[ ] [ ] [ ]B ]

1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
KOORDINATVEKTORER.
BASBYTESMATRIS
Koordinater för en vektor i en given bas .
Om B=(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är en bas för vektorrummet ( eller underrummet) V då gäller
följande: Varje vektor w i rummet V kan skrivas på exakt ett sätt som en linjär
kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , … , 𝒗𝒗𝒏𝒏
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐 + ⋯ +𝑥𝑥𝑛𝑛 𝒗𝒗𝒏𝒏
Vi kan också säga att hela vektorrummet V spänns upp av basvektorerna, som vi skriver
V = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒗𝒗𝟏𝟏 , 𝒗𝒗𝟐𝟐 , . . . , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ).
Tal 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 kallas 𝒘𝒘:s koordinater i basen B,
 x1 
x 
2
och   kallas koordinatvektor i basen B.

 
 xn 
 x1 
x 
2
Vi skriver [w]B =  

 
 xn 
Egenskaper för koordinatvektorer:
Följande egenskaper följer direkt från definitionen av en koordinatvektor:
1. [u + v ]B = [u]B + [v ]B
2. [λv ]B = λ [v ]B
3. [λ1v1 +  + λn vn ]B = λ1[v1 ]B +  + λn [vn ]B
  
Exempel 1. Låt V vara rummet R3 med standardbasen S= (i , j , k ) . Bestäm

koordinater för vektorn w där



 
 
 

a) w = 2i − 3 j + 5k ,
b) w = i ,
c) w = j c) w = k
1 
0
0







b) [w]S = 0 c) [w]S = 1 , d) [w]S = 0 .
 
 
 
0
0
1

Anmärkning: När vi har koordinater i standardbasen brukar vi identifiera vektor w

och tillhörande koordinatvektor [w]S och vi skriver på enkelt sätt, t ex
2

Svar: a) [w]S = − 3 ,
 
 5 
Sida 1 av 11
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
2
  
w = − 3 ,
 5 
men, om vi har två ( eller flera) baser i samma uppgift måste vi ange (beteckna) vilken
bas tillhör en given koordinatvektor.
1   1 
 3
0 2
 
 2




,
Exempel 2. Låt V=span(
) , och a =
.
1   0 
2
   
 
0 0
0 
1   1 
0 2
i) Visa att B=(   ,   ) är en bas till underrummet V.
1   0 
   
0 0


ii) Visa att vektorn a ligger i underrummet V och bestäm koordinatvektorn för a i den
nya basen.
Lösning:
1 
1 
0
2


i) Vektorerna v1 =   och v2 =   är linjärt oberoende eftersom ekvationen
1 
0 
 
 
0
0 
1 
1 0
0
2 0




+ y   =   har endast den triviala lösningen. Därmed bildar v1 och v2 en bas till
x
1 
0 0
 
   
0
0 0
 
spannet V=span( v1 , v2 ).


 
ii) Vektorn a ligger i spannet V=span( v1 , v2 ) om och endast om a är en linjär


 

kombination av v1 och v2 dvs om följande ekvationen x1v1 + x2 v2 = a har (minst) en
lösning.
x1 + x2 = 3
1
 1   3
0
2 2
2 x2 = 2
Från x1   + x2   =   har vi
som gör x1 = 2 och x2 = 1
1
0   2 
x1 = 2
 
   
0=0
0
0  0 
 
  4
Exempel 3. Låt w =   vara en vektor i rummet R2 given i standardbasen S= (i , j ) .
 2
 
 2

 1
Vi inför en ny bas B= (v1 , v 2 ) med
v1 =   och v 2 =   .
0 
1
Sida 2 av 11
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris

 
a) Bestäm koordinatvektorn för w i den nya basen (v1 , v 2 ) .

b) Bestäm koordinatvektorn för v1 i den nya basen.

c) Bestäm koordinatvektorn för v 2 i den nya basen.
Anmärkning: Eftersom vi har två baser uppgiften, standard basen S och en ny bas B,
kunde vi skriva koordinatvektorerna på ett mer precist sätt
2
1
4
[w ]S =   , [v1 ]S =   , [v2 ]S =   ,
0 
1
2
men, som sagt, när det handlar om standard basen brukar vi undvika att beteckna basen.
Lösning:
a) Vi löser ekvationen



x1v1 + x2 v2 = w
dvs
1
x1   + x2
1
 2  4
0  =  2
   
1x + 2 x 2 = 4
⇒ 1
1x1 + 0 x 2 = 2
sys(1)
Metod 1. Vi kan lösa system med t ex Gaussmetoden. vi får koordinater
x1 = 2 och x 2 = 1 . Därmed har vi koordinatvektorn i basen B
2
[w ]B =   .
1 
 

