Karlstads universitet
matematik
Peter Mogensen
Tentamensskrivning i matematik
GISprogrammet MAGA45
den 23 augusti 2012 kl 14–19
Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling.
Jourtelefon: 0733141592
Senast kl 18 skall lösningarna till uppgifterna 1–4 lämnas in. Först då får räknare
användas.
Om inget annat sägs, antas jordytan vara en sfär med omkrets 4000 mil. Lösningar
skall vara motiverade i rimlig omfattning. Svara med exakta värden om inte annat
framgår av uppgiften.
Uppgifter som skall lösas utan räknare:
1 Grafen !(!) = ! ! − 1 skärs av den räta linjen ! + ! = 1
i punkterna A och B.
I vilken punkt skär kurvans tangenter i A och B varandra?
(3)
2 Genom Karlstad (K) drar vi en longitudcirkel från Nordpolen
(N) till Sydpolen (S). Vi borrar också en tunnel i rät linje genom
jordens inre från K till en punkt L som ligger rakt söder om K.
Mittpunkten M på sträckan KL ligger på avståndet en halv
jordradie från jordens medelpunkt O.
a Bestäm vinkeln KOL.
(2)
b Bestäm vinklarna KNL och KSL.
(1)
3a Använd trigonometriska samband för att bestämma ett
uttryck i cosx för cos(3x) och ett uttryck i sinx för sin(3x).
b Bestäm eventuella nollställen och extrempunkter till
funktionen !(!) = 3cos! − cos3!.
(4)
4 Bestäm eventuella stationära punkter och avgör deras
karaktär för funktionen
!(!, !) = 3! ! (! − 3) + ! ! − 3!
Då lösningar till ovanstående uppgifter lämnats in får räknare
användas för att lösa de återstående.
(3)
5 Alldeles intill riksväg 50, ungefär mitt emellan Kopparberg och
Grängesberg ligger punkten 15°E 60°N. Vi kallar den P.
a Den punkt på jordytan som ligger längst från P kallar vi Q.
Ange longitud och latitud för Q.
b Från Q rör vi oss 100 mil mot Sydpolen. Då är vi i R.
Vad är kortaste avståndet längs jordytan mellan R och P?
c Vad är kortaste avståndet genom jordens inre mellan R och P?
Hur mycket kortare är det mellan R och P än mellan Q och P
(den raka vägen genom jordens inre).
Avrunda svaren till hela mil.
(3)
6 Du åker skidor nedför en plan backe som lutar 30° mot
horisontalplanet. Du åker i brantaste riktningen.
Om ditt spår svänger 45° i backens plan, vilken vinkel har det då
mot horisontalplanet?
Svara med exakt värde och ett närmevärde avrundat till tiondels grader. (3)
cos! sin!
7 Visa att vektorn sin! sin! har längden 1 för alla reella x och y.
cos!
8 Punkten P = (cost, sint) ligger i första kvadranten på enhetscirkeln.
Punkten B = (0, sint). A är punkten (1, 0). Betrakta området som
begränsas av sträckorna AB och BP samt cirkelbågen PA.
För vilken vinkel t antar arean av det området sitt största
!
värde (0 < t < ! )?
(2)
(3)
Facit
("ganska säkra" svar)
1) –(1/2, 3)
2a) 120°
2b) Båda är 60°
3a) cos3x = 4cos ! ! − 3cos!;
!
3b) Nollställen x = ! + !"
sin3x = 3sin! − 4sin! !
!
Maxpkter ± ! + 2!", 8 och ! + 2!", −2 ,
!!
minpkter ± ! + 2!", − 8 och 2!", 2
4) sadel (0, 1) lok max (0, –1)
5a) 165°E, 60°S
b) 900 mil c) 1269 resp 4 mil.
!
6) arcsin ! ≈ 20,7°
8) t = π/3
Karlstads universitet
matematik
Peter Mogensen
Tentamensskrivning i matematik
GISprogrammet MAGA45
den 24 februari 2012 kl 14–19
Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling.
Jourtelefon: 0733141592
Senast kl 18 skall lösningarna till uppgifterna 1–4 lämnas in. Först då får räknare
användas.
Om inget annat sägs, antas jordytan vara en sfär med omkrets 4000 mil. Lösningar
skall vara motiverade i rimlig omfattning. Svara med exakta värden om inte annat
framgår av uppgiften.
Uppgifter som skall lösas utan räknare:
1 Bestäm för vilka x som funktionen !(!) = ! !" (! − 1)!" har eventuella
max-, min- eller terrasspunkter.
Har funktionen något minsta värde? Det behöver i så fall inte bestämmas
men svaret skall motiveras.
(3)
2 Bestäm de stationära punkterna och avgör deras karaktär för
funktionen
!(!, !) = ! ! − 12! + ! ! ! − ! !
3 Låt !(!) = cos 3! − sin 3!
samt ℎ(!) = !(!) ∙ !(!).
!
a Bestäm f'(x) och g'(x) samt !′
och !(!) = cos 3! + sin 3!
!
!"
b Bestäm och förenkla h'(x) samt ℎ′
(3)
!
.
!
!"
.
(3)
4 Bestäm de exakta avstånden längs jordytan mellan punkterna
a A: 45°W 45°N och B: 45°E 45°S
b C: 135°E 0°N och D: 45°E 30°N
c E: 110°E 78°S och F: 70° W 12°S
(3)
Då lösningarna till ovanstående uppgifter lämnats in får räknare användas för de
följande uppgifterna
Uppgift 5–8 får lösas med hjälp av räknare
5 Du står på en plan sluttning. Går man österut lutar det 15° uppåt,
går man norrut lutar det 10° uppåt.
a I vilken bäring (räknat medurs från norr) är den brantaste
nedförsbacken?
b Är det upp- eller nedförsbacke åt nordväst? Hur mycket?
Svara med en decimals noggrannhet.
6 En cirkelformad oljefläck sprider sig på havet. Då dess area är 15400
kvadratmeter så ökar den med 6600 kvadratmeter per minut. Hur fort
ökar radien i detta ögonblick?
!!
Det är tillåtet att använda närmevärdet ! = ! .
7 Bestäm vinkeln mellan egenvektorerna till A =
2 −3
.
−1 0
(3)
(3)
(2)
Svara exakt och ge närmevärde i grader avrundat till heltal.
8 Karlstad ligger på 13,50°E 59,38°N och Melbourne på 144,58°E 38,47°S.
Hur långt är det kortaste avståndet längs jordytan mellan orterna?
Avrunda till hela mil.
(2)
9 Du följer en nivåkurva som går rakt österut längs en bergssida.
Bergssidan är ett plan som lutar 30° mot horisontalplanet. Du kommer
till ett vägskäl där en väg går rakt åt nordost och en går rakt åt sydost.
På kartan bildar dessa vägar 90° vinkel med varandra, men vilket är
vinkeln mellan vägarna i verkligheten?
Svara med både exakt värde och med närmevärde avrundat till
tiondels grader.
(2)
Facit
Stor reservation för fel!
1) terrass för x = 0 och x = 1, min för x = 0.49. Ja det finns ett minsta värde för x = 0,49
eftersom funktionen avtar till vänster och växer till höger om det värdet.
2) (0, 2) min; (0, –2) max; (±3, 1) sadelpunkter.
3) ′(!) = −6cos6! = −!′(!); ℎ′(!) = −6sin12!; !′
−3 3 4a) 4000/3 b) 1000
c) 1000 (mil)
5a) 236,7°
b) nedåt 3,7°
6) 15 m/minut
7) arccos −
8) 1589 mil
9) 2arctan
!
!
!
!
≈ 117° (alt. 63°)
≈ 98,2°
!
!"
= −3 3; ℎ′
!
!"
=
Karlstads universitet
matematik
Peter Mogensen
Tentamensskrivning i matematik
Lantmäteri- och GISprogrammet MAGA45
den 28 februari 2013 kl 8.15–13.15
Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling.
Jourtelefon: 0733141592. (Det kan vara dålig täckning; i fall av bestående osäkerhet
rörande formuleringar, redovisa hur du tänkt.)
Senast kl 12 skall lösningarna till uppgifterna 1–3 lämnas in. Först då får räknare
användas.
