TENTAMEN Datum: 14 april 08 TEN1: Differentialekvationer

TENTAMEN
Datum: 14 april 08
TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel
Kurs: MATEMATIK2
(TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel )
Kurskod HF1000 , HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000
Skrivtid: 13:15-17:15
Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst.
Lärare: Armin Halilovic
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med
läsningar.
Poängfördelning och betygsgränser:
Tentamen består av 8 uppgifter á 4p och ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 10 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är
godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Uppgift 1. (4 poäng)
a) (1p) Bestäm | w | om w 
2i
.
1  2i
b) (1p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen
z 300 
1 i 3

,
2
2
där z är ett komplex tal.
c) (1p) Lös följande ekvation med avseende på z ( där z=x+yi är ett komplext tal)
2z  z  3  2i .
d) (1p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar
1  z  (4  4i )  3 .
Uppgift 2. ( 4 poäng)
z1  i är en lösning till ekvationen
z 4  3z 3  3z 2  3z  2  0 .
Bestäm alla lösningar.
Uppgift 3. ( 4 poäng)
a) Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 kring punkten a  8 för funktionen y  3 x .
Var god vänd.
Uppgift 4. ( 4 poäng)
a) (2p) Lös följande differentialekvation
3y  1
y 
.
x
Ange lösningen på explicit form.
b) (2p) Lös följande differentialekvation
y  x 2 1  y 2  x5 1  y 2 .
Bestäm även eventuella singulära lösningar.
Uppgift 5. ( 4 poäng)
Betrakta följande differentialekvation med avseende på y ( x ) .
1
y ( x )  y ( x )  2 ,
x0
x
Bestäm den lösning som satisfierar villkoret y (1)  2 .
Uppgift 6. ( 4 poäng)
Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( x )
a) (1p) y   4 y   3 y  6 x  8
b) (1p) y   2 y   2 y  4
c) (2p) y   2 y   4 x (resonansfall ).
Uppgift 7. ( 4 poäng)
Bestäm strömmen i(t) och laddningen i nedanstående LRC krets om
1
L=1 henry , R= 3 ohm , C= farad och
2
u(t )  sin t  3 cos t volt då
i(0)=0 ampere och q(0)= 1 coulomb.
( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna
ekvationen 2 p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. )
Var god vänd.
Uppgift 8. ( 4 poäng)
a)( 2 poäng)
Ställ upp ett ekvationssystem för nedanstående nät, med avseende på strömmarna
i1 (t ), i2 (t ) och i3 (t ) . Du behöver inte lösa systemet!
b) ( 2 poäng)
I tankar A och B finns 100 liter respektive 300 liter saltvatten som innehåller, 50g,
respektive 80 g salt. Tanken A tillförs 10 liter vatten per minut som innehåller 20
gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 14 liter förs till B och därefter 4
liter från B förs till A och 10 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t)
beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t
Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och ange begynnelsevillkor.
Du behöver inte lösa systemet!
Lycka till!
Facit:
Uppgift 1. (4 poäng)
a) (1p) Bestäm | w | om w 
2i
.
1  2i
b) (1p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen
z 300 
1 i 3

,
2
2
där z är ett komplex tal.
c) (1p) Lös följande ekvation med avseende på z ( där z=x+yi är ett komplext tal)
2z  z  3  2i .
d) (1p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar
1  z  (4  4i )  3 .
Lösning:
a) | w |
|2i|
4 1

1 .
| 1  2i |
1 4
Svar a: | w | 1

b) z
300

i
 1e 3  z  e
(  2 k ) i
3
300
k  0, 1, 2,..., 299

Svar b: z  e
(  2 k ) i
3
300
k  0, 1, 2,..., 299
c) Vi substituerar z=x+yi i ekvationen
2z  z  3  2i
och får
2( x  yi )  ( x  yi )  3  2i 
3x  yi  3  2i 
x  1,
y2
Svar c: z  1 2i
d) Svar d:
Uppgift 2. ( 4 poäng)
z1  i är en lösning till ekvationen
z 4  3z 3  3z 2  3z  2  0 .
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1  i är en lösning )  z2  i är också en
lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z  z1 )( z  z2 )  ( z  i )( z  i )  z 2  i 2  z 2  1 .
Polynomdivisionen ger
( z 4  3z 3  3z 2  3z  2) /( z 2  1)  z 2  3z  2
Två lösningar till får vi ur
z 2  3z  2  0  z3  1, z4  2
Svar: z1  i , z2  i , z3  1,
z4  2
Uppgift 3. ( 4 poäng)
Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 kring punkten a  8 för funktionen y  3 x .
Lösning:
f ( x)  3 x ,
f (8)  8  2
1
1
f ( x )  x 2 / 3 ,
f (8) 
3
12
 2 5 / 3
1
f (8) 
f ( x ) 
x ,
144
9
10 8 / 3
5
f ( x ) 
x ,
f (8) 
27
3456
Taylors polynom av grad 3:
f ( a )
f ( a )
T3 ( x )  f ( a )  f ( a )( x  a ) 
( x  a)2 
( x  a)3
2!
3!
1
1
5
 2  ( x  8) 
( x  8) 2 
( x  8) 3
12
288
20736
Svar:
1
1
5
( x  8) 
( x  8) 2 
( x  8) 3
12
288
20736
Uppgift 4. ( 4 poäng)
a) (2p) Lös följande differentialekvation
3y  1
y 
.
x
Ange lösningen på explicit form.
T3 ( x )  2 
b) (2p) Lös följande differentialekvation
y  x 2 1  y 2  x5 1  y 2 .
Bestäm även eventuella singulära lösningar.
Lösning:
a)
3y  1
x
( Anmärkning: Vi delar ekvationen med 3 y  1 om uttrycket är skilt från 0.
Substitutionen y  1 / 3 , y   0 i ekvationen visar att den konstanta funktionen är
också en lösning. En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den
allmänna lösningen.)
y 
y
1
 
3y  1 x
y
1
 3 y  1 dx   x dx 
ln | 3 y  1 |
 ln | x | C 
3
ln | 3 y  1 | 3 ln | x | 3C 
ln | 3 y  1 | ln | x |3 3C 
| 3 y  1 | e ln|x| 3C 
3
3 y  1   e 3C e ln|x| 
3
y
1  Dx 3
3
1  Dx 3
är den allmänna lösningen på explicit form.
3
(Anmärkning: Formeln innehåller också den konstanta lösningen y=1/3; alltså ingen
singulär lösning i detta fall)
Svar a: y 
b)
y  x 2 1  y 2  x5 1  y 2 
dy
 x2 1  y 2  x5 1  y 2 
dx
dy
 ( x2  x5 ) 1  y 2
dx
( Vi delar ekvationen med 1  y 2 om uttrycket är skilt från 0. Substitutionen
y  1 , y   0 i ekvationen visar att de två konstanta funktioner är också
lösningar till ekvationen. En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den
allmänna lösningen.)
dy
1 y

2
 ( x 2  x 5 )dx 
dy
1 y
2
  ( x 2  x 5 )dx 
x3 x6

C 
3
6
x3 x6
y  sin(

 C)
3
6
arcsin y 
x3 x6
  C) .
3 6
Dessutom har vi två singulära lösningar y  1 eftersom de inte kan fås ur den
allmänna lösningen.
Den allmänna lösningen är alltså y  sin(
Svar b: Den allmänna lösningen är y  sin(
y  1 och y  1 .
x3 x6
  C ) , två singulära lösningar är
3 6
Uppgift 5. ( 4 poäng)
Betrakta följande differentialekvation med avseende på y ( x ) .
1
y ( x )  y ( x )  2 ,
x0
x
Bestäm den lösning som satisfierar villkoret y (1)  2 .
Lösning:
Vi använder formeln
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
y( x)  e 
(C   Q( x )  e 
dx )
Först beräknar vi
1
( antagande x>0)
 P( x )dx   dx  ln | x | ln x
x
Formeln ger
1
1
C
y ( x )  e ln x (C   2  e ln x dx )  (C   2 xdx )  (C  x 2 )   x
x
x
x
1
Villkoret y (1)  2 ger C=1 och därför y ( x )   x
x
1
Svar: y ( x )   x
x
Uppgift 6. ( 4 poäng)
Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( x )
a) (1p) y   4 y   3 y  6 x  8
b) (1p) y   2 y   2 y  4
c) (2p) y   2 y   4 x
Svar a:
Svar b:
Svar c:
(resonansfall ).
y( x )  C1e x  C2 e 3 x  2 x
y ( x )  C1e x sin x  C2 e x cos x  2
y( x )  C1  C2 e 2 x  x 2  x
Uppgift 7. ( 4 poäng)
Bestäm strömmen i(t) och laddningen i nedanstående LRC krets om
1
L=1 henry , R= 3 ohm , C= farad och
2
u(t )  sin t  3 cos t volt då
i(0)=0 ampere och q(0)= 1 coulomb.
( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna
ekvationen 2 p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. )
Lösning: Från kretsen får vi följande diff. ekv.
di (t )
1
L
 R  i (t )  q(t )  U (ekv1).
dt
C
Om vi använder q(t )  i (t ) då får vi följande ekvation med en variabel:
1
L  q(t )  R  q(t )  q(t )  U ,
C
( efter subst. L, R och C)
q(t )  3q(t )  2q(t )  sin t  3 cos t . (ekv 2)
Ekvationen har den allmänna lösningen
q(t )  C1e t  C2 e 2t  sin t
Eftersom q(t )  i (t ) får vi
i(t )  C1e  t  2C2 e 2t  cos t
Från begynnelsevillkoren i(0)=0 och q (0)  1 får vi
ekv1:  C1  2C2  1  0
ekv2: C1  C2  1
Härav C1  1 och C2  0 och därför
i(t )  e  t  cos t
och q(t )  e  t  sin t
Svar:
i(t )  e  t  cos t
q(t )  e  t  sin t
Uppgift 8. ( 4 poäng)
a)( 2 poäng)
Ställ upp ett ekvationssystem för nedanstående nät, med avseende på strömmarna
i1 (t ), i2 (t ) och i3 (t ) . Du behöver inte lösa systemet!
b) ( 2 poäng)
I tankar A och B finns 100 liter respektive 300 liter saltvatten som innehåller, 50g,
respektive 80 g salt. Tanken A tillförs 10 liter vatten per minut som innehåller 20
gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 14 liter förs till B och därefter 4
liter från B förs till A och 10 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t)
beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t
Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t) och ange begynnelsevillkor.
Du behöver inte lösa systemet!
Svar a:
ekv1:
ekv2:
ekv3:
i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )
L2i1(t )  R2  i2 (t )  L1i1(t )  u(t )
R1i3 (t )  R3i3 (t )  L3i3 (t )  R2i2 (t )  0
Svar b:
ekv1:
ekv2:
y (t )
x (t )
 14 
300
100
x (t )
y (t )
y (t )
y (t )  14 
 4
 10 
100
300
300
x (t )  200  4 
Begynnelsevillkor:
x (0)  50 , y (0)  80