den
egentligen blir fyra gånger så stor. Ytterligare en missuppfattning är att parallellogrammens sida är en höjd.
Start
Låt eleverna själva upptäcka hur man beräknar arean av
en rektangel och en parallellogram. Använd centimeterpapper (se Aktivitet 2:5 A) och låt dem rita upp tre olika
rektanglar med given höjd och bredd, alla med samma
area. Eleverna kan sedan beräkna arean genom att räkna
rutor, men kommer även att inse att det går att få fram
arean på ett enklare sätt, genom att multiplicera rektangelns bredd (bas) med rektangelns höjd.
A ja
B nej
C stämmer ibland
D vet ej
2 En kvadrat som har arean 25 cm2 har basen
5 cm.
A ja
B nej
C stämmer ibland
D vet ej
Mät i figuren och beräkna arean.
a)
3 En parallellogram som inte är en rektangel har
b)
längden 5 cm och höjden 4 cm. Omkretsen är
46
47
52
a) Rita en rektangel med bredden 2,5 cm och längden 6 cm.
Rita en kvadrat som har arean
a) 4 cm2
48
49
50
b) 9 cm2
A 20 cm
Anna, Benjamin och Dilan har
räknat ut parallellogrammens area.
3 cm
Rita två olika rektanglar som har omkretsen 12 cm.
Beräkna arean av varje rektangel.
5+4+5+4=
= 18
Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2.
Beräkna omkretsen av varje rektangel.
Anna
a) Vem har rätt?
a) Rita en rektangel med dubbelt så stor area
Här kan man få reda på om eleverna har förstått att rektanglar som har olika bas och höjd ändå kan ha samma
area, om eleverna använder parallellogrammens höjd
som sida eller tror att en rektangel inte kan ha formen av
en kvadrat.
5 · 3 = 15
Benjamin
Dilan
b) Vad har de andra räknat ut?
som rektangeln här bredvid.
53
en rektangel om du fördubblar både
längden och bredden?
Gå vidare
a) Rita en parallellogram med basen 5 cm och höjden 3 cm.
b) Beräkna arean.
c) Hur många gånger större blir arean om du
gör både längden och bredden tre gånger större?
66
5 · 4 = 20
B 18 cm
C går ej att beräkna
4 cm
5 cm
Här ser du deras beräkningar.
c) 25 cm2
b) Hur många gånger större blir arean av
●● begreppen bas, höjd, längd, bredd, rektangel,
parallellogram
Tänk på
A=b·h
c)
b) Beräkna rektangelns area.
Lärandemål
Arean = basen · höjden
Mät bas och höjd och beräkna parallellogrammens areor.
a)
4 cm
5 cm.
bas
3 cm
Arean = basen · höjden
45
Arean av en parallellogram
beräknar man på samma sätt
som arean av en rektangel.
höjd
G
1 En rektangel som har arean 25 cm2 har basen
ArbetsblAd
2:6
54
Blå kurs
Rita två olika parallellogrammer (som inte är rektanglar)
som har arean 20 cm2.
2 geometri
2 geometri
Rita 3 rektanglar med följande mått:
Rektangel A
Bredd: 12 cm
Höjd: 2 cm
Rektangel B
Bredd: 3 cm
Höjd: 8 cm
Rektangel C
Bredd: 6 cm
Höjd: 4 cm
Vad har rektanglarna gemensamt?
Hur beräknar man en rektangels area?
Kommentarer till uppgifter
48, 49
50
Fortsättning eller alternativ start
Här ska eleverna inse att man kan beräkna parallellogrammens area på samma sätt som för en rektangel,
nämligen genom att multiplicera basen med höjden.
Rita en parallellogram som inte är en rektangel.
Välj en sida som bas och rita en höjd mot basen.
Klipp längs höjden och lägg den avklippta triangeln
så att en rektangel bildas.
Hur beräknar man arean av en parallellogram?
67
53, 54
Uppgifter där eleverna har möjlighet att upptäcka att
rektanglar med lika lång omkrets kan ha olika area.
De får också upptäcka att rektanglar med lika stor
area kan ha olika lång omkrets. Diskutera dessa uppgifter med eleverna så att de blir uppmärksammade
på syftet med uppgifterna.
En uppgift som visar att arean av en rektangel ökar
fyra gånger om både längden och bredden fördubblas
och att arean ökar med 9 gånger om sidorna tredubblas. Låt gärna eleverna jämföra sina rektanglar med
varandra och se att dessa samband gäller oavsett vilka
ursprungsmåtten är. Du kan även utmana eleverna
förklara varför det är så och sedan följa upp i helklass.
Eleverna får då möjlighet utveckla sin förmåga att följa
och föra matematiska resonemang. Under årskurs 9
kommer eleverna att få arbeta med areaskala.
Om eleverna inte tidigare ritat parallellogram så kan
det vara bra att tillsammans gå igenom hur man gör
det.
Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på rektangelns och parallellogrammens area finns på sidan 87.
Repetition
Repetition 8 finns på sidan 281.
Extramaterial
Arbetsblad
2:6
Area och omkrets
●●
Facit
45 a) 12 cm2
46 a) –
b) 5,5 cm2
b) 15 cm2
47 a) Kvadrat med sidan
2 cm
b) Kvadrat med sidan
3 cm
c) Kvadrat med sidan
5 cm
48 –
49 –
51 a) 6 cm2
b) 8 cm2
c) 10 cm
2
52 a) Dilan har räknat rätt.
b) Anna har beräknat
omkretsen. Benjamin
har beräknat arean av
en annan parallellogram med basen
5 cm och höjden 4 cm.
53 a) –
b) 15 cm2
54 –
50 a) Rektangel med arean
16 cm2
b) 4 gånger större
c) 9 gånger större
66
2 GEOMETRI
2 GEOMETRI
6
Metoden för att beräkna area av trianglar har eleverna
redan mött i årskurs 4–6. Syftet med detta avsnitt är att
befästa metoden samt att öva eleverna på att mäta och
bestämma höjden i en triangel oavsett vilken sida som
anges som bas. I det centrala innehållet för årskurs 7–9
står det att eleverna ska möta: ”Metoder för beräkning av
area hos geometriska objekt”.
Triangelns area
G
57
4 cm · 3 cm
Arean = __________ = 6 cm2
2
basen · höjden
Arean av en triangel = _____________
2
höjd
●● begreppen bas, höjd, triangel
b)
Mät och beräkna parallellogrammens area.
Mät bas och höjd och beräkna arean av trianglarna. Välj själv vilken höjd
och bas du mäter.
b)
c)
Mät höjden mot den sida som kallas bas och beräkna
triangelns area. Kom ihåg att höjden är vinkelrät mot basen.
a)
höjd
C
B 6 cm2
C 7 cm2
D vet ej
jd
Rita en triangel som har arean
a) 12 cm2
61
A
bas
60
B
bas
bas
b) 9 cm2
c) 15 cm2
Gå vidare
Här intill har vi ritat ett så kallat tangrampussel.
a) Vad heter månghörningarna i tangrampusslet?
hö
bas
A 12 cm2
Be eleverna rita en triangel och rita alla höjderna i triangeln. Be dem sedan räkna ut omkretsen och arean.
A
b)
c)
Hur stor är triangelns area?
Alternativt slut
5 dm
56
Rita en triangel på tavlan och skriv måtten 4 cm på basen
och 3 cm på höjden.
Läraren får en snabb koll på om eleverna har förstått och
kan beräkna arean av en triangel. Eventuella missuppfattningar (t.ex. glömt att dividera med två) kommer
också fram.
Rita tre olika trianglar som alla har basen 5 cm och
höjden 4 cm. Beräkna arean.
a)
32 m
s
Rita en parallellogram.
20 m
ba
Låt eleverna rita och klippa ut en rektangel/parallellogram av papper och sedan mäta och beräkna figurens
area. Därefter ska eleverna klippa itu rektangeln/parallellogrammen längs diagonalen så att det bildas två trianglar. Steget är nu inte långt för eleverna att inse att man
kan beräkna triangelns area genom att dividera rektangelns/parallellogrammens area med två.
B
3m
●● En del elever lär sig formeln för triangelns area utan
att ha förståelse för vad den innebär. Att utgå från en
rektangel och visa att en triangel är en halv rektangel
kan hjälpa eleverna att inse varför man ska dividera
b·h
med två när man beräknar triangelns area, ____
​   ​ .
2
Det är också viktigt att eleverna får öva på att dra höjden vinkelrät mot den sida som man kallar för bas.
Använd gärna Arbetsblad 2:7.
Start
58
59
c)
2m
4 dm
Tänk på
●● Elever som alltid ser trianglar där basen är den sida
som triangeln vilar på, kan tro att trianglar alltid måste
vara placerade så för att kallas triangel. En triangel som
har ett hörn nederst kan uppfattas som en triangel som
är upp och ned. Eleverna bör få arbeta med trianglar
där vilken sida som helst kan väljas som bas. Om eleverna får klippa ut en triangel och ställa den upp med en
sida mot bordet kan de lättare se vad som är bas och
höjd. De kan även vrida triangeln och se att det finns tre
baser och tre till dem tillhörande höjder.
basen · höjden
Arean = _____________
2
b·h
A = ____
2
Beräkna arean av den färgade triangeln.
●● att bestämma och mäta olika baser och höjder i
trianglar
●● en metod för att beräkna area av trianglar
A
bas
a)
G
har ritat noggrant, möts alla tre höjderna i en punkt.
4 cm
Dividera med 2, eftersom en
triangel är en halv parallellogram.
55
form som trianglarna A och B, men rita dem gärna lite större.
3 cm
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
a) Rita två trianglar i ditt räknehäfte. De ska ha ungefär samma
b) Rita höjder från alla tre hörnen i varje triangel. Om du
Triangelns area är hälften av en parallellograms
area, om deras bas och höjd är lika.
Blå kurs
b) Bestäm hur stor area de olika figurerna har.
C
B
s
A
ba
G
Slut
Triangelns area
62
jd
B
Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om triangelns area finns på sidorna 88– 89.
(cm)
2
a) omkrets
hö
C
Beräkna triangelns
3
1,5
b) area
4
ArbetsblAd
2:7
Röd kurs
Hur man beräknar arean av trubbvinkliga trianglar finns
på sidan 97.
68
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
57
59
Uppgiften kan göras gemensamt med hela klassen.
Uppmana eleverna att rita stora trianglar och tipsa
om att de kan ha användning av en genomskinlig
plastlinjal när de ska rita höjden mot basen. Visa
gärna elevernas trianglar med dokumentkamera. Det
är vanligt att höjden inte ritas vinkelrät mot basen
trots upprepad undervisning.
Uppgiften kan utvecklas genom att låta eleverna mäta
alla tre baserna och alla tre höjderna i varje triangel
och upptäcka att det alltid blir lika stora area.
60
Den här uppgiften kan utvecklas till en resonemangsoch problemlösningsuppgift om eleverna uppmanas
att hitta flera olika trianglar med en given area.
61
Den här uppgiften är baserad på ett tangrampussel. I
b-uppgiften är det inte meningen att eleverna ska
mäta och göra beräkningar utan att de ska utgå från
helheten. De ska se hur stor del av hela pusslet som
de olika månghörningarna upptar.
62
Uppgiften testar om eleverna även tar med triangelns
höjd när de beräknar omkretsen. Var uppmärksam på
det.
2 geometri
69
Arbetsblad
Facit
2:7
55 a) 10 dm2
c) 320 m
Extramaterial
b)3 m2
2
56 a) Höjden är 3 cm och
arean är 7,5 cm2.
b)Höjden är 3,5 cm och
arean är 5,25 cm2.
c) Höjden är 4 cm och
arean är 16 cm2.
57 a)–
b)T.ex.
59 a) 3,5 cm2 b)6 cm2
c) 10,5 cm2
60 a)–
b)–
c)–
61 a) Rätvinklig och likbent
triangel, kvadrat och
parallellogram.
b)Trianglar: 4 cm2,
2 cm2 och 1 cm2
Triangel – bas, höjd och area
●●
Aktiviteter
2:6
Triangeln är en halv fyrhörning
●●
Begreppskarta
2:4
Area
Kvadrat: 2 cm2
Parallellogram: 2 cm2
62 a) 9 cm b)3 cm2
58Arean är 10 cm2
Klipp itu parallellogrammen längs diagonalen så att
det bildas två lika stora trianglar.
Bestäm arean av varje triangel.
68
2 geometri
2 geometri
69
G
G
Slut
Sammansatta figurer
I det här avsnittet får eleverna möjlighet att tillämpa den
kunskap de inhämtat i tidigare avsnitt. Att kunna tillämpa metoder i nya situationer är ett bra sätt att befästa de
metoder man tidigare övat på och visa att man förstått.
