Kapitel 4 Ekvationer och formler manada.se 4.1 Ekvationer och uttryck Begrepp • • • • • • • • • • Likhet Ekvation Algebra Variabel Koefficient Konstant term Algebraiska uttryck Förenkla Formel Andragradsekvation Du ska kunna • Olika metoder för ekvationslösning • Teckna och tolka uttryck • Räkna med parenteser • Använda formler för att utföra beräkningar • Lösa enkla andragradsekvationer • Lösa problem med hjälp av ekvationer Algebra – ett område inom matematiken där man betecknar tal med bokstäver eller symboler När vi räknar med bokstäver använder vi samma regler som för tal Exempel 1 Johanna arbetar 4 timmar. Hennes lön är 120 kr. Hon tjänar på 4 timmar (i kr) : 120 + 120 + 120 + 120 = 480 kr Timlön 𝒂 kr ger istället: 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 4 ∙ 𝑎 Skrivs ofta som 4𝑎 Variabel - värdet på 𝒂 kan varieras och 𝒂 kallas därför en variabel Uttryck – 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 eller 4𝑎 är exempel på ett algebraiskt uttryck Förenkla uttryck – när vi skriver ett uttryck kortare t.ex. 4𝑎 istället 𝑎 + 𝑎+𝑎+𝑎 Uttryckets värde Exempel 2 Patrik väger 10 𝑘𝑔 mer än sin sons dubbla vikt. Om sonen väger 𝑥 𝑘𝑔 så beskriver uttrycket 2𝑥 sons dubbla vikt. Patriks vikt då blir 2𝑥 + 10 Vi beräknar uttryckets värde när 𝑥 = 40 2𝑥 + 10 = 2 ∙ 40 + 10 = 90 𝑘𝑔 Om sonen väger 40 kg så väger Patrik 90 kg Förenkla uttrycket 𝟑𝒙 + 𝟏 + 𝒙 − 𝟔 Vi samlar 𝑥 −termer för sig och siffertermerna för sig +3𝑥 + 1 + 𝑥 − 6 = +4𝑥 − 5 Vad blir det 5𝑥 + 3𝑥? Du vet att 5 ∙ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 På samma sätt är 5𝑥 = 5 ∙ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 Därför blir 5𝑥 + 3𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 8𝑥 5𝑥 3𝑥 𝟔=𝟑×𝟐 Här har vi en likhet, båda sidor om likhetstecknet har samma värde. 𝟔≠𝟓 Här har vi en olikhet, vardera sida om olikhetstecknet har skilda värden. • En ekvation är en likhet med en eller flera okända tal som kallas variabler • 𝒙 och 𝒚 är de variabler vi oftast använder oss av inom matematiken • Ekvationen har två led 𝑥 + 8 = 20 Vänstra ledet Högra ledet • Målet för att lösa ekvationer är att ta reda på det okända talet 𝒙 som gör att likheten är sann • Likhetstecknet mellan de två leden visar att 𝑥 + 8 ska vara lika mycket som 20 • Här kan du direkt se att 𝑥 = 12 Ekvationer som 𝑥 + 8 = 20 Kallas för förstagradsekvationer och har nästan alltid en lösning När man fått fram en lösning till en ekvation, så kan man alltid kontrollera att lösningen stämmer genom en prövning Då kontrollerar man att vänstra och högra ledet