Undervisningsplanering i Matematik
Kurs E (Poäng 50)
Kurskod: MA1205
Styrdokument:
Kursplan i matematik med betygskriterier.
Läromedel:
Matematik 3000 N&K.
Lån för studerande upp till 20 år
De studerande som är över 20 år köper själva böcker.
Räknare:
TI 83 plus, grafritande räknare.
De studerande köper själva sina räknare.
INNEHÅLL
Kursinnehåll enligt skolverket
sid 2
Betygskriterier för nivåerna G, VG och MVG
sid 3
Kursinnehåll med exempel på betygskrav inom
Algebra - Komplexa tal
sid 4
Differential och integralkalkyl
sid 6
Matematikkursens syfte, karaktär och struktur enligt Skolverket.
sid 9
Säkerställa likvärdig bedömning
sid 10
KOMVUX
1(10)
KURSINNEHÅLL
MATEMATIK E
50 poäng
Matematik E bygger vidare på Matematik D och ger den studerande tillfälle att i en syntes
använda tidigare kunskaper om talbegreppet samt kunskaper från algebra, funktionslära,
trigonometri, geometri och differential- och integralkalkyl. Kursen behandlar komplexa
tal samt fördjupad differential- och integralkalkyl. Kursen skall ge de fördjupade
kunskaper som krävs för fortsatta studier inom matematikintensiva utbildningar.
Mål
Mål som de studerande skall ha uppnått efter avslutad kurs
Den studerande skall
kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar
och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som
ingår i tidigare kurser,
kunna förklara hur och motivera varför talsystemet utvidgas till komplexa tal,
kunna räkna med komplexa tal skrivna i olika former samt kunna lösa enkla
polynomekvationer med komplexa rötter även med hjälp av faktorsatsen,
kunna analysera, formulera och lösa problem som kräver bestämning av derivator och
integraler samt beräkna volymer med hjälp av integraler,
kunna tolka, förklara och ställa upp differentialekvationer som modeller för verkliga
situationer,
kunna ange exakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förklara
tankegången bakom någon metod för numerisk lösning,
kunna arbeta med problem, som kräver en överblick över förvärvade kunskaper inom
den komplexa talmängden, algebran, trigonometrin samt funktionsläran med differentialoch integralkalkyl.
KOMVUX
2(10)
BETYGSKRITERIER.
GODKÄND.
Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt
för att formulera och lösa problem i ett steg.
Den studerande genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt.
Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför
beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som
kommer till uttryck.
Den studerande skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller
bevis.
VÄL GODKÄND.
Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem.
Den studerande deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som
skriftligt.
Den studerande gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför
och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt.
Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt
att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt
som skriftligt.
Den studerande visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av
problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken.
Den studerande ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien
och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden.
MYCKET VÄL GODKÄND
Den studerande formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt
språk.
Den studerande analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang.
Den studerande deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt
matematiska bevis.
Den studerande värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av
matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet.
Den studerande redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för
utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur.
KOMVUX
3(10)
KOMPLEXA TAL
Följande moment behandlas
Räkning med komplexa tal skrivna i rektangulära koordinater.
Att införa andra objekt än reella tal och för vilka räknelagarna gäller. De reella talet
blir en delmängd till de nya talen, de komplexa talen.
Det komplexa talplanet.
Att använda algebrans fundamentalsats: En polynomekvation har exakt lika många rötter
som ekvationens grad.
Räkning med komplexa tal skrivna i polära koordinater.
Ekvationer och funktioner. Enhetsekvationer.
Andragradsekvationen. Exponentialfunktionen ez
Att använda lösningen till en ekvation av andra graden för att formulera den fullständiga
lösningen till en differentialekvation av andra ordningen.
Faktorsatsen.
