Algebraiska aktiviteter inom gymnasiets

Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, Miljö, Samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Algebraiska aktiviteter inom gymnasiets
Samhällsprogram
Algebraic activities within the Social Science Programme at
upper secondary school
Åsa Wikborg
Lärarexamen 270 hp
Matematik och lärande
2010-06-07
Examinator: Tine Wedege
Handledare: Per-Eskil Persson
2
Sammanfattning
Syftet med arbetet är att undersöka i vilken mån algebraiska aktiviteter förekommer på
Samhällsprogrammet på ett gymnasium. Undersökningen har genomförts på en
gymnasieskola i södra Sverige med kvalitativa intervjuer av matematiklärare som
undervisar i matematik B på Samhällsprogrammet. En textanalys av lärobok och
lärarhandledning, som används på det aktuella programmet, har också gjorts med
avseende på algebraiska aktiviteter. Resultatet visar att det på den aktuella skolan
förekommer en del aktiviteter som variation till enskild räkning i läroboken. Resultatet
visar också att de aktiviteter som är mest förekommande är av karaktären
transformerande. Slutsatsen är att det i viss mån bedrivs en varierad undervisning i
algebra på skolans matematikkurs B, Samhällsprogrammet.
Nyckelord: algebra, aktivitet, gymnasiet, matematikkurs B, samhällsprogrammet
3
4
Innehåll
Sammanfattning ............................................................................................................. 3
Inledning .......................................................................................................................... 7
Syfte och frågeställningar .............................................................................................. 7
Teoretisk bakgrund ........................................................................................................ 8
Algebra ......................................................................................................................... 8
Skolalgebra ............................................................................................................... 9
Att undervisa i algebra ................................................................................................ 10
Läroplaner och styrdokument ................................................................................. 11
Kursböcker ............................................................................................................. 13
Algebraiska aktiviteter ................................................................................................ 13
Spel ......................................................................................................................... 14
Laboration ............................................................................................................... 15
Problemlösning ....................................................................................................... 15
Modellering ............................................................................................................ 16
Metod ............................................................................................................................. 16
Undersökningsmetoder ............................................................................................... 16
Kvalitativa och kvantitativa intervjuer ................................................................... 16
Textanalys ............................................................................................................... 17
Tillvägagångssätt ........................................................................................................ 17
Informanter ............................................................................................................. 17
Studie av läroböcker ............................................................................................... 18
Validitet och Reliabilitet............................................................................................. 19
Urval ........................................................................................................................... 20
Informanter ............................................................................................................. 20
Läroböcker och lärarhandledningar ........................................................................ 20
Resultat .......................................................................................................................... 21
Intervjuer .................................................................................................................... 21
Undersökning av förkunskaper ............................................................................... 21
Introduktion av området algebra............................................................................. 21
Problemområden ..................................................................................................... 22
Förekomst av aktiviteter ......................................................................................... 23
Lärobok och lärarhandledning .................................................................................... 24
Exponent Gul .......................................................................................................... 24
Matematik 3000 ...................................................................................................... 25
Diskussion ...................................................................................................................... 26
Trovärdighet ............................................................................................................... 26
5
Förekomst av algebraiska aktiviteter på Samhällsprogrammet .................................. 27
Algebraiska aktiviteter i lärobok och lärarhandledning ............................................. 28
Lärarnas uppfattning om algebraiska aktiviteter i undervisningen ............................ 28
Lärares fortbildning .................................................................................................... 29
Konsekvenser för mitt framtida yrkesutövande.......................................................... 30
Referenslista .................................................................................................................. 32
Bilaga 1. Algebrakapplöpning
Bilaga 2. Schema för kategorisering av aktiviteter
Bilaga 3. Intervjufrågor
6
Inledning
Arbetet handlar om algebraiska aktiviteter. En algebraisk aktivitet kan vara ett
matematikspel, laboration, eller en gruppaktivitet av formen större
problemlösningsuppgift. Studien behandlar algebra på gymnasienivå och vad lärare
anser om aktiviteter som en möjlig väg i undervisningen för att öka förståelsen och
intresset för matematik.
Ett önskemål från min partnerskola var att undersöka varför elever som
läser Samhällsprogrammet har svårare för Matematik B-kursen än elever som valt det
Naturvetenskapliga programmet. Eftersom algebra är ett av mina favoritmoment i
matematiken har jag valt att fokusera endast på detta. Jag anser att det är viktigt att
kunna hantera algebraiska uttryck på ett korrekt sätt, bland annat för att det ligger till
grund för förståelse om funktioner och ekvationer. Efter att själv ha arbetat som lärare
och undervisat i Matematik B har jag insett att det behövs något mer än endast en
presentation av de algebraiska reglerna på tavlan och färdighetsträning med uppgifterna
från läroboken. För att riktigt behärska algebran, och för att se dess styrka krävs det att
eleven har mer än en instrumentell förståelse. En möjlig väg, anser jag, är att genomföra
algebraiska aktiviteter på matematiklektionerna. Denna studie undersöker i vilken
utsträckning lärare på en gymnasieskola i Skåne använder algebraiska aktiviteter och
vilken sorts aktiviteter det är. Jag undersöker också vad läroböckerna och
lärarhandledningarna tar upp om ovanstående.
Syfte och frågeställningar
Syftet med arbetet är att undersöka vilka algebraiska aktiviteter som förekommer på
gymnasiet och om de kan underlätta elevers inlärning. Undersökningen ska svara på vad
lärare anser elever har svårast för i algebra och om de har några undervisningsmetoder
utöver läroboken. Vad de aktuella läroböckerna och lärarhandledningarna tar upp om
algebra och aktiviteter ska också undersökas.

Vilka sorts algebraiska aktiviteter används i Matematik B-kursen inom
Samhällsprogrammet på en gymnasieskola, enligt lärarna?

På vilka sätt tar den aktuella läroboken upp sådana aktiviteter och hur
presenterar lärarhandledningen avsnittet algebra?

Vad är lärarnas motivering till att använda/inte använda algebraiska aktiviteter?
7
Teoretisk bakgrund
Algebra
I många matematikböcker kan man läsa om algebrans väg till Norden via araberna. Ca
300 e Kr verkade astronomen och matematikern al-Khwarizmi i Visdomens hus i
Bagdad. Han skrev en bok med titeln al-jabr, överföring av termer (Björk, Borg m fl.
2000) som har grundat nutidens namn algebra.
Historiskt sett har algebra sitt ursprung i det antika Grekland.
Charbonneau (1996) skildrar algebrans uppkomst som en matematisk teori utvecklad
under tusen år. Den har sitt ursprung både i aritmetiken och i geometrin. I Euklides
elementa löses geometriska resonemang med hjälp av algebra där mängder jämförs.
Detta var den rådande teorin fram till år 1484 då Nicolas Chuquet skrev La triparty en
la science des nombres där han löser geometriska problem med algebraiska
beteckningar. Men den algebra som svenska elever möjligtvis känner igen från sina
matematiklektioner utvecklades runt 1600-talets mitt, främst av matematikerna Viète
och Descartes. Viète separerade till vissa delar algebran från geometrin i Introduction to
the Analytic Art (Charbonneau, 1996). Symbolisk algebra blir nu ett verktyg för att lösa
problem. Descartes teori kallas analytisk geometri och är en vidareutveckling av Viètes
arbete. Charbonneau menar att algebra inte alldeles enkelt kan sammanfattas på grund
av dess ursprung i både geometrin och aritmetiken. Bell (1996) resonerar kring
algebraiskt tänkande och menar att de finns en multiplicitet i begreppet, det är kanske
omöjligt att bygga ihop grundläggande aritmetik, algebra och geometri till en harmonisk
enhet eftersom det har en så splittrad historia.
Det är ändå nödvändigt att på något sätt definiera algebra för att vidare
kunna definiera skol-algebran. Wheeler (1996) ger ett förslag på vad algebra är:

ett symboliskt system

kalkylering – beräkningar av numeriska lösningar till matematiska problem

ett representationssystem som matematiserar situationer och upplevelser
Det finns också en bredare definition av vad algebra är enligt Persson (2010), som
innefattar allt från pre-algebra, algebraiskt och relationellt tänkande, funktioner och
abstrakt algebra.
8
Skolalgebra
Flertalet människor uppfattar skol-algebran som endast en bokstavsräkning; ”räkna med
x och y”. Det obekanta talet när det handlar om algebra, oftast bokstaven x, kan
representera många saker. Dels kan det vara ett obekant tal i en ekvation, dels ett tal
som varierar i en funktion. Bokstavssymbolen kan representera hela fyra aspekter;
obekant, mönsterbeskrivande, variabel eller symbol (Usiskin, 1998, citerad i Nämnaren
Tema, 2004). För att hantera algebraiska uttryck krävs det att man kan översätta en
situation eller problem till ett uttryck, manipulera uttrycket, det vill säga skriva om det
och även tolka uttrycket. Eleven måste kunna förstå och hantera algebran utifrån två
olika synsätt, nämligen både som process och objekt (Persson 2010). Det första innebär
en operationell och det andra en strukturell känsla för uttrycken.
Ett uttryck för matematisk förmåga är number sense som jag här
översätter med talförståelse. Det betyder kortfattat att ha förmågan att hantera
beräkningar utan att tillgripa mekanisk kunskap som är instrumentellt inlärt. Arcavi
(1994) kopplar ihop förmågan att hantera algebraiska uttryck med symbol sense,
symbolförståelse.
Even those students who manage to handle the algebraic techniques successfully often
fail to see algebra as a tool for understanding, expressing, and communicating
generalizations, for revealing structure, and for establishing connections and formulating
mathematical arguments (proofs).
(Arcavi, 1994, sid 24)
Elever som lär sig algebraiska regler utan att ha någon uppfattning om varför
lösningsmetoden gäller, riskerar att misslyckas när de träffar på liknande uppgifter i ett
annat sammanhang exempelvis problemlösning. Arcavi ger i sin artikel exempel på vad
symbolförståelse skulle kunna vara utan att direkt definiera begreppet. Nedanstående
uppräkning är min egen översättning:

Förmåga att avläsa algebraiska uttryck och göra uppskattningar av mönster som
uppträder i numerära eller grafiska presentationer

Förmåga att göra jämförelser mellan funktioner av formen n, n2, n3,…, nk

Förmåga att tolka värden i tabell, ur en funktion eller översätta en situation
presenterad som text för att identifiera den troliga formen av en algebraisk regel
som beskriver det lämpliga mönstret
9

Förmåga att tolka algebraiska operationer och förutsäga dess resultat eller
bedöma resultatet utifall det har blivit korrekt genomfört

Förmåga att bestämma vilken av flera jämbördiga uttryck som är mest lämplig
att besvara olika frågeställningar
Ett exempel är ekvationen
. Om den löses instrumentellt genom att multiplicera
nämnaren på båda sidor och lösa ut x, fås lösningen
vilket ger nämnaren värdet
noll. Det finns alltså ingen lösning eftersom täljaren är halva nämnaren. Arcavi (1994)
hävdar att en förståelse för symboler krävs för att tolka liknande uttryck och inse, utan
att utföra några manipulationer, att ekvationen saknar lösning.
Hur bedrivs då den undervisning som medför att eleven når dit? Även
denna fråga förblir obesvarad men ett par implikationer delges läsaren (Arcavi, 1994);
att algebra presenteras i varierande kontexter för att utveckla förståelsen för hur och när
manipulationer ska utföras, att teknologiska verktyg är möjliga hjälpmedel att använda
för undersökande laborationer, att läraren uppmuntrar alternativa lösningsmetoder för
att upptäcka beröringspunkter mellan dessa och de algebraiska. Slutligen föreslår Arcavi
klassrumsaktiviteter som stimulerar till Vad händer om-frågor där symboler och regler
ifrågasätts.
Persson (2010) hävdar att elevers svårigheter med algebra ibland uppstår
ur missuppfattningar om vad symbolerna står för. De blandar exempelvis ihop
parametrar och variabler i ett uttryck, eller hanterar minustecknet felaktigt. Han skildrar
förmågan att förstå och behärska algebra både operationellt och strukturellt som
strukturkänsla. Liksom symbolförståelse är strukturkänsla att inte bara lära sig
instrumentell hantering utan att utveckla förmågan att se ett algebraiskt uttryck som en
helhet, känna igen det från tidigare strukturer och veta vilka manipulationer som ska,
och är fruktsamma, att utföra (Hoch & Dreyfus 2004, citerad i Persson 2010).
Att undervisa i algebra
Mason (1996) påstår att algebran är en vattendelare för många människor. Med det
menar han att elever som inte har större problem med matematiken stöter på svårigheter
när de kommer till den abstrakta algebran. Detsamma visar Oltenau (2003) i sin rapport.
Det som framkommer är att flera faktorers påverkan är väsentliga för elevers
kunskapsinhämtning. Bland annat nämns elevens motivation och lärarens inställning till
ämnet som avgörande faktor för hur algebran uppfattas. Hennes slutsats om
10
algebraundervisning är att det är väsentligt att eleven inte bara utför mekaniska
upprepningar utan också verkligen förstår vad de gör. Vidare hävdar hon att algebra
måste bygga på begreppsförståelse, det vill säga eleven bör träna sig på att formulera
hur han/hon tänker och reflektera över sina tankar.
Persson (2010) presenterar fyra olika vägar att närma sig algebra:

Generaliseringsvägen

Problemlösningsvägen

Modelleringsvägen

Funktionsvägen
Han menar att det är viktigt att variera undervisningen och utgå från olika vägar för att
eleven ska ha möjlighet att uppnå både operationell och strukturell förståelse. En
matematikkurs som varvar färdighetsträning, laborationer och problemlösning i olika
former som räkning och gruppövningar är den bästa vägen för att uppnå detta. Persson
poängterar att undervisningen ska utgå från matematiska aktiviteter som utvidgar
elevens begreppsvärld;
Man skaffar sig istället kunnande inom algebra via ett
komplicerat samspel mellan förståelse och färdighet, och båda krävs för att ett
symboliskt, algebraiskt tänkande ska kunna uppnås. (Persson, 2010, sid 127).
Läroplaner och styrdokument
I Skolverkets styrdokument, strävansmålen för ämnet matematik (Skolverket, 2008a)
finner man många kopplingar till algebra. Målen beskriver bland annat att eleven ska
beredas i sin utbildning: ”… förmåga att kommunicera med matematikens språk och
symboler, som är likartade över hela världen.” En tolkning kan vara att undervisningen
ska innehålla träning i att med algebra, som är matematikens symbolspråk, beskriva
händelser eller samband. Dessutom anger målen att eleven ska bli medveten om hur
denne tänker i olika matematiska situationer:
… utvecklar sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i
matematiken och sina egna matematiska aktiviteter….
(Skolverket, 2008a, hämtat från internet)
Algebra har utvecklats över tusentals år och eleven bör förslagsvis få en
bild av hur denna progression har skett för att tillägna sig en vidgad bild av ämnet. Detta
synsätt får stöd i Styrdokumenten:
11
Matematikens idéhistoria kan bidra till en bild av hur olika begrepp och samband
utvecklats. Detta kan motverka uppfattningen om matematiken som ett opersonligt
färdigt ämne som är uppbyggt av fasta regler som endast skall läras utantill.
(Skolverket 2008a, hämtat från internet)
Sammanfattningsvis ges här ges en möjlig anvisning att det är olämpligt
att eleven endast lär sig instrumentell hantering av de algebraiska reglerna.
Färdighetsträning av operationer som upprepas i uppgift efter uppgift lär eleven hur
man gör i det specifika fallet men vari ligger den undervisningsbredd som
styrdokumenten då antyder? I kursplan för matematik B (Skolverket, 2008b) står det
angivet att eleven ska lära sig att hantera algebraiska uttryck:
kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa
andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning.
(Skolverket, 2008b, hämtat från internet)
Det är intressant att här koppla samman det första citatet till den algebraiska cykeln
(Bell, 1996, citerad i Nämnaren TEMA, 2004) som beskriver de nödvändiga
kompetenserna:
Algebraiskt
uttryck
Översättning
Omskrivning
Algebraiskt
uttryck
Händelse
Tolkning
För att eleven ska kunna tillämpa sin algebraiska kunskap vid problemlösning, som
styrdokumenten kräver, behövs alla faserna i cykeln behärskas. Om detta förbises i
12
undervisningen förstår inte eleven algebran som både representativ och manipulativ
(Nämnaren Tema, 2004)
Ytterligare ett avsnitt i kursplanen (Skolverket 2008b) kan kopplas till
algebra: ”kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära
olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder”. Funktionsvägen
är en av fyra inriktningar/vägar som kan användas för att bygga upp kunskaper i algebra
(Persson, 2010). NCM:s rapport (Nationellt Centrum för Matematik, 2001) visar på
försämrade resultat för svenska gymnasieelevers kunskaper i bland annat algebra.
Rapporten framhäver att läraren ska arbeta för en klassrumssituation där eleven känner
nyfikenhet och glädje med ett undersökande arbetssätt och problemlösning. En väg att
nå dit är med algebraiska aktiviteter.
Kursböcker
Läroböckerna i matematik har över tid följt styrdokumenten (Jakobsson-Åhl, 2006).
Den största förändringen inträffade under 1960 – 1970. Från att mestadels ha
presenterat skolalgebran som bokstavssymboler och manipulation av dessa visar
nutidens böcker en mer nyanserad bild med grafiska presentationer. Sverige har, till
skillnad från andra länder, funktionsavsnittet uppdelat i ett särskilt kapitel i
kursböckerna (Jakobsson-Åhl, 2006). Detta har medfört att övningsuppgifter där eleven
tränar omformulering har minskat. Kursböckerna styr undervisningen i svenska
klassrum till övervägande del enligt en rapport från Skolverket (2003). Det är
fortfarande sällsynt att lärare utgår från målen när de planerar sin undervisning.
Traditionell katederundervisning är den vanligaste formen för en matematiklektion där
eleven väldigt ofta räknar enskilt i kursboken.
Algebraiska aktiviteter
En algebraisk aktivitet innebär ett hanterande av matematiska uttryck där det
förekommer symboler, bokstäver, vilket kan delas in i tre områden (Kieran, citerad i
Persson 2010):

