Tentamen i Algebra LMA 019
MATEMATIK
2016 – 10 – 27 kl 14.00 – 18.00
Chalmers
Hjälpmedel: inga
Telefonvakt: Johan Berglind
Tel anknytning 3525
___________________________________________________________________________
Ange den tillfälliga tentamenskoden på samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt.
För godkänt på tentamen krävs 23 poäng på tentamens första del (godkäntdelen). Bonuspoäng från duggor
2016 räknas med. För betyg 4 och 5 krävs dessutom 33 respektive 43 poäng sammanlagt på tentamens två
delar, varav minst 4 respektive 6 poäng från den andra delen (överbetygsdelen).
Lösningar läggs ut på kursens hemsida.
Resultat meddelas via Ladok cirka tre veckor efter tentamenstillfället.
Del 1: Godkäntdelen
1. Denna uppgift finns på ett separat blad på vilket lösningar och svar skall anges. Bladet lämnas
in tillsammans med övriga lösningar.
1
0
𝑘
2. För vilka värden på konstanten k är vektorerna (−1) , (−4) och (2)
0
3
0
linjärt beroende?
(3p)
3.
a. Bestäm en ekvation för det plan som innehåller
punkterna (1,0,1), (2,3,1) och (-1,2,5)
(3p)
b. Bestäm en ekvation för den linje som går genom
punkterna (1,0,2) och (2,2,3).
(2p)
c. Bestäm skärningspunkten mellan planet och linjen.
(1p)
4. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen rätvinklig
projektion i linjen 𝑥1 + 𝑥2 = 0
(3p)
3 −6
5. Låt 𝐴 = (
). Bestäm en matris B så att 𝐴𝐵 = 0 (nollmatrisen).
−1 2
B får själv inte vara nollmatrisen.
(3p)
6. Använd minsta kvadratmetoden för att bestämma den linje som bäst
ansluter till punkterna (1,3), (2,4), (3,3) och (4,4).
(5p)
7. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Någon motivering skall inte ges. 1 poäng
för varje korrekt svar, -1 poäng för varje felaktigt svar. Dock inte mindre än 0 poäng totalt.
a. Om A är en inverterbar matris är även 𝐴𝑡 inverterbar.
b. Det homogena ekvationssystemet 𝐴𝑥 = 0 har alltid minst en lösning.
c. Om vektorerna a och b i ℝ3 är parallella är 𝑎 × 𝑏 = 0 (nollvektorn)
d. Om A är en nxn-matris är 𝑑𝑒𝑡(2𝐴) = 2𝑛 𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑖𝑡
e. Om t är ett reellt tal är 𝑒 −𝑖𝑡 = 𝑒̅̅̅̅
Del 2: Överbetygsdelen
8. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen spegling
i linjen 𝑥2 + 2𝑥1 = 0
−1 −1
9. Låt 𝐴 = ( 2 𝑠 + 1
1
−2
(4p)
𝑠
𝑠+1
1) och 𝑏 = ( −1 ) där s är en okänd konstant.
3
2−𝑠
Bestäm, för varje värde på s, antalet lösningar till systemet 𝐴𝑥 = 𝑏
(4p)
a. Bestäm alla x sådana att sin 2𝑥 + sin 3𝑥 + sin 4𝑥 = 3
(2p)
10.
b. Visa formeln
cos 𝑥−sin 𝑥
cos 𝑥+sin 𝑥
1
= cos 2𝑥 − tan 2𝑥
(2p)
LMA019 161027
Poäng
Anonym kod
Uppgift 1. Till nedanstående fyra deluppgifter skall korta lösningar redovisas. Svar måste anges på
anvisad plats.
Svar och lösningar till dessa uppgifter kan inte redovisas på andra sidor.
a) Bestäm alla x sådana att cos 𝑥 = −
1
√2
(3p)
Lösning:
Svar: ……………………………………………………………………………………………………………………..
3
b) Bestäm inversen till 𝑀 = (
5
Lösning:
−1
)
−2
(3p)
Svar: ……………………………………………………………………………………………………………………..
c) Lös ekvationen 𝑧 4 + 4𝑖 = 0.
Lösning:
(4p)
Svar: ……………………………………………………………………………………………………………………
d) Bestäm vinkeln mellan vektorerna (-1,-1,4) och (2,2,1)
Lösning:
(3p)
Svar: ………………………………………………………………………………………………………………….