b) Vektorn v1 har koordinater 1 och 0 i basen B= (v1 , v 2 ) eftersom



1

v1 = 1v1 + 0 v2 alltså [v1 ]B =   .
0 

 
c) Vektorn v2 har koordinater 0 och 1 i basen B= (v1 , v 2 ) eftersom



0 

v2 = 0v1 + 1 v2 alltså [v 2 ]B =   .
1
Vi visar en metod till (metod 2) för bestämning av den nya koordinatvektorn. Det känns
onödigt att komplicera så enkelt problem, men metoden används i många olika svårare
problem med basbyte.
Metod 2. Vi kan skriva systemet (sys1) på matrisformen och använda inversmatris för
att bestämma den nya koordinatvektorn.
Från (sys 2)
Sida 3 av 11
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1 2  x1  4
1 0  x  = 2

 2   
Basbytesmatris
(*)
1 2
Vi betecknar systemets koefficient matris med P= 
.
1 0
1 2  x1  4
Från 
(*)
  =  
1 0  x 2  2
har vi ( med hjälp av inversmatrisen)
0 − 2  4  2
[w ]B = P −1[w ]U = − 1 
.
=
2 − 1 1  2 1 
 2

Alltså [w]B =   .
1 
 2


− 1  0 − 2 1 1 
− 1  0 − 2   2  0 
Svar a) [w]B =   . b) [v1 ]B =
=   , [v 2 ]B =




− 1 1  0 = 1
−
1
1
1
0
1
2
2




 

   
 
1 2
Matrisen P= 
 i ovanstående exempel kallas BASBYTESMATRIS.
1 0
Lägg märke till att kolonner i basbytesmatrisen är koordinatvektorer (i standardbasen )
1
 2
för de nya basvektorer, kolonn1 är
1 och kolonn2 är 0 .

 
 x1  4


I ovanstående exempel har vi P   =   eller P[w]B = [w]S
 x2  2
Med andra ord vi multiplicerar koordinatvektorn i den nya basen B och får
koordinatvektorn i den gamla basen S.
Därför kallas S BASBYTESMATRISEN från B till S och betecknas (i många böcker
men inte i alla)
PB→S = P= 1 2
1 0
BASBYTESMATRIS.
 

Låt U= (a1 , a 2 , 2 , a n ) vara en bas i ett vektorrum ( eller underrum) V.

 
Låt B = (b1 , b2 ,2, bn ) vara en annan bas i samma rum.
Sida 4 av 11
5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
 x1 


Anta att en vektor w har koordinatvektorn [w]U =    i basen U och att samma vektor
 
 xn 
 y1 


har koordinatvektorn [w]B =   i basen B.
 
 yn 


Vilket samband råder då mellan [w]U och [w]B ?
Vi har



[w ]U = y1b1 + y2b2 +  + ynbn U = (enligt egenskaper för koordinatvektorer)



= y1[b1 ]U + y2 [b2 ] +  + yn [bn ]U = (som kan skrivas på matrisform)
[
]
 y1 



= [[b1 ]U [b2 ]U [bn ]U ]    =
 
 yn 




= [[b1 ]U [b2 ]U [bn ]U ] [w]B
 y1 
 x1 


eller
 =P    ,
 
 
 yn 
 xn 



där matrisen P = [[b1 ]U [b2 ]U [bn ]U ] ,

är ett samband mellan koordinater för samma vektor w i två olika baser U och B.



Matrisen P = [[b1 ]U [b2 ]U [bn ]U ] kallas basbytesmatrisen från B-koordinater till Ukoordinater (eller kortare basbytesmatrisen från B till U) . Man kan visa att en
basbytesmatris är alltid INVERTERBAR.