får samma värde när man sätter in lösningen. Prövning: 𝑥 = 12 Vänster led (VL): 12 + 8 = 20 Höger led (HL): 20 VL=HL Svar: 𝑥 = 12 är lösning för ekvationen. +𝟓 +𝟓 /𝟐 −𝟕 /𝟐 −𝟕 ×𝟔 ×𝟔 Jämnvikten är fortfarande intakt En ekvation och en våg fungerar på ganska liknande sätt Gör vi samma sak på båda sidor likhetstecknet så bevaras likheten i ekvationen. Exempel 1 Exempel 3 𝑥 + 5 = 26 3 ∙ 𝑥 = 102 3 ∙ 𝑥 102 = 3 3 𝑥 + 5 − 5 = 26 − 5 𝒙 = 𝟐1 Exempel 2 𝑥 − 13 = 29 𝑥 − 13 + 13 = 29 + 13 𝒙 = 𝟒𝟐 𝒙 = 𝟑𝟒 Exempel 4 𝑥 =4 17 𝑥 ∙ 17 = 4 ∙ 17 17 𝒙 = 𝟔𝟖 Det är lika många tändstickor på båda sidor av likhetstecknet. Askarna innehåller lika många stickor. Hur många? = Vi kan lösa uppgiften genom att ta bort lika många stickor från båda sidor av likhetstecknet = = = En ask innehåller 3 stickor = Vi ställer upp en ekvation och löser samma problem utan bild = 𝑥+𝑥+2=𝑥+5 2𝑥 + 2 = 𝑥 + 5 = 2𝑥 − 𝑥 + 2 = 𝑥 − 𝑥 + 5 = = = 𝑥+2=5 𝑥+2−2=5−2 𝑥=3 = = = = Uppgift 4171 Summa av tre på varandra följande heltal är 144 a) Skriv en ekvation till situationen b) Vilka är talen? a) b) 𝑥 ⟹ den första talet av tre 𝑥 + 1 ⟹ den andra talet av tre 𝑥 + 2 ⟹ den tredje talet av tre 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144 3𝑥 + 3 = 144 3𝑥 + 3 − 3 = 144 − 3 3𝑥 = 141 3𝑥 141 = 3 3 𝑥 = 47 Hur vet jag att det är rätt? Prövning för min lösning 𝒙 = 𝟒𝟕 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144 Vänster led (VL): 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 VL⟹ 47+(47+1)+(47+2) = 144 Höger led(HL): 144 VL = HL 𝑥 = 47 är lösning för ekvationen Svar: Talen är 47, 48, 49. • En sportaffär säljer ut skridskor med 25 % rabatt. Ordinarie pris för ett par skridskor är 𝒙 kr. Teckna uttrycket för priset. • När man tecknar ett uttryck beskriver man något • Om priset var 1000 kr skulle man efter rabatt betala 75 % av 1000 kr, vilken beräknas 0,75 ∙ 1000 kr • Nu kostar skridskor 𝑥 kr. • Priset beräknas på liknande sätt 0,75 ∙ 𝑥 kr Skridskor kostade 𝑥 kr Rabatten blir 0,25 𝑥 Man får betala 0,75 𝑥 Svar: Priset blir 0,75 𝑥 I en uttryck kallas 𝒙 för variabel eftersom 𝑥 kan anta olika värden En hamburgare kostar 𝒙 kronor. En ostburgare kostar fyra kronor mer. Tolka uttrycken a) 𝑥 + 4 b) 2𝑥 + 4 c)2𝑥 + 8 a) Uttrycket 𝑥 + 4 kan tolkas som något som kostar 4 kr mer än hamburgare, dvs. ostburgare. Svar: Priset för en ostburgare b) Uttrycket 2x+4 kan skrivas x+x+4, och kan tolkas som sammanlagda priset för en hamburgare och en ostburgare Svar: Priset för en hamburgare och en ostburgare c) Uttrycket 2x+8 kan skrivas som x+4+x+4, och kan tolkas som priset för