Här får eleverna också möjlighet att öva på hur sammansatta figurer kan delas in för att underlätta vid beräkning
av arean. Det ger eleverna en förförståelse inför nästa
avsnitt där de ska beräkna arean av kroppars begränsningsyta.
Lärandemål
Sammansatta figurer
G
Titta på ritningen och mät med linjal.
66
b) Hur långt är vardagsrummet i verkligheten?
När man ska beräkna arean av
en sammansatt figur kan man
dela in den i mindre figurer som
är lättare att beräkna arean av.
Man kan dela in husväggen i
en rektangel och en triangel.
c) Beräkna vardagsrummets area.
d) Hur mycket skulle det kosta att lägga in
parkettgolv i vardagsrummet?
5,5 m
Triangelns
höjd är
5,5 m – 3 m =
= 2,5 m.
6m
Sovrum
Husets kortsida har formen av en
rektangel och en triangel. Beräkna
●● metoder för att beräkna area på sammansatta figurer
c) hela arean av husets kortsida
●● att kunna tolka en ritning och göra enkla vardagsnära
beräkningar
●● Många elever har svårt att dela in en sammansatt figur
i delar som är möjliga att beräkna arean av. Det kan
underlätta för eleverna att vi ger dem en tydlig arbetsgång. En sådan arbetsgång kan vara:
64
67
5 Är svaret rimligt?
Hur stor area har kortsidorna på husen?
a)
65
3,5 m
c) ramen kring spegelglaset.
70
4m
7m
8m
(dm)
a) hela kvadraten (spegelglas och ram)
b) spegelglaset
68
5m
Emelie sätter in en kvadratisk spegel i en
kvadratisk ram. Beräkna arean av
a) Hur mycket golv måste du minst köpa?
Vardagsrum
4
69
6
4
Tänk på att inte räkna med dörren.
6
Du ska lägga stenplattor på en yta som är 1 m2.
Hur många plattor behöver du om de är
kvadratiska och har sidlängden
a) 50 cm
b) 25 cm
c) 20 cm
d) 10 cm
Du ska lägga stenplattor på uteplatsen.
Hur många plattor behövs det om en platta
har måtten
a) 50 cm × 50 cm
b) 25 cm × 25 cm
Här ska spegelglasets area tas bort från den totala
arean. Det kan finnas elever som inte inser det. Uppgiften kan därför med fördel diskuteras i helklass.
Fler liknande uppgifter finns på arbetsblad 2:8.
Här ska eleverna utgå ifrån en ritning och använda
skala för att göra areaberäkningar.
Man kan göra liknande uppgifter genom att låta eleverna arbeta utifrån en katalog eller ett reklamblad
från ett byggvaruhus och samtidigt ha tillgång till en
ritning över ett hus eller lägenhet.
4
50 cm × 50 cm
betyder att plattans
bredd är 50 cm och
att plattans längd är
50 cm.
ArbetsblAd
2:8
Kommentarer till uppgifter
66
Alternativt slut
Rita upp en skiss av en gräsmatta med några uteplatser
på och mått utsatta. Fråga eleverna hur stor area gräsmattan har.
a) Beräkna hur mycket golvlist som behövs i klädkammaren.
6
8
4
ArbetsblAd
2:9
2 geometri
Start
Hur gör man för att beräkna arean av husgaveln och
ramen?
Hall
b) Hur lång golvlist behövs i vardagsrummet?
c)
5m
6m
65
Rita upp en ”husgavel” och en ram på tavlan och fråga
hur man kan gå till väga för att beräkna arean. Syftet med
den här övningen är att eleverna själva får fundera över
hur man kan gå till väga för att bestämma arean av en
sammansatt figur. Tanken är inte att de ska beräkna ett
svar utan att de ska hitta ett tillvägagångssätt för att
kunna beräkna arean.
b)
2m
4m
2 Skriv ut alla mått. Vilka mått saknas? Kan du
beräkna dem?
4 Beräkna arean av de olika delarna och addera.
Du renoverar och ska lägga in nytt golv och köpa
nya lister.
3m
1 Rita av figuren
3 Dela in figuren i delar som är möjliga att beräkna
arean av.
7
285 kr/m2
b) Hur många meter golvlist behöver du minst
köpa?
5m
Tänk på
3
Parkettgolv
K/F
TM
Klädkammare
2m
b) triangelns area
(m)
2
Kök
Väggens area: 18 m2 + 7,5 m2 = 25,5 m2
a) rektangelns area
4
Uteplats
6 m ∙ 2,5 m 15
Triangelns area: __________ = ___ m2 = 7,5 m2
2
2
Här ska eleverna lära sig:
G
G
Den här är en ritning av ett rum.
Skala 1:100
3m
Rektangelns area: 6 m ∙ 3 m = 18 m2
63
Ritningar är
ofta ritade i
skala 1:100. Det
betyder att
1 centimeter på
ritningen är 1 meter
i verkligheten.
a) Hur brett är vardagsrummet i verkligheten?
2 geometri
7
71
15
Gå vidare
Facit
63 a) 15 m2
b) 5 m2
c) 20 m2
64 a) 30 m2
b) 34 m2
c) 31,5 m
2
65 a) 36 dm2
67 a) 6,1 m
b) 17 m
68 a) 4 st
b) 16 st
c) 25 st
d) 100 st
69 a) 28 st
b) 112 st
Blå kurs
Mer grundläggande genomgång och uppgifter om
sammansatta figurer finns på sidan 90.
Repetition
b) 16 dm2
Repetition 9 finns på sidan 282.
b) 6 m
Extramaterial
c) 20 dm2
66 a) 3,5 m
c) 21 m2
d) ca 6 000 kr (5 985 kr)
Arbetsblad
2:8
Sammansatta figurer
●●
2:9
Renovera lägenheten
●●
Följ upp i helklass. Sätt sedan ut mått på husgaveln och
ramen och låt eleverna beräkna arean.
70
2 GEOMETRI
2 GEOMETRI
1
G
Slut
Volym och Rätblock
Syftet med det första avsnittet är att eleverna ska få en
känsla för begreppet volym. Att kroppar är tredimensionella och att volymen anger hur stor en kropp är eller hur
mycket något innehåller är centralt. Eleverna får även
möta två sätt att ange enhet för volym, litersystemet och
metersystemet.
Det andra avsnittet handlar om rätblock. Det är bra
om eleverna lär sig att rita ett rätblock med stöd av rutnätet i räknehäftet. Det gör att de inte behöver fundera på
hur de ska gå till väga när de senare behöver göra en skiss
av ett rätblock. Eleverna brukar dessutom tycka att det är
roligt. Att inte kunna rita fint, att inte veta hur man ska
göra, brukar däremot uppfattas som mycket frustrerande. I det centrala innehållet för årkurs 7–9 står att eleverna ska möta ”Avbildning och konstruktion av geometriska objekt”.
Volym
G
Rätblock
En
kubikdecimeter =
= 1 liter
Rita ett rätblock
Volym är ett mått på hur stor
en kropp är. Volym kan också vara
ett mått på hur mycket till exempel
en läskburk kan innehålla.
Stenen har
volymen 975 cm3.
Rita ett rätblock där basytan är en rektangel med
längden 3 cm och bredden 2 cm. Höjden ska vara
1,5 cm. Följ beskrivningen.
1 cm3
Burken har
volymen 0,33 dm3.
med längden 3 cm och höjden 1,5 cm.
2. Rita sedan bredden från varje hörn som en sträcka
1 dm
10 cm
Här ska eleverna lära sig:
2.
1 dm3
Strecka de kantlinjer som man inte ser.
Välj rätt enhet.
a) En läskburk kan innehålla 330
b) Ett badkar kan rymma 450
.
.
c) En bassäng kan rymma 500
vatten.
liter
1 dm
10 cm
1 dm
10 cm
cm3
73
3.
a) längden 4 cm, bredden 3 cm och höjden 5 cm
m3
b) längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 4 cm
b)
75
Hur mycket kostar det att fylla
en kubikmeter med mjölk?
En liter mjölk kostar 10,90 kr.
76
77
1m
10 dm
1 dm3 mjölk
1 m
liter
●● en metod för att rita ett rätblock
●● begreppen volym, liter, deciliter, centiliter,
milliliter, kubikmeter, kubikdecimeter,
kubikcentimeter
liter
72
f) läroboken
1m
10 dm
3
Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om
volym finns på sidan 91.
Rita en kub som har kantlängden
b) 4 cm
c) 5 cm
Hur många kuber med kantlängden 1 cm får plats i de kuber du ritat?
Extramaterial
Rita ett rätblock som har volymen
a) 1 cm3
●● att kunna förklara vad volym är för något
●● använda och välja olika enheter för volym
e) en limpa
Blå kurs
plats i vart och ett av de rätblock du ritade?
c)
74
72
d) en tegelsten
Gå vidare
d) Hur många kuber med kantlängden 1 cm får
Hur stor volym har figuren? Varje kub är 1 cm3.
a)
c) ett badkar
Rita ett rätblock med
dm3
c) längden 2 cm, bredden 2 cm och höjden 2 cm
71
b) en kopp
Här har läraren en möjlighet att se hur väl eleverna har
förstått och kan uppskatta en volym av en kropp. Vid
uppföljning av svaren kan man jämföra de största och
minsta måtten som eleverna föreslog på kropparna. Är
svaren rimliga? Vad borde ”rätt svar” vara?
snett uppåt höger, längs rutans diagonal. Låt den
vara hälften så lång som det angivna måttet. Här ska
den alltså ritas 1 cm.
3. Rita de sträckor som saknas på rätblockets baksida.
70
a) en hink
1. Rita först framsidan av rätblocket som en rektangel
a) 3 cm
Lärandemål
G
1.
G
Ange rimlig volym av
b) 4 cm3
c) 12 cm3
Aktiviteter
Rita två olika rätblock som
båda har volymen 1 dm3.
2:8
Rita rätblock
●●
1m
10 dm
2 geometri
2 geometri
73
Tänk på
Att uttrycka volym i metersystemet kan vara nytt för
eleverna. Eleverna kan behöva få se på, ta på och bygga
med centikuber (kuber med volymen 1 cm3) och kuber
med volymen 1 dm3 för att få en känsla för storleken av
de olika enheterna.
Bygg gärna en kubikmeter (byggsats finns att köpa)
och resonera kring hur många kuber med sidan 1 dm den
kan rymma. Vi har inte så många uppgifter med enhetsomvandlingar här i åk 7 men eleverna bör ändå få en
storleksuppfattning av de olika enheterna. Mer om
enhetsomvandlingar för volym kommer i årskurs 8.
Start
Uppmana eleverna att bygga rätblock av ett bestämt antal
centikuber på så många olika sätt de kan. Här ska eleverna
få en känsla för volym och enheten kubikcentimeter och
även inse att olika rätblock kan ha samma volym.
Alternativ start
Gör uppgift 73 tillsammans steg för steg. Kontrollera att
alla elever
Kommentarer till uppgifter
70
●● använder rutnätet som stöd
●● förstår att alla hörnen för ett rätblock är 90° även om
det bildas en vinkel som är 45° när man ritar diagonalen i en ruta i rutnätet och att man ritar så för att perspektivet ska stämma.
●● förstår att man ska rita rätblockets bredd hälften så
lång som det angivna måttet för att ögat ska uppfatta
proportionerna korrekt.
71
För att utveckla resonemangsförmågan och begreppsförståelsen ytterligare kan man göra en liknande uppgift gemensamt i klassen. Låt eleverna först tänka
själva och skriva ned förslag på föremål som har volymen i storleksordningen m3, dm3 och cm3. De kan
sedan jämföra sina förslag med en klasskompis och
därefter har man en gemensam diskussion i helklass.
Här kan man låta de elever som behöver använda
centikuber och bygga rätblocken.
72
Resultatet på uppgiften kan vara förvånande för eleverna. Här är det bra att ha en kubikmeter i naturlig
storlek och en förpackning med en liter mjölk.
77
Det finns troligtvis elever i klassen som tänker att det
bara finns en kub med måtten 1 dm x 1 dm x 1 dm och
inte kommer vidare. Det kan därför vara bra att följa
upp uppgiften med en diskussion i klassen. Vilka
olika mått har eleverna använt och vilken metod
använde de för att lösa problemet?
Facit
70 a) cm3
75 27, 64 och 125 st
b) liter eller dm3
76 a) T.ex.
1 cm × 1 cm × 1 cm
c) m3
71 a) 24 cm3
b) 16 cm3
c) 18 cm3
c) T.ex.
2 cm × 2 cm × 3 cm
72 10 900 kr
73 a) –
b) –
c) –
d) 60, 96 och 8 st
74 a) –
b) –
b) T.ex.
