Formelsamling
TFYA16
Mekanik TB
En vektor:
r
a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ
a = a = ax + a y + az
2
2
Skalär produkt
iˆ •iˆ = 1
iˆ • ˆj = 0
iˆ = ˆj = kˆ = 1
2
r r
C = A • B = A ⋅ B ⋅ cos Φ
r
r
där Φ är vinkeln mellan A och B
Vektorprodukt (kryss produkt)
C = c x iˆ + c y ˆj + c z kˆ
r
r r
C = C = A × B = AB sin Φ
r r r
C = A× B
C = C = cx + c y + cz
2
r
C
2
r
B
2
Φr
A
r
r
Där A = A , B = B och Φ är vinkeln mellan vektorerna.
2
r
r
r
∆r dr
=
= vxiˆ + v y ˆj + vz kˆ
v = lim
∆t →0 ∆t
dt
• Hastighet
vx =
dx
dt
Konstant acceleration 1D
x − x0 =
dy
dt
vz =
dz
dt
r
r
r
∆v d v
a = lim
=
= a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ
∆t → 0 ∆t
dt
• Acceleration
x − x0 = vo t +
vy =
1 2
at
2
v = vo + at
v 2 = v o + 2a ( x − x 0 )
2
1
(v0 + v )t
2
x − x 0 = vt −
1 2
at
2
3
Projektilbanor
v x = v0 x = v 0 cos θ 0
∆x = x1 − x0 = vx t =v 0 cos θ 0 ⋅ t
v y = v0 y − gt = v 0 sinθ 0− gt
y ( x) = (tan θ 0 ) x −
∆y = y − y0 = v0 y t −
g
x2
2
2(v 0 cos θ 0 )
1 2
1
gt = (v0 sin θ 0 )t − gt 2
2
2
Kastparabel.
Uniform cirkulär rörelse
r
v2
2
2
där a = a = a x + a y =
,
r
T=
2πr
v
centripetalacceleration.
Periodtid
4
r
r
Newtons II lag Fnet = ma
r
r
Fg = mg tyngdkraften
friktionskraften
r
r
Newtons III lag FAB = − FBA
µ s är den statiska friktionskoefficienten
f s ,max = µ s FN
FN är normalkraften
f k = µ k FN = konstant µ k
D=
Dragkraften för kroppar i luft
C = dragkoefficient
är den kinetiska friktionskoefficienten
1
C ρ Av 2
2
sluthastigheten (terminal speed)
ρ = densiteten för luft [kg / m 3 ]
[ ]
A = Effektiv area m 2
v = farten [m / s ]
( Arean vinkelrätt mot v )
vt =
2 ∗ Fg
C∗ρ∗A
5
Fcent
v2
v2
= ma = a = = m ∗
r
r
Arbete
Centripetalkraft
r r
W = Fs cos θ = F ⋅ s
B
r r
W ( A → B) = ∫ F ⋅ dr
A
xf
W ( xi → x f ) =
∫ F ( x )dx
Arbete i 3D vid
varierande kraft F
Arbete i en dimension vid
varierande kraft.
xi
mv 2
K=
2
Kinetisk rörelseenergi
Arbete – kinetisk energi teoremet
∆K = K f − K i = Wnet
6
r
fjäderkraften F f = − k (l − l0 )iˆ = − kxiˆ Hooks lag
k 2
Fjäderns arbete W fjäder (l ) = − l
2
P=
dW
dt
Momentan effekt
U ( y ) = mgy
U ( x) =
Gravitationspotentiell energi
k 2
x
2
Elastisk potentiell energi
K1+ U1=U2+ K2
Konservering av mekanisk energi
för ett isolerat system med endast konservativa krafter
F ( x) = −
dU
dx
E mek = U (x)
Om
där dU ( x ) = 0 så har vi ett jämviktsläge.