Alltså [w]U =P [w]B
Från ovanstående följer att vi bestämmer en basbytesmatris från basen B till basen U på
följande sätt:

 
Först bestämmer vi koordinatvektorer för b1 , b ,  , bn och därefter skriver dem som
kolonner i en matris P. Matrisen P är då basbytesmatris från B till U.
Då gäller
[w ]U

= P[w]B
(*)
(P omvandlar B-koordinate till U-koordinater som vi kan kortare beteckna
PB→U = P )


[w]B = P [w]U
Från (*= har vi
-1
( dvs P omvandlar U-koordinate till B-koordinater, alltså
Därför
PU→B = ( PB→U )-1 .
−1
Sida 5 av 11
PU→B = P-1) .
6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
Om vi t ex har ett tredimensionellt vektorrum/underrum V och med två baser U=
  
  
(a1 , a 2 , a3 ) och B= (b1 , b2 , b3 ) , för att bestämma basbytes matris P=PB→U , uttrycker vi
  
  
b1 , b2 , b3 i basen U= (a1 , a 2 , a3 ) .
Låt




b1 = p1 a1 + p 2 a 2 + p 3 a 3




b2 = q1 a1 + q 2 a 2 + q3 a3




b3 = r1 a1 + r2 a 2 + r3 a3
(***)
då är koordinatvektorerna
 p1 

 
=  p 2  , b2 U =
U
 p3 
 p1 q1 r1 
och P=  p 2 q 2 r2 
 p3 q3 r3 
[ ]

b1
[ ]
 q1 
q  ,
 2
 q3 
[ ]

b3
U
 r1 
 
= r2 
 r3 
====================================================
 
Exempel 4. Låt U= (a1 , a 2 )
vektorrum.
Låt vidare



b1 = 3a1 + 2a 2

 
b2 = a1 + a 2
 
och B= (b1 , b2 ) vara två baser i ett 2-dimensionel
a) Bestäm basbytesmatris, från B till U
b) Bestäm basbytesmatris, från U till B

1

c) Bestäm [w]U om [w]B =  
− 1

1

d) Bestäm [v ]B om [v ]U =  
5
Lösning:


 3
1
Vektorns b1 koordinatvektorn ( i U basen) är   , samt koordinatvektorn för b2 är  
 2
1
3 1
Därmed är P= 
 basbytesmatris, från B till U ( som vi betecknar SB→U )
2 1
Sida 6 av 11
7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
3 1
Svar a) PB→U = 
.
2 1
-1 1  1 − 1  1 − 1
b) PU→B = P = 
=
1 − 2 3  − 2 3 



3 1  1  2
c) [w]U = [w]U = P[w]B = 
  =  
2 1 − 1 1 
 1 − 1 1 − 4


d) [w]B = P −1[w]U = 
  =  
− 2 3  5  13 
 x1 

Exempel 5. Låt V vara underrummet till R som består av alla vektorer  x 2  sådana att
 x3 
koordinater satisfierar ekvationen
x1 − x 2 − 2 x3 = 0
3
1 2
a) Visa att V= span( 1, 0 ) .
0 1 
 2
1
 
  

och att U= (a1 , a 2 ) där a1 = 1 , a 2 = 0 bildar en bas i V.
1 
0
3
0
  
  
 
b) Visa att B= (b1 , b2 ) där b1 =  2  , b2 = 1 är också en bas i V.
− 1
1
c) Bestäm basbytesmatrisen från B till U.
Lösning:
 x1 
a) Vi undersöker vilka vektorer  x 2  satisfierar ekvationen x1 − x 2 − 2 x3 = 0 .
 x3 
x1 − x 2 − 2 x3 = 0 ⇒ x1 = x 2 + 2 x3
Alltså en ledande variabeln x1 , och två fria x 2 = s, x3 = t .
Därmed x1 = s + 2t och
underrummet V består av oändligt många vektorer av följande typ:
 s  2t 
1 2
 x1   s + 2t 
 x  =  s  =  s  +  0  = s 1 + t 0 , där s, t varierar fritt.
   
   

 2 
0 1 
0  t 
 x3   t 
Sida 7 av 11
8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
Med andra ord
1
V=span( 1,
0
 2
 
0 ) , ( och därmed ett underrum med dimensionen 2)
1 
 2
1

  
Eftersom a1 = 1 , a 2 = 0 är oberoende ( kontrollera själv) vektorer som spänner
1 
0
upp V , bildar de en bas för V.
0
3
  
  
b) Vektorerna b1 =  2  och b2 = 1 ligger också i V eftersom deras koordinater
− 1
1
 
satisfierar ekvationen. Dessutom är b1 , b2 linjärt oberoende ( kontrollera själv).
Vi har 2 oberoende vektorer i ett 2- dim rum V; därför bildar vektorerna en bas i V.
c) För att bestämma basbytesmatrisen från B till U beräknar vi koordinat vektorer för
 
b1 , b2 ( i basen U) .
Först löser vi ekvationen



b1 = xa1 + ya 2 dvs
1
 2
0
 2  = x 1 + y 0
 
 
 
− 1
0
1 
och får x= 2 och y = –1.

