TENTAMEN I MATEMATIK - Lunds Tekniska Högskola

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
TENTAMENSSKRIVNING
LINJÄR ALGEBRA
2007-05-29 kl 8.00-13.00
Svar förenklas maximalt.
Alla baser kan antas vara ortonormerade och positivt orienterade.
1. Vektorerna u    3, 0,4, v   7, 0,  1 och w   0, 2,1 är givna.
a) Bestäm vinkeln mellan vektorerna u och v .
(0.3)
b) Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av u och w .
(0.4)
c) Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av u , v , w .
(0.3)
2. a) Bestäm ekvationen för linjen L som går genom punkterna
(1, 0, 3) och ( 2,  1, 4) .
b) Planet  är ortogonal mot L och innehåller punkten (1, 0, 3) .
Bestäm ekvationen för  .
c) Bestäm skärningspunkten mellan  och linjen
(0.2)
(0.4)
(0.4)
L1 : ( x, y, z)  (1,1,1)  t (1,  1,1) .
3. a) Visa för en godtycklig matris A att det A 1  
1
.
det A
b) Lös matrisekvationen AXA1  B ,
där
(0.2)
(0.8)
0
2
1 1
  2 1




1  1 .
A 3
1  2  och B   0
1 2
 3
0 
2  3 


4. L är skärningslinjen mellan planen x  2 y  z  1  0, x  3 y  3z  2  0
och  3x  5 y  z  2  0 . Bestäm minsta avståndet mellan L och
punkten P : ( 2,  3, 2) .
5. Vektorerna u1   2,  2,1, u2   a,1,  2 är ortogonala.
Bestäm en positivt orienterad, ortonormerad bas e1 , e2 och e3
(1.0)
(1.0)
så att e1 u1 och e2 u2 . Bestäm koordinaterna för v  (1,1,1)
med avseende på den nya basen e1 , e2 och e3 .
6. Bestäm ekvationen för planet  som är parallell med z -axeln och
innehåller punkterna ( 2,1,1), (1, 2, 2) . Bestäm spegelbilden i planet 
av en godtycklig punkt på z -axeln
TREVLIG SOMMAR!
(1.0)