Att peka på användningen av komplexa tal i tillämpningar, t ex komplexa metoden för
växelströmsberäkningar.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån:
- z = 2 - 3i och w = 6 + 2i. Beräkna och svara på formen a + ib
- Bestäm det reella talet t så att z =
a) z + w
b) z/w
1
t
blir reellt.
+
2+i
1− i
- z = -1 + i. Bestäm arg z och z .
- Skriv det komplexa talet z = - 3 − i på polär form.
- Markera de komplexa talen z = -2 + 8i och w = 6 + 2i i det komplexa talplanet. Beräkna z − w .
z
5π
5π
π
π
- Beräkna 1 , om z1 = 3 (cos
+ i ⋅ sin
) och z = 2 (cos + i ⋅ sin ).
6
6
3
3
z2
- Förenkla så långt som möjligt uttrycket för z , då z = cos 30° + isin 30° . Svara på
formen a + ib.
- Förenkla med de Moivres formel (1 + i)4 .
- Lös ekvationen z2 = -1.
- Skriv talet e iπ + e
i π2
på formen a + ib.
- Lös ekvationen z2 - 4z + 8 = 0.
- Beräkna resten, då z2 + z + 1 divideras med z - i.
KOMVUX
4(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
1 ⎞
⎛ 1
- Bestäm det reella talet a så att Im⎜
+
⎟ = 0.
⎝ 1 + ai 1 + 2 i ⎠
- Lös ekvationen 3z + 3i = iz .
- Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter z för vilka z + 3 = 2 och Im z ≥ 0 .
- Beräkna arg z om z = −1 − i. Svara i radianer.
- Man vet att z = cos π4 + i sin π4 Beräkna z6 .
- Bestäm det minsta heltal n sådant att
- Skriv talet
2−i 2
(
)
n
3 − i blir reellt.
a) på formen r ⋅ e iy
b) på formen ez.
- För två komplexa tal z1 och z2 gäller följande
z1 = z 2 = z1 − z 2
arg z1 = π6
arg z1 ≤ arg z2 ≤ π
Ange ett exakt värde på arg (z1 - z2 ).
- Man har de komplexa talen z0 = 0, z1 = 2 + 4i och z = t + (t-2)i.
Bestäm det reella talet t så, att
z − z 0 = z − z1
- Sök det samband som råder mellan de reella talen A och B, då Az +
B
är reellt för de
z
komplexa tal z,
vars absoluta belopp är 2.
- Ekvationen z3 - 3z2 + 7z + 75 = 0 har en rot z = -3.
Visa detta och lös ekvationen fullständigt.
- Visa att uttrycket
1
2i
−
får ett reellt värde, då man sätter a = 2. a) Bestäm detta
1 − ai 5
reella värde.
Det finns även ett annat värde på a än 2, för vilket uttrycket får ett reellt värde.
b) Beräkna detta värde på a.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND
nivån:
- Låt z = cosv + isinv och förenkla uttrycket w = z n +
KOMVUX
1
zn
5(10)
DIFFERENTIAL- OCI INTEGRALKALKYL
kunna förklara begreppet differentialekvation och känna till dess lösningar
kunna verifiera en lösning till en differentialekvation
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån:
- Verifiera att y = 2e 3x + 4e −2 x är en lösning till y′ + 2 y = 10e 3x .
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
- Verifiera att y = A cos 2x + B sin 2x är en lösning till differentialekvationen
y′′ + 4 y = 0 oberoende av värdena på konstanterna A och B .
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND
nivån:
- Bestäm det reella talet a, så att y = e − x ⋅ sin ax blir en lösning till differentialekvationen
y′′ + 2 y′ + 5y = 0.
- kunna ställa upp en differentialekvation
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
- Ett radioaktivt preparat, som från början var 110 g sönderfaller med en hastighet som är
7% av den aktuella mängden per år.
Ställ upp en differentialekvation, som beskriver detta förlopp.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND
nivån:
- Ett rum med volymen 80 m3 innehåller 0,003 mg /m3 av en hälsovådlig gas. Luft med
0,0002mg/m3 av gasen tillförs rummet med hastigheten 2 m3/min. Väl blandad luft
bortförs med hastigheten 2 m3/min.