1 cm × 2 cm × 2 cm
c) –
77 T.ex.
1 dm × 2 dm × 0,5 dm
och
2 dm × 2 dm × 0,25 dm
Bygg ett rätblock av 12 centikuber.
Finns det andra rätblock som också består 12 centikuber? Om ja, bygg på så många olika sätt du kan
komma på.
Jämför med en kompis.
72
2 GEOMETRI
2 GEOMETRI
3
G
Slut
Rätblockets volym och
Begränsningsyta
Syftet med detta uppslag är att eleverna ska lära sig att
beräkna volym och begräsningsytans area för ett rätblock. Avsnittet rätblockets volym är en fortsättning på
föregående avsnitt där eleverna fick lära sig att rita ett
rätblock. Begreppet begränsningsyta är troligtvis helt
nytt för de flesta eleverna. De har tidigare beräknat area
av rektanglar och får här möjlighet att tillämpa dessa
kunskaper genom att dela upp en kropp i dess sidoytor
och därefter beräkna summan av alla sidoytors area.
Bottenlagret rymmer 3 · 2 kuber = 6 kuber. Hela rätblocket
rymmer 6 · 4 = 24 kuber. Om varje kub är 1 cm3 så är hela
rätblockets volym 24 cm3.
●● en metod för att räkna volym på ett rätblock
Volymen = basytan · höjden
3 cm
basyta
78
V=B·h
Beräkna volymen
b)
c)
84
79
82
83
2 GEOMETRI
2 dm
12 dm2
b) Beräkna kubens volym.
10 cm
c)
12 dm2
85
18 cm
12 cm
87
B
5 dm
10 cm
20 cm
Beräkna arean av chokladkartongens
begränsningsyta.
2 cm
Beräkna arean av glasspaketets
begränsningsyta.
10 cm
15,5 cm
a) Hur många sidoytor har
3 cm
chokladförpackningen?
4 cm
8 cm
S
GLAS
15,5 cm
ser ut och sätt ut måtten.
begränsningsyta. Avrunda till
hela kvadratcentimeter.
Blå kurs
Mer grundläggande genomgångar och uppgifter om
volym och begränsningsyta finns på sidorna 91–92.
16,5 cm
Röd kurs
3 cm
2,6 cm
3 cm
ArbetsblAd
2:11
14 cm
2 geometri
Gå vidare
8 cm
S
GLAS
4 cm
c) Beräkna arean av förpackningens
ArbetsblAd
2:10
4 dm
Låt eleverna i par beskriva skillnaden mellan volym och
begräsningsyta av ett rätblock.
Här blir det tydligt om eleverna förstått skillnaden
mellan dessa begrepp.
Vid uppföljning av uppgiften kan man presentera de
vanligaste felsvaren. Att utgå från vanliga felsvar och
resonera sig fram är ofta givande och belyser vanliga
missuppfattningar som eleverna kan ha.
10 cm
b) Gör en skiss av hur sidorna
14 cm
12 cm
16 cm
3 dm
20 cm
86
10 cm
3 dm
10 cm
16 cm
Max och Åsa har hittat två stenar på stranden. De tar reda på hur stora
18 cm plastlåda,
16en
cmlinjal och vatten.
stenarna är med hjälp av en genomskinlig
Hur stor volym har varje sten, A och B?
10 cm
12 dm2
4 dm
6 dm2
b) höjden
Rita två olika rätblock som båda har volymen 24 cm3.
6 dm2
3 dm
8 dm2
2 cm
Ett rätblock har längden 8 cm och bredden 5 cm. Volymen är 200 cm .
Beräkna
18 cm
4 dm
10 cm
3
2 geometri
75
12 cm
Hur man beräknar volymen av en prisma och av en
parallellepiped finns på sidorna 98 och 99. Fler uppgifter
om begränsningsyta och volym finns på sidan 100.
Repetition
Repetition 10 finns på sidan 283.
Alternativ start
14 cm
Använd klipparken som finns till Aktivitet 2:12 A och låt
eleverna beräkna arean av varje sidoyta. Be dem sedan
bygga ihop kropparna och beräkna begränsningsytans
area.
Facit
Extramaterial
78 a) 12 cm3
b) 27 cm3
c) 24 cm
3
79 a) –
Kommentarer till uppgifter
78–80
Om någon elev har svårt att förstå hur volymen av ett
rätblock beräknas kan man inledningsvis låta eleven
använda centikuber som stöd och bygga de aktuella
rätblocken.
82
Uppgiften uppmärksammar att olika rätblock kan ha
samma volym.
83
Uppgiften är av problemlösande karaktär och visar en
metod att beräkna volymen av oregelbundna föremål.
Utför en liknande uppgift praktiskt med eleverna.
87
Den här uppgiften lämpar sig väl till att låta eleverna
arbeta med enskilt för att sedan diskutera i grupp.
Titta gemensamt på några elevlösningar, gärna med
hjälp av dokumentkamera. Diskutera olika metoder
att lösa uppgiften. Hur väl har eleverna ritat figurer
och måttsatt dem? Vilken metod använde man för att
beräkna den sammanlagda arean? Vilken lösning
visar på tydlig kommunikation?
83 A 576 cm3 B 1 152 cm3
84 a) 150 cm2 b) 600 cm2
b) 24 cm2
c) 72 cm3
Hur stor volym har rätblocket?
74
6 dm2
2 dm
12 dm2
3 dm
8 dm2
2 dm
8 dm2
5 cm
c) Beräkna rätblockets volym.
a) Rita en kub med sidan 4 cm.
Tänk på
74
b)
2 cm
A
Skrivsättet med � mellan längderna kan behöva förklaras. Följ upp i helklass och diskutera hur man kan beräkna att volymen är 24 cm3 utan att räkna kuberna var och
en för sig.
Formulera formeln för volymen av ett rätblock:
Volymen = Basytans area · höjden.
Visa även hur formeln kan skrivas med beteckningar
som V = B · h.
Man använder oftast beteckningen B för basyta istället
för b för att inte förväxla med begreppet bas.
a)
5 cm
a) bottenytans area
●● begreppen basyta, begränsningsyta, sidoyta
4 dm
6 dm2 12 dm2
a) Rita ett rätblock med längden 6 cm, bredden 4 cm och höjden 3 cm.
b) Beräkna basytans area.
●● redogöra för skillnaden mellan volym och begräsningsytans area
2 dm
4 dm
6 dm2
8 dm2
5 cm
3 cm
12 dm2
8 dm2
2 dm
Beräkna arean av begräsningsytan av kropparna.
3 cm
3 cm
81
Bygg med centikuber ett rätblock med måtten
3 cm � 2 cm � 4 cm.
6 dm2
6 cm
●● en metod för att beräkna begränsningsytans area på
ett rätblock
Start
Svar: Begränsningsytans area är 52 dm2.
2 cm
2 cm
2 cm
Alternativ
4 dm
4 dm
3 cm
80
●● Det är lätt att glömma någon sidoyta när man beräknar en kropps begränsningsyta. Det kan underlätta för
eleverna om de ritar ut alla sidoytor och skriver måttten de har innan de räknar ut begräsningsytans area.
Om man viker ut lådan som i figuren ser man
att begränsningsytan består av sex sidoytor.
måttsätt sidorna och beräkna arean av varje sidoyta.
2 · 8 dm2 + 2 · 12 dm2 + 2 · 6 dm2 =
2 2
8 dm
= 16 dm2 + 24 dm2 + 12 dm2 = 52 dm
a)
4 dm
4 dm
Visa ett rätblock, t.ex. en låda av något slag. Ange måtten
och låt eleverna parvis beräkna lådans volym och
begränsningsarea.
Att eleverna arbetar parvis gör att de får träna på att
kommunicera och att föra ett matematiskt resonemang.
Beräkna arean av lådans begränsningsyta.
Volymen = basytan · höjden
höjd
G
3 dm
3 dm
2 dm
Exempel
2 cm
Volymen = 3 cm · 2 cm · 4 cm = 24 cm3
●● förklara vad begränsningsyta är
●● Det kan vara bra att lyfta fram skillnaden på beteckningarna b och B. Basen i en två dimensionell kropp
förkortas ofta med b, medan basytan i en tredimensionell kropp ofta förkortas med B.
4 dm
Begränsningsytan av en kropp är den
sammanlagda arean av sidoytorna.
2 dm
4 cm
Volymen av ett rätblock:
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig
Begränsningsyta
2 dm
Rätblockets volym
G
3 dm
c) 94 cm2
85 520 cm2
80 a) –
b) 64 cm3
81 a) 40 cm2
b) 5 cm
82 T.ex. 2 cm × 2 cm × 6 cm
eller
2 cm × 3 cm × 4 cm
Arbetsblad
2:10
Rätblockets volym
●●
2:11
Beräkna begränsningsytans area
●●
86 448 cm2
87 a) 5 st
c) ≈ 156 cm
b) –
2
2 GEOMETRI
5
G
G
Uppslaget
Begrepp och resonemang
Uppslaget
Vem eller vilka har rätt?
Begrepp och resonemang
Uppgiften fördjupar förståelsen av begreppen omkrets
och area och tränar eleven på att föra ett matematiskt
resonemang. Gör övningen parvis eller i helklass.
G
Klipp av en bit snöre eller metalltråd som
är 30 cm lång.
När omkretsen
ökar i en rektangel,
så minskar alltid
arean.
När omkretsen
ökar i en
rektangel, så ökar
alltid arean.
Anna
Clara
A
Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.
B
B
Begreppskarta
Triangel
Rita av begreppskartan och
fyll i det som saknas.
Begreppskarta
A
som har lika långa
sidor kallas
?
?
?
likbent
triangel
rätvinklig
triangel
Triangel
som har två lika
långa sidor och
två lika stora
vinklar
76
liksidig
triangel
likbent
triangel
lika
stora
(60°)
I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns fler
begreppskartor som passar till kapitlet.
Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2.
4
När man beräknar arean tar man reda
på hur långt det är runt om en figur.
Hans ska sätta staket runt en kaninhage som ligger mot en vägg. Hagen
behöver alltså bara ha staket på tre
sidor. Sidorna skall vara i hela meter.
Staketet är 20 meter långt. Hur långa
ska sidorna vara för att arean ska bli så
stor som möjligt?
5
En kropp som har volymen en
kubikmeter är alltid en kub.
6
Du räknar ut triangelns area genom att
multiplicera basen med höjden.
7
8
I en triangel kan man dra tre höjder.
9
Det är alltid rät vinkel mellan
sidoytorna i ett rätblock.
Volym mäts i meter.
Det finns fyra räta vinklar i en
rektangel.
Platta
Mellanrum
Totalt
7 · 40 cm =
= 280 cm
6 ·30 cm =
= 180 cm
280 cm + 180 cm =
= 460 cm
11 · 40 cm =
= 440 cm
10 · 30 cm =
= 300 cm
440 cm + 300 cm =
= 740 cm
9 · 40 cm =
= 360 cm
8 · 30 cm =
= 240 cm
360 cm + 240 cm =
= 600 cm
Svar: Basim behöver 9 plattor.
Det spelar ingen roll vilken vinkel som
höjden har mot basen.
B Börja med att rita en bild.
Vägg
11 En kvadratdecimeter är ungefär lika
Kaninhage
stor som en fingernagel.
12 Ett rätblock har 8 kanter.
2 geometri
2 geometri
Sant eller falskt
77
Arbeta tillsammans
Påståendena handlar mycket om begrepp och metoder.
Om övningen används gemensamt där eleverna får diskutera tillsammans så tränas både resonemang och kommunikation. Bra frågor att ställa
●● om svaret är sant. Hur visar du att påståendet är sant?
Hur visar du att påståendet alltid gäller?
●● om svaret är falskt. Hur visar du att påståendet är
falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir
sant?
Facit
2 GEOMETRI
1
2
3
rätvinklig
triangel
och i den är alla vinklar
76
Basim lägger en gång med plattor
som har formen av en kvadrat med
sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan
varje platta. Gången är 6 meter och
ska börja och sluta med en platta. Hur
många plattor behöver han?
area.
?
som har en vinkel
som är 90°
40
Sedan kan man pröva i tabell
Sant eller falskt?
10 Kvadratcentimeter är en enhet för
och i den är alla vinklar
som har lika långa
sidor kallas
40
En slutsats är att det alltid ska vara en platta mer än
antalet mellanrum.
Problemlösning
Begrepp
(cm)
… osv.
30
40
Gör området så stort som möjligt. Hur ser
området ut nu? Hur stor area har området?
