TENTAMEN Datum: 14 april 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurs: MATEMATIK2 (TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel ) Kurskod HF1000 , HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000 Skrivtid: 13:15-17:15 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst. Lärare: Armin Halilovic Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 8 uppgifter á 4p och ger maximalt 32 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng. Komplettering: 10 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Uppgift 1. (4 poäng) a) (1p) Bestäm | w | om w 2i . 1 2i b) (1p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen z 300 1 i 3 , 2 2 där z är ett komplex tal. c) (1p) Lös följande ekvation med avseende på z ( där z=x+yi är ett komplext tal) 2z z 3 2i . d) (1p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar 1 z (4 4i ) 3 . Uppgift 2. ( 4 poäng) z1 i är en lösning till ekvationen z 4 3z 3 3z 2 3z 2 0 . Bestäm alla lösningar. Uppgift 3. ( 4 poäng) a) Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 kring punkten a 8 för funktionen y 3 x . Var god vänd. Uppgift 4. ( 4 poäng) a) (2p) Lös följande differentialekvation 3y 1 y . x Ange lösningen på explicit form. b) (2p) Lös följande differentialekvation y x 2 1 y 2 x5 1 y 2 . Bestäm även eventuella singulära lösningar. Uppgift 5. ( 4 poäng) Betrakta följande differentialekvation med avseende på y ( x ) . 1 y ( x ) y ( x ) 2 , x0 x Bestäm den lösning som satisfierar villkoret y (1) 2 . Uppgift 6. ( 4 poäng) Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( x ) a) (1p) y 4 y 3 y 6 x 8 b) (1p) y 2 y 2 y 4 c) (2p) y 2 y 4 x (resonansfall ). Uppgift 7. ( 4 poäng) Bestäm strömmen i(t) och laddningen i nedanstående LRC krets om 1 L=1 henry , R= 3 ohm , C= farad och 2 u(t ) sin t 3 cos t volt då i(0)=0 ampere och q(0)= 1 coulomb. ( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna ekvationen 2 p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. ) Var god vänd. Uppgift 8. ( 4 poäng) a)( 2 poäng) Ställ upp ett ekvationssystem för nedanstående nät, med avseende på strömmarna i1 (t ), i2 (t ) och i3 (t ) . Du behöver inte lösa systemet! b) ( 2 poäng) I tankar A och B finns 100 liter respektive 300 liter saltvatten som innehåller, 50g, respektive 80 g salt. Tanken A tillförs 10 liter vatten per minut som innehåller 20 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 14 liter förs till B och därefter 4 liter från B förs till A och 10 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t) beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och ange begynnelsevillkor. Du behöver inte lösa systemet! Lycka till! Facit: Uppgift 1. (4 poäng) a) (1p) Bestäm | w | om w 2i . 1 2i b) (1p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen z 300 1 i 3 , 2 2 där z är ett komplex tal. c) (1p) Lös följande ekvation med avseende på z ( där z=x+yi är ett komplext tal) 2z z 3 2i . d) (1p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar 1 z (4 4i ) 3 . Lösning: a) | w | |2i| 4 1 1 . | 1 2i | 1 4 Svar a: | w | 1 b) z 300 i 1e 3 z e ( 2 k ) i 3 300 k 0, 1, 2,..., 299 Svar b: z e ( 2 k ) i 3 300 k 0, 1, 2,..., 299 c) Vi substituerar z=x+yi i ekvationen 2z z 3 2i och får 2( x yi ) ( x yi ) 3 2i 3x yi 3 2i x 1, y2 Svar c: z 1 2i d) Svar d: Uppgift 2. ( 4 poäng) z1 i är en lösning till ekvationen z 4 3z 3 3z 2 3z 2 0 . Bestäm alla lösningar. Lösning: (Ekvationen har reella koefficienter och z1 i är en lösning ) z2 i är också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med ( z z1 )( z z2 ) ( z i )( z i ) z 2 i 2 z 2 1 . Polynomdivisionen ger ( z 4 3z 3 3z 2 3z 2) /( z 2 1) z 2 3z 2 Två lösningar till får vi ur z 2 3z 2 0 z3 1, z4 2 Svar: z1 i , z2 i , z3 1, z4 2 Uppgift 3. ( 4 poäng) Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 kring punkten a 8 för funktionen y 3 x . Lösning: f ( x) 3 x , f (8) 8 2 1 1 f ( x ) x 2 / 3 , f (8) 3 12 2 5 / 3 1 f (8) f ( x ) x , 144 9 10 8 / 3 5 f ( x ) x , f (8) 27 3456 Taylors polynom av grad 3: f ( a ) f ( a ) T3 ( x ) f ( a ) f ( a )( x a ) ( x a)2 ( x a)3 2! 3! 