genererande aktiviteter, utvecklande av förståelsen för symboler som generella tal,
variabler och okända tal. Ett exempel är där elever i grupp undersöker studshöjd för
olika bollar och ska bestämma en generell formel för beräkning av studshöjden.
13

transformerande aktiviteter, utvecklande av manipulation och omformulering av
algebraiska uttryck, där Matematikmemory är ett exempel på sådan aktivitet, se
beskrivning nedan.

Globala/metanivå-aktiviteter, utvecklandet av algebran som verktyg vid
problemlösning, modellering, bevis. Här ingår båda ovanstående kategorier.
Mönstergeneralisering är ett exempel på sådan aktivitet, där eleven ska lägga
mönster av tändstickor och bestämma hur många stickor i figur n.
Att enskilt räkna uppgifter från läroboken som tränar faktorisering av uttryck är då
egentligen en form av algebraisk, transformerande aktivitet. I denna studie gör jag en
annan definition men använder mig av de beskrivna kategorierna; med algebraisk
aktivitet menar jag elevaktivitet utöver enskild räkning i kursboken och lärarens
genomgång av nytt stoff. Exempelvis kan aktiviteter betyda att man med hjälp av
grafräknare/datorprogram undersöker algebraiska uttryck eller funktioner med avseende
på parameterns betydelse. Under nedanstående rubriker presenteras aktiviteterna utifrån
(undervisnings-)form och därefter angivit vilken kategori de tillhör.
Spel
Spel definierar jag här som aktivitet där det ingår någon form av tävlingsmoment. Ett
vanligt spel är Algebrakapplöpning. Spelplanen har formen av en kapplöpningsbana där
olika algebraiska uttryck är skrivna, se bilaga 1. Eleverna tävlar två och två genom att
kasta en eller två tärningar och beräkna värdet av uttrycket. Den som har störst värde
när målet nås, vinner. En annan variant är aktiviteten ”Värdet av ett polynom” där
principen är densamma som för Algebrakapplöpning men här väljer eleven själv vilket
värde (av fyra möjliga) som ska gälla för kastet. Dessa båda är transformerande
aktiviteter.
Matematikmemory är ett annat spel där man precis som i vanligt memory
ska para ihop två brickor. Eleven tränar på att se att två uttryck kan skrivas på olika sätt.
Ett algebramemory, som är också är en transformerande aktivitet, går ut på att para ihop
två kort med samma uttryck som är skrivet på två olika sätt, exempelvis
paras ihop med uttrycket (
ska
. Fördelen med dessa spel är bland annat att
svårighetsgraden är enkel att variera. Inget av spelen ger eleven tillfälle att själv
konstruera uttryck utan dessa fungerar mer som färdighetsträning på ett lustfyllt sätt.
14
Tankenötter, eller knep & knåp kan vara matematiska klurigheter där
algebran är ett användbart redskap. Dessa tar, till skillnad från problemuppgifter, inte så
mycket tid i anspråk. Ur rent definitionsmässig aspekt kanske detta inte räknas som
algebraisk aktivitet, men det är en form av uppgift som avviker från läroboken. Syftet
med en avbrytande aktivitet av denna art kanske inte främst är att eleven ska skaffa sig
någon fördjupad kunskap inom något område, utan istället att skapa mer avslappnad och
rolig gruppaktivitet.
Laboration
Laboration definieras som experimenterande aktivitet eller försök (Rystedt & Trygg,
2005). En laboration är strängt taget ett problem som löses i grupp men där mätningar
förekommer. Ett exempel på en laboration är att eleverna ska mäta studshöjd för en boll
och komma fram till ett samband mellan nedsläppshöjden och studshöjden (Olsson
1994). Detta är en algebraisk laboration med funktionsperspektiv där bokstäverna
representerar variabler. Här tränar eleven på att finna samband mellan variabler och
upptäcka på vilka olika sätt de kan presenteras, vilket hör till kategorin
global/metanivåaktivitet. I ämnet fysik är liknande laborationer vanligt förekommande,
men för elever på andra program än naturvetar- och teknikprogrammet kan detta vara ett
nytt angreppsätt för att förstå algebra.
Grafräknare eller datorprogram är hjälpmedel som kan användas i
algebralaborationer. Exempelvis kan parametrars betydelse för linjära funktioner
undersökas och presenteras både grafiskt och i tabellform. En sådan laboration hör till
kategorin genererande karaktär eftersom eleven tränar förståelse av symboler som
variabler och okända tal. Malmer (2002) hävdar att ett laborativt arbetssätt gynnar
elever med svårigheter för matematik eller de som tycker ämnet är tråkigt. Genom att
konkretisera en situation där eleven ser, upplever och samtalar om vad som händer
förstärks dennes begreppsbildning.
Problemlösning
En textuppgift i läroboken är ingen problemuppgift i betydelsen skolmatematik enligt
Björkqvist (2001). Han menar att ett problem definieras som en större uppgift där
lösningsmetoden inte är given på förhand av lösaren. Problemlösning har visat sig vara
utvecklande för den matematiska kommunikationen förklarar han. Algebra är verktyget
som behövs för att bevisa att alla lösningar är funna. Om eleverna tränar på
problemlösning skaffar de sig också effektiva tankemönster (Björkqvist, 2001). Malmer
15
pekar också på andra fördelar med att eleven får möta problemlösning i undervisningen.
Bland annat kan nämnas att eleven tränar förmågan att läsa och tolka text, kritiskt
granska resultat, skaffar en beredskap att hantera vardagsmatematik. Det finns tre
lösningsstrategier i problemlösning; numeriskt prövande, laborativ/logisk och
algebraisk (Malmer, 2002).
Modellering
Modellering, som är en sorts problemlösning i sig, utgår från en situation som inte
betraktas som matematisk. Den beskrivs, undersöks och presenteras sedan med
matematiska metoder. Ett exempel är ”Matematiska morgnar” (Blomhøj, 2006) där
eleven arbetar i projektform för att beskriva sina vardagsmorgnar med matematik.
Metod
Undersökningsmetoder
För ett examensarbete som behandlar elevers intressen, värderingar eller lärares
uppfattningar om undervisning, attityder eller planering lämpar sig intervjuer som
metod väl enligt Johansson och Svedner (2006). De beskriver principerna för hur man
får den intervjuande att ge svar som är fruktsamma att använda i studien. Bland annat
föreslår de att man ska föra mindre stödanteckningar under intervjun för att på så sätt
skapa tid för informanten att fullfölja sin tankegång utan att intervjuaren avbryter för
tidigt. På så vis kan svaren bli mer uttömmande och informativa.
Enligt Johansson och Svedner (ibid.) kan enkäter vara en vansklig metod
då svaren tenderar bli alltför kortfattade och svårtolkade. Denna metod var också något
som min handledare avrådde mig ifrån. Eftersom jag inte var en alldeles obekant person
för mitt urval passade dessutom intervjuer bättre.
Observationer är något som blivit vanligare senare år (ibid.). För att få ett
större bredd i min studie, och kunna studera elevers agerande på lektioner där det
förekom någon algebraisk aktivitet, hade denna metod varit att föredra. På min valda
skola var avsnittet algebra redan genomfört varför jag inte hade möjlighet att utföra
några observationer.
Kvalitativa och kvantitativa intervjuer
Kvalitativa intervjuer är en metod som används när man vill ta reda på attityder,
intressen och värderingar, till skillnad från kvantitativa intervjuer som används när man
16
vill göra jämförelser och generaliseringar. Enligt Johansson och Svedner (2006) är
fördelen med intervjuer att man får omfattande information om ett litet område. Mitt val
av semistrukturerade intervjuer med fasta frågor motiveras med att mitt
undersökningsområde innefattade förekomsten av algebraiska aktiviteter i
undervisningen, men studien innefattade också vilka attityder lärarna hade till
algebraiska aktiviteter. Mitt urval var begränsat till en skola och de verksamma
matematiklärarna. Eftersom urvalet endast inbegriper en skola har jag valt att inte
presentera informanterna enskilt, detta för att säkerställa anonymiteten i största möjliga
mån.
Textanalys
Komparativ undersökning innefattar en jämförelse av flera texter. Här ingår inte bara att
beskriva och kritiskt granska utan även försöka förklara skillnaderna mellan dem. En
textanalys av läromedel bör innehålla en viss form av kategorisering som kan användas
för analys i resultatet (Johansson och Svedner 2006).
Jag har utgått från både Perssons (2010) sammanfattning av de fyra
ingångarna till algebra (generalisering, funktion, problemlösning och modellering) och
Kierans (Persson, 2010) tre kategorier (Genererande, Transformerande och
Global/Metanivå). Med dessa indelningar har jag skapat ett schema (bilaga 2) som jag
använt till kategorisering av både uppgifter och aktiviteter.
Tillvägagångssätt
Informanter
Intervjufrågorna, totalt sex, författades utifrån frågeställningarna, se bilaga 3. De första
tre frågorna valde jag att ta med som inledning till intervjun och för att få igång
samtalet. De tre sista frågorna är direkt kopplade till frågeställningarna. Jag började med
att personligen fråga de aktuella lärarna om de kunde tänka sig att ställa upp på en
intervju. Totalt uppgick antalet till fem informanter. Jag förklarade kortfattat vad mitt
examensarbete gick ut på och klargjorde att de skulle vara anonyma. Jag berättade också
att jag ville spela in intervjun så att jag hade möjlighet att få med allt som sades. Alla
lärarna accepterade att bli intervjuade. Jag hade på förhand skrivit ned frågorna, se
bilaga 3 och diskuterat dem med min handledare. Intervjuerna tog mestadels plats i
lediga klassrum, några utfördes i en någorlunda avskild del i personalrummet.
Intervjuerna utfördes under en tidsrymd av en dryg vecka då jag ville försäkra mig om
17
att lärarna var koncentrerade på intervjun och inte behövde stressa iväg till en lektion.
Var intervju varade mellan 20-25 minuter. Alla intervjuerna spelades in med hjälp av en
mobiltelefon. Dessförinnan hade jag kontrollerat kvaliteten på ljudfilerna och att dessa
var möjliga att föra över till min arbetsdator. Under intervjuerna tog jag också
anteckningar i form av stödord för att lättare kunna sammanfatta resultatet av svaren.
Efter att ljudfilerna överförts till datorn transkriberades de.
Studie av läroböcker
Matematikboken är oftast basen i undervisningen på gymnasieskolor idag. (Skolverket,
2003). Därför ansåg jag det intressant att studera vilket arbetsmaterial lärarna har att
tillgå och i vilken omfattning algebraiska aktiviteter förekommer i kursböckerna. Med
en lärobok följer alltid en tillhörande lärarhandledning. Många gånger finns det endast
ett exemplar tillgängligt på skolorna. En lärarhandledning fungerar som ett stöd när
läraren planerar sin undervisning. Det kan finnas exempel på diagnostiska prov eller
extra övningar som läraren kan använda som kursmaterial. Förekomsten av mål från
kursplanerna är också vanligt. I min studie av läroböcker och lärarhandledningar har jag
utgått från följande frågeställningar:

Vilka är de algebraiska aktiviteterna som tas upp i läroboken respektive
handledningen?

På vilket sätt förekommer de, som extraavsnitt eller del i kapitlet?

Vilken kategori är vanligast, genererande, transformerande eller metanivå?

Vad är de största skillnaderna/likheterna mellan böckerna i fråga om
ovanstående?
Jag lånade alla böckerna på min partnerskola. Efter att ha gjort en grov översiktsläsning
räknade jag igenom några valda uppgifter. Jag kategoriserade aktiviteterna utifrån det
schema jag konstruerat i avsnittet Textanalys och antecknade förekomsten.
18
Validitet och Reliabilitet
Intervjuer mäter uppfattningar och beteenden (Johansson och Svedner 2006). Som enda
observatör kan mina slutsatser ha färgats av mina subjektiva åsikter om algebraiska
aktiviteter och om informanterna själva vilket påverkar reliabiliteten. Även
informanternas svar kan spegla det faktum att de är bekanta med mig. Jag försökte
säkerställa reliabiliteten genom att spela in alla intervjuer och utföra intervjuerna på så
liknande sätt som möjligt.
Validitet anger i vilken mån arbetsmetoderna är kopplade till
undersökningen. Innehållsmässigt borde mina resultat täcka vad jag avsåg att
undersöka, då jag begränsade mig till en enda skola. Jag har utförligt beskrivit
tillvägagångssättet under rubriken Urval för att säkra den inre validiteten.
Begränsningen bidrar till att en generalisering inte kan göras. För att svara på frågan om
algebraiska aktiviteter förekommer på Samhällsprogrammet generellt måste urvalet vara
mycket större. I min projektplan stod först en undersökning av elevers uppfattning om
algebraiska aktiviteter med. Min tanke var att genomföra en lektion med några elever
där jag skulle leda en algebraisk aktivitet av karaktären laboration på metanivå.
Eleverna på skolan avslutar kurs B innevarande termin och det fanns ingen lärare som
var villig att frångå sin redan tidspressade planering och låta mig leda en lektion så kort
tid innan kursprovet, med så kort varsel. Mitt arbete hade haft större yttre validitet,
anser jag, om jag hade kunnat utföra denna laboration. Dessutom ger examensarbeten
som baseras på en enda undersökningsmetod, så kallat platt design, större svårigheter att
formulera diskussionsavsnittet (Johansson & Svedner, 2006). När inriktningen på min
projektplan ändrades strök jag de frågeställningar som handlade om elevers synpunkter
om algebraiska aktiviteter. För att till viss del komplettera den uteblivna
undersökningen införde jag istället textanalys av läroböckerna.
19
Urval
Eftersom jag tidigt i utbildningen har fått förfrågan från min partnerskola om att
undersöka elever på Samhällsprogrammet har jag valt att begränsa min studie till
algebraiska aktiviteter som förekommer i Matematik B-kursen.
Informanter
De lärare som undervisade eller nyligen hade undervisat i B-kursen på
Samhällsprogrammet var intressanta för mitt arbete. Skolan som valdes för min studie
var min partnerskola. Jag har haft samma partnerskola under hela utbildningen och har
god kännedom om hur undervisningen generellt bedrivs. Under senare år har det varit
en del personalomsättning, flera av matematiklärarna har arbetat på skolan endast några
år. Efter att precis ha fullföljt min verksamhetsförlagda tid kändes det naturligt att utföra
intervjuerna på den aktuella skolan då jag lärt känna lärarna en del. Detta anser jag var
en fördel för arbetet då jag kunde förvänta mig att ett visst förtroende för mitt arbete
hade uppstått. Jag kunde också dra fördel av en mer avspänd intervjusituation jämfört
med om jag aldrig träffat informanten ifråga, vilket bidrar till att lärarna ger ärligare
svar på frågorna (Johansson och Svedner, 2006).
Läroböcker och lärarhandledningar
Då skolan nyligen bytt kursbok för Samhällsprogrammet har jag valt att ta med både
den aktuella boken och den tidigare. Skälet till detta är att jag vill ha möjlighet att göra
en mindre jämförelse mellan böckerna. Detta kan också vara till användning för
matematiklärarna som just nu utvärderar den nya kursboken.
Detta läsår har eleverna haft Exponent Gul som ges ut av Gleerups förlag
(Gennow, Gustafsson & Silborn, 2008). Serien Exponent förekommer i flera versioner
med olika svårighetsgrad. Boken Exponent Gul har enligt författarna en svårighetsgrad
som passar de elever som ska läsa kurserna A till B och kanske C. Till boken hör också
en CD-skiva som är tänkt som ett komplement till lärarens teorigenomgångar. En sida
på internet finns också att tillgå enligt boken, www.gleerups.se/exponent.
Den tidigare kursboken var Matematik 3000 (Björk, Borg m fl.2002).
Även denna kursbok och dess lärarhandledning har granskats i min studie.
Jag har inte undersökt vilka algebraiska aktiviteter lärarhandledningen
föreslår i boken Exponent Gul då den inte var inköpt på skolan.
20
Resultat
Intervjuer
Totalt intervjuades fem lärare. Alla har arbetat flera år på skolan, varav tre lärare har
mer än tjugo års yrkeserfarenhet. Det är endast fyra av lärarna som innevarande termin
har en grupp elever från Samhällsprogrammet i Matematik B. Den femte läraren ingick i
urvalet på grund av att denne haft motsvarande grupper flera gånger tidigare.
Undersökning av förkunskaper
De senaste åren har skolan organiserat en nivågruppering för alla Sp-elever. Utifrån
elevernas resultat och slutbetyg i Matematik A-kursen har klasserna delats upp i något
mindre grupper om ca 25 elever vilket innebär att det finns en grupp mer än antal
klasser. Man har plockat ut de högpresterande eleverna, de som förväntas ha möjlighet
till MVG på B-kursen och satt dem i en grupp. Sedan har man sorterat ut de
lågpresterande eleverna som antas kräva mer lärarhandledning för att lyckas. Denna
grupp är den minsta med endast 15 elever. Resterande ”mellannivå” har fördelats jämnt
på resterande grupper/lärare. Detta framkommer när jag ställer första frågan om hur
informanten undersöker förkunskaperna i algebra. Någon annan dokumentering om
förkunskaper förekommer inte enligt lärarna. Inför Matematik A-kursen utförs ett
diagnostiskt test som innefattar alla områden från kursen. Lärarna anger vidare att de
har goda uppfattningar om var eleverna befinner sig utvecklingsmässigt, dels från
kommunikationen i klassrummet, dels genom att ställa frågor direkt till eleven.
Introduktion av området algebra
Alla informanter säger sig lägga introduktionen så nära elevernas egen vardag som
möjligt. Med detta menar de att de kan börja med att ställa upp exempelvis aritmetiska
termer som representerar pris på olika varor. Sedan byter de ut ett tal mot en bokstav, x.
Då visar de på symbolhanterandet av algebran, att x står för ett okänt tal. En lärare
börjar med att berätta om hur algebran utvecklats genom tiderna och var ordet algebra
ursprungligen betyder. Men även denne läraren säger sig starta området med en
genomgång som har en låg nivå begreppsmässigt men nära förankrat i elevens
verklighet. Lärarnas svar är också samstämmigt vad gäller repetition av algebra som
förekommer på A-kursen, någon lektion avsätts alltid för detta. Det de främst repeterar
