Potentiellenergi, kinetisk energi och arbete, kapitel 7-8 Arbete Om en kraft flyttar ett föremål sträckan s i kraftens riktning är arbetet W: W Fs Om kraften är konstant men bildar vinkeln med rörelsevektorn s : W Fs cos F s (Skalärprodukt) Krafter vinkelräta mot förflyttningen för alltså inget arbete, se nedan. Abete som tillförs ett objekt är positivt och arbete som tas ifrån objektet är negativt. Föreläsning 5 Kp 7-8, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Arbete vid rörelse längs en bana Arbete när partikeln rör sig sträckan A till B, dr (vektor) så gäller dW F dr där F Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ och dr dxxˆ dyyˆ dzzˆ Vidare vet vi att ds dr , detta ger att dW F dr Fds cos Vi vet också att FT F cos vilket ger att dW FT ds , där index T avser på den tangentiellt riktade kraften. W F1 dr1 F2 dr2 F3 dr3 F4 dr4 ... Fi dri i Vilket kan skrivas som B B A A W Fdr FT ds Föreläsning 5 Kp 7-8, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Kinetisk energi (rörelseenergi) Kinetisk energi är relaterad till ett objekts rörelse. Högre hastighet resulterar i högre kinetisk energi och motsatt, om objektet står stilla så är den kinetiska energin noll. Betrakta arbetet när en partikel rör sig sträckan ds längs en godtycklig kurva. Arbetet dW ges som vi vet av dW FT ds N II lag ger: FT ma m dv dt Kombinera dessa två ekvationer ger dW m dv ds ds m dv mvdv dt dt Genom att integrera denna ekvation från position A till position B så erhåller vi: B B A A W dW mvdv 1 2 1 2 mvB mv A 2 2 Det arbete som kraften F har gjort på partikeln under sträckan A till B är alltså skillnaden i 2 kinetisk energi. Vi kallar mv för partikelns kinetiska energi Ek. Man kan också skriva om 2 mv 2 p2 p mv detta som Ek , där p är rörelsemängdsmomentet (kommer senare). 2 2m Arbetet en kraft gör på en partikel är lika med förändringen i kinetisk energi, GÄLLER ALLTID. Föreläsning 5 Kp 7-8, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Arbete som utförs av gravitationskraften Det arbete som gravitationskraften utförs skrivs som Wg Fg cos d mgd cos Då 00 är Wg mgd och arbetet som utförs är positivt. Sammanfattningsvis så utförs ett positivt arbete då objektet förflyttas mot jordens centrum och ett negativt arbete då kroppen förflyttas ifrån jorden centrum. Arbete – Kinetisk Energi Låt K vara förändringen av kinetisk energi, låt W vara netto arbetet som utförs på systemet. Då gäller K K f Ki W Där Kf och Ki är den kinetiska energin efter (f=final) och före (i=initial) förändringen. Fjädrar och dess arbete Fex i A B l0 l x För att kunna stäcka ut en fjäder med längden l0, som befinner sig i vila, till längden l behöver man tillföra en kraft Fex k (l l0 ) xˆ , där k kallas för fjäderkonstant [N/m]. Den kraft som fjädern verkar på m och är motriktad Fex kallas för fjäderkraften och beskrivs av Ff k (l l0 ) xˆ kxxˆ Denna ekvation kallas för Hooke’s lag. Observera att kraften är negativ då vi drar ut fjädern och positiv då vid trycker ihop den, med ovanstående val av riktning på axeln x. Vad är då arbetet som uträttas av fjädern då man drar ut den från l0 till l ? Föreläsning 5 Kp 7-8, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg l l l k W fjäder dW Fdx kxdx k xdx ( xl2 xl20 ) 2 l0 l0 l0 Om l=0 så gäller att W fjäder k 2 xl 2 0 Effekt Om arbetet som uträttas under tiden t är medeleffekten Pmedel Momentaneffekt P W t dW dt Man kan också skriva P dW F cos dx dx F cos Fv cos vilket kan skrivas dt dt dt som PF v Sorter för arbete (energi) och effekt W [J] Joule [kgm2s-2] P [W] Watt [J/s] Andra vanliga energier (dock ej SI enheter) är kcal (kilokalorier) Energi som krävs för att öka temperaturen hos 1 kg vatten från 14.5 grader till 15.5 grader vid 1 atm (4186,8J) 1 hk (hästkraft) Den effekt som krävs för att lyfta 75 kg 1 m på 1 s (736 W). Föreläsning 5 Kp 7-8, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg