Matematikundervisning
relaterad till elevers
upplevelse av begriplighet,
hanterbarhet och
meningsfullhet
Fredrik Sandberg och Sandra Ström
Institutionen för didaktik och pedagogiskt arbete
Examensarbete 15 hp
Matematikundervisning
Självständigt arbete UDA01L 15 hp
Höstterminen 2009
Examinator: Ingrid Berglund
English title: Education in mathematics related to students sense of
Comprehensibility, Manageability and Meaningfulness
Sammanfattning
Syftet med vår studie var att öka kunskapen om verksamma lärares undervisningspraktik i
ämnet matematik relaterat till elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och
meningsfullhet i densamma. Dessa tre begrepp utgör i sitt ursprungliga sammanhang
komponenterna i KASAM (Känsla Av SAMmanhang), ett begrepp som har skapats av Aaron
Antonovsky (2005). De tre begreppen definierades i relation till matematikundervisning för att
kunna appliceras på denna studie. Ett underordnat syfte med studien var även att utveckla och
utvärdera en metod för lärare att bli medvetna om sina elevers upplevelse av matematikundervisning. I denna studie undersöktes undervisningspraktiker i ämnet matematik bedrivna av
tre utbildade lärare i år 3 och jämförde med hur eleverna i respektive lärares klass upplevde
undervisningen utifrån begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. För att ta reda på lärares
undervisningspraktik i ämnet matematik användes metoden observation och för att ta reda på
elevers upplevelse av matematikundervisningen användes metoden enkätundersökning.
Författarna skapade en enkät utifrån det KASAM-test som Antonovsky (2005) har utformat.
Våra undersökningsresultat visade att i den klass där eleverna starkast upplevde begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen ägde en undervisning rum som i
störst utsträckning genomsyrades av ett klimat där ett syfte med ämnet matematik och elevernas
uppgifter var uttalat. Det matematiska innehållet var tydligast relaterat till det arbetssätt som
användes för stunden och kopplingen dem emellan var oftast uttalad. Vidare erbjöds dessa
elever i störst utsträckning flera olika arbetssätt inom samma moment och dessutom lärarledda
sammanfattningar där dagens, gårdagens och morgondagens lektioner knöts ihop. Eleverna i
denna klass kunde uttrycka sig muntligt i hel- och halvklass utan att det som sades direkt
bedömdes. De fick även möjligheter att förstå matematiken utifrån en helhet och sin egen
verklighet. Läraren i denna klass var dessutom synligt mer engagerad i ämnet matematik och de
uppgifter eleverna ställdes inför.
Nyckelord
Matematik, Undervisning, Upplevelse, Begriplighet, Hanterbarhet, Meningsfullhet
Kapitel 1 Bakgrund .......................................................................... 2
Inledning ................................................................................................... 2
Kunskapsområde ..................................................................................... 3
Syfte och problem ....................................................................................... 5
Syfte ...................................................................................................... 5
Forskningsfrågor – exempel ...................................................................... 5
Kapitel 2 Teoretiskt perspektiv ........................................................ 6
KASAM ...................................................................................................... 6
KASAM relaterat till skolans styrdokument ..................................................... 7
Centrala begrepp ........................................................................................ 9
Tidigare forskning ..................................................................................... 10
Didaktiska teorier i matematik ................................................................ 11
Kapitel 3 Metod .............................................................................. 16
Urval ....................................................................................................... 16
Enkätundersökning ................................................................................... 16
Uppläggning, val och genomförande ........................................................ 17
Observation ............................................................................................. 19
Uppläggning, val och genomförande ........................................................ 19
Materialbearbetning .................................................................................. 20
Etiska aspekter ......................................................................................... 22
Uppläggning, val och genomförande ........................................................ 23
Kapitel 4 Resultat........................................................................... 24
Beskrivning av data/empiri ........................................................................ 24
Enkätresultat ........................................................................................ 24
Observation av undervisning utifrån ett helhetsperspektiv samt ett
individperspektiv ................................................................................... 27
Analys av data/empiri................................................................................ 33
Begriplighet .......................................................................................... 33
Hanterbarhet ........................................................................................ 36
Meningsfullhet ....................................................................................... 38
Kapitel 5 Diskussion ....................................................................... 41
Betydelse av resultat relaterat till tidigare forskning ...................................... 42
Reflektion över forskningsprocessen ............................................................ 46
Nya frågor/vidare forskning .................................................................... 46
Referenser ..................................................................................... 48
Bilagor ........................................................................................... 51
Bilaga 1: Samtyckesenkät för elever ........................................................... 52
Bilaga 2: Samtyckesenkät .......................................................................... 53
Bilaga 3: Identifierad undersökningsenkät ................................................... 54
Bilaga 4: Anonym undersökningsenkät ........................................................ 57
Bilaga 5: Enkätmall kopplad till begreppen begriplighet, hanterbarhet och
meningsfullhet. ......................................................................................... 60
1
Kapitel 1 Bakgrund
Inledning
Ingen annan ska bestämma över ditt matematiska lärande utan att du är delaktig. (Ljungblad,
2006 s.39)
Ann-Louise Ljungblad, specialpedagog som många år forskat inom området matematiksvårigheter,
skriver detta i boken ”Matematik – en mänsklig rättighet” (2006). Att uttrycka matematik som en
mänsklig rättighet kan ses som en överdriven formulering, samtidigt känns den självklar. Alla har
rätt att under sin skolgång få möjligheten att lära sig matematik. Varför skulle eleverna då inte
också få vara delaktiga i det som sker? Från den tid då författarna till denna studie gick i grundskolan finns inga minnen av att eleverna fick ta del av undervisningen på ett konstruktivt sätt.
Läraren var den som bestämde vad som skulle ske och hur det skulle utföras, vad som var rätt och
vad som var fel. Läraren skapade en norm som vi elever fick förhålla oss till efter vår bästa
förmåga.
Dessa normer finns än i dag i skolan utifrån vad vi har sett under våra praktikperioder. Om än i
mindre skala än för 20 år sedan. Normerna skiljer sig åt för olika klasser och i olika skolor, inte
minst i matematikundervisningen. Man kan säga att det råder olika kulturer, sätt att se på
matematikundervisning, i olika klasser och skolor. Det sätt som en lärare väljer att se på
kunskapsutveckling i ämnet matematik gäller inte för en annan lärare.
För att en lärare ska ge alla elever en så stor chans som möjligt att utveckla sin matematiska
förståelse tror vi att läraren kontinuerligt behöver ifrågasätta den undervisningskultur som han/hon
har skapat. Det kan åstadkommas genom att försöka sätta sig in elevernas upplevelsevärld. Frågor
som läraren bör ställa sig kan förväntas utgå från eleverna: Hur upplever eleverna undervisningen i
matematik? På vilket sätt behöver jag som lärare utveckla min undervisning för att alla elever minst
ska nå uppnåendemålen och må så bra som möjligt på matematiklektionerna?
Skolinspektionens kvalitetsgranskning av undervisningen i matematik (2009) visar att det finns
lärare som tillgodoser elevers olika sätt att lära samt att de försöker variera arbetssätten för att skapa
en lustfylld matematikundervisning. Samtidigt visar rapporten att många elever inte får den
undervisning de har rätt till. Många elever är inte ens medvetna om de mål de förväntas uppnå.
Frågan man kan ställa sig är om lärarna ifråga vet att eleverna upplever det så, att eleverna inte har
en aning om vad som förväntas av dem.
Vi tror att elevers upplevelse av undervisningen är en oerhört viktig aspekt av vad läraren bör
grunda sin utveckling av undervisning på. Vi tror även att en matematikundervisning där elevers
upplevelser utgör en naturlig del av lärarens planering kan skapa en känsla av sammanhang hos
eleverna som kan bidra till en förståelse byggd på begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
2
Kunskapsområde
Matematikundervisning har studerats mycket. Det finns många olika tankar om hur
matematikundervisning bör genomföras för att kunskaperna hos eleverna ska öka maximalt. En del
tycker att matematikundervisning inte bör genomföras med en lärobok då den anses alltför snäv för
att kunna möta alla elever utifrån deras tidigare kunskaper och förståelse (Kronqvist & Malmer,
1993). Andra menar att en lärobok kan vara till stöd för att alla elever ska ha rätt att nå de
kunskapsmål som finns i matematik (Johansson, 2006). Även lektioner emellan, som på en nivå är
lika, menar Runesson (2004) att det finns skillnader som kan förefalla subtila men som är
avgörande för vad eleverna faktiskt lär sig. Dessa skillnader kan vara en förklaring till om eleverna
har lyckats skapa sig en förståelse för den aktuella matematiken. Detta kan också vara illustrativt
för de resultat på de nationella proven där utformningen av uppgifterna kan skilja sig från det som
eleven sedan tidigare är bekant med. Finns inte förståelsen tror vi att det är svårt att applicera
kunskaperna på olika typer av uppgifter. Ett sådant exempel som vi har fått berättat för oss i en
skola var en mätuppgift i de nationella proven för år 3. Eleverna fick i uppgiften tillgång till en
avbruten linjal som inte började på noll. Många elever i den aktuella skolan förstod inte hur de
skulle kunna mäta ett objekt med en avbruten linjal. De hade dock fått möjlighet att träna mätning
under sina lektioner och var inte obekanta med företeelsen men när mätinstrumentet såg annorlunda
ut kunde de inte applicera sina kunskaper i detta nya sammanhang. Detta anser vi vara ett exempel
på att eleverna troligtvis mätt saker utan att egentligen förstå mätandets princip.
Skolverket skriver i ett pressmeddelande 21 oktober 2009 att de efter att ha sammanställt de
nationella proven i matematik för år 3 kommit fram till att delprovet rörande förståelse för de fyra
räknesätten visar att 27 procent av eleverna inte når upp till lägsta kravnivån. Att det just är
förståelsen som brister tolkar vi som att många elever räknar mekaniskt under lektionerna i
matematik. Med mekaniskt räknande menar vi att det bara handlar om ett görande utan förståelse.
Vad detta beror på kan spekuleras i men några möjliga förklaringar står att finna i matematikdelegationens betänkande ”Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens” (2004). Här
framställs läraren och dennes situation som delegationens viktigaste fråga just nu. De menar att
läraren är den enskilt viktigaste påverkansfaktorn för elevers kunskapsutveckling och det är upp till
läraren att leda en undervisning med meningsfullt innehåll och att stimulera barns matematiklärande. Matematikdelegationen (2004) deklarerar tydligt sitt avståndstagande från den växande
trend av enskilt räknande som de uppmärksammat. De menar att om eleverna ska få lust till och
vilja att lära sig meningsfull matematik krävs att tiden för matematikundervisning utnyttjas bättre.
Den internationella undersökningen TIMSS (Trends in International Mathematics and Science
Study) genomfördes våren 2007 och Sverige deltog i undersökningen bland annat utifrån elevers
kunskaper i matematik i år 4 och år 8. I rapporten från TIMSS framgår det att Sverige inte har fler
elever som tillhör de mest lågpresterande än genomsnittet för EU/OECD-länder men däremot har
Sverige en mindre andel elever som högpresterar på provet. Testet åskådliggör också att svenska
elever är relativt sett sämre på att använda begrepp och fakta än genomsnittet. En annan aspekt som
visade sig var att elever som angett att de har gott självförtroende att lära och positiv inställning
presterade bättre på provet än elever som uppgett att de har sämre självförtroende och mindre
positiv inställning.
Många diskussioner har förts och förs fortfarande angående hur man på bästa sätt kan möta elever i
deras matematikutveckling. Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) har publicerat en
3
bok, ”Lära och undervisa matematik – internationella perspektiv” (2006), utifrån resultaten av ett
internationellt samarbete. Studierna i boken visar bredden inom didaktiken i ämnet matematik och
det gemensamma intresset i att utveckla matematiklärandet för alla. I det inledande kapitlet skriver
Boesen (2006) att det i dag existerar en stor enighet om det värdefulla i att alla lär sig matematik i
skolan. Han menar att synen på matematik har förändrats från att se inlärning som en kumulativ
process att stegvis tillägna sig fakta och färdigheter till att se lärandet som en process att konstruera
kunnande och att förklara, skapa och anpassa detta till vår omvärld. Elever utmanas nu att upptäcka,
konstruera, verifiera och diskutera idéer. De ska söka samband mellan olika begrepp och konstruera
meningsfulla helheter ur erfarenheter. Boesen (2006) är övertygad om att alla kan lära sig
grundläggande matematik med relevant stöd och god undervisning.
Detta är också någonting som Ann-Louise Ljungblad (2006) skriver om. Efter att ha arbetat som
specialpedagog och många år forskat inom området matematiksvårigheter menar hon att alla elever
har möjlighet att på olika sätt erövra ett personligt matematiskt kunnande samt att alla elever
faktiskt har rätt att få möta en undervisning som kan ta tillvara individers olikheter och möjligheter.
Ljungblad (2006) menar att vi mer och mer går ifrån synsättet att den person som inte är duktig i
matematik är ointelligent. Detta har i tider påverkat människors självbild. Samtidigt tar hon upp en
stor studie i Finland genomförd av Linnanmäki (2002) där man studerade två faktorer: prestation
och självbild. I alla skolans ämnen fanns det fyra olika uppfattningar, utom i matematik. Där fanns
det bara två: hög prestationsförmåga och hög självuppfattning samt låg prestationsförmåga och låg
självuppfattning. Slutsatsen hon drar är att självuppfattningen är starkt knuten till att kunna
tillgodogöra sig matematikundervisningen. En grundläggande värdering inom
matematikundervisning som hon lyfter är att alla har rätt till sin egen tanke. Elever måste få pröva
sina tankar och mötas av en positiv respons. Alla har vi t ex olika bilder av hur tal förhåller sig till
varandra. Ansvaret vilar på läraren att möta eleven snarare än att förvänta sig att eleven ska kunna
tillgodogöra sig lärarens sätt att presentera matematik. Enligt Ljungblad (2006) är uppfattningen
och upplevelsen av matematik hos människor komplexa. Hon menar att det antagligen finns lika
många sätt att tänka matematik som det finns människor.
Många frågor har också ställts av forskare vad det är som gör att en del elever inte tar till sig
lärarens undervisning. Många lösningar har hittats och publicerats. Det är för eleverna dessa
ansträngningar görs. Det är för eleverna som forskare vänder och vrider på de elementära
kunskaperna för att alla elever ska få möjligheten att nå målen. Det är för eleverna som lärarna
varje dag planerar sina matematiklektioner. Har det någon betydelse om ingen tar reda på vad
eleverna i den aktuella klassen upplever relaterat till den matematikundervisning som läraren ifråga
försöker bedriva? Begreppet uppleva kan tyckas vara diffust och abstrakt vilket leder oss till att
försöka hitta forskning där mer konkreta begrepp används som kan fungera som jämförelsebara
helhetsskapande aspekter av personers upplevelser.
En internationellt känd medicinsk sociolog och professor i ämnet, Aaron Antonovsky, myntade
begreppet KASAM (Känsla Av SAMmanhang). Antonovsky (2005) skriver att en stark känsla av
sammanhang innebär att man på ett framgångsrikt sätt kan hantera livets påfrestningar. Att ha en
känsla av sammanhang, stark eller svag, innebär en helhetskänsla av sin omvärld utifrån personens
upplevelser av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
4
Vi är övertygade om att dessa tre begrepp är värdefulla att beakta beträffande elevers upplevelse av
matematikundervisning. En lärare bör organisera, genomföra och utvärdera sin undervisning med
utgångspunkt i elevernas upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet för att
eleverna i slutänden ska nå så högt uppsatta ämnesmål som möjligt.
Syfte och problem
Vi ska, med hjälp av vårt valda teoretiska perspektiv, försöka finna och diskutera didaktiska
lösningar som påverkar elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet positivt
och negativt i matematikundervisningen.
Syfte
Syftet med vår studie är att öka kunskapen om verksamma lärares undervisningspraktik i ämnet
matematik relaterat till elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i
densamma. Som ett underordnat syfte vill vi även utveckla och utvärdera en metod för lärare att bli
medvetna om sina elevers upplevelse av matematikundervisningen.
Forskningsfrågor – exempel
1. Hur ser tre olika lärares undervisningspraktik ut i ämnet matematik?
2. Hur upplever eleverna i respektive lärares klass ämnet matematik utifrån begreppen
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet?
Det totala kunskapsområdet inom ämnet matematik är stort men vi har nu redogjort för det område
som vi anser vara relevant för denna studie. I kapitel 2 redogör vi för det teoretiska perspektiv och
de centrala begrepp samt tidigare forskning som vi kommer att analysera och diskutera våra
insamlade data utifrån.
5
Kapitel 2 Teoretiskt perspektiv
Det teoretiska perspektiv som vi har valt att använda är den salutogena teorin utarbetad av Aaron
Antonovsky (2005). Nedan följer en presentation av honom och hans teori. Sedan redogör vi för de
styrdokument för skolan vi hittat som nämner och resonerar kring ursprungliga och likartade
begrepp som härrör från Antonovskys teori.
KASAM
Aaron Antonovsky (1923-1994) var under sin levnadstid en internationellt erkänd och högt
respekterad medicinsk sociolog och prefekt vid Ben Gurion University of the Negev, Beersheba i
Israel. Antonovsky föddes i Brooklyn i, New York, USA men emigrerade 1960 till Israel. Han har
arbetat med att undersöka skillnader i dödlighet och sjuklighet mellan olika samhällsklasser.
Antonovsky (2005) gjorde flera djupintervjuer med människor som hade varit med om svåra
trauman men som trots detta verkade må mycket bra. Detta ledde till ett utvecklande av den
salutogena teorin som resulterade i att han myntade begreppet KASAM (Känsla Av SAMmanhang,
engelsk översättning: Sense of coherence).
Aaron Antonovskys salutogena teori innebär att istället för att försöka finna orsaker till sjukdom
fokuserar man på salutogena faktorer som får människan att bli och vara frisk (Antonovsky, 2005).
Saluto betyder hälsa och genesis betyder ursprung. Direkt översatt betyder då salutogen hälsans
ursprung. Antonovsky (2005) skriver att en stark känsla av sammanhang innebär att man på ett
framgångsrikt sätt kan hantera livets påfrestningar, s. k stressorer. Detta betyder att man har starka
GMR (generella motståndsresurser) som fungerar som en motverkande kraft mot de påfrestningar
vi möter i livet. Begreppet KASAM består av tre olika delar. Att ha en känsla av sammanhang,
stark eller svag, innebär en helhetskänsla av sin omvärld utifrån personens upplevelser av
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. Dessa tre komponenter är oupplösligt
sammanflätade med varandra.
En upplevelse av begriplighet för en människa ger en känsla av att förstå det som pågår runt
omkring. Omvärlden upplevs greppbar och förutsägbar.
En upplevelse av hanterbarhet för en människa ger en känsla av att kunna hantera det man upplever
en begriplighet av, det man förstår. Man anser sig ha tillgång till de inre och yttre resurser som
krävs för att kunna hantera de situationer man ställs inför.
En upplevelse av meningsfullhet för en människa ger en känsla av motivation att över huvud taget
engagera sig i de situationer man ställs inför. En upplevelse av meningsfullhet är en förutsättning
för att man ska kunna uppleva begriplighet och hanterbarhet. (Antonovsky, 2005)
Antonovsky (2005) skriver att om en person har en stark KASAM så ligger känslorna till grund för
handling. Känslorna har en fokuserande effekt. Om man har en svag KASAM ligger känslorna till
6
grund för att bli paralyserad. Känslorna är då diffusa och har en distraherande effekt. Personer med
en stark KASAM låter sina känslor komma upp till ytan och låter sig själv vara öppen med dem.
Det är då lättare att handskas med problem man ställs inför (Antonovsky, 2005).
Enligt Antonovsky (2005) är den salutogena teorin och begreppet KASAM en global hållning som
bara är applicerbart på livet som en helhet. Han skriver vidare att KASAM och de tre
upplevelseaspekterna (begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet) inte kan användas på eller
relateras till ett enskilt livsområde, såsom skolan. Dock har vi hittat flera texter relaterade till skolan
där dessa begrepp samt likartade begrepp nämns, diskuteras och används som en grund för styrande
av skolan.
KASAM relaterat till skolans styrdokument
Vi kommer nedan att redogöra för stycken och citat ur texter och styrdokument relaterade till
skolan där ursprungliga och likartade begrepp från Antonovskys (2005) salutogena teori nämns och
diskuteras. De texter som utdragen är hämtade från är: Läroplanskommitténs huvudbetänkande
”Skola för bildning” (1992); ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006); ”Grundskolan: kursplaner och betygskriterier”
(Skolverket, 2008); ”Den individuella utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd
och kommentarer” (Skolverket, 2008). Efter citat följer en tolkning av oss.
Efter att ha läst ”Den individuella utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd och
kommentarer” (Skolverket, 2008) hittade vi ett stycke där författaren till texten direkt använder
Antonovskys (2005) tre begrepp begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Alla människor kan utvecklas och växa. Resultaten från forskning visar entydigt att höga och
positiva förväntningar har stor betydelse för elevers framgång i skolarbetet. Det är därför viktigt
att insatser och förändringar planeras och beskrivs så att elevens självuppfattning och självtillit
bevaras och stärks. Väsentligt är att planen hjälper eleven att se sitt arbete som meningsfullt,
begripligt och hanterbart. Den framåtsyftande planeringen ska innehålla realistiska målsättningar
för eleven och konkret beskriva vilka insatser som ska göras av skolan och vad eleven och
vårdnadshavaren kan göra för att eleven ska ha framgång i skolarbetet (Skolverket, 2008, s.
