Fö4 Arbete och energi

Arbete och energi
Om en kraft flyttar ett föremål sträckan s i kraftens riktning är arbetet W:
W=Fs
med enhet [Nm] = [kg m2 s -2] = [J] (Joule)
Om kraften är konstant men bildar vinkeln q med
rörelsevektorn s :
W = F s cos q = F  s (skalärprodukt)
mg
Krafter som är vinkelräta mot förflyttningen gör
alltså inget arbete.
Exempel: 1
1
Arbete vid kurvlinjär rörelse
Arbetet när partikeln rör sig sträckan dr (vektor)
d𝑊 = 𝑭 ∙ d𝒓 = 𝑭 𝒅𝒓 cos 𝜽
eftersom 𝒅𝒓 = 𝒅𝒔 blir d𝑊 = 𝑭𝒅𝒔 cos 𝜽
eftersom 𝑭 cos 𝜽 = 𝑭𝑻 erhålls d𝑊 = 𝑭𝑻 𝒅𝒔
där 𝑭𝑻 är kraften i tangentens riktning
W  F1  dr1  F2  dr2  F3  dr3  ...   Fi  dri
i
B
B
B
A
A
A
W   F  dr   dW   FT ds
2
Effekt
Om arbetet W uträttas under tiden Dt är medeleffekten: Pmedel = W / Dt
P = dW/dt (momentan effekt eller bara effekt)
Eftersom dW = F  dr erhålls P = F  dr / dt = F  v
Enheter för arbete (energi) och effekt:
W = F s ger direkt att W har enheten [kgm2s-2] = [J] (Joule)
Då P = dW/dt har P enheten [J/s] = [W] Watt
Med denna definition kan [J] även uttryckas [Ws]
Energienheter utanför SI systemet:
eV (elektronvolt), Energin en enhetsladdning erhåller om den accelereras
genom en potentialskillnad av 1 V (1.602 x 10-19 J)
kcal (kilokalori) ,Energi som krävs för att öka temperaturen hos 1 kg vatten från
14.5 oC till 15.5 oC vid 1 atm. (4186.8 J)
Effektenhet utanför SI systemet:
hk (hästkraft), Den effekt som åtgår för att lyfta 75 kg 1 m på 1 s (736 W)
Exempel: 2
3
Kinetisk energi (rörelseenergi)
Betrakta arbetet när en partikel rör sig sträckan ds längs
en godtycklig kurva. Arbetet dW ges av:
dW = FT ds
Newton II ger:
FT  m
Integrera:
B
dv
dv ds
dv
m
 mv
dt
ds dt
ds
B
B
dv
1
1
W   FT ds   mv ds   mvdv  mvB2 - mvA2
ds
2
2
A
A
A
Det arbete som kraften F gjort på partikeln under sträckan A - B är alltså skillnaden i
kvantiteten mv2/2. Vi kallar mv2/2 för partikelns kinetiska energi Ek
Ek = mv2/2
"Arbetet en kraft gör på en partikel är lika med förändringen i kinetisk energi“
W = DEk
Gäller alltid!
Exempel: 3
4
Arbete av konstant kraft
B
B
A
A
W   F  dr  F   dr  F  (rB - rA )
För en konstant kraft är det uträttade arbetet
oberoende av vägen, och ges av:
W  F  (rB - rA )
rA  hyˆ , rB  bxˆ, F  -mgyˆ
W  -mgyˆ  (bxˆ - hyˆ )  mgh
Ex. Hur stort arbete uträttar tyngdkraften?
Exempel: 4,5
5