Dilan
Rät vinkel höjd basyta kant hörn
sida sidoyta bas area volym
omkrets endimensionell
tvådimensionell tredimensionell
30
Gör området så litet som möjligt. Hur ser
området ut? Hur stor area har området?
När omkretsen
ökar i en
rektangel, så kan
arean minska.
Lösningar och kommentarer
Både A och B uppgiften kan lösas genom att rita en bild
och göra en tabell.
A Här är det lämpligt att börja rita en bild.
Lägg snöret på rutnätet så att snöret
stänger in ett område. Hur stor area har
området?
Bemjamin
När omkretsen
ökar i en
rektangel, så kan
arean öka.
G
Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt
räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2.
Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?
Begrepp
Den här övningen lämpar sig bra att göra parvis eller i
grupp. Låt eleverna tillsammans använda begreppen i
rutan för att beskriva figurerna. Man kan också låta en
elev beskriva för någon annan så kan den gissa vilken
figur som beskrivs. Uppgiften kan utvecklas genom att
eleverna ritar egna figurer som de beskriver för en kompis som i sin tur ska rita den utifrån beskrivningen. Se
aktivitet 2:8.
Uppgiften utvecklar både elevernas begrepps- och
resonemangsförmåga.
Arbeta tillsammans
Vem eller vilka har rätt?
Både Clara och Dilan har rätt. Utveckla gärna uppgiften
med att be eleverna ge exempel på när Clara har rätt och
när Dilan har rätt.
Problemlösning
Uppslaget
1 sant
7 sant
2 falskt
8 falskt
3 sant
9 sant
4 falskt
10 sant
5 falskt
11 falskt
6 falskt
12 sant
Syftet med övningen är att eleverna ska upptäcka att
arean kan vara olika hos två figurer trots att omkretsen är
densamma. Den figur som ger störst area är cirkeln och
cirkelns area tar vi upp först i åk 8. Om eleverna vill ha en
räknemetod för att beräkna cirkelns area kan du förstås
visa dem den, men här är det annars tänkt att eleverna
ska uppskatta arean genom att räkna rutor, vilket ger en
bra förståelse för areabegreppet.
Gör sedan en tabell.
Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en
rektangel. Om bredden till exempel är 3 meter så
kommer längden att vara 14 meter eftersom
20 meter – 2 · 3 meter = 14 meter.
Bredd
Längd
Area
2m
16 m
32 m2
3m
14 m
42 m2
4m
12m
48 m2
5m
10 m
50 m2
6m
8m
48 m2
7m
6m
42 m2
Svar: Hagens sidor ska vara 5 meter och 10 meter om
man vill att arean ska vara så stor som möjligt.
Fler problem som kan lösas med strategierna Rita en bild
och Rita en tabell finns på sidorna 266 och 269.
2 GEOMETRI

G
I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var
eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet
Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns
även en alternativ diagnos, som du som lärare kan
använda om eleven behöver genomföra ytterligare en
diagnos.
Begrepp och metod
ARBETS
BLAD
AVSNITT
1
a) A och D
b) B och C
Olika
dimensioner
50
80
2:1
2
a) kubikmeter, m3
b) kvadratmeter, m2
c) meter, m
Enheter för
olika
dimensioner
57
80
2:1
a) Omkrets: 12 cm,
area: 9 cm2
b) Omkrets:
13,4 cm, area:
10 cm2
c) Omkrets: 13 cm,
area: 7,5 cm2
Omkrets och
Area
64
66
67
a) T.ex.
Omkrets och
Area
B
64
66
85
87
85
87
2:5
2:6
4
Resonemang och kommunikation
c)
11
5
Rita en triangel som har arean 12 cm .
6
Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben?
7
Räkna ut ramens area.
Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så
har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du
resonerar.
13
2
5 dm
60 cm
3 dm
8
Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för
skillnad på sida och kant?
Triangelns
area
68
89
45 m
450 m2
20 m
35 m
700 m2
30 m
25 m
750 m2
40 m
15 m
600 m2
31 m
24 m
744 m2
28 m
27 m
756 m2
29 m
26 m
754 m2
27,5 m
27,5 m
756,25 m2
Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.
a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel?
b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den
2 geometri
2 geometri
79
Resonemang och kommunikation
Sammansatta figurer
70
90
2:8
7
12 dm2 (1 200 cm2)
Sammansatta figurer
70
90
2:8
8
En sida är avståndet
mellan två närliggande hörn i en månghörning och en
sidoyta är ytan mellan kanterna i en
kropp. I en kant
möts två sidoytor.
Kroppar –
föremål som
är tredimensionella
58
81
a) 24 cm3
b) 12 cm3
c) 40 cm3
Rätblockets
volym
74
91
2:10
24 cm3
Begränsningsyta
75
92
2:11
FACIT
AVSNITT
11
Andrea har fel. En
rektangel med större omkrets kan ha
större area, men det
behöver inte alltid
vara så. Till exempel
om jag har en rektangel med sidorna
4 cm och 5 cm. Då
är omkretsen 18 cm
och arean 20 cm2.
En annan rektangel
har sidorna 2 cm
och 9 cm. Då är
omkretsen 22 cm
och arean är 18 cm2.
Omkretsen är längre
men arean är mindre.
Omkrets
och Area
–
Rätblockets
volym
12
2 GEOMETRI
10 m
2:7
10,5 dm
78
Area
långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel.
6
10
Längd
Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i tabell
finns på sidan 269.
Bedömningsuppgift
6
9
Bredd
Kommentar:
Eleverna behöver en räknare när de löser problemlösningsuppgiften. Ett godtagbart svar är 756 m2 om eleverna kan motivera sin undersökning.
Petter har 110 meter stängsel att sätta
upp för att skydda sina får. Han vill att
fåren ska få så mycket yta att beta på
som möjligt och att fårhagen ska vara en
fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning
som ger mest yta till Petters får?
2 dm
50 cm
13 Gör en tabell och pröva dig fram.
Svar: En kvadratisk hage med sidorna 27,5 m ger den
största arean.
Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock.
Problemlösning
a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm.
b) Räkna ut rektanglarnas area.
78
2
3 cm
2 cm
b)
70 cm
6
4
4 cm
4 cm
80 cm
(cm)
4 cm
2 cm
b) begränsningsarea
Mät och beräkna figurens omkrets och area.
a)
2 cm
D
Beräkna rätblockets
c) långt det är runt fotbollsplanen
2:5
2:6
(cm)
2 cm
a) volym
12
5
T.ex.
10
b) stort klassrummet är
3
2 cm
D
Vilken enhet använder man när man ska ange hur
2
5
C
2 cm
4 cm
4 cm
a) mycket vatten det finns i en simbassäng
3
b) T.ex.
b) endast längd och bredd
2 cm
c)
64
66
85
87
ARBETS
BLAD
(cm)
A
b)
SIDA
KURS
4
Vilka av figurerna har
a) längd, bredd och höjd
Hur stor volym har figurerna?
a)
SIDA
KURS
3
1
2
SIDA
KURS
FACIT
9
Begrepp och metod
D
D
Problemlösning
Diagnos
3 cm
SIDA
KURS
D
Diagnos
2:5
2:6
Bedömningsuppgift
Lösningar och kommentarer:
a) Det finns tre möjliga varianter:
3 cm, 6 cm och 8 cm
6 cm, 8 cm och 11 cm
8 cm, 11 cm och 18 cm
b) Man kan skriva villkoret med ord. Till exempel: ”De
två kortare sidorna måste tillsammans vara längre än
den längsta sidan”. Man kan även använda matematiska symboler eller variabler. Till exempel: ”Kalla de
korta sidorna för a och b och den längsta sidan för c.
Summan av a och b skrivs som a + b. Villkoret att
a + b måste vara större än c kan beskrivas matematiskt som a + b � c.
74
91
2:10
Kommentar:
Om man ska beskriva något matematiskt villkor är det
bra att kunna använda ord men man visar en högre
matematisk nivå genom att uttrycka sig med hjälp av
symboler och algebraiska uttryck.
På sidan xxx finns en bedömningsmatris kopplad till
denna uppgift.
2 GEOMETRI
9
B
Blå kurs
Olika dimensioner
Kroppar –
föremål som har längd, bredd och höjd
Vi lever i en tredimensionell värld. Om något har tre dimensioner
så har det längd, bredd och höjd.
B
Vinklar
B
Ett föremål som har längd, bredd och höjd kallas för kropp.
Tredimensionell
Rummet har längd, bredd och höjd.
B
Rät vinkel
90°
2,4 m
2,5 m
2,5 m
Endimensionell
Golvlisten under fönstret brukar man endast mäta längden av.
1
kant
3m
hörn
C
D
basyta
3
a) längd, bredd och höjd
b) Hur många hörn har de?
b) endast bredd och längd
c) Hur många sidoytor har de?
B
7
Välj i rutan vilken enhet man
använder när man ska ange
4
kubikmeter kvadratmeter meter
C
8
b) hur mycket en tunna rymmer
c) längden på en flaggstång
d) hur mycket vatten som ryms i en bassäng
1 m2
2
3
4, 5
B
C
D
ArbetsblAd
2:1
Elever kan ha svårt att hålla isär vilken enhet som
hör till vilken dimension. Utmana gärna eleven att
ge egna förslag på sammanhang där enheterna m,
m2 och m3 passar in.
Facit
2:1
2 GEOMETRI
x
11
7
●●
9
Aktiviteter
2:1
Vika kroppar
●●
10
Repetition
Repetition 6 finns på sidan 279.
1 a) B och D
b) A
2 a) m
c) m
b) m
B – Kub,
C – Pyramid,
D – Prisma
3
d) m3
Vinkel B är
större än
vinkel A.
Benjamin
Dilan
c) A – 6, B – 6, C – 5,
D–8
b) C
d)
45°
x
70°
x
60°
x
Vad kallas trianglarna i uppgift 10?
På flaggorna syns olika trianglar.
Vilka olika trianglar hittar du och vilka färger har de i
b) Eritreas flagga
c) Jamaicas flagga
ArbetsblAd
2:2–2:3
ArbetsblAd
2:4
2 geometri
83
Facit
Här kan man uppmana eleverna att även motivera
varför de namngett vinklarna på det sätt de gjort,
dvs. vad som utmärker en spetsig, rät respektive
trubbig vinkel.
Om eleven tror att vinkel B är störst så kan eleven ha
missuppfattningen att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken.
En del elever kan uppfatta den här uppgiften som
svårare än vad den är eftersom uppgiften innehåller
det okända talet x. Här kan man förklara att det lika
gärna kunde ha stått att man ska beräkna den tredje
vinkeln men att det är vanligt inom matematiken
att använda x för något man ännu inte känner till
storleken av.
6 a) A och D b) B
c) C
7 a) A och D
b) C
8 a)
c) B
9 Benjamin har rätt. Vinklarna är lika stora.
10 a) x = 70°
b) x = 30°
c) x = 60°
d) x = 45°
11 a) likbent
b) rätvinklig
c) liksidig
b)
d) rätvinklig och likbent
12 a) 1 röd likbent, 2 gröna
b)
c)
rätvinkliga
b) 1 röd likbent, 1 blå
rätvinklig, 1 grön
rätvinklig
c) 2 svarta likbenta,
2 gröna likbenta
Arbetsblad
b) A – 8, B – 8, C – 5,
D – 12
4 a) A
c)
60°
60°
a) Guyanas flagga
Extramaterial
3 a) A – rätblock,
c) C
2
Vinklarna är
lika stora.
Kommentarer till uppgifter
Vika kuber
b)
40°
d) 180°
2 geometri
82
Extramaterial
5A
80
c) mindre än 90°
B
Anna
81
Beräkna den vinkel som är markerad med x.
a)
b) större än 90°
x
Svar: Vinkeln x är 80°.
12
2 geometri
Arbetsblad
Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär
och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt.
C
10
A
Du viker ihop den utvikta figuren till en kub.
Vilken av kuberna A–D visar resultatet?
Uppgiften behandlar olika dimensioner och vad
som utmärker dem. Här kan man lyfta fram att alla
föremål är tredimensionella medan ett föremåls yta
är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets
yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tredimensionellt. Sträckan mellan två hörn på mjölkpaketet är endimensionell. När det gäller tecknade
föremål är det här inte lika lätt att se. Det underlättar för eleven om man konkretiserar t.ex. genom att
ta med ett mjölkpaket. Man kan även låta eleverna
se sig runt i klassrummet och ge exempel på något
som är endimensionellt, tvådimensionellt respektive tredimensionellt.
Om eleverna få se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, och
sidoytor. Använd gärna de geometriska kropparna i
hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd
olika livsmedelsförpackningar.
D
40°
Vinklarna i triangeln
är tillsammans 180°.
180° – 100° = 80°
B
A
Vinkel A är
större än
vinkel B.