dx
7
r
r
r
r
m1r1 + m2 r2 + ... + mn rn
1
rcom =
=
m1 + m2 + ... + mn
M
n
r
∑m r
i =1
i i
riktningsvektorn till
masscentrum (com)
Masscentrum för en fast kropp
xcom =
1
M
∫ xdm
y com =
1
M
∫ ydm
z com =
1
M
∫ zdm
n
r
r
Newtons II lag för system av Macom = ∑ mi ai
i =1
partiklar
Rörelsemängd (linear momentum)
r
dp r
= Fnet
dt
r
r
Fnet = Macom
r
r
p = mv
(Newton II lag)
Rörelsemängden hos
r ett system av partiklar.
dP r
= Fnet (Newton II lag)
dt
r
r
P = Mvcom
8
Om inga externa krafter verkar på systemet är rörelsemängden konstant,
r r
Pi = Pf
konservering av rörelsemängd
r
r
r
r
m1v1i + m2 v2 i = m1v1 f + m2 v2 f
Inelastisk stöt i 1D
Rörelsemängden bevaras, men ej kinetisk energi:
Elastisk stöt i 1D
Både rörelsemängd och kinetisk energi är bevarad.
r
r
r
r
m1v1i + m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f
m1v 12i
2
+
m2 v 22 i
2
=
m1v 12f
2
+
m2 v 22 f
2
Reducerad massa
tf
r
r r
∆p = J = ∫ F (t )dt
Ma = Rv rel Första raketekvationen
v f − vi = vrel ln
∆t → 0
∆θ dθ
=
∆t
dt
T=
2π
ω
=
m1 ⋅ m2
m1 + m2
Impuls
ti
ω = lim
µ =
Mi
Mf
Andra raketekvationen
9
vinkelhastighet
1
f
ω = 2πf
Vid konstant
vinkelacceleration:
α = lim
∆t → 0
T - periodtiden och f - frekvensen.
ω 2 = ω 0 2 + 2α (θ − θ 0 )
ω = ω0 + α t
1
2
1
2
θ − θ 0 = (ω0 + ω )t
θ − θ 0 = ω0t + αt 2
1
2
θ − θ 0 = ωt − α t 2
Periferihastigheten
ds dθ
=
r = ωr
dt dt
Den tangentiella accelerationen
v=
Den radiella accelerationen
I = ∫ r 2 dm
∆ω dω
vinkelacceleration
=
∆t
dt
at =
dv dω
=
rt = αr
dt
dt
ar =
v2
= ω 2r
r
kroppens tröghetsmoment
10
Tröghetsmoment då rotationsaxeln går genom kroppens masscentrum
11
I = I COM + Mh 2
Steiners sats, parallell-axel teorem
Vridmoment (Kraftmoment, torque)
r
r
r
τ = Ft r = F sin φr = F r⊥
r
r
r
r
r
τ = r ×F
r⊥
är momentarm
r
τ net = ∑τ i = ∑ ri × Fi
n
n
Newtons II lag för rotation
Arbete-Kinetisk energi teoremet:
Effekten
P=
τ = Iα
W = ∆K =
dW τ dθ
=
= τω
dt
dt
1 2
1
Iω f − Iω 2 i
2
2
12
Rullning är rotation + en förflyttning av hjulet.
dv
dω
= Rα
acom = com = R
dt
1
1
2
K = I comω 2 + Mvcom
2
2
dt
Kinetisk energi
Rörelsemängdsmoment
r
Newton II lag τ net
r
dL r
= τ net
dt
r
dl
=
dt
r r r
r r
l = r × p = m( r × v )
r
r r
r
l = l = m r v sin φ = m v r⊥
(system av partiklar)
Lz = Iω
Rörelsemängd för stel kropp runt fix axel
r r
Li = L f
Krav för jämvikt:
F
∆L
=E
A
L
F
∆x
=G
A
L
∆V
V
konservering av rörelsemängdsmoment
för isolerat system
13
Fnet , x = 0,
r
r
dP
Fnet =
=0
dt
Fnet , y = 0
Fnet , z = 0
τ net , x = 0,
τ net , y = 0
r
P = konstant
Balanserade krafter
Balanserade moment
p=B
vcom = Rω
För drag eller
elasticitetsmodul
τ net , z = 0
tryckspänningar
är
E Young’s
För skjuvspänningar kallas G elasticitetsmodulen
skjuvmodul (Shear modulus).