är då distributiva lagen, faktorisering, lösning av förstagradsekvationer. Ingen av lärarna
säger att de börjar med en algebraisk aktivitet, efter genomgång tränar eleverna på
21
uppgifter i boken. Här bör återigen poängteras att funktionsavsnittet finns i ett särskilt
kapitel vilket kommer före algebraavsnittet. Vid intervjuerna framkom det att
informanterna inte berättade om vad de gör i inledningen av funktioner eftersom det är
så starkt avskilt. För alla lärare utom en krävdes det att jag kompletterade med en
följdfråga om hur de introducerade funktioner (som också innehåller mycket algebra).
Svaret jag fick var att de, med lite variation, hade en genomgång på tavlan av ett
konkret exempel från elevens möjliga vardag (exempelvis årskort på ett gym där y är
summan det kostar totalt, x är antal gånger man tränar) där slutklämmen resulterade i en
linjär funktion som beskrev sambandet.
Problemområden
Samhällselevernas sämre prestationer i matematik, jämfört med
Naturvetenskapselevernas, är ofta uppe för diskussion bland lärarna. Den allmänna
uppfattningen är att Sp-eleverna har svårt med det mesta i matematik, inte endast
algebra. Från intervjuerna framkommer det att lärarna är mest frustrerade över bristande
kunskap om omskrivningar av algebraiska uttryck. De säger att eleverna exempelvis har
svårigheter att förstå skillnaden mellan
och
. Även ekvationslösningar anges
som ett område där de lägger mycket tid. De matematiska reglerna, kvadreringsreglerna,
konjugatregeln, distributiva lagen är också något som eleverna har svårt att lära sig.
Enligt lärarna är detta en sorts baskunskaper som måste behärskas för att kunna gå
vidare med andragradsekvationer och funktioner varför dessa nämns som första
prioritet.
Alla lärare har samma uppfattning om varför elever som valt
Samhällsprogrammet har sämre resultat än de elever som läser Naturvetenskap. I andra
ämnen som fysik och kemi är det nödvändigt att kunna avancerad matematik, till
exempel exponentialfunktioner och trigonometri. Formler för rörelse vid fritt fall
resulterar ofta i att en andragradsekvation ska lösas och eleverna har då inga problem
med att inse nyttan av att behärska algebra enligt lärarna. Från andra ämnen får de alltså
naturligt utökad begreppsbildning i matematik. Att Sp-eleverna inte kan se nyttan med
att lära sig abstrakt matematik är den huvudsakliga anledningen till lägre resultat
eftersom det då inte finns någon motivation till att lära sig något, mer än för betygets
skull menar lärarna.
Lärarna uttrycker också att elevernas negativa attityd till matematik är svår
att komma förbi då den härrör från händelser i elevernas grundskoleutbildning. Deras
22
motstånd till ämnet och uppfattning om sig själv som icke-matematiska är fast
cementerat och lärarna anser inte att det går att arbeta bort på detta stadium. Vad gäller
matematisk begåvning går åsikterna isär. Någon lärare säger att eleverna inte har den
begåvningen eller känslan för matematik och därför inte heller kan nå upp till några
goda resultat. Men de övriga anser att elevernas bristande intresse är den främsta
orsaken, vilket de också säger visar på val av program.
Grundskolans hanterande av algebra är också en bidragande faktor enligt
lärarna. Att omvandla algebraiska uttryck och förstå att bokstäver ibland står för ett
obekant tal och ibland för en variabel kräver färdighetsträning. Denna träning bör starta
tidigare i årskurserna och det är även grundskolans tidiga införande av räknare och
dåliga undervisning som betraktas vara en del av problemet anser lärarna. En lärare
menar att det är förekomsten av många obehöriga lärare på grundskolorna, de har
anställts som billig arbetskraft av kommunerna för att spara pengar, och kvalitet på
undervisningen uteblir av den anledningen påstår han.
Förekomst av aktiviteter
Det existerar en del algebraiska aktiviteter i undervisningen bland informanterna. Bland
de intervjuade är det de som studerat på lärarutbildningen mindre än tio år tidigare som
direkt förstår min fråga. De kan genast räkna upp flera aktiviteter och har lätt för att
förklara varför de anser att det är en bra metod. Men alla lärarna säger sig någon gång i
algebraavsnittet bryta med en gruppaktivitet av något slag. Det är endast en lärare som i
år enbart bedriver så kallat traditionell katederundervisning. Han motiverar detta med
sin negativa erfarenhet, eleverna har inte varit vana vid det och mer betraktat det som
lek och studieron i klassrummet har uteblivit.
Begreppet aktivitet definieras av lärarna som en laboration, större
gruppaktivitet eller ett matematikspel. Aktiviteterna bidrar till att elevernas förståelse
blir bättre, det vill säga de har lättare för att se de olika uttrycksformerna i
kursböckernas uppgifter enligt lärarna. De känner inte heller lika stor rädsla för algebran
om de har fått arbeta med det på ett annorlunda sätt, hävdar informanterna. Samtidigt
kan de återkoppla till aktiviteten när de går djupare in i avsnittet. De upplever också att
eleverna tycker lektionerna blir roligare och mer stimulerande när de får frångå
kursboken ibland. De lärare som har undervisat samma grupp i matematik och haft
kontinuerligt varierande undervisning säger att elevernas syn på laborationer och spel är
mer positiv än för de som inte är så vana vid arbetssättet.
23
Källorna till lektionsmaterial är varierande. De lärare med minst
yrkeserfarenhet anger nätet som främsta källa. De söker på varierande sidor, bland annat
Nämnarens hemsida. Skolan prenumererar också på Nämnaren och den läses flitigt för
inspiration enligt lärarna. Två lärare berättar att de gör egna aktiviteter. De tar uppgifter
från boken eller kursprov och gör om till exempelvis söka mönster-aktiviteter.
Lärarhandledningar påstår alla använda för att finna material utöver kursboken, dock
inte den aktuella kursbokens handledning som inte finns på skolan. De två lärarna som
konstruerar egna aktiviteter anger dessutom att de även har material och förslag på
aktiviteter från sin tid på lärarhögskolan.
Lärobok och lärarhandledning
Vid första anblicken har Exponent Gul en mer tilltalande struktur med fyrfärgstryck och
foton till skillnad från Matematik 3000 med enfärgstryck och tecknade bilder. Den är
också mycket tjockare då både A- och B-kursen ingår. Båda böckerna inleder sina
kapitel på liknande sätt. Vart stycke börjar med en förklaring av de matematiska
begreppen följt av lösta exempel. Inledningarna är ofta kontextlösa, Exponent Gul har i
liten grad fler förklaringar som kopplar till verkligheten. Upplevelsen av Matematik
3000 som tyngre är både bokstavligt och bildligt menat, boken har väsentligt fler
uppgifter, ca 30 %. Ingen av böckerna tar upp grafräknare, eller har uppgifter som ska
lösas med hjälp av sådana. Funktionsavsnittet kommer före algebran i båda böckerna.
Exponent Gul
Matematiklärarna har innevarande läsår använt Exponent Gul (Gennow, Gustafsson &
Silborn, 2008), som ska vara anpassad för elever som endast läser kurs B och möjligtvis
C. Algebran kommer efter avsnittet om linjära funktioner och boken börjar med att
repetera förenkling av uttryck. Genomgående i kapitlet finner man övningar av