60°
60° + 40° = 100°
Vem har rätt? Motivera ditt svar.
C
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
Beräkna vinkeln som är markerad med x.
c) rätblocket
1m
A
1
9
B
I en liksidig triangel
är alla vinklar 60° och
alla sidor är lika långa.
En likbent triangel
är två vinklar lika stora
och två sidor lika långa.
Exempel
D
Rita en vinkel som är
b) pyramiden
1 m3
5
80
A
C
c) räta
D
Bilderna visar hur det ser ut när vi har vikt ut sidoytorna
på föremålen i rutan. Vilken av bilderna hör till
a) kuben
I en rätvinklig triangel
är en vinkel rät.
Vilka av vinklarna är
a) 90°
a) hur stort ett golv är
90 grader
skrivs 90°
B
c) trubbig
B
a) spetsiga
A
Rak vinkel
180°, ett halvt varv
Om man vet två av triangelns vinklar kan
man räkna ut den tredje.
c) endast längd
2
b) spetsig
b) trubbiga
a) Vad kallas formen på kropparna?
Trubbig vinkel
större än 90°
Vilken eller vilka av figurerna visar en vinkel som är
a) rät
Basytan till
de här
kropparna har
formen av en
månghörning.
Vilka bilder visar något som har
B
6
A
sidoyta
A
Pyramid
Spetsig kropp.
Basytan är en
månghörning.
Kub
Basytan är en
kvadrat.
Rätblock
Basytan är en
rektangel.
Prisma
Basytan är en
månghörning.
3m
En triangel har tre sidor och tre vinklar. Om man adderar en triangels
vinklar blir summan alltid 180°. Man säger att vinkelsumman är 180°.
4
Spetsig vinkel
mindre än 90°
B
Trianglar
1
__
varv = 90°
En rät vinkel
markeras
med en hake.
Tvådimensionell
Golvet har längd och bredd.
3m
1 varv = 360°
1
__
varv = 180°
2
c) B
2:2
Mäta vinklar
●●
2:3
Beräkna vinklar
●●
2:4
Vinkelsumman i en triangel
●●
Aktiviteter
2:2
Uppskatta vinkeln
●●
2:3
Konstruera trianglar
●●
2:3
Begreppskarta trianglar
●●
2 GEOMETRI
81
B
Fyrhörningar
Omkrets
Alla fyrhörningar har fyra hörn och fyra sidor.
B
Exempel
Sida
Räkna ut rektangelns omkrets.
Parallellogram
Sidorna som är mittemot
varandra är parallella.
Romb
En parallellogram med
alla sidor lika långa.
Parallelltrapets
Minst två sidor är parallella.
Parallella
linjer kan
aldrig
mötas.
Rektangel
Alla vinklar är räta.
13
Omkretsen = 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm = 10 cm
17
Arean = 4 cm · 2 cm = 8 cm2
En
månghörning
är en figur som
har flera hörn.
A
B
C
21
23
Varje ruta har arean 1 cm2.
C
D
a) Rita en kvadrat där sidorna är 4 cm.
a) Rita en rektangel där sidorna är 3 cm och 4 cm.
b)
b)
c)
Varje ruta har arean 1 cm2. Hur stor area har figurerna?
a)
b)
c)
24
Beräkna arean
a)
E
19
b) Beräkna figurens omkrets.
En sträcka som går
mellan två hörn som
inte ligger intill varandra
kallas för en diagonal.
b)
c)
x
5
2,5 dm
y
3 cm
22
8
En svensk flagga får inte se ut hur som helst.
En flagga med rätt mått ser du här intill.
2 dm
2,5 cm
9 cm
(cm)
2
20
c)
3
a) Bestäm sträckorna markerade med x och y.
5 dm
2 dm
b)
c)
25
cm2
9 dm
m
78
2 dm
d)
96
e)
Rita en kvadrat som har arean
a) 4 cm2
dm2
4 dm
a) Beräkna flaggans omkrets.
6 cm
Vilken areaenhet ska stå i rutorna? Välj i rutan till höger.
a)
4 dm
e)
Mät i figuren och beräkna rektangelns area.
D
b) Beräkna omkretsen av det gula korset.
d)
A=b·h
b) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 22 cm.
al
on
ag
di
a)
basen 4 cm
a)
a) Rita en kvadrat som har omkretsen 20 cm.
b) Rita en diagonal i rektangeln. Hur lång är diagonalen?
Vilket namn har formen på de olika sidoytorna?
B
höjden
2 cm
Arean = basen · höjden
b) Vad heter månghörningarna?
B
1 cm2
1m
1m
En mindre enhet är kvadratcentimeter (cm ).
Frimärket har arean 12 cm2.
a) Mät i figurerna och räkna ut omkretsen.
Kvadrat
En rektangel med alla sidor lika långa.
b) Dra diagonalerna i kvadraten.
16
När du ska beräkna arean av en rektangel
multiplicerar du längden med bredden.
Ofta använder man orden bas och höjd
i stället för längd och bredd.
2
Vad heter fyrhörningarna?
A
15
Ett rum kan ha arean
15 kvadratmeter (m2).
Det betyder att 15 kvadrater
med sidan 1 meter får plats
på golvet.
Omkrets
förkortas ofta
med O. Här är
O = 10 cm.
3 cm
Svar: Omkretsen är 10 cm.
18
14
2 cm
B
B
Rektangelns area
För att beskriva hur stort ett
område är använder man ordet
area.
Med omkrets menar man hur långt det är runt om en figur.
Hörn
B
Area
26
2
6
27
f)
b) 9 cm2
c) 16 cm2
Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm2.
Rummet är ritat i skala 1:100. Det betyder att
1 cm på ritningen är 100 cm i verkligheten.
a) Hur brett är rummet?
f)
b) Hur långt är rummet?
c) Vilken area har rummet?
ArbetsblAd
2:5
2 geometri
84
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
13
18
Här kan det vara bra att lyfta fram att fyrhörningarna kan ha olika namn. Till exempel är en kvadrat
även en rektangel, en parallellogram och en parallelltrapets. Vi har i facit valt att ange det namn som
anger fyrhörningens egenskaper mest noggrant. Att
säga att alla fem fyrhörningar är parallelltrapetser
är ju i och för sig sant, men säger inget om hur fyrhörningarna skiljer sig åt.
Här kan man utvidga uppgiften och träna elevernas
förmåga att föra resonemang genom att ställa frågor
och låta eleverna motivera sina svar. Till exempel:
Arbetsblad
Repetition
B – parallellogram
C – romb
D – kvadrat
E – parallelltrapets
14 a) –
b) –
15 a) –
b) 5 cm
16 a) kvadrat
b) rektangel och kvadrat
d) triangel
e) triangel och rektangel
f) parallelltrapets och
rektangel
17 a) A – 7 cm, B – 6 cm,
21
C – 6 cm, D – 7,5 cm
b) A – rektangel
B – parallellogram
C – rätvinklig triangel
D – liksidig triangel
22
18 a) Kvadrat med sidan
5 cm
b) T.ex. med sidorna
5 cm och 6 cm eller
4 cm och 7 cm
26
19 a) x = 3 cm, y = 5 cm
b) 26 cm
20 a) 52 dm
b) 52 dm
27
Extramaterial
Omkrets
13 A – rektangel
c) triangel och kvadrat
Finns det fler rektanglar än de du ritat som har
omkretsen 22 cm och där alla sidors längd är heltal?
Om nej, varför? Om ja, rita dem.
86
●●
21
ArbetsblAd
2:6
5 000
Skala 1:100
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
Facit
Finns det fler kvadrater med omkretsen 20 cm?
2:5
85
4,5
2 geometri
Extramaterial
Här ska eleverna uppskatta arean med hjälp av en
areamall. Att jämföra en area med en känd enhet
(cm2) kan ge förståelse för begreppet area och areaenheten kvadratcentimeter.
Arbetsblad
Genom att kombinera olika föremåls ytor med olika
areaenheter stärks elevernas uppfattning av storleken på enheterna. Uppmana gärna eleverna att ge
ytterligare exempel på ytor som kan kopplas till
enheterna cm2, dm2 och m3.
Repetition
Uppgiften leder till insikten att två rektanglar med
olika bas och höjd kan ha samma area. Utmana
gärna eleverna att rita ytterligare en rektangel med
arean 12 cm2. För att träna elevernas resonemangsförmåga kan man även återkoppla till uppgift 25 och
fråga varför det bara finns en kvadrat som har arean
4 cm2, 9 cm2 respektive 16 cm2.
Här ska eleverna utgå från en ritning och använda
skala för att och ta reda på ett rums längd, bredd
och area. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9,
men skala har eleverna arbetat med i åk 4–6 och i
uppgiften får eleverna tillräckligt med information
för att de ska kunna klara av att lösa den.
87
2:6
Area och omkrets
●●
Repetition 8 finns på sidan 281.
Facit
21 a) 9 cm2
b) 10 cm2
c) 7 cm
2
22 a) cm2
b) dm2
c) m2
e) cm
d) dm2
f) m2
2
23 a) 12 cm2
b) 6 cm2
c) 10 cm
2
24 a) 54 cm2
c) 5 dm2
b) 7,5 cm2
25 a) Kvadrat med sidan
2 cm
b) Kvadrat med sidan
3 cm
c) Kvadrat med sidan
4 cm
26 T.ex. med sidorna 3 cm
och 4 cm eller 2 cm och
6 cm
27 a) 3,5 m
b) 4 m
c) 14 m2
Repetition 7 finns på sidan 280.
82
2 GEOMETRI
2 GEOMETRI
83
B
Höjder i trianglar
28
j
hö
Sammansatta figurer
b·h
A = ____
2
basen · höjden
En triangel är en halv rektangel. Arean av en triangel = _____________
2
ba
s
d
höjd
jd
Exempel
Beräkna arean av de färgade trianglarna.
En höjd kan
ritas från alla
hörn i
triangeln.
b · h 6 cm · 4 cm 24 cm2
Arean = ____ = __________ = _______ = 12 cm2
2
2
2
4 cm
c)
hö
29
6 cm
a)
b)
34
6 cm
3
a)
(cm)
b)
2
b)
35
c)
bas
c)
(dm)
4
bas
32
8
m
4c
36
3 cm
4 cm
2
c)
2
5
38
6
4+4+4
Beräkna drakens area.
40
m
m
4d
Här ska eleverna utgå från en bild, mäta och använda
skala för att ta reda på varningstriangelns verkliga
mått. Begreppet skala tas upp först i årskurs 9, men
eleverna har arbetat med längdskala på
mellanstadiet så de bör kunna lösa uppgiften.
En del elever lär sig formeln för triangelns area utan
att ha förståelsen för vad den innebär. Att utgå från
en rektangel och visa att en triangel är en halv rektangel kan hjälpa eleverna att inse varför man ska
dividera med två när man räknar ut triangelns area.
Extramaterial
Triangel – bas, höjd och area
●●
Triangeln är en halv fyrhörning
c) 4 cm
c) bas 2 cm, höjd 4 cm
32 a) 5 cm
35
2
c)
2
b) 7,5 cm
2
c) 6 cm2
33 44 dm
2
b) 5 dm
5 dm
ArbetsblAd
2:10
2 geometri
90
b) 4,5 cm2
3 dm
1 dm3 är
lika med
1 liter.
2 geometri
91
Facit
En del elever kan tycka att uppgiften är svår att
tyda. Man ser inte vilka figurer som hela figuren kan
delas upp i. Här kan eleven behöva hjälp att avläsa i
figurerna. 35 c) skiljer sig från övriga uppgifter
genom att man här drar ifrån en yta istället för att
lägga ihop ytor.
37
Här kan man låta de elever som behöver använda
centikuber för att bygga rätblocken. Det gör det
även tydligare att det är volymsenheten kubikcentimeter man använder.
40
Att en liter är lika mycket som 1 dm3 är inte känt av
alla elever. Konkretisera gärna genom att visa ett
mjölkpaket och en plastmodell av en kub som är
1 dm3. Använd ris, vatten eller liknande för att visa
att det är lika mycket.
34 a) 8 cm2
b) 18 dm2
c) 20 m
35 a) 44 m
b) 24 cm3
3
b) 28 cm
2
2
c) 24 dm2
36 a) 32 cm
37 a) 12 cm3
c) 27 cm
2
2
38 4 · 4 · 4
39 a) 240 cm3 b) 140 dm3
b) 15 cm
2
40 a) 60 dm3
b) 60 liter
Extramaterial
2:8
Sammansatta figurer
●●
2:10
Rätblockets volym
●●
Repetition
Aktiviteter
2:6
31 a) 6 cm2
b) bas 5 cm, höjd 3 cm
30 a) 5,5 dm
4 dm
Arbetsblad
Arbetsblad
2:7
89
Kommentarer till uppgifter
28 a) bas 4 cm, höjd 2 cm
4 cm
4 dm
7 dm
Räkna ut akvariets volym.