Tryck, elasticitetsmodulen B kallas
kompressionsmodul (bulk modulus).
14
Newtons gravitationslag
r
M
ag
ag = G 2
r
v2
g = ag − = ag − ω 2 R
R
F= G
m1 m2
− 11
2
Nm /kg
2
r
= gravitationsaccelerationen
Acceleration vid fritt fall = gravitionell
acceleration - centripetal acceleration.
U ( R) = −
Gravitationspotentiella energin
dA
L
=
= Konst
dt 2m
Keplers II lag
G= 6.67x10
2
GMm
R
A- är arean som överfars av planeten,
L är rörelsemängdsmomentet
Keplers III lag
T 2 4π 2
=
r 3 MG
E=−
r är en planets medelavstånd från solen, T är
omloppstid
GMm
2a
Energi för en satellit i en elliptisk bana
a är semimajoraxeln
Fluid i vila
15
p = p 0 + gρh
trycket på djupet h:
ρ är densiteten av fluid.
Kvicksilverbarometern
Pascals princip
F F
A
∆p = i = 0 → F0 = Fi 0
Ai A0
Ai
p0 = gρh
Fb = gρV
Fb = m fluid g
Kontinuitetsekvation
volymflöde:
Rv = Av = Konst
Bernoulli´s ekvation
höjden på kvicksilver i rören
Om kraften Fi trycker på arean Ai vid A så
kommer en uppåtriktad kraft F0 att bildas vid
B.
Flytkraft (Buoyant force)
Archimedes princip
h är
p1 +
ρv
2
Rv =
∆V Av∆t
=
= Av
∆t
∆t
A är tvärsnittsarean
2
1
+ ρ gy 1 = p 2 +
ρv 22
2
+ ρ gy 2
16
x(t ) = xm cos(ωt + φ )
xm
=amplitud
ω
Enkel harmonisk svängning (EHS)
φ
= vinkelfrekvens
ω=
Man relaterar vinkelfrekvensen till
periodtiden (T) och frekvensen (f)
= fasvinkel
2π
= 2π f
T
v(t ) = −ωxm sin(ωt + φ )
a(t ) = −ω xm cos(ωt + φ ) = −ω 2 x(t )
Hastigheten för en partikel som rör sig med EHS
och accelerationen
2
vm = ω xm Hastighetsamplituden
am = ω 2 xm Accelerationsamplituden
1 2 1 2
kx = kx m cos 2 (ωt + φ )
2
2
1 2 1 k 2
K = mv = m xm sin 2 (ωt + φ )
U=
Potentiell energi hos EHS:
Kinetisk energi hos EHS :
2
2
m
Mekanisk energi hos EHS :
E mek = U + K =
[
]
1 2
1
kx m cos 2 (ωt + φ ) + sin 2 (ωt + φ ) = kx m2
2
2
17
Vridmomentet kan relateras till pendelns
tröghetsmoment, I (Newton II lag) :
Pendel rörelse
− Lmg sin θ = Iα
där α är vinkelacceleration.
För små vinklar är
τ ≈ −(Lmg )θ
sin θ ≈ θ
I
T = 2π
hmg
Periodtid pendel, små svängningar
− hmg
x(t ) = xm cos(ωt + φ ) ↔ θ (t ) = θ m cos(ωt + φ )
a = −ω 2 x ↔ α =
θ
I
b är dämpkonstanten.
Fd = −bv
Dämpkraft
Newton II lag för dämpad harmonisk rörelse
dx 2
dx
− kx − bv = ma → m 2 + b + kx = 0
dt
dt
bt
x (t ) = xm e
−
2m
cos(ω´+φ )
ω′ =
k
b2
−
m 4m 2
Den totala mekaniska energin för en dämpad rörelse är
bt
−
1
E mek (t ) ≈ kx m2 e m
2
18