16.).
Vår tolkning av detta citat är att det inte bara är elevplanen i sig som ska hjälpa eleven att se sitt
arbete som meningsfullt, begripligt och hanterbart. Efter en kort telefonintervju med Mona
Bergman (091118), författare till texten ovan, framkom det att dessa tre begrepp (meningsfullhet,
begriplighet och hanterbarhet) på Skolverket anses vara nyckelord för en god undervisning i alla
ämnen. Vi blev hänvisade att läsa Läroplanskommitténs huvudbetänkande ”Skola för bildning”
(1992) som låg till grund för ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006). Nedan är några citat hämtade från ”Skola för bildning”
(Läroplanskommittén, 1992).
7
Kunskap är inte en avbildning av världen, utan ett sätt att göra världen begriplig. Kunskap är
beroende av sitt sammanhang, vilket utgör den (tysta) grund mot vilken kunskapen blir begriplig
(s. 26). Att förstå är att begripa, att uppfatta meningen eller innebörden i ett fenomen (s. 32).
Om skola och lärare anser att det är värdefullt för eleverna att uppfatta mening och innebörd i
begrepp och fenomen måste de, enligt vår tolkning av ovanstående citat, värdesätta och arbeta för
elevers förståelse av det ämne de arbetar med.
I skolan måste eleverna få möta, lära känna och utveckla kunskaper inom olika
kunskapsområden. Dessa kunskaper omfattar såväl frågor och svar som förmågan att hantera
praktiska och mentala verktyg (s. 41).
För att en elev ska kunna generalisera sina kunskaper och hantera dem för att lösa problem i olika
situationer måste eleven, enligt vår tolkning av ovan skrivna citat, få utveckla denna förmåga
genom att möta kunskaper och information inom olika kunskapsområden.
För att grundlägga en lust att lära och ta tillvara barnens nyfikenhet, kan kunskaperna istället
organiseras med utgångspunkt i barnens frågor. Senare, när de har kommit i kontakt med
tillräckligt många olika kunskapsområden kan en organisering av innehållet i termer av ämnen
vara rimlig (s. 46).
Ovan beskrivs en del av en progression i uppdelning av kunskapande i skolämnen. Vår tolkning av
detta citat är att kunskapsområdena under de första skolåren bör organiseras med elevernas frågor
och intressen som grund för att hos eleverna skapa en lust att lära.
Fakta är kunskap som information. Förståelse är kunskap som meningsskapande. Färdigheter är
kunskap som utförande. Förtrogenhet är kunskap som omdöme (s. 47).
Vår tolkning av detta citat är att kunskap som förståelse måste beaktas och vara en utgångspunkt för
lärarens undervisning om läraren och skolan värdesätter meningsskapande elever.
Kunskaper kan inte betraktas som färdiga produkter, som kan förstås isolerade från de
sammanhang där de utvecklades. På samma sätt påverkas elevernas kunskapsutveckling av hur
skolans verksamhet är organiserad. Skolan måste erbjuda ett socialt sammanhang där elevernas
kunskapande blir meningsfullt. Eleverna måste tillägna sig begrepp och strukturer från olika
ämnesområden på ett sätt så att de kan fungera som intellektuella verktyg (s. 48).
Vi tolkar detta citat som att elevernas kunskapande bör vara meningsfullt och att det är skolans
ansvar att skapa sammanhang som krävs för att detta meningsskapande ska äga rum. Dessutom
måste eleverna tillägna sig kunskap som kan fungera som generaliserbara tankeredskap.
Ur samhälleligt perspektiv betraktar vi forskning som den verksamhet som producerar ny
kunskap medan skolan i allmänhet betraktas som en kunskapsreproducerande institution. Frågan
är om inte skolan också måste vara producerande eftersom den skall erbjuda möjligheter att
förstå nya problem och sammanhang (s. 52).
Författarna menar, enligt vår tolkning, att förståelse av verklighetsanknutna sammanhang och
autentiska problem bör värdesättas i skolan.
8
Delvis ur dessa citerade stycken sprang år 1994 ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006) och således även ”Grundskola:
kursplaner och betygskriterier” (Skolverket, 2008). Nedan följer några utdrag ur denna läroplan
och kursplan.
I Lpo 94 står det skrivet att skolan ska bidra till elevers harmoniska utveckling. Läraren ska
samtidigt tillsammans med eleverna planera och utvärdera undervisningen samt organisera och
genomföra sitt arbete så att eleven upplever att kunskapande är meningsfullt.
En harmonisk utveckling, som nämns ovan, tolkar vi som att eleverna upplever att de är en del av
ett sammanhang, att eleverna känner att deras åsikter har betydelse för det egna lärandet. I och med
att Lpo 94 lägger vikt vid att läraren tillsammans med eleverna ska planera sin undervisning tyder
vi det som att läraren bör sätta sig in i elevernas upplevelsevärld. Eftersom lärare, som skrivet ovan,
också ska genomföra sitt arbete så att eleverna upplever kunskapandet meningsfullt bör det inte
finns några andra vägar dit än att ta reda på i vad, var och hur eleverna upplever meningsfullhet.
Enligt kursplanen i ämnet matematik (Skolverket, 2008) ska undervisningen ge eleven möjlighet att
utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet
sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på problem (s.26).
Att aktivt och öppet kommunicera matematik mot en förståelse borde enligt oss vara en självklarhet
i undervisningen. Att lärare, eller möjligtvis elever, lyfter relevanta och meningsfulla situationer
som diskuteras utifrån ett matematiskt perspektiv är enligt oss ett arbetssätt som kan främja elevers
upplevelse av konkretion i ett annars så abstrakt ämne som matematik.
Ett mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret i matematik är bland annat
att eleverna ska kunna:
uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk,
grundläggande matematiska begrepp och symboler, tabeller och bilder (s.28).
Enligt vår tolkning av detta citat bör elever få möjlighet att först förstå och begripa de matematiska
begreppens innebörd innan de avkrävs att kunna uttrycka dem i symboler, tabeller och bilder.
Med stöd i ovan nämnda styrdokument och dess användning av begrepp som är identiska med eller
tangerar Antonovskys (2005) tre komponenter, begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet,
motiverar vi vår användning av dessa tre komponenter som centrala begrepp i denna studie för att
undersöka matematikundervisning och elevers upplevelse av densamma. Nedan presenterar vi de
centrala begreppen i denna studie samt vår definition av dem. Därefter redogör vi för tidigare
forskning om didaktiska teorier i ämnet matematik relaterat till de centrala begreppen.
Centrala begrepp
De centrala begreppen i denna uppsats är begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. Det är
samma tre begrepp som Antonovsky (2005) en gång använde i sina teorier och undersökningar om
hälsans ursprung. Innan vi använder dem för att analysera våra resultat bör de tolkas och definieras
9
av oss utifrån det område vi rör oss inom, nämligen lärares matematikundervisning och elevers
upplevelse av densamma. Vi upplever det svårt att helt särskilja de tre begreppen från varandra
eftersom deras betydelser i vissa sammanhang är lika men vi har ändå försökt definiera dem var och
en för sig.
Begriplighet
Att uppleva begriplighet i matematikundervisningen är att just begripa den. Att känna att skeenden
runt omkring, aktiviteter och de uppgifter man ställs inför är gripbara, förståeliga och förutsägbara.
Upplevelsen av begriplighet har innebörden att man verkligen förstår de begrepp man använder i
arbetsprocessen med en uppgift, inte bara att förstå hur man ska få rätt svar, utan snarare att förstå
och kunna förklara den väg som leder fram till rätt svar. Tvärtemot mekanisk oreflekterad handling
innebär upplevelse av begriplighet att känna att man bemästrar förståelsen av de handlingar man
utför.
Hanterbarhet
Att uppleva hanterbarhet i matematikundervisningen innebär att man upplever sig besitta de
resurser som krävs för att kunna hantera det som sker runt omkring och de uppgifter man ställs
inför. Det innebär att uppleva att man kan möta och tillmötesgå de krav som är ställda av läraren via stenciler och mattebok - på gruppen och på mig som enskild elev. Att uppleva hanterbarhet av
en uppgift betyder inte alltid att man ska kunna lösa uppgiften och få rätt svar utan snarare att
uppleva att man har de intellektuella och praktiska verktyg/resurser samt annan hjälp som krävs för
att ha möjligheten att förstå uppgiften.
Meningsfullhet
Att uppleva meningsfullhet i matematikundervisningen är att förstå och uppleva ett syfte med
ämnet matematik, de uppgifter i matematik man ställs inför och att känna en drivkraft att vilja lära
sig matematik. Det innebär i sin tur en känsla av lust och motivation att ta sig an allehanda
matematiska problem. Man själv och andra viktiga personer har positiva förväntningar att man
kommer att lyckas.
Tidigare forskning
Vi har varit intresserade av forskning som berör eller snuddar vid matematikundervisning relaterat
till de våra centrala begrepp. Vi har sökt på databaserna http://www.sub.su.se/, www.kb.se/libris,
http://scholar.google.se/intl/sv/scholar/about.html/ och CSA Illumina efter avhandlingar och artiklar
med hjälp av sökord såsom ”matematikundervisning” tillsammans med sökorden som redovisas
nedan. De sökord som vi har använt för att leta matematikdidaktiska teorier är de centrala
begreppen samt likartade begrepp. Sökorden är:
Begriplighet: Förutsägbarhet, förståelse, insikt, förklaring, information, upplysning,
struktur och regler, tydlighet, benämningar, regelbundenhet, sammanhangsmarkeringar.
10
Hanterbarhet: Resurser, möjligheter, kontroll, bemästra, behärska, tillgångar, kunskap, påverka,
optimism, tillit, trygghet
Meningsfullhet: Framtidstro, delaktighet, positiva illusioner, gemenskap, tillhörighet, sammanhang,
engagemang, intresse, motivation, lust, nyfikenhet.
Didaktiska teorier i matematik
Nedan redogör vi för olika författares teorier om hur undervisning i matematik bör förhålla sig till
elever och kunskap och vilka antaganden samt förhållningssätt undervisningen bör utgå ifrån.
Teorierna är uppdelade under rubrikerna Begriplighet, Hanterbarhet och Meningsfullhet efter vilka
av dessa tre begrepp teorierna är relaterade till.
Begriplighet
En färdighet kan ses som automatiserad kunskap men den behöver inte vara grundad i en god
förståelse. Wyndhamn (1987) menar att en lärare inte får luras av en elevs beteende. På ytan är
beteendet ändamålsenligt och mekaniskt men innehållet kan ha missats fullständigt. Malmer (1983)
diskuterar även hon vikten av att prioritera innehållet framför formen. En undervisning som
fokuserar först och främst på helheten för att sedan analysera alla delar efterlyses. För att eleverna t
ex ska få en förståelse för talrelationer bör läraren ge eleverna möjligheter att använda konkret
material utifrån uppgifter som motiverar eleven att se kopplingar mellan olika områden och
räkneoperationer. Clarke (2006) tar upp införandet av algoritmer i de tidigare skolåren och
diskuterar matematikens roll som bör utvecklas från ett mer mekaniskt lärande till främjande av en
djupare förståelse. Han menar att ett tidigt införande av algoritmer kan få allvarliga konsekvenser
på elevers förståelse och självförtroende. Detta är en sammanfattning av forskningsresultat med
speciellt fokus på tänkbara risker med att införa algoritmer för tidigt. Tesen i artikeln är att de
tidigare åren i skolan bör ägnas åt att fördjupa begreppsutveckling och huvudräkningsstrategier.
Clarke (2006) skriver att standardalgoritmer inte bör införas de första fem åren utan att eleverna i
stället bör ges ett problemlösningsfokus genom att möta en mängd varierande problem,
företrädelsevis från områden som intresserar dem.
Både Malmer (2002) och Wyndhamn (1987) förespråkar även att muntlig matematik får en stor
plats i klassrummet. Språket kan fungera som en brygga mellan verkligheten och begrepp. Eleven
kan med hjälp av språket bygga upp matematiska föreställningar av verkligheten. Språket kan också
visa vilka uppfattningar eleven har av ett område och vilka begrepp eleven verkligen förstår.
Samuelsson och Lawrot (2009) argumenterar också för detta och att läraren bör ställa frågor till
eleverna som får dem att argumentera för sina lösningar. Då använder eleverna språket för att både
för sig själva, och för läraren, ta reda på vilken förståelse de besitter. Dessutom är verbaliseringen
viktig för att utveckla förståelsen skriver Wyndhamn (1987), som menar att lärarens frågor till
eleverna är en kritisk punkt i matematikundervisningen. De frågor som ställs bör inte vara lotsande,
dvs. att läraren hjälper eleven runt den egentliga problematiken utan att låta eleven få en chans att
förstå vad han/hon gör. Foisack (2003) diskuterar skillnaden mellan lotsning och scaffolding.
Interaktion mellan lärare och elev är grundläggande för båda och det kan därför ibland vara svårt att
skilja dem åt. Med stöd av Schoultz (1999) och Säljö (2000) skriver Foisack (2003) att lotsning
11
dock innebär att eleven tillåts undvika den centrala problematiken och ta ställning utan att ha
kognitiv kontroll. Detta är inte begreppsutvecklande eller förståelsefrämjande, medan scaffolding
ger eleven möjlighet att utveckla förståelse. Vid lotsning utför eleven handlingar på instruktion av
en vuxen. Vid scaffolding får eleven själv bära ansvar för både tolkningen av vad man skall göra
för att nå målet och för att dessutom utföra den fysiska handlingen.
Stedoys (2006) har skrivit en rapport som ingår i ett utvecklingsprojekt med syfte att förändra
klassrumspraktiken mot mer elevaktiva arbetssätt. Stedoy (2006) menar att det i dag finns
internationell enighet om att den som lär behöver vara aktivt involverad i sin egen lärandeprocess.
Hon använder i sin rapport ett verktyg av Clarke (2006) för att identifiera undervisning av hög
kvalitet. En av de punkter som ingår i verktyget handlar om att läraren använder informella
utvärderingsmetoder som grund för beslut om undervisningen. Använder läraren det har hon en
uppfattning om vikten av att observera och lyssna på eleverna för att få en uppfattning om deras
tänkande vilket kan användas för att planera fortsatt undervisning. Under projektets gång blev
lärarna mer medvetna om vikten av att lyssna på elevernas idéer i syftet av att möta deras behov för
att bygga upp begreppslig förståelse utifrån deras egna erfarenheter och tidigare kunskaper.
Emanuelsson (1998) diskuterar också kring förståelse och kunskap. Han skiljer på flexibelt och
dynamiskt kunnande i relation till statiskt och passivt. Emanuelsson (1998) menar att den elev som
besitter flexibelt och dynamiskt kunnande kan generalisera sina kunskaper, använda dem i olika
sammanhang. Han frågar sig vad som fokuseras i skolan. Ska eleverna kunna regler utantill eller
ska de utveckla en förståelse? I en skola som beskrivs i forskningstexten arbetar man med
matematik enbart utifrån projekt och problemorienterande uppgifter. I en annan är arbetet starkt
styrt av läraren och läroboken. I den första skolan når eleverna helt klart godare kunskapsresultat.
Hanterbarhet
För att främja elevers upplevelse av hanterbarhet bör läraren, enligt Samuelsson och Lawrot (2009),
beakta svårigheten för många barn att abstrahera. Varje nytt kursmoment kräver en viss
abstraktionsförmåga av elever. För att undvika att elever krävs på en förmåga som kanske inte är
tillräckligt utvecklad måste alla elever ha förstått den matematik som det nya kursmomentet bygger
på. För att börja med ett nytt matematiskt område krävs en konkret bakgrundserfarenhet som grund.
Liknande resonerar Ahlberg (2000) som hävdar att de matematiska symbolerna och begreppen inte
får införas förrän eleverna har en begreppslig förståelse för dem. Ett tomt nyttjande av symboler
utan förståelse främjar inte elevers känsla av kontroll och förståelse. Läraren bör kontinuerligt
kontrollera elevernas uppfattning av de matematiska symbolerna och begreppen för att inte, som
ovan beskrivet, påbörja ett undervisningsmoment för tidigt. Även Wyndhamn (1987) förespråkar att
det är av stor vikt att läraren vet vilka kunskaper eleven bör ha/besitter innan läraren fortsätter sin
undervisning. Malmer (2002) anser också att läraren bör vänta med symbolerna tills eleverna har
bildat sig en stabil förståelse av begreppen.
Just denna förmåga att hantera abstrakta begrepp är grundläggande för att en elev ska kunna
tillgodogöra sig matematikundervisning (Malmer, 2002). Som skrivet ovan förespråkar Malmer
(2002) att konkret material används för att just konkretisera och gestalta det abstrakta momentet i
matematiken. Löwing och Kilborn (2002) är dock noggranna med att påpeka att detta laborerande
med material måste vara bara en övergångsfas. Målet med användningen av material måste vara att
12
eleverna ska utveckla förmågan att själva, utan material, kunna utföra de abstrakta processerna i
huvudet.
Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Brophy (2004), Marshall (1984) och Jenner (2004) att
läraren spelar stor roll för vilken dialog som förs i klassrummet och vilket förhållningssätt till
kunskap som präglar den. För att alla elever ska känna att matematiken är möjlig att förstå behöver
undervisningen i matematik präglas av ett tillåtande gruppklimat. Läraren måste vara empatisk,
förstående och tålmodig för att alla elever ska tillåtas arbeta och få hjälp på sin förståelsenivå.
Samuelsson och Lawrot (2009) påpekar också att undervisning som bygger på korta lärarledda
genomgångar med efterföljande enskild elevträning av innehållet missgynnar många elevers
möjligheter att utveckla en gedigen förståelse av det matematiska innehållet. Enligt Samuelsson och
Lawrot (2009) menar Magne (1998) att matematik utan utrymme för diskussioner kring olika idéer
och tolkningar lätt kan uppfattas som en mängd färdiga odiskutabla regler. Överbetonande av
läraren av vad som är rätt och fel i sin undervisning skapar och förstärker dessutom stresstendenser
hos elever.
Wyndhamn (1987) skriver att matematiska problem bör vara hämtade från en miljö eller kontext
som är bekant för eleven för att eleven ska få goda möjligheter att kunna lösa problemet. Eftersom
ett begrepps betydelse varierar beroende på situation, miljö och tid måste läraren tänka på att
presentera begreppet i många olika sammanhang och vara öppen för diskussion.
Kilborn och Löwing (2002) presenterar begreppet aritmetisk dopning. Detta begrepps användning
förutsätter att vi ser på kunskap tvådelat, som kompetens och färdighet. En elev kan t ex ha den
kompetens som krävs för att förstå vad areabegreppet innebär, dvs. storleken av en yta. Om samma
elev inte behärskar de numeriska operationer som uppgifterna om area är uppbyggda av lyckas inte
eleven lösa uppgifterna trots att kompetensen finns. Elever som hänger med på kompetensnivån
slås ut på grund av för högt ställda krav på färdighetsnivån. Eleverna kan därmed tappa förtroendet
till sin förmåga och kompetens och således till slut även sin egentliga förståelse för begreppet area.
Istället för att då ge elever uppgifter som avhandlar ett specifikt område i matematik som samtidigt
kräver av eleverna en förmåga att utföra komplicerade räkneoperationer kan uppgifterna
aritmetikdopas. När uppgifterna aritmetikdopas bygger alla uppgifter från början i varje
matematiskt område på grundläggande aritmetiska färdigheter. Senare kan större krav ställas på
denna förmåga.
Meningsfullhet
Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) har Brophy (2004) myntat begreppet expectancy-values som
innebär att en persons motivation inför något beror på hur stort värde detta har för personen. Det
värde en elev ger en uppgift påverkas av uppgiftens svårighetsgrad, uppgiftens innehåll, lärares och
föräldrars förväntningar och elevens självuppfattning i ämnet ifråga. Enligt Samuelsson och Lawrot
(2009) menar Brophy (2004) att det är avgörande för en elevs motivation till uppgifter i matematik
vilka förväntningar som finns på att eleven kommer att lyckas med dessa. Linnanmäki (2002) har
studerat elevers matematikprestationer och självuppfattning. Hon skriver att det upplevs viktigt att
lyckas i matematik, både för eleverna själva och för deras föräldrar, då det är ett ämne som genom
tiderna har haft hög status i skolan.
13
Relaterat till en uppgifts innehåll skriver Löwing och Kilborn (2002) att diffus orientering, när
eleven inte förstår varför han/hon ska lära sig något, är ödesdigert för motivationen. Syfte och
motiv med uppgifter i matematik är ett måste för att hålla lusten att lära levande. För att öka känslan
hos elever att det finns ett syfte med matematiken är vardagsanknytningen viktig. Samuelsson och
Lawrot (2009) menar att lärares förmåga att få eleverna att se nyttan av att kunna använda
matematiken i vardagen är motivationshöjande och därmed resultatfrämjande. Liknande
resonemang förs av Dahl (1995) som skriver att en demokrati är beroende av att människor kan
vara kritiska mot siffror. För att detta ska ske måste de ha lärt sig att använda sina matematiska
kunskaper i verkligheten. Således måste lärare tänka på att konkretisera matematiken, sätta in den i
ett sammanhang. Löwing och Kilborn (2002) resonerar vidare att den verklighetsanpassning som
bör finnas i matematikundervisning samtidigt som den diskuteras i vardagliga ordalag måste
kopplas och refereras till med det formella matematikspråket och de formella symbolerna. De steg
som läraren tar för att möta eleven språkligt där de är bör tas med en fot kvar i det matematiska
språket. Annars riskerar de två olika språken att inte relateras till varandra.
Number sense är ett begrepp som framförs av Reys and Reys (1995). Om en elev har number sense
kan eleven foga samman ny information med redan förvärvad kunskap och ha en drivkraft att göra
det. Begreppet innebär ett fokuserande på meningsskapande istället för ett automatiskt användande
av formler och regler utan förståelse. Lärarens roll här är att ställa nyckelfrågor som får eleven att
reflektera och finna samband mellan tal och områden för att nå en djupare kunskap i matematik. Att
skapa en atmosfär som uppmuntrar utforskande, reflektion och diskussion ökar möjligheterna för att
eleverna ska skaffa sig en number sense. Aktiviteter som gynnar ett utvecklande av number sense
präglas av ett processorienterat arbetssätt där eleverna ofta får tänka på vad de gör och där många
olika lösningsstrategier uppmuntras. Ahlberg (2000) nämner också det viktiga i att eleverna får
många möjligheter i olika sammanhang att dela upp helheter och hitta samband mellan tal. Eleverna
behöver med alla sinnen erfara talens helheter och delar för att utveckla en säkerhet i senare
numeriska operationer och matematiskt tänkande. Enligt Ahlberg (2000) och Malmer (2002)
besitter barn generellt från början den viljan och förmågan att hitta samband och se de naturliga
helheterna mellan matematikens olika delar. Det gäller bara för läraren att beakta denna process
från början och bejaka den. Läraren bör låta eleverna få möjligheter att finna dessa kopplingar i
undervisningen.
En förutsättning för att barn över huvud taget ska bli intresserade av matematik och förstå dess
användbarhet beror enligt Ahlberg (2000) på barnets tilltro till sin egen förmåga att förstå och lust
att lära. Därför behöver läraren lägga ned mycket energi på att i matematikundervisningen stärka
alla elevers uppfattningar om sig själva som matematiker. Elevernas känslomässiga inställning till
ämnet behöver uppmärksammas. Malmer (2002) lägger stor vikt vid att alla lär sig saker lättare om
det samtidigt är lustbetonat. Skolverkets (2003) inspektörer har undersökt vilka lärandesituationer
som förekommer där elever har känt lust och motivation. Undersökningen visar att det är
lärandesituationer när både kropp och själ har engagerats. Även när de får använda språkliga
uttryck i tal, skrift, bild och kroppsspråk genom t ex konst, drama, musik, lek. Förhållanden i
undervisningen som är förankrade i elevernas erfarenheter och upplevelsebaserad undervisning
skapar lust hos eleverna. Undervisningsmiljöer där lust och motivation hos eleverna har varit
påtaglig har kännetecknats av utrymme för känsla och tanke, upptäckarglädje och engagemang hos
både elever och lärare. Arbetssätten har varit varierande. Både individuellt lärande och i par/grupp
med diskussion som grund. Elever har hela tiden fått möjlighet att visa sina lösningsidéer för
14
klassen och läraren. Läraren vägleder eleverna med dialog och frågor istället för ledtrådar och
lotsande (begreppet beskrivs ovan och under ”Materialbearbetning i kap 3”). Okonventionella
lösningar, okända även för läraren, är hela tiden tillåtna och välkomna. Autentiska situationer
utnyttjas ofta och ämnet matematik kopplas även till andra skolämnen.
Bergius och Emanuelsson (2000) skriver att skolan och läraren i matematikundervisningen ska
möta elevernas uppfattningar om vad matematik är och vad det kan användas till. För att anknyta
till barns kunskaper och förförståelse måste man söka sig bortom matematikboken och stenciler.
Karakteristiska drag för framgångsrik matematikundervisning är att den bygger direkt på den
kunskap elever har med sig. För att komma underfund med vilka kunskaper det rör sig om bör
undervisningen präglas av ett öppet diskussionsklimat där det ömsesidiga samtalet har en självklar
plats. Morten Blomhoj (2006) lektor i matematik, Danmark, menar att arbete utifrån matematisk
modellering skapar en motivation till lärande och etablerar en stabil grund för förståelse. Att arbeta
med matematisk modellering innebär att arbeta med en matematisk modell där en relation mellan
matematiska objekt och dess relationer samt ett fenomen eller situation av icke-matematisk natur.
Läraren skapar alltså en situation från verkligheten eller en situation där eleven kan arbeta med
välkända fenomen. Eleven ska utifrån detta kunna använda sig av sina matematikkunskaper i
modelleringsprocessen. Malmer och Kronqvist (1993) resonerar liknande och menar att de
matematiska processerna måste medvetandegöras genom läraren. Eleverna måste själva få
undersöka, upptäcka och uppleva de olika matematiska områdena. Vikt bör även läggas vid att
skapa inlärningssituationer där det blir naturligt för eleverna att reflektera och formulera sin tankar
och dra logiska slutsatser. Malmer och Kronqvist (1993) har som utgångspunkt i sin forskning att
eleverna måste kunna tolka de matematiska symbolerna och uppleva att de är bärare av ett verkligt
innehåll. Det gör processen meningsfull för dem. Forskningen visar att elever ofta inte förstår vad
de håller på med i matematiken. Malmers och Kronqvists (1993) tolkning av detta är att eleverna
inte ser någon koppling till den egna verkligheten och att de matematiska symbolerna då blir alltför
abstrakta för eleverna.
Vi har hittills presenterat syftet med denna studie, vilket kunskapsområde vi rör oss inom, vårt
valda teoretiska perspektiv, motiverat användandet av våra centrala begrepp och definierat dem,
samt redogjort för tidigare forskning relaterat till dessa begrepp.
Vi ska i följande kapitel 3 beskriva de metoder vi har använt vid insamlande av data i vår
undersökning för att försöka besvara våra forskningsfrågor.
15
Kapitel 3 Metod
Relaterat till våra forskningsfrågor (beskrivs i kapitel 1) har vi med observation som metod
inhämtat data som rör tre lärares undervisning i ämnet matematik. Vi har också med enkätundersökning som metod inhämtat data som rör elevers upplevelser av respektive lärares
matematikundervisning. Först redogör vi för de urval vi har gjort som gäller generellt för båda
metoderna. Under varje metods rubrik ”Uppläggning, val och genomförande” skriver vi även om de
urval vi har gjort som gäller specifikt för varje metod. Presentationen och redogörelsen för de två
metoderna sker i ordningen ”Enkätundersökning” och sedan ”Observation”.
Urval
För att undersöka elevers upplevelser av matematikundervisning, observera matematikundervisning
och sedan jämföra och diskutera dessa delar inom varje klass och mellan lärare och klasser ville vi
besöka tre skolor för att få ett relativt brett underlag för analys och diskussion. Två lärare känner vi
sedan tidigare och de blev tillfrågade och lämnade sitt samtycke till att vi kunde besöka dem för
genomförande av observation och upplevelseenkät. Dessutom har en av oss vikarierat på en tredje
skola och där hört sig för med skolledaren om möjligheten att besöka en lärare även där.
Vi har observerat lärare och elever i tre olika klasser. Eleverna vi har observerat går alla i år 3 i
grundskolan och lärarna är alla tre utbildade lågstadielärare. Klasserna benämns vidare klass A,
klass B och klass C. Klass A (24 elever) och klass B (10 elever) återfinns i skolor norr om
Stockholm, klass C (19 elever) i en skola söder om Stockholm. De tre klassernas lärare benämns
således lärare A, lärare B och lärare C. Klass B består både av elever i år 2 och år 3. Lärare B har
vid varje observationstillfälle haft undervisning med hela klassen, dvs. både elever i år 2 och år 3,
totalt 19 elever.
Enkätundersökning
Att använda sig av en enkät vid insamlande av data innebär frågor som besvaras med den svarandes
egen hand enligt Trost och Hultåker (2007). Enkäten kan bestå av öppna och/eller slutna utsagor.
Vid öppna utsagor lämnar man, enligt Björndal (2005), mycket utrymme till den svarande att fritt
tolka frågan och svara. Vid slutna utsagor lämnar man således litet utrymme till den svarande att
fritt tolka frågan och svara. Trost och Hultåker(2007) nämner att gruppenkäter är vanligt
förekommande i skolor då man lätt kan nå många svarande. Viktigt är att den som sköter
distributionen av enkäterna är beredd att förklara egendomligheter och att svara på frågor (Trost
och Hultåker, 2007). Enkäter kan användas för att samla in data kvantitativt eller kvalitativt. Trost
och Hultåker (2007) menar att en kvantitativ studie mäter värden representerade av siffror eller ord
som går att jämföra medan en kvalitativ studie mäter data som inte går att jämföra med varandra på
samma sätt. Viktigt är att ha syftet med enkäten klar för sig innan man utformar enkäten. Trost och
Hultåker (2007) skriver att enkätskaparen måste veta vilka sorts data han/hon vill åt innan den
enkäten utformas.
16
Björndal (2005) redogör för fördelar och nackdelar med öppna respektive slutna utsagor. Fördelar
med öppna utsagor kan vara att den svarande kan ge svar som man själv kanske inte har tänkt och
att den svarande kan förklara sitt svar. Dessutom kan den svarande visa oförstånd eller missuppfattningar. Nackdelar med öppna utsagor kan göra det svårt och tidskrävande att bearbeta svaren
och jämföra svaren mellan svarande.
Fördelar med slutna utsagor kan vara att frågorna är mer konkreta och att de är lättare att jämföra
mellan svarande. Det kan också vara lättare att bearbeta svaren och sammanställa dem. Nackdelar
med slutna utsagor kan vara att de svarande inte får chansen att förklara varför de har svarat på ett
visst sätt (Björndal, 2005).
Vår enkät är baserad på ett barnKASAM-test som i sin tur bygger på det KASAM-test som
Antonovsky (2005) har utformat. BarnKASAM-testet konstruerades, enligt Ljungblad (2007), av
Marka Margalit, professor vid universitet i Tel Aviv. I sina studier har Margalit framför allt
fokuserat på skillnader mellan normalpresterande elever och elever med olika svårigheter
(Ljungblad, 2007). Den svenska versionen av barnKASAM-testet vi använde som grund för vår
enkät hämtade vi från Ljungblads studie ”KASAM och matematiksvårigheter” (2007) och är, enligt
Ljungblad (2007), översatt av Anders Olsson, Familjeforum, Lund (2002).
Uppläggning, val och genomförande
Eftersom vi sökte elevernas egen tolkning av sin undervisningssituation bestämde vi oss för att
använda enkäter med 27 färdiga påståenden och fyra olika svarsalternativ. De tre begreppen
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet är som skrivet ovan ibland svåra att skilja ut från
varandra. Vi har ändå försökt att koppla varje påstående av alla 27 till ett av de tre begreppen.
Således avses nio frågor mäta elevens upplevelse av begriplighet, nio frågor mäta elevens
upplevelse av hanterbarhet och nio frågor mäta elevens upplevelse av meningsfullhet i matematikundervisningen (enkätmallen med påståenden kopplade till begrepp bifogas som bilaga 5).
Eftersom vi själva stod för dessa ställningstaganden innebär detta att de enskilda resultaten för
upplevelsen av de tre begreppen för varje elev och klass grundar sig i vår tolkning av påståendena
och även i vår tolkning av vilket begrepp varje påstående skulle mäta. Vi är dessutom medvetna om
det som Björndal (2005) tar upp, nämligen att resultaten från enkäter inte ger djupgående
information utöver det som har formulerats i påståendena men eftersom det vid mer fria utsagor är
svårt att jämföra resultat mellan elever och klasser valde vi ändå detta förfaringssätt.
Varje påstående gick att besvara med ett av fyra svarsalternativ. Svarsalternativen var aldrig,
sällan, ofta och alltid. På grund av att vi ville undvika en känsla hos eleverna att de utsätts för ett
prov undviker vi begreppet ”poäng”. På alla påståenden utom två där vi räknar tvärtom, eftersom de
avses mäta en negativ upplevelse av en aspekt i matematikundervisning, tolkas svarsalternativen av
oss som att aldrig ger 1 värdeenhet (v.e). Sällan ger 2 v.e, Ofta ger 3 v.e och Alltid ger 4 v.e. På
hela enkäten (27 påståenden) är således det minimalt nåbara värdet 27 v.e och det maximalt nåbara
värdet 108 v.e. För var och en av de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet (9
påståenden vardera) är det minimalt nåbara värdet 9 v.e och det maximalt nåbara värdet 36 v.e.
17
Ett starkt skäl till att vi valde att använda enkäter i vår undersökning var att vi dels vill kunna
använda denna enkät i vår framtida lärargärning för att orientera oss i elevernas upplevelse av vår
matematikundervisning. Ännu ett skäl till detta och till att vi valde att ha färdiga påståenden och
svarsalternativ är att det, som Björndal (2005) skriver, inte är en så tidskrävande datainsamling
samt att resultaten är ganska lätta att jämföra elever emellan. Som färdiga lärare tänker vi att tiden
för dessa sorters undersökningar kommer att vara liten. Därför är det bra att redan nu använda och
sedan kunna förbättra en metod som kräver en liten tidsram.
Nagy (2004) har utfört en valideringsstudie av ”BarnKASAM”, som formuläret kallas, i
årskurserna 1-6 (ålder 7-12). Studien visar att ”BarnKASAM” inte är adekvat för barn i åldrarna 79 år då ganska många av testdeltagarna i denna ålder inte förstod påståendena. Nagy (2004)
efterfrågar en enklare variant.
Vi är medvetna om att dessa påståenden inte förstås av alla elever och i synnerhet förstås de inte av
alla elever på samma sätt. Eftersom eleverna själva tolkar de påståenden som de ställs inför i
enkäterna innebär detta givetvis en variation från elev till elev hur påståendet förstås och tas
ställning till. Vi avsåg initialt att gå igenom alla påståenden med alla elever före de skulle besvara
enkäten så att alla hade en gemensam tolkningsgrund att stå på. Detta förfaringssätt stöds av
Björndal (2005) som påpekar att respondenterna bör uppfatta begrepp som används i enkäten på
samma sätt och att främmande ord bör undvikas. Det visade sig dock att tiden inte räckte för att gå
igenom alla begrepp som användes i de 27 påståendena. De som vi uppfattade som de svåraste
begreppen att förstå gick vi igenom med eleverna innan de besvarade enkäten.
Dessutom genomförde vi ett pilottest av enkäten. Dagen innan vi genomförde enkäten på riktigt bad
vi således alla elever i en utomstående klass i år 3 i skola A att svara på enkätfrågorna och markera
varje fråga och varje del i den frågan som de inte förstod. Sedan skulle eleverna också skriva om de
tyckte att några frågor efterfrågade samma sak eller var alldeles för lika varandra. De omdömen,
markeringar och kommentarer använde vi oss av och tog hänsyn till när vi färdigställde enkäten.
Med bara fyra svarsalternativ till de påståenden som eleverna ställdes inför i enkäterna upplevde en
del elever att alternativen inte räckte till. De ville sätta kryss mellan två alternativ. Vi bad dem att
ändå välja det alternativ som kändes lite mer korrekt än det andra. Det är dock ett faktum att testets
utformning bestämmer hur eleverna svarar.
För att få syn på en viktig aspekt av undervisningen, nämligen elevers enskilda
undervisningssituation, valde vi att först låta alla elever i de tre klasserna genomföra enkäten och
skriva sitt namn på papperet (identifierad enkät, bifogas som bilaga 3). Vi tittade på resultaten i
varje klass och valde ut de elever som hade lägst värde och högst värde för att sedan kunna
observera dessa två elever i varje klass extra noggrant. För att närmare förstå vilka resultat som
menas se kapitel 4.
Björndal (2005) nämner att anonyma tester kan göra känsliga svar mer trovärdiga men samtidigt
kan de vara omöjliga att följa upp och fördjupa sig i. För att få ett medelvärde för varje klass på
enkätundersökningen genomförde vi även en anonym enkätundersökning (bifogas som bilaga 4)
med samma 27 påståenden men i en annan ordning för att eleverna inte lika lätt skulle ”komma
ihåg” vilket svarsalternativ de valde senast. Det anonyma testets resultat borde, enligt Björndals
18
(2005) resonemang komma närmare sanningen än det icke anonyma testet. Några påståenden kan t
ex för vissa elever vara känsliga och därför pinsamma att svara på. Med namn på enkäten vet
eleverna att vi kan se vem som fyllt i vad. Även vid det anonyma testet kan det tyvärr inte uteslutas
att eleverna tror att vi kan se vem som har fyllt i vad och därför inte är helt sanningsenliga.
Dessutom genomfördes de båda testen endast en gång för varje elev och därför kan man inte
utesluta att dagsformen spelar in i resultatet. Kanske hade någon elev en dag då de mådde sämre än
vanliga dagar.
Observation
Vid observation av människor utför man en etnografisk studie skriver Kullberg (2004). Ordet
etnografi betyder beskrivning av folk (människor). De människor som observeras kallas
informanter (Kullberg, 2004). Datainsamlingen kan ske med direkt observation med forskaren som
deltagande observatör. Deltagande observation är, enligt Kullberg (2004), en observationsteknik där
observatören befinner sig i det sociala sammanhanget som observeras. Observatören kan då vara
mer eller mindre deltagande i gruppens aktiviteter.
Kullberg (2004) redogör för begreppet observatör-som-deltagare som innebär att forskaren har talat
om för gruppen vem han/hon är men deltar inte i gruppens aktiviteter. Forskaren måste då direkt
eller relativt direkt i anslutning till den observerade situationen anteckna vad han/hon har sett.
En checklista (rubriker) bör en observerande forskare använda sig av skriver Kullberg (2004).
Björndal (2005) menar också att ett observationsschema bör användas vid observationer då det kan
ge stöd under observationsprocessen till vad som ska observeras. Det kan även underlätta för
forskaren genom att ge stöd för att komma ihåg att studera informanterna i sin hela kontext, dvs. att
observera ur ett brett perspektiv.
Kullberg (2004) berättar att det inte finns någon sanning att söka i kvalitativa observationer. Det
kan bara finnas olika sannolikheter under olika tider, i olika sammanhang och i vissa kontexter.
Uppläggning, val och genomförande
Totalt tillbringade vi mellan 205-215 minuter i varje klass för att observera lärare och elever. Vi har
använt oss av ett observationsschema (checklista) för observation av lärarnas undervisning och ett
annat observationsschema för observation av specifika elevers undervisningssituation. Vi tror att
observation av dessa två delar i den totala undervisningen båda är viktiga för att kunna se
situationerna från så många perspektiv som möjligt. Vi växlade roller då och då så att båda fick
chansen att observera båda delarna. Hela tiden var vi båda i klassrummet och observerade
samtidigt. På de två observationsscheman vi har använt har vi skrivit ner fritt vad vi sett men under
olika rubriker som var tänkt att göra det lättare för oss som observatörer att direkt kunna
kategorisera observationerna utifrån olika delar av undervisningen så att vi inte skulle fokusera för
snabbt på detaljer och således missa helheten.
Rubrikerna på schemat för observationer av lärarnas undervisning var: Inledning av lektion;
Innehåll; Arbetssätt och elevernas engagemang i dessa; Interaktion elev-elev; Lärarens vägledning
19
av elever; Diskussioner; Lärarens försök att motivera elever; Lärarens allmänna roll och
förhållningssätt; Elevengagemang; Avslutning av lektion.
Rubrikerna på schemat för observationer av specifika elevers undervisningssituation var: Inledning
av lektion; Engagemang under lektion, Interaktion med andra elever, Interaktion med lärare,
Allmän inställning till matematik, Verkar förstå syftet med lektionen, Hanterar oförståelse/problem;
Övrigt.
Kort efter varje observationstillfälle skrev vi rent observationerna och reflekterade tillsammans över
vad vi skrivit.
Björndal(2005) nämner att vi som besökare antagligen påverkar eleverna med vår närvaro vid båda
testtillfällena och i synnerhet vid observationerna då vi som två relativt främmande människor sitter
i klassrummet, tittar på lärare och elever och skriver på våra observationsscheman. Kanske började
eleverna vid mötet med enkäterna att reflektera mer kring sin undervisningssituation. Kanske har
detta påverkat hur de uppträder i klassrummet vid observationerna.
Materialbearbetning
Utifrån vårt insamlade material har vi gått tillväga på följande sätt:
Enkätbearbetningen genomfördes med hjälp av Microsoft Office Excel 2007 där vi infogade alla
elevers resultat klassvis, både det identifierade och det anonyma separat separerade från varandra.
Utifrån den identifierade enkätundersökningen hittade vi två elever i varje klass, en elev med lägst
resultatvärde och en elev med högst resultatvärde, för att sedan observera dessa elever extra
noggrant. Från den anonyma enkätunderökningen räknade vi ut medelvärden för de tre klasserna
utifrån ett totalvärde och utifrån de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Dessa medelvärden för varje klass har sedan legat till grund för vår analys och diskussion.