två ostburgare Svar: Priset för två ostburgare 4.2 FORMLER OCH UTTRYCK • En formel beskriver ett samband mellan variabler • Formler skrivs som en ekvation med en variabel i vänsterledet och ett uttryck med en eller flera variabler i högerledet Lös ut 𝒚 2𝑦 − 6𝑥 = 12 Addera 6𝑥 till båda leden 2𝑦 − 6𝑥 + 6𝑥 = 12 + 6𝑥 12𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0 𝒚-termen är negativ. Vi börjar därför Med att addera 4𝑦 till båda leden 12𝑥 − 4𝑦 − 8 + 4𝑦 = 0 + 4𝑦 Dividera båda leden med 2 12𝑥 − 8 = 4𝑦 Låt vänsterled och högerled byta plats 2𝑦 12 + 6𝑥 = 2 2 4𝑦 = 12𝑥 − 8 Dividera båda leden med 4 𝑦 = 6 + 3𝑥 4𝑦 12𝑥 8 = − 4 4 4 2𝑦 = 12 + 6𝑥 𝑦 = 3𝑥 − 2 Area av en rektangel, en triangel respektive ett parallelltrapets kan beräknas med formlerna 𝐴=𝑏∙ℎ Lös ut ℎ 𝐴=𝑏∙ℎ Dividera båda leden med 𝒃 𝐴 𝑏 = 𝑏∙ℎ 𝑏 𝐴 𝑏 =ℎ ⟺ 𝐴 ℎ= 𝑏 𝐴= 𝑏∙ℎ 2 Multiplicera båda leden med 2 (𝑏 ∙ ℎ) ∙ 2 𝐴∙2= 2 2𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ Dividera båda leden med 𝒃 2𝐴 𝑏∙ℎ = 𝑏 𝑏 2𝐴 2𝐴 =ℎ ⟺ ℎ= 𝑏 𝑏 𝐴= ℎ(𝑎 + 𝑏) 2 Multiplicera båda leden med 2 𝐴∙2= ℎ(𝑎 + 𝑏) ∙ 2 2 2𝐴 = ℎ(𝑎 + 𝑏) Dividera båda leden med (𝒂 + 𝒃 ) 2𝐴 ℎ(𝑎+𝑏) = (𝑎+𝑏) (𝑎+𝑏) 2𝐴 2𝐴 = ℎ⟺ ℎ = (𝑎+𝑏) (𝑎 + 𝑏) 4.2 UNDERSÖK OCH BEVISA En kaffe kostar 𝑥 kr En semla kostar 15 kr mer än kaffe Ett glas juice kostar 20 kr Hur mycket kostar fika? Exempel 1 2 ∙ 𝑥 + 𝑥 + 15 + 20 2 ∙ 2𝑥 + 35 Exempel 2 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑥 + 15 + 2 ∙ 20 Vi multiplicerar in 2:an i parentesen 2 ∙ 2𝑥 + 35 = 2 2𝑥 + 35 2 ∙ 2𝑥 + 2 ∙ 35 4𝑥 + 70 2𝑥 + 2 𝑥 + 15 + 40 Vi multiplicerar in 2:an i parentesen 2𝑥 + 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 15 + 40 2𝑥 + 2𝑥 + 30 + 40 4𝑥 + 70 2 𝑥 + 4 ⟹ 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 4 ⟹ 2𝑥 + 8 4 2𝑦 − 3 ⟹ 4 ∙ 2𝑦 − 4 ∙3 ⟹ 8𝑦 − 12 Ett tal multipliceras med en parentes genom att talet multipliceras med varje term i parentesen När du undersöker och bevisar bör du • läsa igenom uppgiften noga • rita figuren om det behövs för att förstå uppgiften • förklara och redovisa dina olika steg • försöka att nå ett så fullständigt bevis som möjligt • En ekvation som innehåller 𝑥 2 (uttalas 𝑥 i kvadrat) kallas för en andragradsekvation • 𝑥 2 = 36 • 𝑥 ∙ 𝑥 = 36 • 𝑥∙𝑥 =6∙6 • 𝑥=6 • När du löser en vanligt ekvation får du addera, subtrahera, multiplicera eller dividera med samma tal i båda leden • På samma sätt kan du dra roten ur båda leden • 𝑥 2 = 36 • 𝑥 2 = ± 36 • 𝑥 = ±6 • En del andragradsekvationer saknar lösning. • Ekvationen 𝑥 2 = −49 saknar lösning, eftersom det inte finns något tal som gånger sig själv blir −49