SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218
Lanie Gutierrez-Farewik
Lycka till!
Tillåtna hjälpmedel är penna och suddgummi. Rita tydliga figurer, skriv grundekvationer och glöm
inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och motivera uppställda samband! För
varje uppgift ges 3 poäng för en helt korrekt lösning. På varje del fordras 4 poäng för godkänt.
Skrivtiden är 4 h.
Problemdel:
1.
Kroppen, som kan betraktas som en homogen
halvcirkelbåge med radien R och massa m, är upphängd
på en glatt fix axel vid O. Kroppen släpps i ett
vertikalplan från vila i positionen som i figuren, dvs när
G är i nivå med O. Kroppens masscentrum G visas i
figuren. Bestäm:
a.
Masscentrums maximala fart
b.
Kraften i upphängningspunkten då masscentrum
har maximal fart.
O
G
y
b
A
2. En plan stel kropp består av fem små kulor,
vardera med massan m, samt fyra lätta stänger.
Kroppens yttre längd är b på båda sidor. Stängerna är
förenade i ändpunkterna till kulorna. Kroppen ligger i
vila på ett glatt horisontalplan, då en kraft P börjar
verka i x-riktningen på en av kulorna. Bestäm
accelerationen för kula A i det första ögonblicket.
b
P
x
1
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218
Lanie Gutierrez-Farewik
Lycka till!
L0
x0
x
A
β
3. En leksaksbil startar uppför en backe med
lutningsvinkel β med hjälp av en ihoptryckt fjäder med
fjäderkonstant k. Anta att bilen rullar utan att glida.
Vardera hjul har massa m, radien r och tröghetsmoment
I0 m.a.p. symmetriaxeln. Resten av bilen har massan M.
I början, då bilen släpps från vila, är fjäderns
hoptryckning x0 från sin naturliga längd L0. Fjäderns
ände sitter inte fast i bilen. Bestäm: (Svaret får
innehålla I0)
a.
Bilens acceleration som en funktion av läget så
länge bilen är i kontakt med fjädern
b.
Hur långt uppför backen kommer bilens
bakända (punkt A)?
M
4. En trådrulle med massan m2 och radien r2 kan
rotera kring en fix, glatt horisontell axel A. Den
lätta oelastiska tråden går runt en annan rulle som
har massan m1 och radien r1. Denna rulle kan rotera
kring en fix, glatt horisontell axel B. Tråden glider
ej på någon av rullarna. I trådens fria ände hänger
en tyngd C med massan m. Ett konstant
kraftmoment M verkar kring A. Systemet släpps
från vila. Bestäm tyngdens acceleration. Båda
rullarna kan anses vara homogena cylindrar.
Tyngdaccelerationen är g.
Teoridel:
1. Utgå från definitionen av en partikels kinetiska energi, inför och definiera
masscentrumsystemet och härled sedan lagen om kinetiska energins två delar för ett
partikelsystem. Motiveringar är viktiga!
2. Svara så utförligt som möjligt. Komplettera gärna förklaringar med ekvationer. Rita en figur
som exempel för varje delfråga:
a. Under vilka omständigheter är mekaniska energin bevarad?
b. Under vilka omständigheter är rörelsemängden bevarad?
c. Under vilka omständigheter är rörelsemändgsmomentet bevarad?
2
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218
Lanie Gutierrez-Farewik
Lycka till!
3. Betrakta de olika cirkelringarna/bågarna med massan m. Jämför tröghetsmomenten kring olika
axlar, fyll i rutan vilket tecken som gäller av <, > eller =. D.v.s., är Ix < Iy, Ix = Iy eller Ix > Iy,
o.s.v.? Observera att i del (c), är det Iz som efterfrågas.
y
a.
m
r
x
Ix
□ □
Iy
Iz
y
b.
m
r
x
Ix
(1)
□ □
Iy
Iz
(2)
y
y
(3)
y
m
c.
m
r
x
x
Iz(1)
2r
2r
□
Iz(2)
□
m
x
Iz(3)
3
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218
Lanie Gutierrez-Farewik
Lycka till!