Observationsmaterialet sammanfattade vi klassvis med de två enskilda eleverna i varje klass som
tillägg för att få ett mer övergripande perspektiv på undervisningen. Vi började sedan leta efter
situationer som där vi ansåg oss kunna applicera de tre begreppen. Vi utgick då ifrån våra
definitioner av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet som vi har presenterat under
”Centrala begrepp” . Vi använde oss även av begrepp, som enligt oss fungerar konkretiserande
utifrån de tre begreppen, som vi funnit i de teorier om matematikdidaktik som vi redogör för i
”Tidigare forskning”. Dessa redogörs för nedan under rubriken ”Konkretiserande begrepp”.
Vi grupperade de situationer vi observerade i de olika klasserna utifrån vilket av de tre begreppen
med tillhörande konkretiserande begrepp vi har använt i vår analys av situationen ifråga. Vi
presenterade dessa grupper under rubriker som utgjordes av de tre begreppen. För att få en tydligare
struktur på innehållet använde vi oss även av passande underrubriker. Vi kopplade även dessa
observationsresultat till enkätresultaten. I vår diskussion lyfte vi sedan de mönster vi funnit och
relaterade dessa till tidigare forskning, teorier och skolans styrdokument
20
Konkretiserande begrepp
Begriplighet
Förståelse: en kunskapsform som skapar mening och innebörd.
Innehåll: det ämnesinnehåll som undervisningen avhandlar.
Form: det/de arbetssätt och material som eleverna arbetar efter/med för att tillgodogöra sig
ämnesinnehållet.
Talrelationer: samband mellan tal och storheter.
Scaffolding: vägledning som fokuserar på att främja förståelse hos eleven för de processer och
begrepp som förekommer.
Lotsning: vägledning som hjälper eleven till rätt svar på uppgiften men som i sig inte utvecklar
elevens förståelse för processen och de begrepp som används.
Muntlig matematik: ett arbetssätt där det matematiska innehållet uttrycks muntligt mellan elever
och mellan elever och lärare.
Begreppsutveckling: Att en elev ges möjligheter att öka sin förståelse för ett begrepps innebörd.
Hanterbarhet
Förförståelse: Den förståelse som en elev har innan han/hon presenteras ett nytt moment i ett ämne.
Symbolhantering: Användande och uttryckande av symboler som representerar begrepp.
Diagnosticering: En ”kontroll” av elevers kunskaper i ett moment i ett ämne.
Abstrakta fenomen: Händelser och begrepp som bara existerar i tankevärlden, möjliga att mentalt
föreställa sig.
Konkretiserande material: Material som praktiskt kan symbolisera abstrakta fenomen och begrepp.
Tillåtande klassrumsklimat: barngruppen och läraren präglas av en social miljö där allt kan sägas
om det inte är kränkande mot någon.
Aritmetisk dopning: en elev får börja träna sin förståelse av ett specifikt område i ämnet matematik
med tal och aritmetik (räkning) som eleven redan kan hantera och utföra. Syftet är att eleven kan
koncentrera hela sin energi på att utveckla sin förståelse för momentet i sig och inte på
räkneoperationerna.
Generaliseringsförmåga/transfer: Att kunna använda sina kunskaper på nya områden och i nya
situationer.
21
Meningsfullhet
Förväntningar: Tankar hos eleven själv och folk omkring att eleven ska lyckas/misslyckas.
Självuppfattning: Hur en elev uppfattar sig själv och upplever sina egna kunskaper och
kompetenser i ett ämne.
Motivation: Den positiva energi en elev besitter som kan användas för att ta sig an uppgifter och
problem.
Lust: Den positiva och spontana känsla en elev har gentemot något.
Verklighetsanknuten undervisning: Undervisning som har tydliga kopplingar och referenser till
verkligheten.
Syfte och motiv bakom uppgifter: Den pedagogiska och allmänna anledningen till att en lärare ger
elever vissa uppgifter eller presenterar ett visst matematiskt innehåll på ett visst sätt.
Koppling från vardagsspråk till formellt matematiskt språk: Att sambandet mellan de vardagliga
beskrivningsbegreppen och de matematiska begreppen synliggörs.
Numbersense: Förmågan att kunna se och förstå samband mellan tal och storheter.
Flexibelt och dynamiskt kunnande i relation till statiskt och passivt: Kunskaper som kan
generaliseras i relation till kunskaper som bara gäller i en eller enstaka situationer.
Arbetslust och kreativitet: En vilja och glädje i att arbeta och skapa.
Etiska aspekter
Utifrån de forskningsetiska principerna inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning (2002)
har vi tagit hänsyn till de fyra huvudkraven som följer:
Informationskravet: Forskaren skall informera uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare om
deras uppgift i projektet och vilka villkor som gäller för deras deltagande. De skall därvid upplysas
om att deltagandet är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan. Informationen skall
omfatta alla de inslag i den aktuella undersökningen som rimligen kan tänkas påverka deras
villighet att delta.
Samtyckeskravet: Forskaren skall inhämta uppgiftslämnares och undersökningsdeltagares
samtycke. I vissa fall bör samtycke dessutom inhämtas från förälder/vårdnadshavare
(t.ex. om de deltagande är under 15 år och undersökningen är av etiskt känslig karaktär). De som
medverkar i en undersökning skall ha rätt att självständigt bestämma om, hur länge och på vilka
villkor de skall delta. De skall kunna avbryta sin medverkan utan att detta medför negativa följder
för dem. I sitt beslut att delta eller avbryta sin medverkan får inte undersökningsdeltagarna utsättas
22
för otillbörlig påtryckning eller påverkan. Beroendeförhållanden bör heller inte föreligga mellan
forskaren och tilltänkta undersökningsdeltagare eller uppgiftslämnare.
Konfidentialitetskravet: All personal i forskningsprojekt som omfattar användning av etiskt
känsliga uppgifter om enskilda, identifierbara personer bör underteckna en förbindelse om
tystnadsplikt beträffande sådana uppgifter. Alla uppgifter om identifierbara personer skall
antecknas, lagras och avrapporteras på ett sådant sätt att enskilda människor ej kan identifieras av
utomstående. I synnerhet gäller detta uppgifter som kan uppfattas vara etiskt känsliga.
Detta innebär att det skall vara praktiskt omöjligt för utomstående att komma åt uppgifterna.
Nyttjandekravet: Uppgifter om enskilda, insamlade för forskningsändamål, får inte användas eller
utlånas för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapliga syften. Personuppgifter insamlade för
forskningsändamål får inte användas för beslut eller åtgärder som direkt påverkar den enskilde
(vård, tvångsintagning, etc.) utom efter särskilt medgivande av den berörda.
Uppläggning, val och genomförande
Relaterat till informationskravet och samtyckeskravet informerade vi alla elever och lärare varje
klass för sig genom att personligen besöka dem och berätta om syftet med och metoden för vår
undersökning. Vi gav ut en samtyckesenkät (bifogas som bilaga 1) till eleverna och en
samtyckesenkät till elevernas vårdnadshavare (bifogas som bilaga 2) att skriva under för
godkännande dels av att eleverna besvarar ett frågeformulär om deras upplevelse av matematikundervisningen och dels att vi kan skriva i vår rapport vad eleverna (med ett fingerat namn) gör och
säger under de arbetspass de har matematik. Relaterat till konfidentialitetskravet använde vi inte
elevernas eller lärarnas riktiga namn vid observationsanteckningar och inte heller när vi skriver
denna uppsats. Relaterat till nyttjandekravet har vi inte antecknat eller använt personuppgifter. De
uppgifter vi har antecknat eller sett har vi inte diskuterat eller yppat i ett icke-vetenskapligt syfte.
23
Kapitel 4 Resultat
Beskrivning av data/empiri
Resultaten från den enkätundersökning vi genomfört kommer att redovisas dels utifrån elever med
högst respektive lägst resultat, dels utifrån en jämförelse mellan de tre klassernas medelvärde.
Jämförelserna mellan medelvärdena kommer att redovisas utifrån ett totalt resultatvärde på enkäten
samt utifrån de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet (uppdelningen av
begreppen på enkätfrågor nämns i kap 3 och presenteras i bilaga 5). Vidare kommer vi att redogöra
för de observationer som följde utifrån de resultat som framkom i enkätundersökningen.
Observationerna bedrevs utifrån två olika perspektiv. Det första var ett helhetsperspektiv där läraren
och klassen stod i fokus. Det andra, som beskrivits ovan, hade ett fokus på enskilda elever i varje
skolklass med det högsta respektive det lägsta resultatvärdet.
Enkätresultat
Enkätresultaten kommer av oss att räknas med och skrivas i värdeenheter (v.e). Enkäterna (bilaga 3
och 4) som genomfördes har ett maximalt nåbart värde på 108 v.e och ett minimalt nåbart värde på
27 v.e. Resultaten är avrundade till en decimal om nödvändigt för att lättare få en överskådlig bild.
Enkätundersökningen genomfördes i två omgångar i varje klass, en identifierad enkät (bilaga 3) och
en anonym enkät (bilaga 4). Då inte alla elever fick eller ville delta i den identifierade enkätundersökningen ansåg vi att klassresultat ifråga om medelvärde i denna blev otillförlitligt. Syftet
med den identifierade enkätundersökningen blev därför enbart att identifiera de två elever som hade
lägst respektive högst resultatvärde i varje klass för att sedan kunna observera dessa elever extra
noggrant. Vid den anonymt genomförda enkäten deltog alla elever utom en elev i klass C då denne
elevs föräldrar ej gav sitt samtycke till elevens deltagande. Vi ansåg att den anonyma undersökningen ändå gav ett mer sanningsenligt resultat utifrån klassen som helhet än den identifierade
enkäten. Den anonyma enkätundersökningen användes dels till att få fram ett medelvärde för varje
klass utifrån elevernas upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i sin lärares
matematikundervisning och dels att få fram ett medelvärde utifrån de tre upplevelseaspekterna var
och en för sig. Vi är medvetna om att resultaten från de två enkätundersökningarna inte stämmer
överens men som beskrivits ovan finns det ett syfte med att ha genomfört båda och att presentera
dem här. Resultaten från enkätundersökningarna redovisas nedan i tabeller med text bredvid där vi
beskriver hur vi tolkar resultaten. De elever i varje klass som i den identifierade enkäten fick lägst
respektive högst resultatvärde benämns elev L och elev H.
24
Tabell 1. Klass A
Tabell 1.
120
Resultatvärdena i tabell 1 visar de
två elever i klass A som har valts
ut till observationer utifrån sina
resultat i den identifierade enkäten.
Elev H fick 100 v.e och elev L fick
71 v.e.
Enligt den anonyma enkäten är
spridningen mellan eleverna i klass
A 36 v.e. utifrån eleven som fick
103 v.e och eleven som fick 67 v.e.
100
80
Resultatvärde
40
20
0
100
71
103
67
101
78
102
65
Tabell 2. Klass B
Tabell 2.
Resultatvärdena i tabell 2 visar de
två elever i klass B som har valts
ut till observationer utifrån sina
resultat i den identifierade enkäten.
Elev H fick 98 v.e och elev L fick
81 v.e.
Enligt den anonyma enkäten är
spridningen mellan eleverna i klass
B 23 v.e. utifrån eleven som fick
101 v.e och eleven som fick 78 v.e.
60
120
100
80
Resultatvärde
60
40
20
0
98
81
Tabell 3. Klass C
Tabell 3.
Resultatvärdena i tabell 3 visar de
två elever i klass C som har valts
ut till observationer utifrån sina
resultat i den identifierade enkäten.
Elev H fick 94 v.e och elev L fick
65 v.e.
Enligt den anonyma enkäten är
spridningen mellan eleverna i klass
C 37 v.e. utifrån eleven som fick
102 v.e och eleven som fick 65 v.e.
25
120
100
80
Resultatvärde
60
40
20
0
94
65
Tabell 4. Medelvärde i klasserna
100
Tabell 4.
Den anonyma enkätundersökningen visar i
tabell 4 att eleverna i klass B totalt har en
starkare helhetsupplevelse av begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet i den
undervisning de är en del av. Skillnaden
mellan klass B och klass A är 5,8 v.e och
mellan klass B och klass C 5,7 v.e.
80
Resultatvärde
60
40
20
0
85
90.8
85.1
Klass A
Klass B
Klass C
Tabell 5. Begriplighet
Tabell 5.
Den anonyma enkätundersökningen visar i
tabell 5 att eleverna i klass B har starkast
upplevelse av begriplighet i den
undervisning de är en del av. Skillnaden
mellan klass B och klass A är 1,2 v.e och
mellan klass B och klass C 1,5 v.e.
35
30
25
20
Resultatvärde 15
10
5
0
29
30.2
28.7
Klass A
Klass B
Klass C
Tabell 6. Hanterbarhet
Tabell 6.
Den anonyma enkätundersökningen visar i
tabell 6 att eleverna i klass B har starkast
upplevelse av hanterbarhet i den
undervisning de är en del av. Skillnaden
mellan klass B och klass A är 2,0 v.e och
mellan klass B och klass C 1,8 v.e.
35
30
25
20
Resultatvärde 15
10
5
0
28.9
30.9
29.1
Klass A
Klass B
Klass C
Tabell 7.
Tabell 7. Meningsfullhet
Meningsfullhet
Den anonyma enkätundersökningen visar i
tabell 7 att eleverna i klass B har starkast
upplevelse av meningsfullhet i den
undervisning de är en del av. Skillnaden
mellan klass B och klass A är 2,6 v.e och
mellan klass B och klass C 2,4 v.e.
35
30
25
20
Resultatvärde
15
10
26
5
0
27.1
29.7
27.3
Klass A
Klass B
Klass C
Observation av undervisning utifrån ett helhetsperspektiv samt ett
individperspektiv
Beskrivningen av observationerna kommer att redovisas utifrån ett helhetsperspektiv från klass A,
B och C samt tillhörande elev med högst resultat, benämns H, och elev med lägst resultat, benämns
L. Enkätresultat för elev H och elev L i varje klass står att läsa i tabell 1, 2 och 3. Observationsbeskrivningarna är en sammanfattning av det vi tagit del av och det är enbart den undervisning som
bedrivits av klassläraren som uppmärksammats.
Då klasserna A, B och C hade olika långa pass i matematikundervisning gjorde vi istället en
beräkning vad gäller tid. Varje skolas matematikundervisning har i de utsedda klasserna observerats
i 205-215 minuter vilket även redogörs för i kapitel 3 under rubriken ”Metod”.
Klass A
Undervisning som helhet
Lektionerna inleddes med att läraren antingen berättade att det är matematiklektion eller plockade
fram material som eleverna skulle arbeta med. Några elever uttryckte ett högt nej vid ett tillfälle då
stundande matematiklektion deklarerades samtidigt som en elev ropade ja. Läraren startade även
lektionerna ibland med att gå igenom någonting från matematiken på tavlan som till exempel vid ett
tillfälle då hon visade kommutativa lagen för multiplikation. Även under matematiklektionen tog
hon ibland upp någonting på tavlan, t ex måttenheter och ställde frågor till klassen utifrån det.
Frågornas var av sluten karaktär vilket betyder att det hela tiden fanns ett rätt svar som eleverna
skulle finna. Hon höjde aldrig rösten eller krävde uppmärksamhet vid genomgångarna. De som ville
lyssna gjorde det, andra arbetade med sitt eget. Vid några tillfällen tystnade klassen då läraren t ex
gick igenom sedlar inför en uppgift i boken.
Några enstaka diskussioner fördes i klassrummet mellan lärare och elever. Handuppräckning gällde
ibland men oftast pratade eleverna rakt ut vid frågor från läraren. Läraren markerade inte vilken
struktur hon ville ha i dessa situationer. Några elever tog stor plats i diskussionerna.
Läraren hade vid en lektion planerat många lekövningar och praktiskt material. Hon sade vid några
tillfällen till eleverna att de flesta kan det här nu, och syftar till det som de arbetade med. En annan
lektion spelade läraren sånger som handlar om olika multiplikationstabeller. Eleverna ropade rakt ut
vilken tabell de vill höra och vid 5:ans tabell sjunger de med.
Lektionernas innehåll varierade kraftigt; multiplikationstabeller, måttenheter, analoga och digitala
klockan, tallinje med mera. Arbetssätten varierade också under lektionernas gång. De arbetade till
en början i läroboken för att sedan övergå till mer praktisk matematik som spel och lek eller
stenciler. Det fanns mycket praktiskt material att tillgå i klassrummet. Någon tydlig struktur av eller
tydligt syfte med lektionsupplägget framgick inte. Eleverna arbetade i par eller enskilt efter eget
tycke vid praktiska moment. Vid arbete i läroboken arbetade många självständigt.
27
Många elever pratade rakt ut under lektionerna. Det var också mycket småprat hela tiden om allt
möjligt, dock inte så mycket kring matematik. Eleverna hade oftast en trevlig attityd gentemot
varandra men ibland fällde de nedsättande kommentarer mot varandra utan någon tillrättavisande
respons från läraren.
Läraren visade ett lugn och ett stort tålamod inför den stundtals mycket röriga klassrumsmiljön.
Läraren gick oftast runt i klassrummet och hjälpte enskilda elever vid deras bänkar. Hon bad
eleverna ibland att räcka upp handen då de behövde hjälp men följde inte detta konsekvent då det
oftast blev den som är mest enträgen som får lärarens uppmärksamhet. Hon gav varje barn lite tid
och lotsar ofta barnen mot svaret i uppgiften. Hon uppmanade vid ett tillfälle en elev att titta i
boken då han behövde hjälp. Vid ett annat tillfälle då en elev har svårigheter att göra klart sin
stencil sade läraren att han kan arbeta i boken i stället och göra klart den hemma.
Vid avslutning av lektionerna påtalade läraren oftast att tiden för lektionen är slut och uppmanade
eleverna att plocka undan och stoppa ned sina böcker. Vid ett tillfälle efter en lektion med mycket
praktiskt arbete annonserade läraren att eleverna nästa lektion ska få göra någonting som läraren
säger sig veta att de längtat efter, nämligen att arbeta i sina läroböcker.
Elev H (100 v.e. (tabell 1))
Eleven uttryckte sig positivt då det var dags för matematik och var mycket aktiv vid muntliga
undervisningssituationer. Hon räckte ofta upp handen vid frågor och ville svara. Hon gav dock inte
alltid rätt svar när hon fick ordet. Det verkade ändå som att eleven ansåg sig kunna matematik och
att hon gärna ville visa det. Eleven kunde arbeta ganska koncentrerat även då det var en hög
ljudnivå i klassrummet. Hon arbetade självständigt och sökte sällan kontakt med läraren. Vid de
tillfällen hon behövde hjälp med någonting frågade hon läraren rakt ut i klassrummet. Hon frågade
sällan sina kamrater om hjälp men hjälpte däremot själv sin bänkkamrat vid flera tillfällen. Hon
berättade t ex för henne hur hon kan tänka kring 9:ans tabell och med en uppgift i läroboken. Elev
H verkade gärna vilja bestämma när det handlade om problemlösning tillsammans med andra elever
då hon klev in och skulle berätta hur det ska gå till. När det var tänkt att eleverna skulle arbeta i par
med bingo chansade eleven ändå med att svara utan att diskutera med parkompisen. Eleven verkade
ha en positiv inställning till matematik även när det var svårt. Hon var framåtsträvande och verkade
förstå syftet med att lära sig matematik. Hon tog egna initiativ vid aktiviteter då hon t ex frågade
andra om de kunde byta multiplikationssnurra med henne då hon ville träna 9.ans tabell.
Elev L (71 v.e. (tabell 1))
Eleven visade ibland uppmärksamhet mot läraren vid inledning av lektionen och ibland pysslade
han med annat. När det var dags för enskilt arbete var eleven självgående. Han hade sällan
direktkontakt med läraren och interagerade i undantagsfall med andra elever. Vid de få tillfällen han
samtalade med andra elever handlade det oftast inte om matematik. Emellanåt satt han dock med en
kamrat och arbetade med något matematikmaterial. Eleven visade en förståelse för hur han ska
arbeta under lektionen genom att arbeta koncentrerat och efteråt gå igenom det han har gjort. Vad
gäller hans förståelse kring syftet med de uppgifter han utförde är det svårt att tyda. Eleven deltog
inte i någon större utsträckning i diskussioner i helklass. Han räckte ibland försiktigt upp handen
28
vid frågor i helklass. Han visade ingen större entusiasm till matematik men vid tillfället med
tabellsångerna sjöng han med hela tiden.
Klass B
Undervisning som helhet
Läraren berättade ofta inledningsvis hur lektionen skulle struktureras. Vid några tillfällen bad hon
eleverna återberätta vad de hade gjort de senaste lektionerna och ibland var det hon själv som knöt
an till kommande lektioner.
De första lektionerna byggde på annonser som eleverna tagit med hemifrån. Utifrån det
behandlades priser; dyrast, billigast och stora tal upp till flera miljoner. Begrepp som prisklass och
prisgrupp togs upp samt på vilka olika sätt ett pris kan skrivas ut i en annons. Vid arbete med
annonserna satt eleverna i förutbestämda grupper. Alla annonser var blandade och delades ut av
läraren. Det var ingen elev som protesterade mot den annons de fick eller försökte byta med någon
annan elev. Eleverna arbetade mycket praktiskt med sin annons då den skulle klippas ut och klistras
upp på ett papper.