Antag att rummet innehåller y mg av gasen efter x min.
Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor, som visar hur gasmängden i
rummet förändras.
- kunna med hjälp av exakta lösningsmetoder lösa första- och andra ordningens homogena
differentialekvationer
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån:
- Differentialekvationen y′ − 3y = 0 är given
a) Bestäm den allmänna lösningen
b) Bestäm den partikulärlösning som uppfyller villkoret y ( 0) = 5
- Bestäm den allmänna lösningen till y′′ + 5y′ − 14 y = 0
KOMVUX
6(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
- Bestäm den lösning till y′′ − 4 y′ + 3y = 0 som uppfyller villkoren y ( 0) = 1 och
y′ ( 0) = −1
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL
GODKÄND-nivån:
- Bland lösningskurvorna till y′′ + 2 y′ + 5y = 0 finns det en som går genom punkten (0,3)
och som i denna punkt har tangenten y = x + 3 . Bestäm kurvans ekvation.
- kunna med hjälp av exakta lösningsmetoder lösa första - och andra ordningens
inhomogena differentialekvationer
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån:
- Ekvationen y′ + 3y = 6x − 1 har en partikulärlösning y = 2x − 1.
Verifiera detta och ange sedan ekvationens allmänna lösning.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
- Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y′ + 2 y = 4x − 2 .
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL
GODKÄND-nivån:
- En liten motorbåt med massan m =160 kg drivs med en motor som ger den konstanta
framåtdrivande kraften F = 200 N. Friktionen (vattenmotståndet) ger upphov till kraften
kv, där v är båtens hastighet och k en konstant med värdet 30 Ns/m. Båtens rörelse
beskrivs av differentialekvationen
dv
m = F − kv
dt
I ett visst ögonblick är båtens hastighet 1,5 m/s. Hur stor är hastigheten 7,5 sekunder
senare?
- kunna lösa separabla differentialekvationer och kunna lösa vissa ekvationer med hjälp
av integrerande faktorn.
- kunna förstå begreppet riktningsfält och använda numeriska metoder för att lösa
differentialekvationer
KOMVUX
7(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND-nivån:
- Differentialekvationen y´ = 2x är given. Skissera riktningsfältet inom området
−2 ≤ x ≤ 2 och −1 ≤ y ≤ 3 .
- Bestäm med hjälp av Eulers stegmetod y( 0,2) då y′ = x + y och y( 0) = 1 .
Använd steglängden 0,5.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån:
- För en fallskärmshoppare som faller fritt utan att låta fallskärmen utveckla sig gäller
under vissa förhållanden följande differentialekvation:
dy
= 9,8 − 0,0038y 2
dx
där y m/s är hastigheten och x tiden. Beräkna med Eulers metod hur lång tid uttryckt i
sekunder det tar för fallskärmshopparens hastighet att öka från 15 m/s till 25 m/s.
Använd steglängden 0,2 s och svara med det bästa närmevärdet med en decimal.
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL
GODKÄND-nivån:
- En kropp faller fritt utan begynnelsehastighet. Kraftresultanten på kroppen är differensen
av tyngden och luftmotståndet.
dv
Använd kraftekvationen F = ma = m ⋅
för att ställa upp en differentialekvation som
dt
beskriver rörelsen.
Vilken hastighet har kroppen efter 5,0 s, om dess massa är 80 kg och luftmotståndet
är proportionellt mot hastigheten i kvadrat med proportionalitetskonstanten 0,080 kg/m?
KOMVUX
8(10)
MATEMATIKÄMNETS SYFTE, KARAKTÄR OCH STRUKTUR
SYFTE
Matematik är ett nödvändigt verktyg såväl för andra ämnen inom den gymnasiala
utbildningen som för ett flertal ämnesområden inom eftergymnasiala studier.