4.
a. Hur lyder impulsemomentekvationen för en stel kropp? Förklara alla ingående symboler
och var noga med vektorstreck!
b. Ett hjul roterar fritt med vilkenhastighet ω kring en fix axel som är hjulets symmetriaxel.
Hjulet kan betraktas som en homogen cylinder med massa m och radien r. En motor driver
hjulet under ett tidsintervall, så att efteråt, har hjulets vinkelhastighet ökat till 3ω.
Bestäm beloppet av impulsmomentet från motorn. Uttryck svaret i m, r, ω samt konstanter.
4
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218 Lösningar
Lanie Gutierrez-Farewik
y
y’
x
1. De enda krafter är tyngdkraften och upphängningskraften.
Upphängnings kraft förflyttar inte sig och gör inget arbete, och tyngdkraften är konservativ. Således är
a) Masscentrum har maximala fart när G är längst ner. Uttnyttjar Steiners sats för att uttrycka kinetisk
energi
̇
(
(
Där enligt Steiners sats är
)
(
Sätt (2) in i (1):
(
)) ̇
(
( )
( )
Och tröghetsmoment kring rotationsaxeln
̇
(1)
)
(
enligt Steiners sats
(2)
)
(
)
)
√
V
(
)√
2) I nedersta läget, har G enbart centripetal acceleration (tangentiell acceleration är
noll), dvs
(
) ̇
(
ger
mg
(
)
)
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218 Lösningar
Lanie Gutierrez-Farewik
2.
𝒃
√𝟐
𝜽̈
𝒃
√𝟐
̈
i x-rikt:
̇
𝜽̈
i y-rikt:
̈
i z-rikt:
G
(
( )
√
̇)
̈
(
̇
(
) sambandsformel för acceleration
)
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218 Lösningar
Lanie Gutierrez-Farewik
3.
a)
Vid en godtycklig punkt 0 ≤ x ≤ x0
Man kan lösa med antigen energiekvationen (eftersom tyngdkraften
och fjäderkraften är konservative, och friktion kring hjulen inte gör
arbete eftersom angreppspunkten saknar hastighet) eller med kraftoch momentekvationerna
(
)
(
)
̇
̇
Och för rulling, ̇
(
[
)
(
(
) ̇
(
)
(
̈
om vi sedan tidsderivera
)
(
̇
̇
̇
)
) ̇ ]
(
(
) ̇ ̈
)
(
)
Samma svar om man frilägger systemet och något av hjulen
(
systemet: x:
(
där
̈
(
)
N(1)
Ffjäd
(M+4m)g
(1-4)
ffrikt
Hjul: O:
)
θ
̈
där
̈
ffrikt(1)
b)
(
)
(
)
mg
) ̈
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218 Lösningar
Lanie Gutierrez-Farewik
4
S
mg
y
(1)
̈
Säcken: y:
T
θ2
G2
̈
G2:
̈
̈
där
(2)
m2g
θ1
̈
G1:
Sätt in (1) och (2)
G1
̈
T
m1
S
g
Notera
g att det går lika bra att lösa med lagen om arbetet:
̇
(
)
̈
där ̈
̇(
̇
̇
̈
̈
̈
sedan sätt in samband för
) efter tidsderivat, får man samma svar!
, ̇ och ̇
SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentamen 101218 Lösningar
Lanie Gutierrez-Farewik
Teoridel:
1. Se s 11-12 i Nyberg Mekanik Fortsättningskurs
2. a. Mekaniska energin är bevarad när krafterna är konservativa, dvs oberoende av integrationsväg.
Lämpliga exempel är t.ex., pendel, massor med fjädrar, mm.
b. Rörelsemängd är bevarad när inga yttre krafter finns (även i endast någon riktning)
c. Rörelsemängdsmoment är bevarad när inga yttre kraftmoment finns
3. a. Ix = Iy < Iz (eftersom Ix + Iy = Iz
b. Ix = Iy < Iz
c. Iz(1) < Iz(2)= Iz(3)
4. a.
b.
∫
( )
( )
Före:
Efter:
Belopp av impulsemomentet:
)