Vid ett annat tillfälle fick eleverna gå fram i grupper om fyra elever och presentera sina produkter
och vad de kostar. Det var ingen som protesterar mot att gå upp och stå framför klassen utan de
flesta visade istället en entusiasm över tillfället. Eleverna skulle innan de redovisar för resten av
klassen komma överens och ställa sig i prisordning, från den dyraste produkten i gruppen till den
billigaste. Läraren skrev samtidigt upp priserna på smartboard vilket gjorde det synligt för resten av
klassen.
Läraren berättade med jämna mellanrum hur den matematik de arbetade med kan användas i
verkligheten. Hon frågade eleverna och utgick ofta från elevernas exempel. Ibland påpekade hon
även andra ämnen de berörde som till exempel teknik.
En annan lektion sattes alla elevers produktannonser upp på tavlan i prisordning. Ur detta visade
läraren en struktur man kan använda då man har med pengar att göra, att dela in produkter i
prisklasser. Elevernas annonser blev visuella bilder av prisklasser och vad för sorts produkter i vårt
samhälle som kan ingå i dessa, från prisklasser som innehåller tiotal till miljontal. I anknytning till
samtal kring prisklassen 100 000 kr fick eleverna i uppgift att ta reda på vad mamma och pappa
betalade för sin bil.
Vid en lektion sade läraren till eleverna att hämta sin lärobok och sedan sätta sig igen. Hon
berättade att de skulle söka efter en sida som handlar om pengar eller priser i läroboken och att de
sedan fick välja själva vilken av sidorna de vill arbeta med. Hon talade även om för barnen att de
kanske inte skulle förstå med en gång hur sidan behandlar pris eller pengar men att de säkert skulle
förstå det när de arbetat med sidan en stund. En del elever använde centimo-material under arbetet.
Vid några tillfällen använde läraren sig av en hundraruta och sade till eleven att dra fingrarna från
olika håll och skriva det tal där fingrarna möttes. Läraren skickade runt en lapp där alla fick skriva
vilken sida de hade hittat och arbetade med. Senare fick de även berätta i helklass om den sida de
hade hittat och vilken sorts matematik den berörde.
29
Eleverna var aktiva i sitt matematikarbete under i stort sätt alla lektioner, både vid arbetet med
annonserna och vid arbete med läroboken. De utstrålade ett lugn under undervisningen och tittade
uppmärksamt på läraren eller klasskompisar när de talade om något. Några elever satte på sig
hörselskydd vid enskilt arbete. De som behövde hjälp räckte upp handen och satt lugnt och väntade
på läraren. Korta stunder spred sig en okoncentration bland eleverna men läraren fick dem att
koncentrera sig igen genom att inte tillåta någon större oordning. Hon visade ofta med sin
kroppshållning och entusiasm att det eleverna gör på lektionerna är viktigt.
Det var ingen större interaktion mellan eleverna men de bemötte varandra på ett trevligt och
respektfullt sätt. Vid sittande i grupper småpratade eleverna med varandra, några mer än andra. Alla
höll en låg samtalston som inte ökade under lektionens gång. Ämnen som berördes var olika men få
samtal handlar om matematik.
Diskussionerna som fördes om matematik skedde i huvudsak mellan läraren och eleverna. Läraren
tog fasta på matematiska begrepp som kom upp under lektionen och tog upp dem i helklass för
diskussion. Det var läraren som styrde samtalen och det var nästan alltid samma 6-7 elever som
räckte upp handen vid frågor. Eleverna fick sällan utrymme att resonera färdigt kring någonting de
påbörjat. Läraren ställde en fråga till hela klassen och sökte sen svaret i ett högt tempo. Läraren
frågade elev efter elev efter svaret på sin fråga och svarade eleven fel frågade läraren nästa elev.
Hon lyssnade ibland dåligt på eleverna då hon ibland avbröt när någon försökte svara. Vid ett annat
tillfälle hörde inte läraren vad en elev läste, gick då fram till eleven och läste högt ur dennes bok för
klassen.
Läraren skiftade stundtals i sitt förhållningssätt gentemot eleverna. Ibland framstod hon som samlad
och artikulerarde tydligt i ett långsamt tempo. Ibland framstod hon som lite sur och ironisk mot
eleverna och talade snabbt med en hög gäll röst. Hennes brist på tålamod för en del elever visade
sig genom att hon ibland skiftade förhållningssätt från en elev till en annan. En elev bad om hjälp
men förstod inte vad läraren menade när läraren försökte förklara. Läraren lämnade då eleven och
gick vidare till nästa elev. Efter en stund kom hon tillbaka till den första eleven och gjorde ett nytt
försök att förklara. Läraren tog ibland över för en elev genom att berätta att eleven gjort fel och
rättar uppgiften själv. Läraren uppmanade eleverna att hjälpa varandra men berättade inte hur
hjälpen ska gå till. Läraren styrde klassen med en tydlig struktur och ett stundtals strängt
förhållningsätt.
Läraren sammanfattade ofta vad de hade arbetat med under lektionen och vilken matematik de stött
på. En del elever fyllde på sammanfattningarna. Ibland avslutades lektionerna med allmänt prat om
det som berör skolan som helhet.
Elev H (98 v.e (tabell 2))
Under inledningarna av lektionerna verkade eleven alltid lyssna på och titta uppmärksamt mot
läraren. Hon arbetade lugnt under hela lektionerna. Eleven lyste upp vid redovisningen av sin
produkt och hon vände sig naturligt ut mot klassen i stället för mot läraren. Eleven hade lite
interaktion med andra elever men småpratade ibland. Hon deltog i diskussionerna och svarade
läraren klart och tydligt vid frågor. Stundtals var eleven lite frånvarande och pysslade med annat.
30
Hon verkade ibland lite uttråkad men störde ändå inte sina kamrater. Eleven verkade inte ha några
svårigheter med att förstå syftet med lektionen men verkade samtidigt också tycka att matematiken
inte var någon större utmaning. Om eleven stötte på problem försökte hon igen och igen innan hon
bad läraren om hjälp.
Elev L (81v.e (tabell 2))
Eleven pillade ofta på olika saker under inledningen av lektionerna. Han lyste upp vid lektionerna
som behandlar höga tal. Vid enskilt arbete i läroboken bläddrade han vidare och vidare mellan
sidorna och hittade inte någon sida som han började arbeta med ordentligt. Han tog gärna kontakt
med andra barn i klassrummet men inte ofta för att diskutera matematik. Han försökte gärna hjälpa
till om någon behövde det. Eleven ville gärna svara och vara med på de muntliga lektionsdelarna.
Han räckte ofta upp handen men visste sällan vad han skulle säga. Eleven blev tyst när han inte
kunde göra sig förstådd. Ibland pratade han rakt ut. Han var med och ordnade i sin grupp när de
skulle ställa sig i prisordning. Han tittade på tavlan och vad som hände hela tiden. Eleven verkade
intresserad av matematik men blev ibland okoncentrerad. Oftast kunde han själv finna
koncentrationen igen, ibland behövde han dock hjälp av läraren. Vid tillfällen då eleven behövde
hjälp räckte han upp handen ganska snabbt. Läraren började ofta direkt beskriva hur eleven både
skulle göra och tänka.
Klass C
Undervisning som helhet
Lektionerna under denna period behandlade bland annat klockan, addition av 100-tal och 1000-tal
samt multiplikationstabellen. Under inledningen av en matematiklektion talade läraren om att några
elever skulle gå till specialläraren och att några skulle arbeta i grupprummet med en resurspersonal
som finns i klassen. Läraren uppmanade inledningsvis eleverna att ta fram matematikböckerna.
Eleverna gjorde detta utan motstånd. I övrigt sade inte läraren vad de skulle arbeta med utan
eleverna satte i gång att arbeta i sina läroböcker. Vid ett tillfälle strax efter att läraren avslutat
inledningen stod flera elever framme hos henne och vill ha hjälp med någon uppgift.
Arbetet i läroboken skedde enskilt. Då några arbetade med en uppgift där en undersökning ingick
vandrade flera elever runt i klassrummet och frågade sina klasskamrater vad de t ex tyckte om olika
drycker. Uppgiften gick ut på att skapa ett stapeldiagram. Under detta tillfälle samtalade eleverna
mycket med varandra och då handlade det om matematik i större utsträckning än vanligt. De
diskuterade vilken dryck som fått flest röster, vilket resulterade i en vidare diskussion om vilken
stapel som blev högst. Situationen blev dock snabbt rörig och läraren bad dem att avsluta
undersökningen och gå och sätta sig vid sina platser. Många elever arbetade korta stunder med
uppgifterna för att där emellan fingra på andra saker eller småprata med bordsgrannen. Några satt
med handen uppe och väntade på hjälp. Ibland satt läraren vid katedern och eleverna fick stå på led
för att få hjälp, ibland gick hon runt i klassen och hjälpte till. Då hon gick runt och hjälpte eleverna
gick hon ofta ner på knä i barnens höjd och riktade sin uppmärksamhet direkt till den berörda
eleven. Hon tog ibland hjälp av kladdpapper för att visualisera det hon försöker förklara. Ibland
lotsade läraren eleverna i uppgifterna genom att ställa vägledande frågor. Ibland berättade hon steg
31
för steg hur eleven skulle lösa uppgiften. Läraren motiverade eleverna vid de tillfällen hon hjälpte
dem enskilt vid bänken genom att visa dem tålamod och uppmuntran. Hon visade eleverna en stor
hänsyn. En del elever tävlade om antal gjorda sidor, antal gjorda uppgifter eller hur långt de hade
kommit i läroboken överhuvudtaget.
Vid en annan lektion berättade läraren att de skulle arbeta med klockan och återkopplade till en
tidigare lektion om klockan. Det arbetssätt som då användes var diskussioner mellan lärare och
elever i helklass. Läraren hade en stor analog klocka som hon visade olika tider med. Samtidigt som
diskussionen pågick skrev hon de digitala klockslagen på tavlan. Läraren knöt an till verkligheten
men inte alltid till elevernas verklighet utan mer generellt. Hon talade om att klockan elva kallas
sen kväll då en elev kallade det natt. Läraren ställde många olika frågor som belyste samma
problem ur olika perspektiv. När läraren ställde en mer öppen fråga var det många elever som
deltog i diskussionen. Läraren försökte sprida ordet till alla. Samtalen ägde rum nästan enbart
mellan lärare och elever.
Det försiggick mycket småprat under lektionerna men de handlade sällan om matematik. Eleverna
diskuterade ibland uppgifter, även då handlade det sällan om matematik utan oftare hur uppgiften är
gestaltad, t ex en rolig bild. Då läraren tyckte att ljudnivån blivit för hög i klassrummet tystar hon
eleverna genom att hyscha. Det höll i sig en stund men sedan ökade ljudvolymen igen. Attityden
var generellt trevlig mellan eleverna och läraren tillrättavisade eleverna med en lugn men bestämd
ton om någon betedde sig illa mot någon annan.
Lektionerna avslutades ofta av ett naturligt avbrott som t ex rast eller lunch. Läraren sade vid ett
tillfälle att tiden var slut och att de inte hann slutföra den klockuppgift de arbetade med på tavlan.
Vid arbete med böckerna uppmanade läraren eleverna att avsluta sitt arbete.
Elev H (94 v.e (tabell 3))
Eleven började inledningsvis självmant arbeta i boken. Vid ett annat tillfälle satt han och lyssnade
och tittade på läraren. Vid ett tillfälle vid enskild räkning gick han runt, genomförde en
undersökning och bildade ett stapeldiagram. Han verkade vara självgående vid enskilt arbete.
Eleven hjälpte gärna kompisarna om de hade problem. Han småpratade ofta och hade ett trevligt
bemötande. Han pratade mycket med sin bordspartner och många av diskussionerna handlade om
matematikuppgifter i läroboken men även andra ämnen cirkulerade. Vid ett tillfälle satt eleven i en
förutbestämd grupp och arbetade koncentrerat hela tiden med matematiken. Vid några tillfällen
tittade han uppmärksamt då läraren gick igenom någonting med en annan elev. Då han behövde
hjälp väntade han inte på att läraren skulle komma förbi utan sökte genast hjälp från kamrater. Vid
några tillfällen frågade han rakt ut i klassrummet. Han räckte oftast upp handen vid frågor från
läraren. Han svarade ibland ”fel” utifrån vad läraren hade tänkt men samtidigt verkar det som att
svaret var genomtänkt av eleven. Eleven rörde sig mycket på stolen men tappade inte
koncentrationen förutom då ljudnivån blev hög. Han verkade ha en egen inre drivkraft som förde
honom framåt i arbetet. Han verkade finna en glädje när han arbetade med matematik oavsett vad
lektionen innehöll. Han verkade ofta förstå vad uppgifterna han ställdes inför gick ut på.
32
Elev L (65 v.e (tabell 3))
Eleven var uppmärksam vid lärarens inledning. Vid eget arbete började han snabbt att jobba och
använde ofta fingerräkning. Han utförde vid ett tillfälle en undersökningsuppgift och gick runt med
boken i famnen och pratade lite försynt med andra elever. Han tog vissa initiativ att prata med
andra elever och hjälpte dem gärna om de bad om det. Han jämförde sidor som hade blivit rättade
och visade gärna för några elever ”alla rätt” han hade fått. Eleven tittade ofta på läraren när hon är
var närheten men bad sällan om hjälp. Vissa stunder blev han sittande och tittade på vad som
skedde omkring honom. Han visade ibland intresse när läraren hade en genomgång för en annan
elev. Vid frågor från läraren räckte eleven sällan upp handen. Då han gjorde det verkade han förstå
vad han förväntas svara men inte vad han kan använda kunskapen till. Han visade ibland en vilja att
arbeta i matematiken med någon annan, att få prata matematik. Matematik verkade uppfattas av
eleven som något man ska arbeta flitigt med. Eleven såg ut att vara noggrann i sitt arbete.
Analys av data/empiri
Observationerna och enkätresultaten kommer att analyseras deduktivt med de tre centrala
begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet som tidigare definierats. Analysen av
observationer och enkätresultat presenteras under rubriker som består av de tre ovan nämnda
begreppen.
Lärare i klass A, B och C kommer att refereras till som lärare A, B och C. Eleverna benämns efter
klass A, B och C och efter högt värde (H) eller lågt värde (L) på enkätundersökningen (tabell 1, 2
och 3). Till skillnad från ”Beskrivning av data/empiri” är här analyser av relevanta observationer av
elev H och elev L inkluderade i den övriga texten.
Begriplighet
Medelvärdet av elevernas upplevelse av begriplighet i matematikundervisningen var, utifrån vår
enkätundersökning, i klass A 29 v.e, klass B 30,2 v.e och klass C 28,7 v.e (tabell 5). I klass B
upplever eleverna att matematikundervisningen är mer begriplig än i klass A och C, med en
marginal på 1,2 v.e till klass A och 1,5 v.e till klass C. Vad denna skillnad beror på kan inte
säkerställas men enligt vår tolkning av observationerna och enkätresultaten finns viss skillnad
mellan hur lärare A, B och C planerar och genomför sin undervisning. Detta kan påverka elevers
upplevelse av begriplighet och vår analys av undervisningen redovisas här.
Förutsägbarhet
Klass A och C behandlade flera olika områden i matematiken under den period vi besökte dem.
Arbetssätten i klass A upplevdes, enligt vår tolkning, som icke förutsägbara. När eleverna i klass A
skulle arbeta med det ena materialet en stund för att sedan arbeta med ett annat material och sedan
ytterligare ett utan en uttalad koppling materialen emellan och utan tydligt innehållsligt sammanhang upplevdes detta lektionsupplägg av oss observatörer som oförberett, oförutsägbart och icke
begripligt. I klass C varierade också ämnesmomenten, dock inte lika mycket eller ofta. Skillnaden
mot klass A var att innehåll och arbetssätt inte varierade under en och samma lektion utan från
lektion till lektion. Men frågan kan ändå ställas om detta påverkade elevernas känsla av begriplighet
33
då de under en relativt kort period skulle hantera flera olika områden. Enligt enkätresultatet så hade
eleverna i klass A och C en svagare upplevelse av begriplighet i matematikundervisningen i
jämförelse med klass B och utifrån våra observationsresultat kan detta arbetssätt vara en förklaring.
I klass B hade arbetssätten och lektionsinnehållen ett tydligare syfte uttalat av läraren och tydligare
kopplingar mellan varandra. Innehållet berörde också samma område under hela perioden. Elev L i
klass B var, enligt vår undersökning och trots sitt relativt låga resultatvärde, oftast införstådd med
vilket matematiskt innehåll som väntade och vilket arbetssätt som skulle användas. Enligt våra
observationer relaterade till enkätresultat är undervisning som är uppbyggd av arbetssätt och
innehåll, tydligt relaterade till varandra, främjande av elevers upplevelse av förutsägbarhet och
begriplighet i matematikundervisningen.
Begreppsutveckling
Lärare B använde sig av en tydlig strategi för begreppsutveckling då hon lyfte de matematiska
begrepp som dök upp under lektionen för samtal i helklass. En annan aspekt i detta är dock att alla
eleverna inte deltog i samtalen så det gynnade möjligtvis bara de elever som vågade uttrycka sig
muntligt eller de som lyssnade aktivt. Under det praktiska arbetet som läraren samordnade i klass B
fick däremot alla elever en möjlighet att förstå begrepp som pris, prisklass då de fick en innebörd
och mening genom elevernas egna produktannonser. Elev H i klass A visade tydligt, enligt vår
undersökning, att hon förstod de begrepp som användes då hon flera gånger använde dem korrekt.
Lärare B uppmuntrade också konsekvent eleverna att tänka efter vilka kopplingar som kan göras
mellan den matematik eleverna arbetar med och den verklighet som de lever i. Det visade sig
således i vår undersökning att elever som erbjuds möjligheter att förstå syftet med en uppgift i
relation till en helhet och en verklighet kan stärka sin upplevelse av begriplighet i undervisningen.
Lärare C försökte vid arbete med klockan i helklass belysa ett matematiskt problem ur olika
perspektiv vilket kan tolkas som ett försök att få eleverna att utveckla sin begreppsförståelse. Elev
L i klass C visade, utifrån våra observationer, inte en förståelse för det matematiska moment som
avhandlades då han inte räckte upp handen och ofta var fokuserad på andra saker än lärarens
genomgång. Det arbetssätt som lärare C här använde når, enligt våra observationer, sällan eleven.
Vid ett tillfälle ägde en undersökning rum i klass C utifrån en läroboksuppgift. Syftet med
uppgiften var att skapa ett stapeldiagram och utan lärarens inblandning skedde en möjlig begreppsutveckling då eleverna gick runt i klassen för att ta reda på vad deras klasskamrater tyckte om olika
objekt. De samtalade bland annat om vilket objekt som fått flest röster och vilken stapel som då
blev högst. Eleverna verkade uppleva detta som roligt och var aktiva i att skapa sina diagram. Att
skapa ett diagram utifrån kompisars åsikter blev ett konkret arbete och det hjälpte möjligtvis
eleverna att känna att de förstår arbetsprocessen. Att elever frågade varandra vad de tycker om olika
saker är någonting de gör dagligen utanför matematiklektionen och möjligtvis upplevde eleverna att
de bemästrade de handlingar de utförde och att de förstod syftet med uppgiften.
Lärare A hade inget uttalat syfte med uppgifterna som hon gav sina elever. Inget resonemang fördes
angående vad som tränas när eleverna t ex manipulerar med material av olika slag och arbetar med
uppgifter i stencil eller bok. Den muntliga matematiken ägde ofta rum i en envägskommunikation
från läraren till elever då läraren i inledningen av en lektion lyfte ett moment inom ämnet
matematik. Så vitt vi kunde se hade dessa inledningar av lektionerna inte några naturliga kopplingar
till den aktuella lektionens matematiska innehåll, de var snarare lösryckta ur sammanhanget. Med
34
stöd i vår undersökning menar vi att brister i tydliga kopplingar mellan en lektions inledning och
dess allmänna matematiska innehåll inte bidrar positivt till elevers upplevelse av förståelse eller
begriplighet i matematikundervisningen.
Som nämnts ovan var ett återkommande arbetssätt i klass A, men även i klass C, att läraren hade en
genomgång där eleverna ofta intog en passiv roll och tittade på. Några elever svarade då och då på
lärarens frågor och svaren bedömdes alltid som rätt eller fel. I klass A och C där rätt eller fel svar
ofta fokuserades kunde vi i vår undersökning se att eleverna inte kom till tals och inte bidrog lika
mycket med tankar och idéer som eleverna i klass B.
Lärarnas vägledning av elever
Lärarnas enskilda vägledning av eleverna varierade men för det mesta handlade det i alla tre klasser
om att lotsa eleverna fram mot rätt svar. Detta kan bero på mycket men en stor och relativt vanlig
anledning kan vara stressen att hinna hjälpa så många som möjligt under en lektion. Läraren
upplevde möjligen att hon inte hade tid att vänta på att eleven skulle förstå. Detta resulterade i att
lärarna varken tog reda på vad eleven förstår eller inte förstår med hjälp av elevens egen berättelse
om sin tolkning av uppgiften i fråga. Möjligtvis upplevde lärarna att detta kräver en åtgärd av
läraren som tar för lång tid och flera andra barn skulle då bli sittande med handen uppsträckt.
