Ovningar om uppräknelighet och kardinalitet

UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Inger Sigstam
Övningar
Algebra 1
Övningar om uppräknelighet och kardinalitet
1. Betrakta mängderna A = {0, 1, 2, 3} och B = {x ∈ R : x4 −5x3 +4x2 = 0 }. Kardinaltalet
för mängden A skrivs |A|. Bestäm |A ∪ B| och |A| + |B|.
2. Visa att |N| = |{(a, b ) ∈ Z × Z : a + b = 3 }|.
3. Låt L ⊆ Z × Z vara mängden av alla lösningar till den diofantiska ekvationen 2x − 6y = 10.
Visa att L är uppräkneligt oändlig genom att konstruera en bijektion från N till L.
4. Låt A = {a1 , . . . , an } och B = {b1 , . . . , bm } vara två ändliga mängder.
(a) Ange krav på n och m som är ekvivalent med att det finns en injektiv funktion från
A till B.
Hur många injektiva funktioner finns det då från A till B?
(b) Ange krav på n och m som är ekvivalent med att det finns en surjektiv funktion från
A till B.
Hur många surjektiva funktioner finns det då från A till B?
(c) Ange krav på n och m som är ekvivalent med att det finns en bijektiv funktion från
A till B.
Hur många bijektiva funktioner finns det då från A till B?
5. (a) Finns det någon injektiv avbildning från slutna intervallet [0, 1] till N?
(b) Finns det någon surjektiv avbildning från slutna intervallet [0, 1] till N?
Motivera dina svar!
7.
a) Visa att |C| = |R2 |. (Där som vanligt C är mängden av komplexa tal.)
b) Visa att |C| = |R|. (Använd att x · x = x för alla oändliga kardinaltal x.)
8. Konstruera en bijektion mellan de slutna intervallen [0, 1] och [2, 3].
9. Konstruera en bijektion mellan de öppna intervallen (0, 1) och (2, 4).
10. Konstruera en bijektion mellan de halvöppna intervallen (0, 1 ] och [0, 1 ).
12. Konstruera en bijektion mellan de öppna intervallen (0, 1) och (1, ∞ ).
13. Använd arctan för att ange en bijektion mellan R och (0, 1).
14. (Utmaning!) Konstruera en bijektion mellan det slutna intervallet [0, 1] och det halvöppna
intervallet (0, 1].
Vänd!
15. Definiera funktionen F : N × N −→ N \ {0} genom F (x, y) = (x + y)2 + x + 1.
a) Visa att F (x, y) ≤ (x + y + 1)2 för alla naturliga tal x och y.
b) Visa att
x + y < x0 + y 0 =⇒ F (x, y) < F (x0 , y 0 )
för alla naturliga tal x och y.
Ledning: Om x + y + 1 < x0 + y 0 + 1, så har du x + y + 1 ≤ x0 + y 0 .
c) Visa att
F (x, y) = F (x0 , y 0 ) =⇒ x = x0
för alla naturliga tal x och y.
d) Visa att F är injektiv.
e) Visa att det finns en injektiv funktion G : N \ {0} −→ N × N.