rutinkaraktär som föregås av ett exempel. Dessa uppgifter utgör 90 % av hela kapitlet.
Avsnitten avslutar med kontextbaserade uppgifter men dock väldigt få, ca 5 %. Dessa är
ibland märkta med en eller två röda pilar vilket betyder att det är extra svåra uppgifter.
Sist i algebrakapitlet visas tre uppgifter under rubriken ”Utmaningar” som enligt
författarna: ”stimulerar din kreativitet och tränar färdigheten att lösa matematiska
problem.” (Gennow m fl.2008) De två första är av aritmetisk karaktär där egentligen
ingen algebra behövs men eleven bör upptäcka ett mönster. I den sista uppgiften får
läsaren en formel med två variabler som beskriver kanonkulor staplade i en pyramid, se
nedan. Här ska tre frågor besvaras varav den sista är av karaktären bevis, metanivå:
24
Kulor i fyrkant
På den tiden kanonkulor var klotrunda brukade de staplas i pyramidform. Om basen i
pyramiden är en rektangel där den långa sidan har m st kulor och den korta sidan n st
kulor blir det totala antalet kulor i pyramiden:
a)
Hur många kulor är det i en pyramid med basen 10 x 8 kulor?
b) Vilken bas har en pyramid som innehåller 2 091 kulor?
c)
Formeln förutsätter att täljaren är delbar med 6. Är den alltid det?
(Gennow m fl 2008, sid 92)
Funktioner av första graden inleder boken. Här förutsätter författarna att
eleven har kunskaper från matematik A-kursen gällande de olika sätt ett samband
mellan två variabler kan presenteras på. Av alla uppgifterna består 56 % av
färdighetsträningsuppgifter, transformerande, utan kontextuellt sammanhang. Hela 30
% av uppgifterna är textuppgifter och i 14 % av uppgifterna förväntas eleven
förklara/undersöka och skriva med ord sin slutsats. Även här avslutas kapitlet med 3
”utmaningar” som kan betraktas som problemlösningsuppgifter.
Modelleringsperspektivet finns inte i boken.
Matematik 3000
I kursboken för Matematik 3000 (Björk, Borg m fl. 2002) är linjära funktioner och
algebra uppdelat i ett kapitel var. Algebrakapitlet innehåller även ekvationer och
funktioner av andra graden. Uppgifterna består mestadels av karaktären transformerande
och genererande. Uppgifterna är angivna i svårighetsgrader kopplade till betygsnivåer.
Det vill säga C-uppgifterna ska motsvara MVG-nivå. Dessa är av karaktären
Global/Metanivå då de kräver mer tankearbete av eleven. Vad gäller andra perspektiv
förutom funktionsperspektivet, finner man till största delen generaliseringsperspektivet.
Sist i vart kapitel återfinns en sida med rubriken ”Problemlösning” med 5 – 9 uppgifter.
Några av dessa uppgifter är av transformerande karaktär, eleven ska förenkla eller
beräkna ett komplicerat algebraiskt uttryck. Modelleringsperspektivet återfinns inte alls
i någon uppgift.
Lärarhandledningen till Exponent Gul har inte inköpts i samband med
kursböckerna, därför är den inte redovisad här. Istället har jag studerat Matematik 3000
kurs B. I den finns det flera förslag på aktiviteter. Författarna anger när dessa anses
lämpliga att utföra.
25
Första aktiviteten är en sida med påståenden där eleven ska avgöra om det
är sant eller falskt. Handledningen förklarar att aktiviteten ska hjälpa eleven att
reflektera över sina erfarenheter om uttryck, ekvationer och funktioner av första och
andra graden. Syftet är att argumentera tillsammans med en kamrat och på så vis träna
på att uttrycka sig matematiskt. Denna aktivitet är av genererande karaktär.
I lärarhandledningen finns också en laboration av metanivåkaraktär där
eleven ska undersöka rektanglar med olika area men samma omkrets. Syftet med
laborationen är att komma fram till en generell funktion som beskriver arean som
funktion av basen. Här tränar eleven på att ställa upp, tolka en matematisk modell.
Sista aktiviteten är ett spel, en variant av algebrakapplöpning. Den
rekommenderas som avslutande aktivitet på avsnittet. Spelet består av tre ronder där den
eleven med högsta summan på sina uttryck vinner de två första och den med minst
summa vinner den sista ronden.
Diskussion
Från min lärarutbildning har jag fått mycket inspiration och material till att utveckla en
varierad undervisning. Min litteraturstudie har dessutom bekräftat betydelsen av att
arbeta med olika metoder i matematik och särskilt då algebra. De empiriska
undersökningarna jag har tagit del av förstärker min uppfattning om vikten av att
bedriva en konceptuell undervisning där eleven får möta olika arbetssätt. Jag har samma
erfarenheter som de lärarna jag intervjuat vad gäller elevers svårigheter för algebra. Att
med hjälp av matematiksidor på nätet och tillgänglig forskning ta del av nya metoder
och angreppssätt bör vara naturligt för varje lärare anser jag. Denna studie visar att det
förekommer algebraiska aktiviteter på gymnasiets samhällsprogram enligt lärarna.
Trovärdighet
Min uppfattning om studiens största brist är att den är genomförd på en enda skola. Det
är omöjligt att dra några säkra slutsatser om förekomsten av aktiviteter i
algebraundervisningen generellt. Jag hävdar dock att lärarna jag intervjuat till stor del
representerar kategorin matematiklärare på gymnasieskolor. De fem informanterna
representerade alla ålderskategorier, från 30 – 65 år. Deras yrkeserfarenhet hade också
en stor bredd, men allt från några års yrkesutförande till 40 år. Så en viss bredd i urvalet
vill jag ändå påstå fanns. Dock ska tilläggas att om jag genomfört undersökningen på en
annan skola i södra Sverige är det mycket möjligt att resultatet hade sett annorlunda ut.
26
Därför måste reliabiliteten också ifrågasättas. Den metod som studien borde
kompletterats med är observationer. Detta har jag inte genomfört då algebraavsnittet
läses på höstterminen. Jag är ganska säker på att lärarna har svarat sanningsenligt, men
en viss reservation måste ändå betonas. Det är inte säkert att de har algebraiska
aktiviteter med sina elever i den omfattning som påstås i intervjuerna. Eftersom jag inte
har kontrollerat detta med elever kan jag inte säkerställa reliabiliteten. Efter att ha varit
lärarkandidat på skolan innevarande termin och besökt flertalet lektioner kan jag dock
bekräfta att jag sett en del aktiviteter i geometriavsnittet.
Undersökningen är av intresse inte bara för mig, utan även för min
partnerskola som aktivt arbetar för att förbättra matematikundervisningen. Den yttre
validiteten är således god även om den kanske inte kan bidra så mycket i andra
sammanhang utöver den aktuella skolan.
Förekomst av algebraiska aktiviteter på Samhällsprogrammet
Innan jag började med mitt arbete var min outtalade hypotes att det inte skulle
förekomma några algebraiska aktiviteter i undervisningen. Största anledningen till detta
var min egen erfarenhet från tidigare praktik på skolan. Även diskussioner bland mina
kursdeltagare från lärarhögskolan bekräftade att den vanligaste undervisningen i
matematik på gymnasieskolor bestod av traditionell katederundervisning, vilket också
bekräftas av gjorda studier (Skolverket, 2003). Men det har visat sig att så inte riktigt är
fallet. Min slutsats är att lärare med färskare utbildning i bagaget kan vara mer benägna