De gånger lärare A aktivt försökte hjälpa en elev med en uppgift handlade det uteslutande om
lotsning där läraren med frågor hjälpte eleven mot rätt svar men utan att kontrollera att eleven
förstod processen eller begreppen som användes. Lärare A:s lotsning av eleverna gick relativt
snabbt och hon frågade inte efter elevernas förståelse av uppgiften innan hon hjälpte dem. Ibland
tog lärare A ett steg bakåt när hon bad en elev att titta i boken då denne behövde hjälp. Detsamma
gällde en annan elev som uppmanades av lärare A att ta med sig sin stencil hem och fortsätta räkna
i boken i stället för att läraren försöker få en uppfattning om vad eleven upplever som svårt. Då
läraren inte utstrålade någon stress över situationen i klassrummet med andra elever uppfattar vi
detta förhållningssätt som ett uttryck för otrygghet i ämnet. Möjligtvis kan vår påverkan som
observatörer ha skapat en stress hos läraren som gjorde att hon inte förmådde hjälpa eleverna under
dessa lektioner. Men även det kan tolkas som ett tecken på att hon inte var bekväm med matematik
som ämne.
Lärare C försökte alltid aktivt hjälpa de elever som behövde hjälp. Dock handlade det även här till
största del om lotsning men lärare C försökte också ibland rita och skriva en extralapp för att hjälpa
eleven att hitta rätt svar. Det visuella stödet kan tillsammans med den muntliga genomgången av
läraren kanske ge eleven nya perspektiv på problemet och möjligtvis också gynna en utveckling. Av
våra observationsbeskrivningar och enkätundersökningar att döma är vägledning som främjar i
första hand rätt svar och i andra hand förståelse inte en vägledningsmetod som stärker elevers
upplevelse av begriplighet i undervisningen.
Även lärare B använde lotsning som främsta metod vid vägledning. Läraren tog sig inte tid att
försöka förstå var eleven befann sig i relation till uppgiften. Hon lät sina elever använda en
hundraruta för att räkna olika multiplikationsuppgifter. Vi frågar oss om eleverna vet vad
hundrarutan representerar. Vi hörde aldrig läraren diskutera med klassen eller enskild elev vilka
begrepp och processer som symboliseras när man genom hundrarutan kommer fram till rätt svar.
35
Sammanfattning
Eleverna i klass B var de som starkast upplevde begriplighet i matematikundervisningen.
Skillnaden mellan klassernas medelvärde i enkäten på elevernas upplevelse av begriplighet i
matematikundervisningen var som skrivet ovan mellan klass B och klass A 1,2 v.e och mellan klass
B och klass C 1,5 v.e (tabell 5). Sammanfattningsvis kan vi, inom ramarna för vår undersökning,
säga att undervisning som främjar elevers upplevelse av begriplighet i matematikundervisningen är
grundat i ett klimat där: syfte med ämnet matematik och uppgifter tydligt uttalas i klassrummet;
innehåll och arbetssätt är tydligt relaterade till varandra; eleverna kan uttrycka sig utan att bedömas
och där eleverna får möjligheter att förstå matematiken och uppgifter i relation till en helhet och en
verklighet.
Hanterbarhet
Medelvärdet av elevernas upplevelse av hanterbarhet i matematikundervisningen var, enligt vår
enkätundersökning, i klass A 28,9 v.e, klass B 30,9 v.e och klass C 29,1 v.e (tabell 6). I klass B
upplever eleverna att matematikundervisningen är mer hanterbar än i klass A och C, med en
marginal på 2,0 v.e till klass A och 1,8 v.e till klass C. Vad denna skillnad beror på kan inte säkerställas men det finns skillnader i hur lärare A, B och C planerar för och genomför sin undervisning .
Detta kan, enligt vår tolkning och enligt denna analys av observations- beskrivningarna, påverka
elevernas upplevelse av hanterbarhet vilket redovisas här.
Inledning och avslutning
Lärare B berättade själv eller bad eleverna återberätta kontinuerligt vad klassen hade arbetat med
och diskuterat under föregående lektioner. Hon sade vad dagens lektion skulle handla om men inte
vad lektionen skulle leda till eller exakt hur den var utformad. Det skapade ett utrymme för en viss
spontanitet under lektionen där elevernas egna frågor bildade fördjupningar i det aktuella området.
Efter de flesta lektionspass sammanfattade också lärare B och eleverna lektionens innehåll och
arbetsprocesser. Med grund i vår undersökning kan vi se att dessa genomgångar ökar möjligheten
för eleverna att uppleva ett sammanhang i matematikundervisningen då dåtid och nutid knyts ihop
med framtida aktiviteter vilket gör undervisningen mer hanterbar för eleverna. Detta ger också
läraren en överblick över elevernas förförståelse inför kommande moment i undervisningen.
Lärare A och C tog inga initiativ att i början eller slutet av en lektion återkoppla till vad eleverna
tidigare hade arbetat med eller vad de skulle arbeta med under kommande lektion. Inledning av
lektionerna började ofta i klass A och C med att läraren sade vad eleverna skulle ta fram men ingen
tydlig presentation av vad lektionerna skulle beröra för sorts matematik utan mer vilket arbetssätt
som skulle användas. Vid ett tillfälle sade dock lärare C att den stundande lektionen skulle handla
om klockan. Vi frågar oss vilka krav som ställs av lärarna på eleverna om eleverna inte får en tydlig
inledning av en lektion eller ett moment. Enligt vår undersökning blir eleverna då oroliga och
ofokuserade. Vidare kan man i vår undersökning se att situationer som tydligt ställer krav på
eleverna som överstiger deras resurser inte främjar elevernas upplevelse av matematikundervisning
som hanterbar.
36
Elevers förkunskaper och resurser
Att kunna möta en elev utifrån dennes individuella resurser eller upplevelse av brist på resurser
kräver att läraren är väl införstådd i elevens förkunskaper och förförståelse. Lärarna i klass A och C
gjorde inga tydliga kontroller av elevernas förförståelse av den matematik deras undervisning
berörde. Elev L i klass C satt sysslolös när han inte förstod en uppgift. Han frågade inte kompisar
om hjälp utan väntade passivt på att läraren skulle komma förbi. Enligt vår undersökning var den
matematik som elev L i klass C mötte ofta på en för hög nivå då eleven inte själv kunde komma
vidare i sitt arbete. Vad vi kunde se upplevde sig elev L i klass C inte besitta de resurser som
krävdes för de uppgifter han ställdes inför. Ej heller verkade han lita på att hans kompisar kunde
hjälpa honom.
Möjligtvis skedde kontroller av förförståelse automatiskt då lärare A och C gick runt till de enskilda
eleverna. Ett annat sätt som möjligtvis användes av lärarna var att i sin genomgång ställa frågor till
hela klassen och notera vilken förståelse eleverna uttrycker. Vid matematiska diskussioner i klass B
var det ofta samma sex, sju elever som räckte upp handen och ville bidra med något, de andra
eleverna deltog inte på samma aktiva nivå som dem. Lärare B hade en lugn och tydlig struktur vid
dessa tillfällen men ibland avbröt lärare B elever och tog över deras ord innan de hann uttrycka sig
klart. Detta kan ge konsekvensen att flera elever inte vågar räcka upp handen. lärare B säger till
eleverna att det är upp till dem att visa att de kan uttrycka sig muntligt eftersom det är ett
uppnåendemål i flera ämnen. Lärare A berättade också för eleverna att de måste visa läraren att de
kan delta och bidra i muntliga undervisningssituationer. Elev L i klass A upplevde, utfrån våra
observationer att han sällan besitter de resurser som krävs vid muntliga undervisningssituationer
under matematiklektioner. Han räckte sällan upp handen och om han får frågan upplevdes han av
oss som osäker när han skulle uttrycka sig. Dock svarade han oftast rätt. Vi tycker det är tydligt att
lärare A och även lärare B ställde krav på sina elever som överstiger vissa elevers resurser att delta
aktivt i undervisningen. Detta kan resultera i att fler och fler elever får en allt svagare upplevelse av
att de kan hantera detta arbetssätt i matematikundervisningen och det som krävs av dem. Elev H i
klass B var, utifrån vår undersökning, självsäker och väl medveten om att hon besitter de resurser
som krävs för att uttrycka sig vid allehanda arbetssätt inklusive muntliga undervisningssituationer.
Detsamma gällde ibland även elev L i klass B. Han är ofta aktiv vid muntliga undervisningssituationer men avbryts då och då av lärare B.
Utifrån vår undersökning då lärarna gick runt till eleverna och vägledde dem var det bara vissa
elever som bad om hjälp och alltså bara dem läraren såg. Om en elevs förförståelse inte fanns och
detta inte uppmärksammas av läraren kan det arbete som eleven ifråga utför under den aktuella
lektionen bli ett fristående stycke kunskap. Eleven ser då inte samband med det som han/hon
tidigare har lärt sig vilket kan göra det svårt för eleven att hantera den aktuella kunskapen.
Även vid arbete med konkret material behöver läraren, med stöd i vår undersökning, vara
införstådd med elevernas förförståelse av materialet ifråga. Detta för att eleverna ska kunna uppleva
hanterbarhet i matematikundervisningen och i detta sammanhang i synnerhet i arbete med konkret
material. I klass A fanns det mycket konkret material att tillgå. Där fanns även spel tillgängligt för
eleverna att själva plocka fram. Det som kan tyckas saknas är en stuktur för användandet. Ett spel
åskådliggör inte alltid ett abstrakt fenomen och samma sak gäller om eleven själv ska tolka det
konkreta material som finns tillgängligt. Detta ställer stora krav på att eleven besitter de
förkunskaper och resurser som krävs för att kunna hantera materialet ifråga.
37
I klass B användes konkret material för att tydliggöra den aktuella matematiken. Det som skilde
denna klass från övriga var att det här var läraren som bestämde de yttre ramarna för vilket material
som eleverna skulle arbeta med. Utifrån våra observationer verkade lärare B införstådd i elevernas
förkunskaper och resurskapacitet då uppgifterna verkade möta eleverna på deras nivå. Eleverna fick
själva välja innehållet i sina annonser men det var läraren som innan hade bestämt att det skulle
vara en annons som handlade om priser.
Läraren i klass C använde sig vid ett tillfälle av en stor klocka där hon presenterade olika tider och
klockslag men det var bara läraren i klassrummet som arbetade med en konkret klocka. Eleverna
satt utan klockor som passiva åskådare till arbetet förutom att några av dem fick svara på frågor
från läraren. När de senare skulle hantera arbetet med klockan enskilt visste inte läraren vilka elever
som hade den förförståelse som krävs för att hantera de uppgifter de ställs inför och detta visar sig
som osäkerhet hos eleverna i vår undersökning.
Sammanfattning
Eleverna i klass B var de elever som starkast upplevde hanterbarhet i matematikundervisningen.
Skillnaden i medelvärde i enkäten på elevernas upplevelse av hanterbarhet i matematikundervisningen var, som skrivet ovan, mellan klass B och klass A 2,0 ve och mellan klass B och
klass C 1,8 ve (tabell 6). För att sammanfatta denna del redogör vi för olika delar i matematikundervisning som, enligt vår undersökning, bör finnas för att elevernas upplevelse av hanterbarhet
ska främjas. Dessa delar är: lärarledda genomgångar av lärare och/eller elever där dagens lektionsinnehåll knyts ihop med gårdagens och morgondagens lektionsinnehåll; kontroller genomförda av
läraren att alla elever har de förkunskaper som krävs för att en lektions innehåll ska kunna utgå från
och bygga på dessa och ett klimat där eleverna kan uttrycka sig utan att bli bedömda.
Meningsfullhet
Medelvärdet av elevernas upplevelse av meningsfullhet i matematikundervisningen var, enligt vår
enkätundersökning, i skola A 27,1 värdeenheter (v.e), klass B 29,7 v.e och klass C 27,3 v.e (tabell
7). I klass B upplever eleverna att matematikundervisningen är mer meningsfull än eleverna i klass
A och C, med en marginal på 2,6 v.e till klass A och 2,4 v.e till klass C. Vad denna skillnad beror
på kan inte säkerställas men skillnader i hur lärare A, B och C planerar för och genomför sin
undervisning kan, enligt vår tolkning, påverka elevers upplevelse av meningsfullhet vilket redovisas
här.
Motivation och delaktighet
Lärare A och C lade inte mycket energi på att motivera eleverna inför eller under lektionerna i
matematik. Lärare A nämnde i början av en lektion spontant att det nu skulle arbetas med ”matte”
och någon elev reagerade med att ropa Jaaa! medan flera andra elever ropade Neeej!. Eftersom
ämnet matematik tydligt är förnkippat med negativa känslor för en del elever i skola A bidrar en
lektionsstart som denna antagligen inte till en upplevelse hos dessa elever att undervisningen i
matematik är motiverande, meningsfull och förknippad med lust. I klass A spelades vid ett tillfälle
38
sånger om olika multiplikationstabeller vilket kan vara ett medvetet försök till att motivera
eleverna. I vilket fall som helst sken många barn upp. Detta arbetssätt, att låta eleverna sjunga och
uppleva en gemenskap tillsammans, hade en synbar god effekt på elevernas motivation. Elev L i
klass A var här för första gången i vår undersökning synbart motiverad till lektionsinnehållet. Han
log och sjöng med. Vi har under våra observationer sett att elevernas motivation starkt ökar när
deras egna idéer, tankar och viljor får ligga till grund för det arbete de utför samt att kunskapen
sammanbinds med deras verklighet. I klass A och C fick eleverna sällan producera något själva. Det
mesta handlade om reproducerande arbetssätt där rätt eller fel kontrollerades. Undervisningen knöts
också sällan eller aldrig till elevernas verklighet. I klass B fick eleverna i mycket högre grad
producera och skapa något själva med siktet hela tiden inställt på det matematiska område som
avhandlas. Genomgående använde lärare B elevernas erfarenheter och tankar i undervisningen
betydligt mer än lärare A och C. När relevanta och viktiga begrepp och ord nämndes av eleverna i
klass B tog lärare B fasta på dem och använde dem vidare i undervisningen. Det är ett ytterligare
exempel på hur lärare kan arbeta för att, enligt vår tolkning, stärka elevers upplevelse av delaktighet
och meningsfullhet i matematikundervisningen.
Lärare B var för det mesta engagerad i undervisningen och visade med mycket energi att det är
roligt med matematik. Hon uttryckte både verbalt och med kroppen att undervisningen i matematik
och det eleverna gör på lektionerna är viktigt och meningsfullt. Enligt våra observationer har ett
sådant förhållningssätt hos läraren gentemot ämnet matematik och elevernas uppgifter en främjande
effekt på eleverna att själva uppleva meningsfullhet i matematikundervisningen. Både elev H och
elev L i klass B utstrålade positiv energi under lektonerna då de båda var engagerade och visade
motivation inför uppgifterna. Lärare B motiverade även eleverna genom att de själva fick bestämma
en del av innehållet i sitt arbete. De valde annonsen och de valde vilken sida de ville arbeta med i
läroboken. Strukturen fanns där genom att läraren bestämde det övergripande innehållet som i detta
fall var priser och pengar.
Arbetssätt och sammanhang
Till skillnad från lärare A och C hade lärare B tydliga sammanhangsmarkeringar, tydliggöranden
för att visa på samband mellan olika företeelser, i sin undervisning där gårdagens, dagens och
morgondagens lektioner kopplas ihop och diskuteras. Lärare B erbjöd dessutom sina elever mer
varierande arbetssätt och en tydlig struktur än lärare A och C. I klass B fanns en mer genomgående
uttalad tanke bakom det arbetssätt som valdes. Att döma av våra observationer relaterat till enkätresultat påverkar denna sorts undervisning elevernas upplevelse av meningsfullhet i undervisningen
positivt. Att erbjudas varierande arbetssätt kan också innebära att möjligheten ökar att fler elever
upplever att de får utnyttja sina starka sidor oftare och träna på att använda sin kunskaper inom
olika områden. Enligt vår undersökning främjas på så vis elevernas upplevelse av motivation, lust
och meningsfullhet i matematikundervisningen. Samtidigt kan vi se i klass A, utifrån observationer
och enkätresultat, att ett varierande arbetssätt också kan minska elevers upplevelse av sammanhang.
Möjligtvis beror detta på undervisningens otydliga struktur som lärare A står för samt att även
innehållet i undervisningen ofta varierade.
Då elevernas arbete i klass A och C till en stor del skedde i och utifrån läroboken är det en skillnad
jämfört med klass B där eleverna arbetade; enskilt, i grupper, i helklass med läroboken, eget skapat
material, diskussioner och redovisningar utifrån en explicit struktur. Syftet med de olika arbets39
sätten var oftast uttalat och tydligt kopplat till innehållet i matematikundervisningen. Utifrån vår
undersökning var eleverna i klass B generellt mer motiverade att arbeta och uttryckte en större
nyfikenhet gentemot ämnet matematik än eleverna i klass A och C.
Som nämnts ovan fanns det en skillnad i hur mycket eleverna i de tre klasserna arbetade i
läroboken. I klass A och C utgick undervisningen ofta från boken ifråga medan läroboken i klass B
var ett arbetssätt av flera där en mer tematiskt upplagd undervisning styrde lektionernas
matematiska innehåll. I klass A men i synnerhet i klass C jämfördes det ofta elever emellan vilken
sida i boken de befann sig på eller hur många rätt de hade på det senaste diagnostestet. I klass B
iakttog vi ingen sådan jämförelse. I klass A observerades att eleverna uppmuntrades att arbeta
snabbt i boken då de som var klara fick göra vad de ville, t ex spela spel. Lektionerna avbröts också
då och då av lärare A för introduktioner av andra arbetssätt och innehåll vilket kunde ha bidragit till
en minskning av elevernas upplevelse av meningsfullhet i matematiken. Med hänvisning till det
totala enkätresultatet och resultatet för elevernas upplevelse av meningsfullhet i matematikundervisningen kan denna skillnad klasserna emellan i hur läroboken används och lärarens och
elevernas förhållningssätt till läroboken vara en påverkande faktor.
Lärarens förväntningar
Lärare B:s förhållningssätt till olika elever växlade då hon visade större tålamod och
uppmärksamhet mot vissa elever än mot andra. Vi frågar oss om detta tyder på en skillnad i lärarens
förväntningar på huruvida olika elever kommer att lyckas med uppgiften ifråga. Elev H och elev L i
klass B verkade, utifrån vår undersökning, ha positiva förväntningar på sig själva att de skulle
lyckas. De var båda aktiva vid diskussioner och liknande situationer och gav båda uttryck för att
kunna det som efterfrågades. Lärare C visade på ett stort tålamod gentemot alla sina elever. Hon
bemötte sina elever genomgående med visad respekt. Detta kan tolkas som att lärare C också anser
att alla elever kan lyckas med de uppgifter de ställs inför. Lärare A hade, enligt vår undersökning,
ett förhållningssätt till eleverna som inte är engagerande eller stöttande men som bygger på ett stort
tålamod. Lärare A verkade inte vara motiverad att hjälpa sina elever att utveckla sina kunskaper så
mycket som möjligt. Vi har, i våra observationer, inte sett någonting som tyder på att lärare A
hoppas eller förväntar sig att hennes elever ska lyckas med en uppgift. Elev L i klass A verkade,
utifrån vår undersökning, inte ha några förväntningar på sig själv eller från läraren att han ska
lyckas med uppgifter han ställs inför.
Sammanfattning
Eleverna i klass B hade den starkaste upplevelsen av meningsfullhet i matematikundervisningen.
Skillnaden i medelvärde i enkäten på elevernas upplevelse av meningsfullhet i matematikundervisningen var, som skrivet ovan, mellan klass B och klass A 2,6 ve och mellan klass B och
klass C 2,4 ve (tabell 7). Sammanfattande kan vi, utifrån vår undersökning, se vilka olika delar en
undervisning bör innehålla för att elevers upplevelse av meningsfullhet i undervisningen ska
främjas. Dessa delar är: att elevernas egna idéer och frågor ligger till grund för fortsatt
undervisning; att elevernas kunskapande binds samman med deras verklighet; att läraren är
engagerad i ämnet matematik och tydligt visar att det eleverna arbetar med är viktigt och att läraren
erbjuder eleverna en mångfald av arbetssätt och infallsvinklar till ett problem.
40
Kapitel 5 Diskussion
Som en inledning i detta kapitel redogör vi sammanfattande för de mönster vi har sett mellan
enkätresultat och den undervisning vi har observerat.
Totalresultaten i enkäterna visar med ett medelvärde för varje klass (tabell 4) att eleverna i klass B
upplever sin undervisning i matematik som mer begriplig, hanterbar och meningsfull än eleverna i
klass A och C. Medelvärdet av totalresultatet för eleverna i klass B var 90,8 v.e. Eleverna i klass A
fick medelvärdet 85 v.e och eleverna i klass C fick medelvärdet 85,1 v.e. Skillnaden mellan klass B
och klass A är således 5,8 v.e. Skillnaden mellan klass B och klass C är 5,7 v.e. För att tydliggöra
skillnaden med ett fiktivt exempel avrundar vi för detta exempel både 5,8 v.e och 5,7 v.e till 6,0 v.e.