Svara i
ArbetsblAd
2:8
Facit
b) 2,7 cm
5 cm
b) liter
2 geometri
29 a) 3 cm
5 dm
a) kubikdecimeter
2 geometri
31
b)
8 cm
b)
ArbetsblAd
2:7
30
Beräkna volymen.
a)
m
Det är viktigt att eleverna, som i den här uppgiften,
får möta trianglar där basen inte alltid är den sida
som triangeln ”vilar på”. Här får eleven på egen
hand mäta höjden vinkelrät mot den sida som man
kallar för bas. I arbetsblad 2:7 finns fler liknande
övningar där eleven själv ska rita och mäta en höjd
mot en bas.
4
4
39
7d
Kommentarer till uppgifter
4
4∙4∙4
6 cm
bas
4d
33
b) höjden
29
3∙4
b
a) basen
88
Vilket uttryck visar hur man räknar ut volymen
av en kub? Välj i rutan.
as
bas
c)
(cm)
3
hö
höjd
höjd
(cm)
Räkna först ut
arean av varje
del. Addera
sedan areorna.
c)
b)
5
2
a)
b)
Hur stor volym har rätblocken? Varje liten kub är 1 cm3.
a)
Mät i figuren och beräkna arean.
jd
Bilden är i skala 1:10. I verkligheten
är varningstriangelns bas och höjd
tio gånger längre. Mät och beräkna
längden av
37
3
3
4
Mät höjden och basen i trianglarna och beräkna arean.
a)
2 cm
4 cm
Höjden är 3 cm.
(m)
2
3
5
b)
7
4
2c
3 cm
c)
2
3
(m)
a)
m
3 cm
bas
30
2
Rätblockets volym är alltså: 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 cm3
Beräkna arean av den färgade triangeln.
a)
Mät höjden mot den sida som är markerad som bas.
5
B
3 cm
Basytan är 8 cm2.
Det får plats 3 rader ovanpå varandra.
Det får plats 3 ∙ 8 = 24 kuber i rätblocket.
4 cm
2
31
4 ∙ 2 = 8 kuber
3
3 cm ∙ 2 cm 6 cm2
Triangelns area: __________ = ______ = 3 cm2
2
2
bas
bas
På botten av rätblocket får det plats
(cm)
Rektangelns area: 5 cm ∙ 3 cm = 15 cm2
Svar: Båda trianglarna har arean 12 cm2.
jd
höjd
Figuren består av en rektangel och en triangel.
Svar: Hela figurens area är 15 cm2 + 3 cm2 = 18 cm2
4 cm
6 cm
ba
höjd
B
Varje liten kub har kantlängden 1 cm
och volymen 1 cm3.
Alla mått är i centimeter
Beräkna arean av figurerna.
s
b)
Beräkna arean av figuren.
Trianglarna
har samma
area.
B
Volym
Exempel
B
hö
bas
Mät de markerade höjderna och
baserna i trianglarna.
a)
s
B
ba
En höjd i en triangel
går från ett av hörnen
vinkelrätt mot den sida
som är mittemot
hörnet. Den sidan
kallas för triangelns bas.
Triangelns area
●●
Repetition 10 finns på sidan 283.
Repetition
Repetition 9 finns på sidan 282.
84
2 GEOMETRI
2 GEOMETRI
85
B
Uppslaget
Begränsningsyta
Problemlösning
A
En kub har 6 sidoytor. Varje sidoyta är en kvadrat. När man räknar ut
begränsningsytans storlek så adderar man arean av alla sidoytor.
B
B
3 cm
3 cm
Röd kurs
Mer om månghörningar
3 cm
3 cm
Leyla lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan
50 cm. Det är 25 cm mellan varje platta. Gången är 5 meter och ska börja
och sluta med en platta. Hur många plattor behöver hon?
Anna ska sätta staket runt en kaninhage. Sidorna ska
vara i hela meter. Staketet är 12 meter långt. Hur långa
ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt?
Ta hjälp av tabellen.
B
Bredd
Längd
Area
1m
5m
5 m2
R
41
A
b)
5 cm
5 cm
4 cm
3
?
2 cm
4 cm
b)
rektangel
4 dm
5 dm
3 dm
som har lika långa
sidor kallas
som har lika långa
sidor kallas
som har rät vinkel
i hörnen kallas
6 dm
4 cm
b) 96 cm2
43 a) 62 dm2
c) 150 cm
b) 108 dm2
c) 78 cm
2
42 40 cm
2
att det alltid ska vara en platta mer än antalet
mellanrum.
Uppgiften kan även lösas genom att man prövar i
tabell:
Mellanrum
Totalt
6 · 50 cm =
= 300 cm
5 · 25 cm =
= 125 cm
350 cm + 150 cm =
= 425 cm
7 · 50 cm =
= 350 cm
6 · 25 cm =
= 150 cm
350 cm + 150 cm =
= 500 cm
Svar: Leyla behöver 7 plattor.
2 GEOMETRI
B
C
D
E
Namn
b) Förklara varför en kvadrat tessellerar men inte
en femhörning.
Antal hörn
Vinkelsumma
Triangel
3
180°
Fyrhörning
4
2 · 180° = 360°
Femhörning
5
c) Oktagonen tessellerar tillsammans med en kvadrat.
Varför är det så?
Tips! Räkna ut summan av
vinklarna där figurernas hörn möts.
ArbetsblAd
2:12
Prövning i tabell:
Bredd Längd Area
1m
5m
5 m2
2m
4m
8 m2
3m
3m
9 m2
2 geometri
Svar: Både längd och bredd ska vara 3 m för att arean
ska bli så stor som möjligt. En kvadratisk hage ger den
största ytan.
7
A Andra rektanglar med arean 12 cm2 är:
12 cm
6 cm
1 cm
Här får eleverna bekanta sig med begreppet tesselera, undersöka om några olika månghörningar tesselerar och fundera över vad det beror på. Anledningen till att vissa polygoner tesselerar är att vinkelsumman av de hörn som möts måste vara 360°.
B Andra rektanglar med omkretsen 14 cm förutom den
som visas är:
2 cm
5 cm
och
6 cm
1 cm
Begrepp
Extramaterial
Månghörningar klippark
gon, C – hexagon,
D – heptagon,
E – tetragon (kvadrat)
b) Vinkelsumman är
180° i varje triangel.
c) 360°
Triangel
b) Vinkelsumman =
= 180° · (antalet hörn i
polygonen – 2)
v = vinkelsumma,
n = antal hörn i
polygonen
c) 17 640°
d) 3
Namn
4 a) 1 440°
v = 180°(n – 2)
2 a) –
5 C, D och E
6 a) –
Antal
hörn
Vinkelsumma
3
180°
Fyrhörning
4
2 · 180° =
= 360°
Femhörning
5
3 · 180° =
= 540°
Sexhörning
6
4 · 180° =
= 720°
Sjuhörning
7
5 · 180° =
= 900°
8
6 · 180° =
= 1 080°
Åttahörning
Arbetsblad
2:12
1 A – pentagon, B – okta-
3
Dessa uppgifter hör ihop och utmynnar i att eleverna ska kunna se ett samband mellan vinkelsumman
och antalet hörn i en månghörning.
95
Facit
e) 540°
Kommentarer till uppgifter
Resonemang och kommunikation
2 cm och
2 geometri
I detta avsnitt får eleverna bekanta sig med regelbundna
månghörningar och undersöka deras egenskaper. Ett
annat namn för månghörning är det grekiska ordet
polygon (poly = många och gon = hörn). Här kan eleverna
lära sig de grekiska namnen på några vanliga regelbundna månghörningar: tetragon, pentagon, hexagon, heptagon och oktagon. Prefixen återkommer i nästa avsnitt i
samband med de platonska kropparna och används även
i organisk kemi där de namnger olika kolväten efter antal
kolatomer i molekylen; pentan, hexan, heptan osv.
2, 3
A Man kan börja med att rita en bild. En slutsats är då
A
a) Hur stor är vinkelsumman i en tiohörning?
94
Fler problem som kan lösas med strategin Pröva i
tabell finns på sidan 269.
Problemlösning
Platta
93
rektangel. Om omkretsen är 12 m så är rektangelns
längd och bredd tillsammans 6 m.
2
a) Undersök vilka av figurerna här nedanför som tessellerar.
c) Hur stor är vinkelsumman i en hundrahörning?
Facit
41 a) 24 cm2
Femhörningar
tessellerar
inte
8
B Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en
●●
Man säger att kvadrater tessellerar. Det betyder att man
kan täcka en oändligt stor yta med ett oändligt antal
kvadrater utan att det blir något mellanrum mellan
dem eller att de ligger över varandra.
108°
b) Beskriv sambandet mellan antalet hörn i en polygon och
vinkelsumman i polygonen.
2 geometri
Begränsningsytans area
108°
7
4
2 geometri
Arbetsblad
108°
6
ArbetsblAd
2:11
1,5 cm
Undersök hur stora
vinkelsummorna är hos olika
månghörningar. Rita av och
fyll i tabellen.
?
?
romb
Extramaterial
86
som har rät vinkel
i hörnen kallas
parallellogram
6 cm
3 dm
2 dm
?
kvadrat
c)
a) Rita först en fyrhörning ungefär så stor som en halv sida i räknehäftet.
Rita sedan en diagonal i fyrhörningen. Nu har det bildats två trianglar i
fyrhörningen.
e) Räkna ut vinkelsumman i femhörningen.
2 cm
a)
108°
a) Rita en regelbunden femhörning med sidan 5 cm.
d) Rita en femhörning. Dra alla diagonaler från ett hörn.
Hur många trianglar har du delat in femhörningen i?
2 cm
Beräkna arean av rätblockens begränsningsytor.
R
108°
c) Räkna ut vinkelsumman i fyrhörningen.
Fyrhörning
som har parvis parallella sidor kallas
4 cm
E
En femhörning har vinkelsumman 540°.
I en regelbunden femhörning är varje vinkel
b) Mät vinklarna i varje triangel och räkna ut varje triangels
vinkelsumma.
Rita av och gör klart
begreppskartan genom
att fylla i rätt begrepp
i cirklarna.
Så här ser det ut när man viker ut rätblockets sidoytor. Beräkna arean
av rätblockets begränsningsyta.
D
5
E
7
2
Begrepp
5 cm
4 cm
2:11
D
3 cm
b) Visa med exempel att det finns flera rektanglar med omkretsen 14 cm.
4 cm
4 cm
C
b) Dra alla diagonaler från samtliga hörn i femhörningen.
Vad kallas figuren som diagonalerna bildar?
a) Visa med ett exempel att det finns flera rektanglar som
har arean 12 cm2.
c)
2 cm
2 cm
92
C
Lisa säger att det bara finns en rektangel med arean 12 cm2.
2 cm
43
B
B
540°
_____
= 108°
Vilket grekiskt namn har de olika figurerna?
Resonemang och kommunikation
Beräkna arean av kubernas begränsningsyta.
a)
42
6
åttahörning – oktagon
1
All kvadrater tillsammans har arean 6 ∙ 9 cm2 = 54 cm2
A
sjuhörning – heptagon
R
I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika
stora. Vilka av figurerna är regelbundna månghörningar?
De regelbundna månghörningarna har namn efter
de grekiska räkneorden.
fyrhörning – tetragon
femhörning – pentagon
sexhörning – hexagon
En månghörning där alla sidorna är lika långa kallas
en regelbunden mångörning. En regelbunden
månghörning har grekiska namn efter hur många
hörn den har. Till exempel kallas en regelbunden
femhörning för pentagon eftersom penta betyder
fem och gon betyder hörn.
3 cm
Varje kvadrat har arean: 3 cm ∙ 3 cm = 9 cm2
5
b) en femuddig stjärna
(ett pentagram)
7 a) A, B, C och D
b) Summan av vinklarna
i hörnen måste vara
360°.
c) När oktagoner läggs
intill varandra bildas
ett kvadratiskt mellanrum.
Summan av vinklarna
blir
135° + 135° + 90° =
= 360°
●●
Övre cirkel: parallellogram, vänster cirkel: rektangel,
höger cirkel: romb, nedre cirkel: kvadrat.
2 GEOMETRI
8
R
Platonska kroppar
Mer om area
Ordet eder kommer från det grekiska
ordet heder och som betyder sidoyta.
En tetraeder har alltså fyra sidoytor.
Det här är de fem platonska kropparna. I en platonsk
kropp är sidoytorna likadana regelbundna månghörningar. De platonska kropparna har namn efter
hur många sidoytor de har.
