1. Kinematik, rörelsebeskrivning
dr
v= dt
t
∫ v dt = r − r 0
t0
dv d 2 r
a= = 2 dt dt
t
∫ a dt = v − v
0
t0
Rörelse i en dimension dx
v= dt
t
∫ v dt = x − x
a=
t
dv d 2 r
=
dt dt 2
∫ a dt = v − v
dv dx dv
= v
dx dt dx
0
t0
a=
0
t0
x
x
x0
∫ v dx dx = 2 (v
∫ a dx =
dv
1
2
− v 20 ) x0
Speciellt om accelerationen a är konstant v = v 0 + a ( t − t 0 ) 1
2
x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + a ( t − t 0 ) 2
1
a ( x − x 0 ) = (v 2 − v 20 ) 2
Plan rörelse Kastbana ax = 0
v x = v 0 cos α
x = tv 0 cos α
a y = −g
v y = v 0 sin α − gt
1
y = y 0 + tv 0 sin α − gt 2 2
Krökt bana, krökningsradien r varierar. v2
riktad inåt
r
dv
Tangentiell acceleration a t =
dt
Radiell acceleration a r =
2. Newtons lagar Newtons första lag definierar berättigade referenssystem N I: En kropp som inte utsätts för någon yttre kraft (eller om summan av yttre krafter på kroppen är noll) förblir i sitt tillstånd av vila eller rörelse med konstant hastighet relativt ett berättigat referenssystem. Detta är en definition av berättigat referenssystem, av icke-­‐accelererat referenssystem Newtons andra lag gäller endast i berättigade referenssystem dp
N II :
F
∑ i = dt
i
eller :
där ∑ Fi är summan av yttre krafter på kroppen m
i
∑ Fi = ma
i
Newtons tredje lag gäller oberoende av referenssystem N III: När två kroppar växelverkar utövar de lika stora motriktade krafter på varandra. Några krafter Gravitationskraft FG =
Gm1m 2
r 2
Snörkraft S lätt snöre S1 = S2 = S
f ≤ µs N när kroppen ej glider
Friktionskraft
f = µ k N när kroppen glider
Kraft av fjäder Fk = −kx
3. Rörelsemängd, impuls och system av kroppar
Rörelsemängd p=mv
System av kroppar Systemets massa M = ∑ m i
i
Masscentrums läge R =
∑m r
i i
i
M
mv
∑ i i
Masscentrums hastighet V = i
M
Systemets rörelsemängd P = ∑ p i = ∑ m i v i = MV
i
i
Impuls
Impuls av kraften F
I=
t2
∫F
t1
dt
Impulslagen, gäller alltid
Itot =
t2
∫ ∑F
t1
dt = P2 − P1 ”Lagen” om rörelsemängdens bevarande, gäller ibland Om summan av yttre krafter på en kropp eller ett system av kroppar är noll (eller försumbar) så är kroppens respektive systemets rörelsemängd konstant. t2
Itot = ∫ ∑ F dt = 0 ⇒ P2 − p1 = 0 t1
4. Arbete, effekt, energi
r2
Arbete av en kraft W =
∫ F ⋅ dr
r1
För konstant kraft W = F ⋅ s = Fscosθ
r2
Totalt arbete Wtot = ∫ ∑ Fi ⋅ d r = ∑ ∫ Fi ⋅ d r =∑ Wi
r2
r1
i
i
r1
där Fi är alla krafter, inre och yttre
i
ΔW
Effekt P = F ⋅ v = Fvcosθ Medeleffekt P =
Δt
Kinetisk energi Kinetisk energi K =
1
1
mv 2 För system av kroppar K = ∑ K i = ∑ m i v 2i
2
i
i 2
Arbete-­‐energi-­‐lagen, gäller alltid Arbete-­‐energi-­‐lagen Wtot = K 2 − K1 gäller alltid! Konservativ kraft och potentiell energi
Potentiell energi av konservativ kraft F
U 2 − U1 = − ∫ F ⋅ d r
r1
Konservativ kraft beräknad ur potentiell energi
r2
dU
Fx = −
dx ”Lagen” om energins bevarande , gäller ibland Om alla verkande krafter, yttre och inre krafter, är konservativa så är kroppens resp systemets totala mekaniska energi konstant. Etot.mek= K+U E tot,mek = kons tan t
K1 + U1 = K 2 + U 2
om alla arbetande krafter är konservativa
Arbete-­‐energi vid konservativa och icke-­‐konservativa krafter K1 + U1 + Wicke−kons = K 2 + U 2
där Wicke−kons är arbetet av icke-konservativa krafter
Några konservativa krafter
Tyngdkraft, vid jordytan F = −mgy
Gravitationskraft potentiell energi
U mg = mgy
Gm1m 2
FG = −
r̂
r2
potentiell energi
F = −kx
potentiell energi
U Grav = −
Gm1m 2
r
Fjäderkraft 1
U mg = kx 2
2
Relativitetsteori Lorentztransformationen Förutsättningar: Systemet S´ rör sig relativt S-­‐systemet med hastighet u i x-­‐riktningen. Systemet S´ :s x´ -­‐axel ligger längs S-­‐systemet x-­‐axel. y-­‐ och y´-­‐axlarna är parallella, liksom z-­‐ och z´-­‐axlarna. Klockorna i origo i respektive system visar tid t=0 resp t´=0 då då origona sammanfaller. 1
γ=
u 2 1− 2
c
x´= γ ( x − ut )
x = γ ( x´+ut´)
y´= y y = y´ z´= z
z = z´
" ux %
" ux! %
t´= γ $ t − 2 '
t = γ $ t! + 2 ' # c & #
c &
Transformation av hastighet v = (v x , v y , v z ) i S-­‐systemet till v´= (v!x , v!y , v!z ) i S´-­‐systemet v!x =
v!y =
vx − u
uv 1− 2x
c
vx =
vy
# uv & γ %1− 2x (
$
c '
vy =
vz
# uv x & γ %1− 2 (
$
c '
vz =
v!x + u
uv! 1+ 2x
c
v!y
" uv! % γ $1+ 2x '
#
c &
v!z =
Tidsdilatation x!2 = x1! ger
v!z
" uv!x % γ $1+ 2 '
#
c &
Δt=t 2 − t1 = γ ( t!2 − t1! ) = γΔt!0
där Δt"0 som mäts med samma klocka ( x1" = x"2 ) kallas egentid Längdkontraktion : t 2 = t1 ger L = x 2 − x1 =
1
1
( x"2 − x1" ) = L"0 där L"0 kallas egenlängd γ
γ