Skillnaden mellan klass B och klass A och C (6,0 v.e) kan exemplifieras av att alla elever i klass A
och klass C skulle ha svarat sällan och alla elever i klass B skulle ha svarat ofta på samma sex
påståenden.
Dessa resultatskillnader, relaterade till de observationer av undervisning vi har beskrivit och
analyserat, sammanfattas nedan.
Den undervisning som ägde rum i klass B till skillnad från klass A och C genomsyrades i större
utsträckning av ett klimat där ett syfte med ämnet matematik och elevernas uppgifter var uttalat.
Det matematiska innehållet var mer tydligt relaterat till det arbetssätt som användes för stunden och
kopplingen dem emellan var oftare uttalad. Eleverna i klass B kunde i högre grad uttrycka sig
muntligt i hel- och halvklass utan att det som sades direkt bedömdes. De fick även möjligheter att
förstå matematiken utifrån en helhet och sin egen verklighet. Lärare B erbjöd i större utsträckning
än lärare A och C flera olika arbetssätt inom samma moment och dessutom lärarledda sammanfattningar där dagens, gårdagens och morgondagens lektioner knöts ihop. Lärare B var dessutom
synligt mer engagerad i ämnet matematik och de uppgifter eleverna ställdes inför, än lärare A och
C.
Spontant vill vi gärna se direkta relationer mellan enkätresultaten i klasserna A, B och C och den
undervisning som lärare A, B och C stod för. Eftersom enkäten, som ligger till grund för det resultat
som här diskuteras, är utformad och skapad av oss vill vi dock göra klart att inga definitiva
slutsatser kan dras med utgångspunkt i dessa resultat. Alltför många faktorer kan ha spelat in i
varför eleverna svarade på påståendena som de gjorde. Faktorer som kan ha spelat in är t ex:
förhållanden hemma; allmän självuppfattning i skolan; allmän självuppfattning i alla livsområden;
dagsform då enkäten besvarades; olika tolkningar av påståendena mellan olika elever. Med detta i
åtanke kan alltså, som skrivet ovan, inga definitiva slutsatser dras utifrån de tre lärarnas
undervisning i matematik och dess konsekvenser på deras elevers upplevelse av begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen. Dock anser vi att den undervisning
alla elever tar del av i sina klasser ska räknas in som en stark påverkansfaktor på elevernas
upplevelse av matematikundervisningen om inte den enskilt starkaste. Med utgångspunkt i att den
undervisning som lärare A, B och C organiserar, genomför och utvärderar påverkar deras elevers
41
upplevelse av undervisningen ifråga kan vi börja diskutera det resultat vi har analyserat ovan i kap
4.
Betydelse av resultat relaterat till tidigare
forskning
Antonovsky (2005) hävdar att den salutogena teori han har utvecklat som har utmynnat i begreppet
KASAM (Känsla Av SAMmanhang) endast kan appliceras på livet som en helhet och inte på olika
livsområden var för sig. Antonovsky (2005) har definierat de tre upplevelseaspekterna begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet, som ligger till grund för en persons KASAM. Denna definition
står att läsa i början av kap 2 under rubriken ”Teoretiskt perspektiv”. Med en utgångspunkt i de
texter och styrdokument vi har presenterat under rubriken ”KASAM relaterat till skolans styrdokument” finner vi dock en tillräckligt god grund att applicera dem på ett enskilt livsområde,
skolan. Vi har även utifrån det begränsat området ytterligare genom att bara fokusera på
matematikundervisning.
Ett exempel på stöd som vi har funnit i styrdokumenten för att kunna applicera de tre begreppen på
matematikundervisning kan nämnas Läroplanskommittén (1992). De lyfter vid ett flertal gånger att
det grundläggande för en god bildning är att eleverna får många möjligheter att lära i meningsfulla
situationer. Vidare ska elevplaner, enligt Skolverket (2008), hjälpa elever att se sitt arbete som
begripligt, hanterbart och meningsfullt. Här dyker de tre begreppen upp precis som de är skrivna i
sitt ursprungliga sammanhang (Antonovsky, 2005). I en telefonintervju med Mona Bergman
(091118) berättade hon att man på Skolverket såg dessa tre begrepp som en genomgående
upplevelsegrund ur elevers perspektiv och en utgångspunkt för allt arbete i och för skolan. Vidare
berättade Mona Bergman att man använde de tre begreppen, direkt hämtade från Antonovsky
(2005) som grund i många av sina texter, på vår fråga om Skolverket eller hon själv hade definierat
begreppen utifrån undervisning var svaret att inga definitioner fanns att tillgå. Klart är dock att vi
kan luta oss mot Skolverket och Mona Bergman (091118) när vi använder begreppen begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet för att undersöka elevers upplevelse av matematikundervisning.
Mycket av den forskning vi har presenterat under rubriken ”Tidigare forskning” rör frågor som
handlar om lärares ansvar att skapa situationer för eleverna att uppleva undervisningen begriplig,
hanterbar och meningsfull. Relaterat till upplevelsen av begriplighet efterfrågar t ex Wyndhamn
(1987) och Samuelsson och Lawrot (2009) en undervisning som prioriterar gedigen förståelse och
menar att muntlig matematik har en roll att spela där språket kan kommunicera och utveckla en
elevs förståelse både för denne själv och för läraren. Vår uppfattning är att läraren har en stor
potentiell informationskälla i eleverna för att kunna utveckla sin undervisning. Om läraren skapar
sig en förståelse för elevens upplevelse av matematikundervisningen kan ett utvecklande samarbete
mot en större begriplighet införlivas. Detta bör, som sagt, gynna både eleven och läraren. Det som
Wyndhamn (1987) och Samuelsson och Lawrot (2009) efterfrågar ovan får stöd i vår undersökning
som visade att den klass där muntlig matematik ägde rum i störst utsträckning också hade elever
som starkast upplevde begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematik- undervisningen.
Vi fann i vår undersökning att lotsning var den oftast förekommande vägledningen av läraren
gentemot eleverna. Även lärare B, vars elever fick de högsta resultaten i vår enkätundersökning,
42
använde sig mest av denna metod. Om eleverna enbart får en vägledning där det rätta svaret är
målet anser vi att både läraren och eleven förlorar på det i slutänden. Eleven då han/hon missar
väsentliga kunskaper mot fortsatt lärande i matematik och läraren då han/hon antagligen kommer
att behöva lägga mer energi i framtiden på att förklara redan genomgångna kunskapsområden och
kanske får stå till svars för bristande resultat i tester/prov. Foisack (2003) skriver att en lärares
vägledning av en elev bör vara av typen scaffolding där eleven tar eget ansvar för tolkning av
processen i arbetet samt får utföra den fysiska handling det innebär. Detta för att vägledningen ska
vara begreppsutvecklande och främjande av gedigen förståelse. Emanuelsson (1998) menar att just
denna gedigna förståelse är en sorts dynamiskt kunnande som i motsats till statiskt kunnande kan
generaliseras och således användas i flera olika situationer. En förutsättning, tror vi, för att detta
dynamiska kunnande och en gedigen förståelse ska utvecklas hos alla elever är att läraren
kontinuerligt sätter sig in i var och en av elevernas upplevelse av sin egen förståelse av och
förförståelse till de uppgifter de ställs inför.
Enligt vår definition av begriplighet ska eleven uppleva att det som sker i matematikundervisningen
är gripbart, förståeligt och förutsägbart. Om lektionerna i matematik tar sin början enbart på grund
av yttre omständigheter, t ex att rasten är slut, framkommer det inte vad som kommer att hända och
vad som krävs av eleverna inför stundande matematiklektioner. Undervisningen blir allt annat än
förutsägbar. Utifrån vår undersökning kan vi se att den klass där inledning och avslutning av
matematiklektioner var tydligast, och där det informerades om vad lektionerna har handlat och ska
handla om, hade elever som starkast upplevde begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i
matematikundervisningen. Vi tror att många lärare missar vikten av tydliga ramar i matematikundervisningen. Tydliga ramar och tydligt innehåll tror vi skapar en större möjlighet för eleverna att
nå en upplevelse av att undervisningen är gripbar, förståelig och förutsägbar. Skolverket
uppmärksammar detta resonemang i sin rapport ”Lusten att lära: med fokus på matematik” (2003)
och skriver att s. k sammanhangmarkeringar i undervisningen, där läraren tydliggör samband
mellan olika företeelser under tid, är en viktig förutsättning för elevers lärande. Detta tror vi är av
ännu större vikt vid arbete mot yngre åldrar för att eleverna ska kunna veta vad som förväntas av
dem under kommande lektionen och kunna knyta an till tidigare kunskaper.
Lärare A och C i vår undersökning vandrade mellan både innehåll och arbetssätt under en och
samma lektion utan tydlig koppling till varandra vilket skapade ett osammanhängande intryck för
oss observatörer. Detta kan skapa ett glapp mellan elever och undervisningsstoff. Ett glapp som för
en del elever kan ta hela lektionstiden att fylla upp. När dessa elever är på jakt efter en förståelse av
lektionens innehåll kan energi förloras åt att samtidigt förstå och följa med i oannonserade och icke
underbyggda byten mellan innehåll och arbetssätt. Samuelsson och Lawrot (2009) lyfter också
denna problematik då de menar att varje nytt kursmoment kräver en abstraktionsförmåga av
eleverna. Detta bör läraren, enligt dem, beakta för att främja elevernas upplevelse av hanterbarhet
och inte riskera att eleven krävs på en förmåga som inte är tillräckligt utvecklad. Frågan vi ställer
oss är om läraren vid dessa tillfällen är medveten om vilka höga krav hon ställer på eleverna.
Konkret material var någonting som framförallt två av lärarna använde sig av, dock i olika stor
utsträckning. Malmer (2002) förespråkar användandet av konkret material för att konkretisera
abstrakta fenomen så att eleverna kan få större möjligheter att tillgodogöra sig det matematiska
innehållet. I vår undersökning framkom det dock att elevers upplevelse av begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet inte måste påverkas positivt av användande av konkret material.
Materialet i sig är inte alltid konkretiserande då lärarens presentation och hantering av materialet
43
spelar en avgörande roll. Den lärare vars klass hade högst enkätresultat hade en uttalad tanke och en
tydlig struktur kring hanteringen av materialet vilket skilde sig från övriga lärare. Att
organiseringen i sig av ett material har en stor betydelse för elevers möjligheter till lärande är inte
något nytt. I ”Skola för bildning” (Läroplanskommittén, 1992) nämns organisationen av skolans
verksamheter som en möjlig påverkansfaktor av elevers kunskapsutveckling. De menar att skolan
måste erbjuda sammanhang där kunskapandet blir meningsfullt. Att erbjuda elever konkret material
är i sig alltså inte en garanti för kunskapsutveckling. De sammanhang där materialet presenteras och
nyttjas spelar en stor roll för det lärande som sker.
Det framkom i vår undersökning att enskilt arbete i läroboken eller framlagda stenciler inte alltid är
en undervisning som främjar förståelse hos eleverna. Johansson (2006) skriver att även om alla
elever börjar i samma kapitel i boken så dröjer det oftast bara till fjärde lektionen innan alla elever
arbetar spritt i samma kapitel. Detta menar hon gör det svårt för läraren att vägleda eleverna på ett
optimalt sätt. Detta arbetssätt försvårar också för aritmetisk doping som myntats som begrepp av
Löwing och Kilborn (2002). Vi ställer oss frågan hur läraren kan se om en elev verkligen har en
kunskap om den aktuella matematiken utifrån en kompetens och inte bara en färdighet när han/hon
arbetar i sin lärobok. Samtidigt visade det sig också i våra observationer att i de klasser där eleverna
arbetade nära läroboken fanns en tendens hos eleverna att mäta sig med varandra utifrån antal
gjorda sidor eller antal rätt i boken. I en av klasserna uppmuntrade även läraren, omedvetet eller
medvetet, ett snabbt genomförande av lärobokens uppgifter då de elever som var klara fick göra
vad de ville resten av lektionen. Att antalet utförda uppgifter fungerar som motivation rimmar illa
med kursplanen i matematik (Skolverket, 2008) där undervisningen ska ge eleven möjlighet att
utöva matematik i meningsfulla och relevanta situationer. Eleven ska också få möjlighet att aktivt
och öppet söka efter förståelse av problem. Om eleverna inte finner matematik som ämne
meningsfullt i sig tror vi att risken är stor att matematik till slut hamnar långt ner på elevernas lista
över ämnen där de finner lust att lära.
En intressant företeelse vi fann när vi observerade en elev med lägst upplevelse av begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet i sin klass, var att denna elev hela lektionen satt vid sin bänk och
arbetade koncentrerat i läroboken. Wyndhamn (1987) tar upp detta fenomen och menar att man som
lärare inte får luras av ett sådant beteende. Att en elev på ytan verkar arbeta ändamålsenligt kan
vara ett mekaniskt görande då förståelsen har missats fullständigt. Då vi inte har relaterat våra
resultat till kunskap vet vi inte var denna elev befinner sig rent kunskapsmässigt. Att eleven, enligt
enkäten, upplever sig ha sådan låg upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i
matematiken är dock nog så anmärkningsvärt. Kan detta fenomen generaliserat vara en anledning
till att så många som 27 procent av eleverna inte når upp till kravnivån i de nationella proven i år 3
beträffande förståelse för de fyra räknesätten (Skolverket, 2009)? Hur många elever sitter i sina
klassrum och plikttroget räknar tal efter tal utan någon egentlig förståelse för sitt handlande?
Konsekvenserna av detta bör i längden bli förödande då matematiken utvecklas och blir än mer
abstrakt i de högre åldrarna. Att elever ofta inte förstår vad de håller på med i ämnet matematik var
någonting som Malmer och Kronqvist (1993) också kom fram till i sin forskning. De menar att
eleverna måste kunna tolka de matematiska symbolerna och uppleva att de är bärare av ett verkligt
innehåll för att processen ska vara meningsfull. Undervisning med tydligast relationer till elevernas
verklighet fann vi enligt vår undersökning i den klass med elever som hade starkast upplevelse av
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen och möjligtvis är detta
44
arbetssätt en bidragande orsak till det höga resultatet. Även företeelsen att arbeta med höga tal i
matematiken får en annan innebörd om det höga talet relateras till någonting i elevernas vardag.
De elever som fick högst resultat i vår undersökning verkade genomgående ha höga förväntningar
på sig själva samt uppleva att även andra hade höga förväntningar på dem. Utifrån vår definition av
meningsfullhet är just positiva förväntningar något som betonas. Enligt ”Den individuella
utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd och kommentarer” (Skolverket, 2008)
visar entydiga forskningsresultat att positiva och höga förväntningar på elevens skolarbete är av stor
betydelse för elevens framgång. Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Brophy (2004) att
lärarens förväntningar är en del av att eleven ska finna ett värde i matematiken. Finner eleven att ett
värde skapas kring hans/hennes undervisningssituation kan detta fungera som motivation för eleven
att försöka utföra uppgifterna han/hon ställs inför. En annan sak som framkom under våra
observationer var att elevernas motivation ökade då deras egna idéer, tankar och viljor fick en
naturlig plats i arbetet. Detta är också någonting som påpekats i ”Skola för bildning” (Läroplanskommittén, 1992) där författarna menar att barnens nyfikenhet bör tillvaratas för att grundlägga en
lust att lära. De menar att kunskaperna bör organiseras med utgångspunkt i barnens frågor. Stedoy
(2006) menar att det i dag råder en internationell enighet kring att den som lär bör vara aktivt
involverad i sin egen lärandeprocess. Detta är också någonting som våra resultat kan styrka då den
klass där eleverna fick vara mest aktiva i undervisningsprocessen också hade starkast upplevelse av
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Sammanfattningsvis kan vi se mönster i vår undersökning där undervisningsstruktur utgör en stor
skillnad mellan klasserna. Tydliga ramar både vid inledning, avslutning och under lektionerna
innebär större möjligheter för lärande. Dessa behöver förmedlas till eleverna så att de vet vad som
förväntas av dem. Eleverna behöver få utrymme under lektionen att komma till tals men det är, som
tidigare sagt, lärarens ansvar att sätta tydliga ramar för vad som då är aktuellt för diskussion.
Eleverna behöver också bemötas med ett öppet förhållningssätt där deras svar inte alltid bedöms
som rätt eller fel. Matematiken kan innehålla flera vägar mot en lösning och lärarens lösning är inte
alltid den bästa. Här kan båda parter utveckla ett utbyte av idéer och läraren kan även få en insikt i
elevernas förkunskaper i det aktuella ämnesområdet. Om eleverna får ta del i och påverka sin
lärandeprocess är det troligt att eleven också lyckas förstå sin omvärld utifrån ett matematiskt
perspektiv samt finna den meningsfull. Positiva förväntningar och ett förhållningssätt från läraren
som visar en lust att lära matematik utgör skillnader hos eleverna. Läraren behöver visa eleverna att
lektionsinnehållet är viktigt.
Frågan är då bara hur läraren ska kunna veta om eleverna upplever matematikundervisningen
begriplig, hanterbar och meningsfull. Vi återkopplar till det vi skrev i början av denna uppsats
under rubriken ”Inledning”:
För att en lärare ska ge alla elever en så stor chans som möjligt att utveckla sin matematiska förståelse tror
vi att läraren kontinuerligt behöver ifrågasätta den undervisningskultur som han/hon har skapat. Det kan
man göra genom att försöka sätta sig in elevernas upplevelsevärld. Frågor som läraren bör ställa sig kan
förväntas utgå från eleverna: Hur upplever eleverna undervisningen i matematik? På vilket sätt behöver jag
som lärare utveckla min undervisning för att alla elever minst ska nå uppnåendemålen och må så bra som
möjligt på matematiklektionerna?
45
Vi anser att vårt underordnade syfte, att finna och utveckla en metod för lärare att bli medvetna om
sina elevers upplevelser av matematikundervisning, är uppfyllt då våra undersökningsresultat
avslöjar mönster mellan undervisningspraktiker och elevers upplevelser av begriplighet,
hanterbarhet och meningsfullhet. Vi anser att detta legitimerar ett användande av enkäten och att
läraren utifrån det kan ifrågasätta den undervisningspraktik han/hon har skapat.
Reflektion över forskningsprocessen
Denna process har varit lång men givande. Att definiera begrepp utifrån matematikundervisning,
som från början är skapade ur ett hälsoperspektiv, var till en början en stor utmaning. Vi var dock
hela tiden fast övertygade om att det skulle gå att genomföra. Vi fann att Skolverket (Bergman,
091118) tagit fasta på de tre, i denna studie genomgående använda begreppen och använder dem
som en betydande grund för kunskapsutveckling. Under processens gång har vi blivit än mer
övertygade om vad dessa begrepp har för betydelse för matematikutveckling samt vikten av att ta
del av elevers upplevelse av undervisning i allmänhet.
Det är för alla elever vi vill utveckla matematikundervisning. Alla elever har rättigheten att få den
bästa undervisning som går att skapa och för att detta ska vara möjligt menar vi att eleverna bör få
vara delaktiga i utvecklingsprocessen av undervisningen.
Vår undersökning genererade en stor mängd data och information. Det var till en början svårt att
begränsa sig då vi ansåg att det var mycket som var relevant och intressant att fortsätta undersöka.
Vi har gång på gång ventilerat våra tankar och idéer för att hitta och upprätthålla ett fokus i vår
studie och för att kunna tydliggöra i denna uppsats vad vi kommit fram till.
Om vi skulle genomföra en liknande studie igen skulle vi antagligen ha försökt strukturera vår
arbetsgång tydligare från början. Samtidigt som detta arbetssätt har varit givande har vi mer eller
mindre förutsättningslöst försökt finna grund och underlag för våra tankar om att de tre begreppen
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet kan ha en stor betydelse för utveckling av
matematikundervisning.
Nya frågor/vidare forskning
Vi finner många nya områden att utforska utifrån de resultat som framkom i vår undersökning. Då
vi i vår studie inte har undersökt elevers kunskapsnivå eller utveckling vore detta intressant att
relatera till deras upplevelse av matematikundervisningen. En möjlig och intressant undersökning
tror vi t ex skulle kunna vara att mäta elevers upplevelse av matematikundervisning relaterat till
deras resultat i de nationella proven i ämnet matematik.
Att genomföra en liknande studie i klasser i grundskolans senare år eller i särskolan skulle även det
vara intressant. Tidigare undersökningar visar att elevers lust att lära inom matematik blir lägre
högre upp i åldrarna och det vore intressant att söka kopplingar mellan elevers lust att lära, deras
allmänna upplevelse av undervisningen och den matematikundervisning de får ta del av.
Ett annat möjligt undersökningsområde som uppenbarade sig då vi genomarbetade vårt material var
elevernas upplevelse av matematikundervisningen relaterat till ett genusperspektiv. I en och samma
46
klass var skillnaden mellan flickors och pojkars totala upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och
meningsfullhet i matematikundervisningen, enligt vår enkätundersökning, ca 12 v.e till flickornas
fördel. Skapar läraren dessa skillnader genom sitt bemötande av eleverna? Kan det möjligtvis vara
så att den struktur läraren byggt upp kring sin undervisning gynnar vissa grupper mer än andra? Att
undersöka och försöka finna orsaker till denna skillnad skulle ha varit mycket intressant.