R
Mer om volym
I alla trianglar kan man rita tre höjder,
en från varje hörn. I spetsvinkliga
trianglar är alla höjder innanför
triangeln. I en trubbvinklig
triangel är två höjder
utanför triangeln.
bas
R
C
För att kunna rita en höjd i den trubbvinkliga triangeln ABC
mot sidan BC, måste basen förlängas så som figuren visar.
tetraeder
tetra = 4
8
hexaeder
hexa = 6
oktaeder
okta = 8
dodekaeder
dodeka = 12
ikosaeder
ikosa = 20
11
Rita av tabellen och gör den klar.
Namn
Tetraeder
Form på
sidoytan
Triangel
Antal
sidoytor
som bildar
ett hörn
60°
3
Summan av
vinklarna i
hörnet
b)
3 sidoytor bildar ett
hörn. Summan av
vinklarna i hörnet är
3 · 60°.
Dodekaeder
12
108°
Ikosaeder
9
Förklara varför det inte går att göra en platonsk kropp
b) Rita höjder från alla tre hörnen.
c) Beräkna arean.
13
c) av regelbundna sexhörningar
Ta hjälp av det du kommit fram till på den här sidan och
förklara varför det endast kan finnas 5 platonska kroppar.
ArbetsblAd
2:13A och 2:13b
bas
16
Bilden visar
flagga. Beräkna arean av det
0,43 m
0,34 m
17
0,43 m
a) blå fältet
0,2 m
b) gula fältet
0,2 m
C
2 geometri
Extramaterial
5 · 60° = 300°
5
3 · 108° = 324°
3
4 · 60° = 240°
3 · 90° = 270°
3
4
3
3 · 60° = 180°
b)Summan av vinklarna
blir 6 ∙ 60° = 360°
2:13 A
Platonska kroppar, klippark
●
2:13 B
Platonska kroppar, tabell
●
2:14
Trubbvinkliga trianglar
●
10Summan av vinklarna i
ett hörn måste vara mindre än 360°. De fem platonska kropparna är de
enda som uppfyller det
kravet.
60°
108°
90°
60°
60°
c) 4,2 cm
2
4,5
98
Kvadrat
Triangel
Pentagon
Triangel
Hexaeder
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Triangel
blir 4 ∙ 90° = 360°. Det
betyder att man får en
plan eller platt figur,
som inte kan bli någon
tredimensionell
kropp.
2,6 cm
12 a)och b)
20
3
4,1
6,0
23 cm
b)
3
6,5
6
c) sidoytor har den
21
(cm)
5
(cm)
a) hörn har den
a) Vilken form har sidoytorna?
2,5
2,5
b) Beräkna begränsningsytans area.
c) Beräkna volymen.
2
4
2 geometri
Bottenytan kan beräknas med hjälp av Pythagoras
sats, men eftersom eleverna ännu inte lärt sig den
metoden så får eleverna istället rita, mäta och göra
en uppskattning.
Här kan en del elever missta sig på vilken av
sidoytorna som är Tobleroneaskens basyta eftersom
asken ligger ner.
2 geometri
99
Facit
15 a)–
)
2,5 ∙ 2,2
b)16,5 cm ​   6 ∙ ​ _______
 ​  
 ​
2
(
2
Mät i figur.
c) 297 cm3
16,5 ∙ 18 = 297
16 a) 3,9 cm2
3 ∙ 2,6
 ​ 
 = 3,9
​ ______
2
b)64 cm2
3,9 ∙ 16,5 = 64,35
17 a) 1 266 cm2
2(23 ∙ 5) + 2(18,5 ∙ 5) +
+ 2(23 ∙ 18,5) = 1 266
b)156 cm2 (156,3)
3(16,5 ∙ 3) + 2∙ 3,9 =
= 156,3
6(2,5 ∙ 18) + 2∙ 16,5 =
= 303
13 a) ≈ 0,13 m2b)≈ 0,10 m2
6,5
4
c) 303 cm2
c)–
(dm)
3,2
b) kanter har den
18,5 cm
Kommentarer till uppgifter
15
2 cm
5 cm
c)
(m)
Bilden visar en parallellepiped. Hur många
3 cm
Detta uppslag är en utvidgning av området volym. Här
får eleverna möta prismats och parallellepipedens
volym. I egentlig mening är det många kroppar som är
prismor eftersom definitionen av en prisma är en kropp
som har sidoytor som är parallellogrammer och en basyta som har formen av en polygon. Parallellepipeden är
en prisma där sidorna som står mot varandra är parallella. Sidoytorna är parallellogrammer.
16
9 a) Summan av vinklarna
Arbetsblad
c) Summan av vinklarna
blir 3 ∙ 120° = 360°
11 a) 2,5 cm2 b)5,6 cm2
Tetraeder
Storlek på
vinklar hos
sidoytan
Antal sidoytor som
bildar hörn
Vinkelsumma av
sidoytorna som
bildar hörn
8
Form på
sidoyta
En del elever har svårt att se hur de ska markera höjden utanför triangeln. Betona vikten av att höjden
måste vara vinkelrät mot den förlängda basen.
97
Facit
Namn
Kommentarer till uppgifter
2 geometri
3
ArbetsblAd
2:14
2 geometri
Här får eleverna möta och bekanta sig med de platonska
kropparna. De är alla regelbundna polyedrar dvs. kroppar där alla sidoytor är likadana regelbundna månghörningar.
Platon (430–249 f.Kr.) var en grekisk filosof och lärjunge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle
ägna sig åt matematikstudier. Genom att tänka logiskt
skulle de bli bättre ledare. Platon grundade en akademi
som blev ett grekiskt matematikcentrum. Ovanför Platons Akademia stod skrivet: ”ATEΩMETRPHTOΣ MHΔEIΣ
EIZITΩ”, ”Må ingen okunnig i geometri här inträda (Olsson, Matematiska nedslag i historien 1999).
Tidigare har eleverna bara mött trianglar där höjden
faller innanför triangeln. I avsnittet Mer om area får eleverna lära sig att markera höjden i en trubbvinklig triangel
och sedan beräkna triangelns area.
11
4
h2
B
96
16,5 cm
5 cm
D
h1
b)
3
4
Beräkna volymen på kropparna.
h1 = h2
4 cm
3 cm
c) Drosteasken
(cm)
(cm)
3 cm
2,5 cm
Hur stor area har alla sidoytorna
tillsammans på
a)
A
5 cm
2
a) Beräkna arean av bottenytan
på Tobleroneasken.
b) Tobleroneasken
18
4 cm
2 cm
Beräkna volymen av parallellepipederna.
a)
a) Alladinasken
0,2 m
Förklara varför de båda
trianglarna ABC och BCD
har samma area.
Beräkna volymen av parallellepipederna.
19
2,5 cm
18 cm
b) Beräkna askens volym.
Svara i kvadratmeter med två decimaler.
14
Exempel
Volymen = Basytans area ∙ höjden
V=B∙h
Svar: Båda parallellepipederna har volymen
40 cm3 eftersom de har samma basyta och höjd.
c) Uppskatta Drosteaskens volym.
d) röda fältet
Pythagoreerna var ett sällskap som bildades av den grekiska
matematikern Pythagoras. De platonska kropparna har fått sitt
namn från den grekiska matematikern Platon. För Pythagoreerna
symboliserade de platonska kropparna de fyra elementen jord, luft,
eld, och vatten samt universum.
Vi beräknar alltså volymen av en parallellepiped på samma sätt som ett rätblock.
a) Rita av Drosteaskens bottenyta
i rätt mått.
b) Uppskatta arean av bottenytan
med hjälp av din figur.
c) vita fältet
Historik
Basytan är en sexhörning.
V = 5 cm · 2 cm · 4 cm = 40 cm3
15
a) Rita triangeln i ditt räknehäfte.
Triangeln ska ha ungefär
samma form som triangeln till
höger, men rita den gärna större.
a) där fyra kvadrater möts i ett hörn
b) där sex liksidiga trianglar möts i ett hörn
10
c)
bas
Oktaeder
Basytan är en triangel
När man beräknar volymen av ett prisma så räknar man
på samma sätt som när man räknar ut volymen av ett
rätblock. Man räknar först ut basytans area och
multiplicerar sedan med höjden.
bas
3 · 60° = 180°
R
Kropparna har samma volym. De har
samma bottenyta och samma höjd.
Basytan är en rektangel
a)
Storlek på
vinklarna
hos sidoytan
De här förpackningarna är exempel på prismor.
R
Mät först höjden mot den markerade basen.
Beräkna sedan arean.
Hexaeder
88
En kropp som har sidoytor som är rektanglar och en basyta
som är en månghörning kallas prisma.
höjd
B
En parallellepiped är en prisma där sidoytor som står mot varandra är parallella.
Prismats volym
A
R
Parallellepipedens volym
18 a) 27 cm3
4,5 ∙ 3
 ​ 
​ ______
 ∙ 4 = 27
2
b)55 cm3
5∙3
(4 ∙ 2 ∙ 5) + ____
​   ​ ∙ 2 = 55
2
19 a) 24 cm3
4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
b)78 m3
4 ∙ 3 ∙ 6,5 = 78
c) 78,72 dm3 ≈ 79 dm3
6 ∙ 4,1 ∙ 3,2 = 78,72
20 a)8
b)12
c)6
21 a)parallellogrammer,
rektanglar och kvadrater
b)75 cm2
2(2,5 ∙ 2,5) +
+ 2(2,5 ∙ 6) +
+ 2(2,5 ∙ 6,5) = 75
c) 37,5 cm3
2,5 ∙ 2,5 ∙ 6 = 37,5
c) 0,12 m2 d)≈ 0,25 m2
14Trianglarna har gemensam bas (sträckan BC)
och höjderna är lika
långa.
2 geometri
89
R
Syftet med avsnittet är att elevernas ska få praktisera de
kunskaper de inhämtat från tidigare avsnitt. Eleverna får
här öva mer på att beräkna volym och begräsningsarea.
Mer om begränsningsyta och volym
22
Kommentarer till uppgifter
24
Vilka av figurerna är
a) parallellepipeder
A
B
C
Problemlösning, resonemang och kommunikation
D
A
b) rätblock
För att öka förståelsen kan eleverna gärna rita en
skiss av kuberna och sätta ut måtten.
R
c) kuber
E
d) pyramider
23
F
G
B
A
B
5 cm2
●
25
b)A, C, E, G
c) A, G
24 a) 1 dm � 1 dm � 1 dm
23 a) A – 12,5 cm3
B – 7,7 m
C – 54 dm3 (53,75)
3
b)A – 31,25 cm2
B – 27,5 m2
C – 96,5 dm3
4,3 dm
5 dm
C
5 dm
b) 8 dm3
8 cm
4
Tänk dig att du ska göra en förpackning som har volymen
en liter. Förpackningen ska vara en parallellepiped och du
vill att begränsningsytan ska vara så liten som möjligt.
25 a) En kub med sidan
Kvadraten har alltså störst area och triangeln har minst
area om omkretsen är lika.
Begrepp
B a)
Rita av och gör klart begreppskartan
genom att fylla i länkord i rektangeln
och begrepp i cirklarna.
form som gör att det går åt så lite material som
möjligt till förpackningen. Varför är det så?
ArbetsblAd
2:15
1 dm ger den minsta
begränsningsytan.
8 cm
h
Uppmärksamma eleverna på att triangelns höjd måste vara
vinkelrät mot basen. Rita och mät i figuren. Triangelns area
8 cm · 6,9 cm
är ungefär ​ ____________
 ​ 
≈ 27,7 cm2.
  
2
6
c) 64 dm3
b) När vi köper mjölk i förpackningar så har de inte en
100
8 cm
8
Beräkna volymen av prismat.
4
bredd och höjd kommer din förpackning att ha?
b)2 dm � 2 dm � 2 dm
b)En kub är opraktisk att
hantera, framförallt
att hälla ur. Den blir
även ganska ostadig
när den är fylld med
vätska.
2m
a) Vilken form kommer din förpackning att ha? Vilken längd,
c) 4 dm � 4 dm � 4 dm
d)B, F
1,7 cm
30°
v
32°
Vilka mått har en kub som har volymen
a) 1 dm3
22 a) A, C, D, E, G
3,5 m
2,2 m
24
Facit
u
6 cm
Kvadratens area: 6 cm · 6 cm = 36 cm2.
v
u
47°
2,5 cm
6 cm
45°
132°
5 dm
Volym och begränsningsarea
b)
C
4 cm
R
Räkna ut vinklarna som är markerade med u och v.
a)
R
8 cm
Rektangelns area: 4 cm · 8 cm = 32 cm2.