att variera sin undervisning. Det är också de som flitigast söker efter nya aktiviteter och
angreppsätt i algebra. De lärare som använder algebraiska aktiviteter av någon form
anger inte direkt motiveringen utifrån aktuell forskning eller lärandeteorier.
De aktiviteter som informanterna berättat om är bland annat
algebrakapplöpning, laboration om studshöjd och mönsterlaboration (exempelvis lägga
tändstickor i mönster för att komma fram till ett generellt uttryck för figurerna). Dessa
tillhör kategorierna transformerande och metanivå. Alla fyra perspektiven är
presenterade förutom modelleringsperspektivet. Min första kontakt med
modelleringsperspektivet var i kursen Didaktisk forskning på lärarutbildningen där jag
läste om ”Matematiska morgnar” (Blomhøj, 2006) och blev mycket inspirerad. Om man
ska leda eleverna mot en både strukturell och konceptuell förståelse för algebra är det
kanske nödvändigt att även låta eleverna möta den fjärde vägen mot algebra?
27
Styrdokumenten ger inga direktiv hur undervisningen ska bedrivas. I
kursplanen för matematik, Ämnets syfte, (Skolverket, 2008b) kan man läsa att ”…
eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att
lösa problem…”. Min åsikt är att om eleven ska ha möjlighet att få utveckla sin
matematiska kreativitet måste denne också då få möjlighet att vara kreativ.
Algebraiska aktiviteter i lärobok och lärarhandledning
Om man bara tar läroboken och handledningen blir det ingen variation i undervisningen
då det inte förekommer speciellt mycket aktiviteter. En undervisning baserad endast på
läroboken mynnar ut i en torftig uppfattning om vad matematik är. Eleven får en
procedurell inställning till vad ämnet står för och begrepp blir inte accepterat på ett
djupare plan utan endast instrumentellt inlärt (Skolverket, 2007). Detta visar sig då att
eleven inte kan följa hela den algebraiska cykeln och får svårigheter med att hantera
algebran, något som även min studie indikerar. Slutsatsen är att en undervisning där
aktiviteter är vanligt förekommande kan bidra till att ge elever mer lust att lära och även
en syn på algebran som både objekt- och processinriktad. Min undersökning antyder att
elever som är vana vid att arbeta med matematik på olika sätt också är mer positivt
inställda att frångå enskild räkning som enda aktivitet. Detta bekräftas också av andra
undersökningar (Persson 2010).
Jag vill inte påstå att läroböcker i matematik har några stora brister
egentligen. De läroböcker jag hittills stött på är mycket snarlika i sitt upplägg men de är
anpassade efter gällande kursplaner (Jakobsson-Åhl, 2006). En studie av Helmertz
(2007) som jämfört svenska och japanska läroböcker visar att läroboken styr
undervisningen även där, men bokens upplägg varierar stort från den svenska. Där finns
färre övningsuppgifter men istället förekommer det undersökande problem och
bevisföring. Detta är kanske något som läroboksförfattarna borde sätta mer fokus på.
Lärarnas uppfattning om algebraiska aktiviteter i undervisningen
De lärare som påstår sig använda laborationer eller spel för att variera sin undervisning
anger motiveringen att de upplever att elevernas inlärning underlättas. En lärare menar
att när eleverna blir mer engagerade och tar aktiv del i undervisningen blir det en mer
positiv stämning i klassrummet. Hon menar vidare att samhällselever generellt sett har
ett stort motstånd till matematik och aktiviteter tar bort rädslan för algebra som något
28
svårt och obegripligt. En enda lärare använder inte alls aktiviteter. Hans motivering är
att eleverna inte tycker det är matematik att spela spel, eller lösa problem utanför
kursboken.
Lärares fortbildning
Alla lärare är väl medvetna om elevers svårigheter med att förstå bokstavsräkning, men
det verkar som att det är svårt att förändra en sedan länge invand föreställning om bästa
undervisningsmetoden. Enligt Phekonen (2001) kan en lärare få direktiv utifrån,
exempelvis reviderade kursplaner, som ändå inte påverkar lärarens föreställning om hur
undervisning bör bedrivas. Han hävdar att eftersom en föreställning inte nödvändigtvis
behöver vara saklig är det tvunget med en störning för att ändra den subjektiva
föreställningen som kan påverka till en mer varierad undervisningspraxis.
Fortbildning är både skolans och lärarens ansvar. Skollagen ger
kommunerna och landsting uppdraget att se till att detta sker, men det är också lärarens
personliga ansvar att hålla sina kunskaper uppdaterade och där det är nödvändigt
komplettera sin utbildning. Ordet fortbildning är numera ändrad till
kompetensutveckling, som inbegriper allt från ämnesfördjupning till
arbetslagsutveckling och verksamhetsutveckling (NCM, 2001). Det finns inga
lagstadgade antal dagar avsatta för detta, det är upp till var skola att organisera tiden.
En lärare arbetar alltså på regeringsuppdrag men är anställd av kommunen. Här kan jag
se en konflikt mellan intentioner för svensk undervisning och genomförbarheten. För
lärare på kommunala skolor är det små summor som avsätts till fortbildning. Oftast har
inte matematiklärarna möjlighet att besöka exempelvis matematikbiennaler eller läsa
kurser med nedsatt tjänstefördelning på grund av skolornas bristande ekonomiska
resurser. Många lärare jag pratat med uttrycker också en oro för ökande
undervisningstid då mindre tid blir över för utvecklande av den egna undervisningen
och uppdatering av forskning och rapporter. Persson (2010) menar att det sker
förändringar i samhället som medför förändring i undervisningsstrategier och att
yrkesverksamma lärare behöver kontinuerlig fortbildning:
Eftersom samhället förändras och utvecklas, måste undervisningen följa med. Detta
kräver förstås att man som lärare både är medveten om detta och har beredskap att
anpassa sin undervisning, och det i sin tur är avhängigt av vilka kunskaper man har och
vilka möjligheter man har att utveckla dem.
(Persson, 2010, sid 8)
29
Skolan som ingick i min studie hade nivågrupperat klasserna. Ett försök
att komma tillrätta med de dåliga resultaten var att genom nivågruppering underlätta för
lärarna att anpassa undervisningen och även arbeta med färre elever i klasserna. Enligt
Skolverket (2007) är nivågruppering i matematikämnet vanligt på skolorna, men det
finns ingen forskning som visar att detta är en bra metod. Istället är det undervisningens
innehåll och utformning som är de viktigaste faktorerna. Snarare utgör nivågruppering
en svårighet för eleven att sträva mot bättre resultat då denna redan blivit ”dömd på
förhand”. Är man placerad i G-gruppen är det väl mot det betyget man ska sträva? Vid
mina intervjuer framkom det inte att någon särskilt anpassad undervisning bedrevs i
klasserna. Jag hävdar att det borde varit en större tanke bakom nivågruppering än att
underlätta för läraren att få eleverna godkända. Matematikundervisning i Ostasiatiska
länder utgår från en konceptuell undervisning (Skolverket 2007). Det betyder att
eleverna utgår från ett problem som kan lösas på olika sätt och arbetar med detta både i
grupp och individuellt. De redovisar alla olika lösningar på skrivtavlan och läraren för