Vi har fått koordinatvektorn för b1 ,
[b ]
1 U
2
=  ,
− 1
( detta är kolonn1 i matrisen P).
På samma sätt bestämmer vi
[b ]
1
=   , ( detta är kolonn2 i matrisen P).
1
Därmed
 2 1
P= 

− 1 1
2 U
Svar c)
PB→U
 2 1
= 

− 1 1
Exempel 6.
Sida 8 av 11
9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
  
  
Låt U= (a1 , a 2 , a3 ) och B= (b1 , b2 , b3 ) vara två baser i ett 3-dim vektorrum V.
Bestäm basbytesmatriserna
a) PB→U från B till U och
b) PU→B från U till B,
om vi har följande relationer mellan basvektorerna
  
b1 = a1 + a3

 
a1 = b2 + 2b3

 

b3 = a1 + a 2 + a3
Lösning.
(sys 1)
a) För att bestämma basbytesmatriserna PB→U från B till U löser vi ut vektorerna
  
b1 , b2 , b3 ur systemet (sys 1) och får:
  
b1 = a1 + a3




b2 = −a1 − 2a 2 − 2a3

 

b3 = a1 + a 2 + a3
Därmed PB→U
1 − 1 1
= 0 − 2 1
1 − 2 1
b) För att bestämma basbytesmatriserna PU→B från U till B, löser vi ut vektorerna
  
a1 , a 2 , a3 ur systemet (sys 1) och får:

 
a1 = b2 + 2b3
 

a2 = −b1 + b3
 


a3 = b1 − b2 − 2b3
0 − 1 1 
Därmed PU→B = 1 0 − 1 
2 1 − 2
( Alternativt kunde vi beräkna PU→B = (PB→U)-1 , men mer beräkning krävs för sätt.)
Basbyte används oftast för att få en enklare ekvation för en kurva i xy-planet eller
en yta i 3D-rummet, speciellt vid undersökning av andragradskurvor och ytor.
Exempel 6. En kurva har i xy-planet (med standardbasen) har ekvationen
x 2 + xy + y 2 = 6 .
Sida 9 av 11
10
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
a) Bestäm kurvans ekvation i det nya koordinatsystemet med basen som bildas av
 1

− 1
vektorerna b1 =   ,
b2 =   .
1
1
b) Rita kurvan.
Lösning:
 
1 − 1
Basbytesmatrisen från den nya basen B=( b1 , b2 ) till standardbasen är PB→S =P= 
.
1 1 
Beteckna de nya koordinater med u och v. Sambandet mellan gamla och nya koordinater
 x  1 − 1 u 
u 
x
är   = P   dvs   = 
   eller
 y  1 1   v 
v 
 y
x=u−v
(*)
y = u + v.
Vi substituerar (*) i kurvans ekvation x 2 + xy + y 2 = 6 och får
(u − v ) 2 + (u − v )(u + v ) + (u + v ) 2 = 6 ( förenkla)
3u 2 + v 2 = 6
som är en ellips i uv-koordinatsystemet.
Vi substituerar v = 0 i ekvationen 3u 2 + v 2 = 6 och får skärningspunkter med u-axeln.
Elipsen skär u-axeln i punkterna u = ± 2 ≈ ±1.41 , v = 0
och v-axeln i punkterna u = 0 , v = ± 6 ≈ ±2.45 (substituera u = 0 i 3u 2 + v 2 = 6 )
 1
Notera att längdenhet i det nya uv-systemet bestäms av nya basvektorerna b1 =   ,
1

− 1
b2 =   .
1
Grafen till x 2 + xy + y 2 = 6 i xy-planet dvs till 3u 2 + v 2 = 6 i uv-planet:
[]
[ ]
[]
[ ]
Exempel 7. En kurva har i xy-planet (med standardbasen) har ekvationen
x 2 + 2 xy + y 2 + x − y = −2 .
a) Bestäm kurvans ekvation i det nya koordinatsystemet med basen som bildas av
 1

− 1
vektorerna b1 =   ,
b2 =   .
1
1
b) Rita kurvan.
[]
[ ]
Sida 10 av 11
11
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Basbytesmatris
Svar:
 x  1 − 1 u 
a) Substitutionen   = 
   eller
 y  1 1   v 
x=u−v
(*) leder till ekvationen
y = u + v.
4u 2 − 2v = −2 eller v = 2u 2 + 1
b) Grafen till x 2 + 2 xy + y 2 + x − y = −2 i xy-planet dvs till v = 2u 2 + 1 i uv-planet:
Sida 11 av 11