Om inget annat sägs, beräknas avstånd kortaste vägen längs jordytan som antas vara
en sfär med omkrets 4000 mil. Lösningar skall vara motiverade i rimlig omfattning.
Svara med exakta värden om inte annat framgår av uppgiften.
Uppgifter som skall lösas utan räknare:
1 Derivera med avseende på x och förenkla om möjligt:
a cos (10x)
b cos!" !
c
!"# (!"!)
!"# (!"!)
(3)
2 Bestäm eventuella stationära punkter för funktionen
!(!, !) = ! ! + ! ! ! + ! ! − 2!
och avgör deras karaktär.
3
a
b
c
Låt !(!, !, !) = !" + 2!" + !"# samt P = (1, 1, 1) och Q = (3, 2, 3).
Bestäm gradienten i P.
Bestäm riktningsderivatan i P i riktning mot Q.
Bestäm ekvationen för tangentplanet till nivåytan som går genom P.
(3)
(3)
Då lösningar till ovanstående uppgifter lämnats in får räknare
användas för att lösa de återstående.
4 Från en punkt A på 30° nordlig latitud går vi till en punkt B på
ekvatorn, sådan att avståndet AB är 1000 mil. Punkt C ligger rakt
norr om B, på samma latitud som A. Bestäm avståndet mellan A och C
a längs latituden
b kortaste vägen längs jordytan
c raka vägen genom jordens inre.
(3)
5 Fyra stigar korsar varandra på en plan sluttning. Följer man stigen
rakt österut går det uppför i 30° vinkel mot horisontalplanet. Följer
man stigen rakt norrut så är stigningen 60°.
a Den tredje stigen går i brantast möjliga riktning. I vilket väderstreck
rör man sig då man följer den stigen och vad är vinkeln mot horisontalplanet?
b Vilken vinkel mot horisontalplanet är det i rakt nordostlig riktning?
Svara gärna med exakta värden. Närmevärden avrundas till tiondels
grad.
(4)
6 Från Arlanda (17°55'E, 59°38'N) flyger du kortaste vägen till Honolulu
(157°55'W, 21°20'N).
a Vilket är ditt minsta avstånd till Nordpolen under färden? Avrunda
till hela mil.
b Du flyger på en mils höjd. Hur långt från polen får du högst vara om
du skall kunna ha den inom synhåll? Kommer du ha möjlighet att se den
under flygningen (vid goda siktförhållanden)?
(4)
7 Bestäm den linje som, i minsta kvadratmetodens mening, bäst ansluter
sig till punkterna (2, 2), (3, 1), (4, 1).
(2)
8 Grafen till f(x) har i skärningspunkten med y-axeln tangenten y = 3x+4.
Grafen till g(x) har i skärningspunkten med y-axeln tangenten y = 2x+5.
Vad är tangenten till grafen h(x) = f(x) ∙g(x) där den skär y-axeln?
(2)
b) –10cos ! ! sin!
1a) –10 sin(10x)
!"
c) – !"#! (!"!)
2) lok min i (0, 1); sadel (±2, –1)
2
3
4
3a)
4a)
c)
!" !
!
! !
!
c) ! + 2! + ! = 4
b) 5
= 500 3 mil ≈ 866.0 mil
≈ 779.7 mil (alt. 2! sin
!
!"##$%
!
!
b) Rarccos 0.25 ≈ 839.1 mil
)
!
5a) Bäring arctan ! (≈ 18.4° öst om nord), lutning arctan b) arctan
!
!
!"
!
≈ 61.3° ≈ 58.5°
−0.01348
6a) Normalv −0.98627 har längd 0.986967; cosv = 0.03498
+0.03451
Vinkel från polen ca 2.004°, ger d = 22.27 mil
b) Från 1 mils höjd ser man ca 35 mil, polen bör vara i sikte.
!
7) = − ! +
!"
!
8) h(0) = f(0) ∙g(0) = 4∙5 = 20
h'(0) = f'(0) ∙g(0) + f(0) ∙g'(0) = 3∙5+4∙2 = 23
Tangentens ekvation är y = 23x+20