en dialog med eleverna om resultatet. Mycket av lärarnas planeringstid används också
för att utveckla nya problem med flera lösningar.
Konsekvenser för mitt framtida yrkesutövande
Efter att ha forskat om algebra och aktiviteter är jag benägen att påstå att det är en
möjlig väg för att öka begreppsförståelsen hos eleverna. Jag tror att man bör ha fokus på
alla de fyra vägarna (Persson, 2010) mot algebran. Problemlösningsmetoden är väl
dokumenterad som främjande av effektiva tankemönster och matematisk
kommunikation. Bland annat visar Björkqvist (2001) på att Japanska elever, som möter
en problembaserad undervisning, starkt utvecklar dessa kompetenser.
Tidigt införande av räknare på grundskolan, som ses som ett problem av
någon lärare, är inte vetenskapligt bevisat. Tvärtom har jag funnit ett motsatt påstående
av Björkqvist (2001). Han säger att grundskoleelever som använder räknare utvecklar
sin talförståelse. De utvecklar förmåga att välja rätt räkneoperationer, bedöma tals
storleksordning och välja relevant information i textuppgifter. Räknare på gymnasiets
matematikkurser, då särkilt grafräknare, hjälper eleven att förstå algebran ur ett
funktionsperspektiv. Persson (2010) drar i sin studie slutsatsen att användandet av
teknologiska verktyg (grafräknare, dator) bidrar till att eleven utvecklar en djupare
30
konceptuell förståelse av algebra, både som uttryck och funktioner. Han menar också att
en bättre algebraundervisning inbegriper många olika arbetssätt och metoder.
Dessutom visar Perssons studie att elevens förkunskaper inte är den
avgörande faktorn för hur eleven lyckas med gymnasiematematiken. De affektiva
faktorerna visar sig vara av större betydelse, eleven måste vara motiverad att lära sig
algebra, först då är det möjligt (ibid.). Holden (2001) påpekar också detta, matematiken
måste vara motiverande för eleven att lära sig. Hon påstår att läraren påverkar ämnet
och eleverna genom sin inställning till dessa. Läraren som uttrycker glädje och
entusiasm är tillsammans med arbetssättet den viktigaste faktorn som kan bidra till
elevens lust att lära. Detta är bara en av de viktiga kunskaper jag tar med tillförsikt tar
mig ut i arbetslivet.
31
Referenslista
Arcavi, Abraham (1994). Symbol Sense: Informal Sense-making in Formal
Mathematics. For the learning of Mathematics, 14, 3, (sid. 24 – 35).
Bell, Alan (1996). Algebraic thought and the role of a manipulable symbolic language. I
Nadine, Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.
Perspectives for Research and Teaching. (sid167-187). Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers
Bergsten, Christer, Häggström, Johan & Lindberg, Lisbeth (2004), Algebra för alla.
Nämnaren – Tema, Göteborg, Göteborgs universitet.
Björk, Lars-Eric, Borg, Kenneth, Brolin, Hans, Ekstig, Kerstin, Heikne, Hans &
Larsson, Krister (2002). Matematik 3000. Kurs A och B. Samhällsvetare och esteter.
Falköping: Natur och Kultur.
Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I Barbro Grevholm (red.),
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. (sid 115-130). Lund: Studentlitteratur.
Blomhøj, Morten (2006). Matematisk modellering. I Jesper Boesen (red.), Lära och
undervisa – internationella perspektiv (sid. 81-94). Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Charbonneau, Louis (1996). Historical perspectives in the development of algebra. I
Nadine Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.
Perspectives for Research and Teaching. (sid15-38). Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers
Gennow, Susanne, Gustafsson, Ing-Marie & Silborn Bo (2008). Exponent B Gul.
Matematik för gymnasieskolan. Malmö: Gleerups.
Helmertz, Tomoko (2007). Problemlösning – En jämförelse mellan svensk och japansk
undervisning. Lärarexamensuppsats. Malmö: Malmö Högskola
32
Holden, Ingvill M (2001). Matematiken blir rolig – genom ett viktigt samspel mellan
inre och yttre motivation. I Barbro Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt
perspektiv (sid. 160 - 181). Lund: Studentlitteratur.
Jakobsson-Åhl, Teresia (2006). Algebra in upper secondary mathematics: A study of
textbooks used in the years 1960-2000 in Sweden. Licentiatavhandling,
2006:33. Luleå: Matematikinstitutionen, Luleå tekniska universitet.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen.
Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Mason, John (1996). Expressing generality and roots of algebra. Nadine Bednarz,
Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research
and Teaching. (sid 65-87). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers
Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, (2001). Hög tid för matematik.
Göteborg: Göteborgs universitet.
Olsson, Stig (1994). Aktiv och konkret matematik i Gymnasiet. Bromma: Ekelunds
förlag AB
Oltenau, Constanta (2000). Varför är skolalgebran svår? (Tsunami, nr 2) Högskolan
Kristianstad, Institutionen för matematik och naturvetenskap, Kristianstad
Pehkonen, Erkki (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i
matematikundervisningen. I Barbro Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt
perspektiv (pp.230-256). Lund: Studentlitteratur.
Persson, Per-Eskil (2010). Räkna med bokstäver! En longitudell studie av vägar till en
förbättrad algebraundervisning på gymnasienivå. Doktorsavhandling. Luleå tekniska
universitet, Institutionen för matematik, Luleå.
33
Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2005). Matematikverkstad. Göteborg: Göteborgs
universitet.
Skolverket (2008a). Kursplan för ämnet matematik. Hämtat från
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0910&infotyp=8&skolform=
21&id=MA&extraId=. Hämtat 21 maj 2010.
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr
221. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
Skolverket (2008b). Ma 1202 – Matematik B, Mål att uppnå. Hämtat från
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0910&infotyp=5&skolform=
21&id=3209&extraId=. Hämtat 21 maj 2010.
Skolverket (2008c). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMMS 2007. En
jämförande analys av elevernas taluppfattning och kunskaper i aritmetik, geometri och
algebra i Sverige, Hong Kong och Taiwan. Analysrapport till 323. Stockholm:
Skolverket/Fritzes
Wheeler, David (1996). Backwards and forwards: reflections on different approaches to
algebra. I Nadine Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.
Perspectives for Research and Teaching. (sid317-327). Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers
34
Bilaga 1
Algebrakapplöpning
35
Bilaga 2
Perspektiv
Kategori
Generalisering
Funktion
Genererande
Transformerande
Global/Metanivå
36
Problemlösning
Modellering
Bilaga 3
Intervjumall
Lärare






Hur undersöker du elevers förkunskaper om algebra?
Hur introducerar du området algebra?
Vad anser du att eleverna har svårast för? Varför tror du det är så?
Använder du dig av några aktiviteter i undervisningen? Varför/varför inte?
Vilka aktiviteter använder du dig av i undervisningen?
Var anser du är bäst att skaffa lektionsmaterial (annat material än läroboken) om
algebra?
37