1 1 5 2 ( x 8) ( x 8) 2 ( x 8) 3 12 288 20736 Svar: 1 1 5 ( x 8) ( x 8) 2 ( x 8) 3 12 288 20736 Uppgift 4. ( 4 poäng) a) (2p) Lös följande differentialekvation 3y 1 y . x Ange lösningen på explicit form. T3 ( x ) 2 b) (2p) Lös följande differentialekvation y x 2 1 y 2 x5 1 y 2 . Bestäm även eventuella singulära lösningar. Lösning: a) 3y 1 x ( Anmärkning: Vi delar ekvationen med 3 y 1 om uttrycket är skilt från 0. Substitutionen y 1 / 3 , y 0 i ekvationen visar att den konstanta funktionen är också en lösning. En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den allmänna lösningen.) y y 1 3y 1 x y 1 3 y 1 dx x dx ln | 3 y 1 | ln | x | C 3 ln | 3 y 1 | 3 ln | x | 3C ln | 3 y 1 | ln | x |3 3C | 3 y 1 | e ln|x| 3C 3 3 y 1 e 3C e ln|x| 3 y 1 Dx 3 3 1 Dx 3 är den allmänna lösningen på explicit form. 3 (Anmärkning: Formeln innehåller också den konstanta lösningen y=1/3; alltså ingen singulär lösning i detta fall) Svar a: y b) y x 2 1 y 2 x5 1 y 2 dy x2 1 y 2 x5 1 y 2 dx dy ( x2 x5 ) 1 y 2 dx ( Vi delar ekvationen med 1 y 2 om uttrycket är skilt från 0. Substitutionen y 1 , y 0 i ekvationen visar att de två konstanta funktioner är också lösningar till ekvationen. En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den allmänna lösningen.) dy 1 y 2 ( x 2 x 5 )dx dy 1 y 2 ( x 2 x 5 )dx x3 x6 C 3 6 x3 x6 y sin( C) 3 6 arcsin y x3 x6 C) . 3 6 Dessutom har vi två singulära lösningar y 1 eftersom de inte kan fås ur den allmänna lösningen. Den allmänna lösningen är alltså y sin( Svar b: Den allmänna lösningen är y sin( y 1 och y 1 . x3 x6 C ) , två singulära lösningar är 3 6 Uppgift 5. ( 4 poäng) Betrakta följande differentialekvation med avseende på y ( x ) . 1 y ( x ) y ( x ) 2 , x0 x Bestäm den lösning som satisfierar villkoret y (1) 2 . Lösning: Vi använder formeln P ( x ) dx P ( x ) dx y( x) e (C Q( x ) e dx ) Först beräknar vi 1 ( antagande x>0) P( x )dx dx ln | x | ln x x Formeln ger 1 1 C y ( x ) e ln x (C 2 e ln x dx ) (C 2 xdx ) (C x 2 ) x x x x 1 Villkoret y (1) 2 ger C=1 och därför y ( x ) x x 1 Svar: y ( x ) x x Uppgift 6. ( 4 poäng) Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( x ) a) (1p) y 4 y 3 y 6 x 8 b) (1p) y 2 y 2 y 4 c) (2p) y 2 y 4 x Svar a: Svar b: Svar c: (resonansfall ). y( x ) C1e x C2 e 3 x 2 x y ( x ) C1e x sin x C2 e x cos x 2 y( x ) C1 C2 e 2 x x 2 x Uppgift 7. ( 4 poäng) Bestäm strömmen i(t) och laddningen i nedanstående LRC krets om 1 L=1 henry , R= 3 ohm , C= farad och 2 u(t ) sin t 3 cos t volt då i(0)=0 ampere och q(0)= 1 coulomb. ( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna ekvationen 2 p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. ) Lösning: Från kretsen får vi följande diff. ekv. di (t ) 1 L R i (t ) q(t ) U (ekv1). dt C Om vi använder q(t ) i (t ) då får vi följande ekvation med en variabel: 1 L q(t ) R q(t ) q(t ) U , C ( efter subst. L, R och C) q(t ) 3q(t ) 2q(t ) sin t 3 cos t . (ekv 2) Ekvationen har den allmänna lösningen q(t ) C1e t C2 e 2t sin t Eftersom q(t ) i (t ) får vi i(t ) C1e t 2C2 e 2t cos t Från begynnelsevillkoren i(0)=0 och q (0) 1 får vi ekv1: C1 2C2 1 0 ekv2: C1 C2 1 Härav C1 1 och C2 0 och därför i(t ) e t cos t och q(t ) e t sin t Svar: i(t ) e t cos t q(t ) e t sin t Uppgift 8. ( 4 poäng) a)( 2 poäng) Ställ upp ett ekvationssystem för nedanstående nät, med avseende på strömmarna i1 (t ), i2 (t ) och i3 (t ) . Du behöver inte lösa systemet! b) ( 2 poäng) I tankar A och B finns 100 liter respektive 300 liter saltvatten som innehåller, 50g, respektive 80 g salt. Tanken A tillförs 10 liter vatten per minut som innehåller 20 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 14 liter förs till B och därefter 4 liter från B förs till A och 10 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t) beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och ange begynnelsevillkor. Du behöver inte lösa systemet! Svar a: ekv1: ekv2: ekv3: i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) L2i1(t ) R2 i2 (t ) L1i1(t ) u(t ) R1i3 (t ) R3i3 (t ) L3i3 (t ) R2i2 (t ) 0 Svar b: ekv1: ekv2: y (t ) x (t ) 14 300 100 x (t ) y (t ) y (t ) y (t ) 14 4 10 100 300 300 x (t ) 200 4 Begynnelsevillkor: x (0) 50 , y (0) 80