En liksidig triangel
b) arean av prismornas begränsningsyta
2:15
Undersök vilken av figurerna som har störst area. Alla figurer har
omkretsen 24 cm.
En kvadrat.
Prismornas basyta är regelbundna månghörningar. Beräkna
Arbetsblad
A
En rektangel där längden är dubbelt så lång som bredden.
a) volymen av prismorna
Extramaterial
Lösningsförslag uppslaget
Uppslaget
180° – 132° = 48°
Geometrisk kropp
?
där alla sidoytor är
rektanglar kallas
kub
?
180° – 90° – 32° = 58°
132°
där alla sidoytor är
likadana är t.ex.
?
?
2 geometri
47°
?
u
2 geometri
101
v
32°
u = 180° – 47° – 48° = 75°
b)
Begrepp
u
Geometrisk kropp
u = 180° – 45° = 135°
45°
v
v = 180° – 48° – 58° = 74°
v = 180° – 105° = 75°
30°
180° – 135° = 45°
180° – 30° – 45° = 105°
där alla sidoytor är
kvadrater
där alla sidoytor är
rektanglar kallas
kub
rätblock
där alla sidoytor är
likadana är t.ex.
tetraeder
oktaeder
dodekaeder
180° – 45° – 90°= 45°
180° – 90° – 45° = 45°
8·6
4 · 6 _____
 ​ +​   ​ 
C
Bottenytan = ​ ____
 = 12 + 24 = 36 cm2.
2
2
Volymen = 36 cm2 · 4 cm = 144 cm3.
90
2 geometri
2 geometri
91
S
Svarta sidorna
Svarta sidorna
De svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara
med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här
möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets
egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare
finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.
1
2
En kvadrat med sidan 10 centimeter
är sönderklippt som bilden visar.
Alla vinklar är räta.
Beräkna figurens omkrets.
7
(cm)
10
Hur många kvadrater går det att hitta i figuren?
8
10
S
Kommentarer och lösningar
till uppgifter
1
40 centimeter
Summan av de vågräta sidorna är 20 centimeter. Det gäller
även summan av de lodräta sidorna.
9
3
4
5
1 dm
3 dm
Tre identiska tärningar har limmats ihop
som på bilden. Summan av prickarna på
tärningens motstående sidor är alltid 7.
Vilken är summan av prickarna på de
sidor som limmats ihop?
10
a) I figuren är arean av rektangeln ABCD 72 cm2 och området DFG 15 cm2.
A
B (cm)
E
F
H
En kub har kantlängden 1 meter. Kubens volym är
1 m3 och arean av begränsningsytan är 6 m2.
D
5
G
4
C
Hur stor är arean av det vita området? Motivera.
b) Till vilka av figurens områden finns det inte tillräckligt med
b) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan
information om för att man ska kunna beräkna deras area? Motivera.
av alla småkuber tillsammans.
c) Kuben delas i 64 mindre kuber. Beräkna
11
volymen och arean av begränsningsytan av
en liten kub.
d) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan
I triangeln har vi markerat tre yttervinklar.
Summan av yttervinklarna är 360 grader.
Varför är det alltid så? Motivera ditt svar.
av alla småkuber tillsammans.
3
20 kuber
e) Vad blir resultatet om du upprepar
En kub med kantängden 3 cm innehåller
3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 kuber. Eller: I översta och understa lagret saknas 8 kuber och i det mellersta saknas 4 kuber.
S
Du ska bygga en kub. Till din hjälp har du ett antal rätblock som har
längden 3 dm, bredden 2 dm och höjden 1 dm. Hur många rätblock går
det minst åt för att bygga kuben. Motivera ditt svar.
2 dm
och arean av begränsningsytan av en liten kub.
16 st med sidan 1 längdenhet (l.e.). 9 st med sidan
2 l.e. 4 st med sidan 3 l.e. 1 st med sidan 4 l.e. (Rita på motsvarande sätt en kvadrat med 10 l.e. Hur många kvadrater
finns i en sådan? 385)
En rektangel är uppdelad i fem mindre
rektanglar som på bilden. Omkretsen av
var och en av de fyra bruna rektanglarna är
6, 11, 12 och 13 längdenheter.
Beräkna omkretsen av den stora rektangeln.
Figuren är byggd av 7 st kuber med kantlängden 1 cm.
Hur många kuber behövs ytterligare för att bygga en
kub med kantlängden 3 cm?
a) Kuben delas i 8 mindre kuber. Beräkna volymen
2
30 kvadrater
S
En 2 km lång väg ska beläggas med asfalt. Vägbanan, som är 7 meter bred
ska täckas med ett 5 cm tjockt asfaltlager. Ungefär hur många lastbilslass
asfalt behövs det till vägbeläggningen om varje lastbil lastar 8 m3 asfalt?
12
delningen en gång till?
6
En trädgård har formen av en rektangel.
På tomten finns en gräsmatta med en
gång runt. Gången har lika stor area
som gräsmattan. Hur bred är gången?
Hur många diagonaler kan du som mest dra i en
a) triangel
b) fyrhörning
c) femhörning
d) sexhörning
e) åttahörning
f) hundrahörning
18
4
Summan är 14
Vi vet att summan av prickarna på sidorna på den mittersta tärningen är 7. De två yttersta tärningarna ligger identiskt så vi kan dra slutsatsen att de hoplimmade sidorna
har 2 respektive 5 prickar.
1 3
5 a) Volymen är ​ __
 ​  m = 0,125 m3.
8
Arean av begränsningsytan är 1,5 m2 (6 ∙ 0,5 ∙ 0,5)
b)Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 12 m2 (8 ∙ 1,5)
1
c) Volymen är ​ ___  ​ m3 ≈ 0,016 m3. Arean av begränsnings64
ytan är 0,375 m2 (6 ∙ 0,25 ∙ 0,25)
d)Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 24 m2 (64 ∙ 0,375)
e) Volymen av en liten kub är
1
​ ____
   ​ m3 ≈ 0,00195 m3 ≈ 1,95 dm3
512
1 1 __
1
​   ​  ∙ __
​   ​  ∙ ​   ​   ​
​   __
8 8 8
(
)
Arean av begränsningsytan är 0,09375 m2 ≈ 9,4 dm2
(6 ∙ 0, 125 ∙ 0,125)
Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 48 m2 (512 ∙ 0,09375)
24 ∙ 18
 ​  
Gräsmattans area är 216 m2 ​   ______
​ 
 ​ .
2
(
)
Kortsidan av gräsmattan måste vara mindre än 18 m och
långsidan måste vara mindre än 24 m. Prövning ger enda
alternativet 18 m × 12 m. Det ger bredden 3 m för gången.
7
Ett tips till de elever som behöver kan vara att göra enhetsbyten innan de börjar med sina beräkningar.
Volymen av asfalten i m3 = 2 000 ∙ 7 ∙ 0,05 = 700 m3 ≈ 88.
700
Antal lass ____
​   ​ = 87,5.
8
92
2 geometri
102
2 geometri
8
21 längdenheter
Omkretsen av den stora rektangeln är hälften av de fyra
färgade små rektanglarna och har längden
6 + 11 + 12 +13
______________
 ​ 
= 21
​   
2
9
36 rätblock
Volymen av ett byggblock är 6 dm3. Av sex rätblock kan
man bygga en kvadratisk ”bottenplatta” och sedan lägga
sex sådana ”våningar ovanpå varandra.
6
3 meter
24
10 a) 9 cm2
2 geometri
103
11Varje yttervinkel bildar tillsammans med vinkeln i triang-
eln en rak vinkel som är 180°. Det betyder att det i de tre
hörnen totalt finns 3 raka vinklar, 180° ∙ 3 = 540°. Eftersom
triangelns vinkelsumma är 180° blir summan av yttervinklarna 540° – 180° = 360°
12 a)0
b)2
c)5
d)9
e)20
f) 4 850 diagonaler
Från varje hörn kan man dra lika många diagonaler som
antalet hörn minus 3. Man kan inte dra en diagonal till
det egna hörnet och till de två närliggande hörnen. Man
delar sedan med 2 eftersom varje diagonal annars räknas 2 gånger. Om antalet sidor är n kan man skriva
n(n – 3)
antalet diagonaler som ​ _______
 ​ 
.
 
2
Arean av ABCD är 72 cm2 och sträckan DC är 9 cm. Då är
både BC och AD 8 cm. Triangeln DFG har arean 15 cm2.
Då är höjden FG 6 cm. Sträckan EF är 8 – 6 = 2 cm. Det
vita området kan delas upp i två trianglar med basen
2 cm höjden 5 cm respektive 4 cm.
2∙5 2∙4
Arean = ____
​   ​ + ____
​   ​ = 9 cm2
2
2
b)Områdena FHCG och EBH. Vi vet inte var punkten H är
belägen mellan hörnen B och C.
2 geometri
93
S
Sammanfattning
Sammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder
som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av
kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska
repetera.
Bedömning
Sammanfattning
S
●●Olika dimensioner
Höjd
Bredd
Längd
Längd
En sträcka är endimensionell.
Enheten kan vara meter, m.
●●Kroppar
Trianglar
Begreppskarta 2:2
Fyrhörningar
Begreppskarta 2:3
Månghörningar
Begreppskarta 2:4
Area
En kropp är tredimensionell.
Enheten kan vara
kubikmeter, m3.
kant
hörn
Spetsig vinkel
mindre än 90°
Prisma
Basytan är en mång­
hörning och sido­
ytorna är rektanglar.
Rätblock
Ett prisma med
en rektangel som
basyta.
●●Area
●●Triangelns vinkelsumma
En triangels vinkelsumma är alltid 180°
v
40°
A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2
Pyramid
Spetsig kropp med
en månghörning
som basyta.
Kub
Ett rätblock där
alla sidoytor är
kvadratiska.
Trubbig vinkel
större än 90°
Storleken av en yta
Rektangelns area
4 cm
basyta
Arean är 8 kvadratcentimeter
35°
Exempel
180° – 40° – 35° = 180° – 75° = 105°
Parallellogrammens area
Vinkeln v = 105°
2 cm
4 cm
A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2
Figurer med tre
eller flera hörn.
Det här är en
femhörning.
diagonal
Arean är 8 kvadratcentimeter
●●Fyrhörningar
sida
hörn
●●Volym
Storleken av en kropp
Triangelns area
4 cm
2 cm
Parallelltrapets
Parallellogram
4 cm
basen · höjden 4 cm · 2 cm 8 cm
A = _____________ = __________ = _____ =
2
Romb
Rektangel
Kvadrat
= 4 cm2
2
2
2
Arean är 4 kvadratcentimeter
Volym = Basytan · höjden
3 cm
2 cm
Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur
väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är
önskvart att eleverna får visa sina kunskaper på olika
satt.
I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns förslag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även förslag till muntligt prov. Till proven finns
dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser.
Till varje kapitel finns också en självskattningsmatris
där eleven själv får bedöma sina kunskaper mot kapitlets
lärandemål. Den kan hjälpa eleven att reflektera over sitt
eget lärande men kan också ge dig som lärare en bild av
elevens kunskapsnivå.
Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, förutom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, aven
fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper.
Mer om bedömning, prov och hur de kan användas
finns att läsa om i lärarguidens inledande text.
V = B · h = 3 cm · 2 cm · 4 cm =
= 6 cm2 · 4 cm = 24 cm3
Volymen är 24 kubikcentimeter.
●●Trianglar
bas
Oliksidig triangel
Alla sidor är olika
långa och alla vinklar
är olika stora.
104
2 geometri
Rak vinkel
180°, ett halvt varv
2 cm
●●Begränsningsyta
höjd
94
Rät vinkel
90°
sidoyta
●●Månghörning
Begreppskarta 2:1
S
En rät vinkel
markeras
med en hake.
Bredd
Längd
En yta är tvådimensionell.
Enheten kan vara
kvadratmeter, m2.
Begreppskartor
Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med
begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att
eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper.
I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett
arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med
begreppskartor.
●●Vinklar
2 geometri
Arean av rektangelns begränsningsyta är
Likbent triangel
Två sidor är lika
långa och två vinklar
är lika stora.
Liksidig triangel
Alla sidor är lika
långa och alla vinklar
är lika stora.
Rätvinklig triangel
En vinkel är rät.
2 · 4 cm · 2 cm + 2 · 4 cm · 3 cm + 2 · 3 cm · 2 cm =
= 2 · 8 cm2 + 2 · 12 cm2 + 2 · 6 cm2 =
= 16 cm2 + 24 cm2 + 12 cm2 = 52 cm2
4 cm
3 cm
2 cm
2 cm
4 cm
4 cm 3 cm
4 cm
3 cm
2 geometri
105
2 geometri
95
S