Till sist vill vi ta upp ett undersökningsområde som vi från början hade tänkt välja för denna studie,
tidsbrist stoppade oss tyvärr från detta. Område innefattar ett didaktiskt experiment där vi,
författarna till denna studie, skulle agera pedagoger och utforma en lektionsserie inom ämnet
matematik med syfte att öka elevernas upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet
i matematikundervisningen. Vi skulle genomföra en enkätundersökning före och efter denna
lektionsserie för att upptäcka eventuella skillnader i resultat och sedan försöka finna (likt den studie
vi har genomfört) kopplingar mellan eventuella resultatskillnader och den undervisning som skulle
erbjudas eleverna i lektionsserien. Vi är medvetna om att denna lektionsserie bör fortgå under en
ganska lång tid för att kunna ha effekt på elevernas upplevelse av matematikundervisningen.
Avslutningsvis hoppas vi att vi själva eller någon annan i framtiden tar vid där vi nu avslutar vår
studie, för ett fortsatt utvecklande av undervisningspraktiker i alla ämnen och att även elevers
upplevelser av undervisning fortsätter vara ett ämne för vidare forskning.
47
Referenser
Ahlberg, A. (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. I. Wallby, K. (red.) (2005)
Matematik från början. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Univ. (s. 997)
Antonovsky, A. (2005). Hälsans mysterium. 2. utg. Stockholm: Natur och kultur
Bergius, B. Emanuelsson, L. (2000) Att stimulera barns intresse för och upptäckter i matematik. I.
Wallby, K. (red.) (2005) Matematik från början. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning, Univ. (s. 145-178)
Bjørndal, Cato R. P. (2005). Det värderande ögat: observation, utvärdering och utveckling i
undervisning och handledning. 1. uppl. Stockholm: Liber
Blomhoj M. (2006). Matematisk modellering. I. Boesen, J. (red.) (2006). Lära och undervisa
matematik: internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (s.
81-94)
Boesen, J.(red.) (2006). Lära och undervisa matematik: internationella perspektiv. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning
Clarke D. M. (2006). Algoritmundervisning i tidiga skolår. I. Boesen, J. (red.) (2006). Lära och
undervisa matematik: internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning (s. 21-34)
Dahl, K. (1995). Ger matematik men eller mening? Nämnaren nr 2, s.15 – 22. Tillgänglig på
internet: http://ncm.gu.se/media/namnaren/fulltextpdf/1995/nr_2/1522_95_2.pdf
Den individuella utvecklingsplanen med skriftliga omdömen [Elektronisk resurs] : allmänna råd
och kommentarer. (2008). Stockholm: Skolverket. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/publikationer?id=2114
Emanuelsson, J. (1998). Hur hänger lärande och undervisning ihop? Nämnaren nr 2, s. 6 - 8.
Tillgänglig på internet: http://ncm.gu.se/media/namnaren/fulltextpdf/1998/nr_2/0608_98_2.pdf
Foisack, E. (2003). Döva barns begreppsbildning i matematik. Diss. Lund: Univ., 2003
Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning [Elektronisk resurs].
(2002). Stockholm: Vetenskapsrådet. Tillgänglig på Internet:
http://www.cm.se/webbshop_vr/pdfer/etikreglerhs.pdf
Grundskolan: kursplaner och betygskriterier. 2. uppl.(rev.) (2008). Stockholm: Skolverket.
Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular
perspective. Diss. Luleå: Luleå tekniska univ., 2006. Tillgänglig på Internet:
http://epubl.ltu.se/1402-1544/2006/23/index.html
Kronqvist, K-Å. & Malmer, G. (1993). Räkna med barn: läroboksoberoende
matematikundervisning i teori och praktik under de första skolåren. 1. uppl. Solna: Ekelund
48
Kullberg, B. (2004). Etnografi i klassrummet. 2., [rev.] uppl. Lund: Studentlitteratur
Linnanmäki, Karin (2002). Matematikprestationer och självuppfattning: en uppföljningsstudie i
relation till skolspråk och kön. Diss. : Åbo Akademi, 2002
Ljungblad, A-L. (2006). Matematik: en mänsklig rättighet. Varberg: Argument
Ljungblad, M. (2007). KASAM och matematiksvårigheter. Malmö: Gudrun Malmers stiftelse.
Tillgänglig på Internet:
http://dspace.mah.se/dspace/bitstream/2043/6752/1/KASAM%20och%20matematiksv%C3%A5rig
heter.pdf
Lusten att lära [Elektronisk resurs] : med fokus på matematik : nationella kvalitetsgranskningar
2001-2002. (2003). Stockholm: Skolverket. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/publikationer?id=1148
Läroplanskommittén (1992). Skola för bildning: huvudbetänkande. Stockholm: Allmänna förl.
Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94 (2006).
Stockholm: Skolverket
Löwing M. & Kilborn W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund:
Studentlitteratur.
Malmer, G. (1983). Matematik - ett språk för alla. I. Dokumentation från Matematikbiennalen
1982. Stockholm: Liber Utbildningsförl. Tillgänglig på Internet:
http://ncm.gu.se/media/namnaren/fulltextpdf/82-83/nr_1/1013_82-83_1.pdf
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. 2.
uppl. Lund: Studentlitteratur
Nagy E. (2004). Barns Känsla av Sammanhang. En valideringsstudie av BarnKASAM i årskurserna
1-6 (ålder 7-12 år). Lunds universitet: Magisteruppsats. Tillgänglig på Internet:
http://lup.lub.lu.se/luur/download?func=downloadFile&recordOId=1358959&fileOId=1358960
Reys, B. J. & Reys, R. E. (1995). Perspektiv på Number sense och taluppfattning. Nämnaren nr 1,
s. 28-33.
Runesson, U. (2004). Med lärandets innehåll i fokus. Nämnaren nr 1, s. 34-37. Tillgänglig på
internet: http://ncm.gu.se/media/namnaren/fulltextpdf/2004/nr_1/3437_04_1.pdf
Samuelsson, J. & Lawrot, K. (2009). Didaktik för elever med låsningar i matematik. Linköping
universitet. Didaktisk Tidskrift vol 18, Nr 3. Jönköping University Press. Tillgänglig på internet:
http://www.didaktisktidskrift.se/pdf/samuelsson.pdf
Skolinspektionens kvalitetsgranskning (2009). Undervisningen i matematik – utbildningens
innehåll och ändamålsenlighet. Stockholm. Tillgänglig på internet:
http://www.skolinspektionen.se/Documents/Kvalitetsgranskning/Matte/granskningsrapportmatematik.pdf?epslanguage=sv
Skolverket (2009). Tidig upptäckt av kunskapsbrister med nationella prov i årskurs 3.
Pressmeddelande, 091021. Tillgängligt på internet: http://www.skolverket.se/sb/d/2573/a/17745
Stedoy I. M. (2006). Hur blir man en duktig matematiklärare? I. Boesen, J. (red.) (2006). Lära och
undervisa matematik: internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning (ss. 241-258)
49
Sverige. Matematikdelegationen (2004). Att lyfta matematiken [Elektronisk resurs] : intresse,
lärande, kompetens : betänkande. Stockholm: Fritzes offentliga publikationer. Tillgänglig på
Internet: http://www.regeringen.se/content/1/c6/03/03/48/6a32d1c0.pdf
TIMSS 2007 [Elektronisk resurs] : svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. (2008). Stockholm: Skolverket. Tillgänglig på
Internet: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2127
Trost, J. & Hultåker, O. (2007). Enkätboken. 3 uppl.(rev. och utök.) Lund: Studentlitteratur
Wyndhamn, J. (1987). Om att förstå och att tala matematik. Nämnaren nr 2-3, s. 32 - 35.
Tillgänglig på internet: http://ncm.gu.se/media/namnaren/fulltextpdf/86-87/nr_2-3/3235_86-87_23.pdf
Övriga källor
Mona Bergman (091118) Skolverket. Telefonintervju.
50
Bilagor
Vi bifogar nedan bilagorna 1-5 i ordning: samtyckesenkät för elever (bilaga 1); samtyckesenkät för
föräldrar (bilaga 2); den identifierade undersökningsenkäten (där eleverna skulle skriva namn)
(bilaga 3); den anonyma undersökningsenkäten (där eleverna inte skulle skriva namn) (bilaga 4)
samt undersökningsenkäten där påståendena är kopplade till de tre centrala begreppen som tidigare
definierats (bilaga 5). I denna enkät benämns begreppet begriplighet med ”B”, hanterbarhet med
”H” och meningsfullhet med ”M” efter varje påstående.
51
Bilaga 1: Samtyckesenkät för elever
Hej!
Vi heter Sandra och Fredrik. Vi går på ett universitet där vi lär oss att bli bra
lärare.
Snart är vi färdiga lärare men innan dess ska vi göra en stor undersökning och
skriva en lång text om vår undersökning.
Vi vill undersöka vad du tycker om matematik.
Hur?
1. Du ska få svara på frågor på en lapp.
2. Vi tänker titta på lektioner då du har matematik. Kanske gör du något
som vi vill skriva om.
Dina föräldrar/vårdnadshavare bestämmer om du får svara på frågelappen och
om vi får skriva om dig. Om de säger att det är ok, då får du bestämma själv
om du vill vara med eller inte. Det är också helt okej att ändra sig när du vill.
Tänk på att vi inte kommer att använda ditt namn om vi skulle skriva om dig i
vår
text.__________________________________________________________
Om mina föräldrar tycker att det är ok så…
Godkänner jag härmed att Sandra och Fredrik får ge mig en frågelapp att
svara på och att de får skriva om mig i sin text.
Jag vill inte att Sandra och Fredrik ska ge mig en frågelapp att svara på och att
de skriver om mig i sin text.
_______________________________________________________________
_
Underskrift
Datum
52
Bilaga 2: Samtyckesenkät
Till vårdnadshavare för elever i år 3.
Hej!
Vi heter Sandra Ström och Fredrik Sandberg och läser lärarutbildningen på Stockholms
universitet. Vi är nu i slutet av vår utbildning och arbetar med vår C-uppsats.
Under vår utbildning har vi intresserat oss för ett begrepp som heter KASAM (känsla av
sammanhang) och dess tre komponenter; begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. De
handlar kortfatta om att förstå det man gör, att kunna hantera det som sker och se en
mening i det hela.
Vi har även läst inriktning mot matematik och skulle nu vilja undersöka elevers upplevelse
av matematikundervisning utifrån de ovanstående tre komponenterna. Vi kommer att
besöka tre klasser i år 3 i tre olika skolor i tre olika kommuner.
Undersökningen går ut på att dels observera undervisningen i matematik för alla elever och
dels låta eleverna svara på en enkät utifrån de tre ovan beskrivna komponenterna. För att få
göra denna undersökning med eleverna behöver vi er och ert barns tillåtelse i form av en
underskrift. Barnets godkännande sker på en separat lapp. Vårdnadshavarens godkännande
är naturligtvis en förutsättning för att barnets godkännande ska gälla. Det är bara vi som
kommer att läsa enkäterna och efter att arbetet är slutfört kommer dessa att makuleras. I det
avslutande arbetet kommer alla elever att vara anonyma.
Vi skulle bli väldigt tacksamma om ni ville hjälpa oss med detta. Har ni några funderingar
kan ni maila Sandra på [email protected] och Fredrik på [email protected]
eller nå oss på tel: 073-5725979 och 073-6520188.
Med vänliga hälsningar
Sandra Ström
Fredrik Sandberg
Jag/vi godkänner att vårt barn deltar i observationer och enkätundersökning.
Jag/vi vill inte att vårt barn ska delta i observationer och enkätundersökning.
______________________________________________________________________
Namn på vårdnadshavare
Datum
_____________________________________________
Barnets namn
53
Bilaga 3: Identifierad undersökningsenkät
Så tycker jag om matte…
1. Saker jag gör på mattelektionerna är roliga och gör mig glad.
aldrig
sällan
ofta
alltid
2. På mattelektionerna finns det någon som kan hjälpa mig när jag behöver hjälp.
aldrig
sällan
ofta
alltid
3. När jag får hjälp med en matteuppgift förstår jag hur jag sedan ska klara av liknande
uppgifter själv.
aldrig
sällan
ofta
alltid
4. Matte är tråkigt.
aldrig
sällan
ofta
5. När jag vill säga någonting på mattelektionerna får jag det.
aldrig
sällan
ofta
alltid
alltid
6. Även fast jag inte förstår en sak i matten just nu så tror jag att jag kommer att förstå
det senare.
aldrig
sällan
ofta
alltid
7. När jag arbetar med matteuppgifter känner jag mig säker.
aldrig
sällan
ofta
alltid
8. Jag vet hur jag kan använda det jag kan i matte när jag inte är i skolan.
aldrig
sällan
ofta
alltid
9. Jag lyckas lösa matteuppgifter .
aldrig
sällan
54
ofta
alltid
10. Jag är intresserad av flera olika saker i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
11. Jag hinner med det jag vill göra på mattelektionerna.
aldrig
sällan
ofta
alltid
12. När jag misslyckas med en matteuppgift känner jag mig ledsen.
aldrig
sällan
ofta
alltid
13. Det känns som att jag vet vad jag ska göra på mattelektionerna.
aldrig
sällan
ofta
alltid
14. Jag vet vilka mål jag ska nå i matte för år 3.
aldrig
sällan
ofta
alltid
15. Jag känner att jag kommer att lyckas med att nå målen i matte för år 3.
aldrig
sällan
ofta
alltid
16. Jag vet innan lektionen i matte på vilket sätt vi kommer att arbeta.
aldrig
sällan
ofta
alltid
17. Jag trivs med det sätt vi arbetar på i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
18. Jag vet innan lektionen vad matten kommer att handla om.
aldrig
sällan
ofta
alltid
19. Jag vågar säga till i hela klassen om det är något jag inte förstår i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
20. Jag förstår varför jag ska lära mig matte.
aldrig
sällan
ofta
55
alltid
21. På matten får jag uppleva att jag förstår något som jag tidigare inte förstått.
aldrig
sällan
ofta
alltid
22. När vi pratar hela klassen tillsammans på matten känner jag att det jag säger spelar
roll (för läraren och de andra eleverna).
aldrig
sällan
ofta
alltid
23. När jag arbetar med material på matten förstår jag vad i matten jag tränar på.
aldrig
sällan
ofta
alltid
24. Om jag vill arbeta med något speciellt på matten vet jag att jag förr eller senare
kommer att få göra det.
aldrig
sällan
ofta
alltid
25. Jag känner mig nöjd med det jag har gjort på mattelektionen.
aldrig
sällan
ofta
alltid
26. Efter en lektion i matte förstår jag vad vi har arbetat med.
aldrig
sällan
ofta
alltid
27. Efter en lektion i matte vet jag vad jag har lärt mig.
aldrig
sällan
ofta
alltid
Vad tycker du om detta frågepapper?
Vad tänker du på just nu?
56
Bilaga 4: Anonym undersökningsenkät
Så tycker jag om matte…
1. När jag får hjälp med en matteuppgift förstår jag hur jag sedan ska klara av liknande
uppgifter själv.
aldrig
sällan
ofta
alltid
2. När jag vill säga någonting på mattelektionerna får jag det.
aldrig
sällan
ofta
alltid
3. Saker jag gör på mattelektionerna är roliga och gör mig glad.
aldrig
sällan
ofta
alltid
4. Även fast jag inte förstår en sak i matten just nu så tror jag att jag kommer att förstå
det senare.
aldrig
sällan
ofta
alltid
5. När vi pratar tillsammans hela klassen på matten känner jag att det jag säger är
viktigt för läraren och de andra eleverna.
aldrig
sällan
ofta
alltid
6. Jag tycker om de sätt vi arbetar på i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
7. Om jag vill arbeta med något speciellt på matten vet jag att jag förr eller senare
kommer att få göra det.
aldrig
sällan
ofta
alltid
57
8. När jag arbetar med matteuppgifter känner jag mig säker.
aldrig
sällan
ofta
alltid
9. Jag använder det jag kan i matte på fritiden.
aldrig
sällan
ofta
alltid
10. Jag lyckas lösa matteuppgifter.
aldrig
sällan
ofta
alltid
11. Jag är intresserad av flera olika saker i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
12. Jag hinner med det jag vill göra på mattelektionerna.
aldrig
sällan
ofta
alltid
13. När jag misslyckas med en matteuppgift känner jag mig ledsen.
aldrig
sällan
ofta
alltid
14. Matte är tråkigt.
aldrig
sällan
ofta
alltid
15. Det känns som att jag vet vad jag ska göra på mattelektionerna.
aldrig
sällan
ofta
alltid
16. Efter en lektion i matte förstår jag vad vi har arbetat med.
aldrig
sällan
ofta
alltid
17. Jag vet innan lektionen i matte på vilket sätt vi kommer att arbeta.
aldrig
sällan
ofta
alltid
18. Jag vet vilka mål jag ska nå i matte för år 3.
aldrig
sällan
ofta
alltid
19. Jag vågar säga till i hela klassen om det är något jag inte förstår i matten.
aldrig
sällan
ofta
alltid
20. Efter en lektion i matte vet jag vad jag har lärt mig.
aldrig
sällan
ofta
58
alltid
21. Jag känner att jag kommer att lyckas med att nå målen i matte för år 3.
aldrig
sällan
ofta
alltid
22. Jag vet innan lektionen vad matten kommer att handla om.
aldrig
sällan
ofta
alltid
23. Jag förstår varför jag ska lära mig matte.
aldrig
sällan
ofta
alltid
24. På mattelektionerna finns det någon som kan hjälpa mig när jag behöver hjälp.
aldrig
sällan
ofta
alltid
25. På matten får jag uppleva att jag förstår något som jag tidigare inte förstått.
aldrig
sällan
ofta
alltid
26. När jag arbetar med material på mattelektionen förstår jag vilken sorts matematik
jag tränar på.
aldrig
sällan
ofta
alltid
27. Jag känner mig nöjd med det jag har gjort på mattelektionen.
aldrig
sällan
ofta
alltid
59
Bilaga 5: Enkätmall kopplad till begreppen
begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Så tycker jag om matte…
1. Saker jag gör på mattelektionerna är roliga och gör mig glad. – M
aldrig
sällan
ofta
alltid
2. På mattelektionerna finns det någon som kan hjälpa mig när jag behöver hjälp. – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
3. När jag får hjälp med en matteuppgift förstår jag hur jag sedan ska klara av liknande
uppgifter själv. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
4. Matte är tråkigt. - M
aldrig
sällan
ofta
alltid
5. När jag vill säga någonting på mattelektionerna får jag det. - M
aldrig
sällan
ofta
alltid
6. Även fast jag inte förstår en sak i matten just nu så tror jag att jag kommer att förstå
det senare. – M
aldrig
sällan
ofta
alltid
7. När jag arbetar med matteuppgifter känner jag mig säker. – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
8. Jag vet hur jag kan använda det jag kan i matte när jag inte är i skolan. – M
aldrig
sällan
ofta
alltid
9. Jag lyckas lösa matteuppgifter . – H
aldrig
sällan
60
ofta
alltid
10. Jag är intresserad av flera olika saker i matten. - M
aldrig
sällan
ofta
alltid
11. Jag hinner med det jag vill göra på mattelektionerna. - H
aldrig
sällan
ofta
alltid
12. När jag misslyckas med en matteuppgift känner jag mig ledsen. – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
13. Det känns som att jag vet vad jag ska göra på mattelektionerna. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
14. Jag vet vilka mål jag ska nå i matte för år 3. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
15. Jag känner att jag kommer att lyckas med att nå målen i matte för år 3. – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
16. Jag vet innan lektionen i matte på vilket sätt vi kommer att arbeta. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
17. Jag trivs med det sätt vi arbetar på i matten. – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
18. Jag vet innan lektionen vad matten kommer att handla om. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
19. Jag vågar säga till i hela klassen om det är något jag inte förstår i matten. - H
aldrig
sällan
ofta
alltid
20. Jag förstår varför jag ska lära mig matte. – M
aldrig
sällan
ofta
61
alltid
21. På matten får jag uppleva att jag förstår något som jag tidigare inte förstått. , - B
aldrig
sällan
ofta
alltid
22. När vi pratar hela klassen tillsammans på matten känner jag att det jag säger spelar
roll (för läraren och de andra eleverna). – H
aldrig
sällan
ofta
alltid
23. När jag arbetar med material på matten förstår jag vad i matten jag tränar på. – B
aldrig
sällan
ofta
alltid
24. Om jag vill arbeta med något speciellt på matten vet jag att jag förr eller senare
kommer att få göra det. – M
aldrig
sällan
ofta
alltid
25. Jag känner mig nöjd med det jag har gjort på mattelektionen. – M
aldrig
sällan
ofta
alltid
26. Efter en lektion i matte förstår jag vad vi har arbetat med. - B
aldrig
sällan
ofta
alltid
27. Efter en lektion i matte vet jag vad jag har lärt mig. - B
aldrig
sällan
ofta
B (begriplighet): 9
62
H (hanterbarhet): 9
alltid
M (meningsfullhet): 9