Matematikundervisningen syftar till att ge de studerande tilltro till det egna tänkandet
samt till den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika
situationer. Undervisningen skall utveckla de studerandes nyfikenhet, öppenhet,
analytiska förmåga, kreativitet och ihärdighet vid matematisk problemlösning samt
förmåga att generalisera, abstrahera och estetiskt fullända lösningar och resultat.
Undervisningen skall sträva efter att de studerande skall få uppleva tillfredsställelsen i
att behärska matematiska begrepp och metoder, i att upptäcka mönster och samband och i
att lösa problem samt lära sig använda och inse värdet av matematikens symboler och
uttryckssätt. Väsentligt är att de studerande lär sig förstå och föra matematiska
resonemang, skapa och använda matematiska modeller och kritiskt granska deras
förutsättningar, möjligheter och begränsningar samt lär sig redovisa sina tankegångar
muntligt och skriftligt.
De studerande skall få förståelse för att matematiken har sitt historiska ursprung i
många äldre kulturer och få inblickar i hur matematiken utvecklats och fortfarande
utvecklas samt lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknare och
datorer som matematiska verktyg.
KARAKTÄR OCH STRUKTUR
Matematik är ett sätt att undersöka och strukturera teoretiska och praktiska problem.
Matematik är också ett sätt att tänka med inslag av både intuition och logik. Matematik
handlar om att kunna formulera hypoteser, undersöka dem och dra slutsatser samt att
kunna övertyga andra om giltigheten i ett resonemang. I den matematiska bevisföringen
preciseras några få egenskaper som är intuitivt naturliga och utifrån dessa härleds sedan
andra egenskaper och samband.
Matematik är också ett språk som genom sina symboler gör det möjligt att kort och
precist uttrycka och logiskt bearbeta komplicerade idéer och påståenden.
Tillgången till nya tekniska hjälpmedel förändrar delvis matematikens innehåll och
metoder. Många rutinoperationer, främst av numerisk och grafisk karaktär, kan nu utföras
av miniräknare och datorer. Inriktning mot förståelse, analys av hela lösningsprocedurer
och kritisk granskning av resultatet samt förmåga att dra slutsatser blir viktigare än
isolerad färdighetsträning.
I en kreativ matematisk problemlösningsprocess berikar olika metoder varandra. Inom
matematikämnet utnyttjas algebraiska, numeriska och grafiska metoder - de senare både
utan och med hjälp av miniräknare och datorer.
Problemlösning, användning av matematiska modeller, kommunikation och
matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som skall belysas i
undervisningen.
Ämnet matematik i gymnasial utbildning behandlar följande kunskapsområden:
aritmetik, geometri, trigonometri, sannolikhetslära, statistik, algebra, funktionslära,
differential- och integralkalkyl. Vissa delar ingår redan i matematikkurserna för
grundskolenivå och fördjupas sedan i de gymnasiala kurserna. Andra delar kräver sådana
förkunskaper att de kan behandlas först inom senare gymnasiala kurser.
Ämnet matematik är i den gymnasiala utbildningen uppdelat i påbyggbara kurser: A, B,
C, D och E.
KOMVUX
9(10)
Säkerställa likvärdig bedömning
För att säkerställa betygsättningen använder vi oss av skolverkets nationella prov.
Några av dessa är frisläppta och kan därför användas för att diskutera proven i förhållande
till kursplanerna 2000.
Ett flertal grupper med lärare och lärarutbildare är involverade i problemkonstruktion,
utprövning och kravgränser av de nationellt fastställda kursproven.
Dessa personer är också med i diskussioner om poängsättning och helhetsbedömning.
Provens och bedömningsanvisningarnas utformning och innehåll bygger på utprövningar
samt erfarenheter och synpunkter från lärarenkäter.
För att ytterligare säkerställa tolkningen av skolverkets nationella prov för vi en
kontinuerlig dialog med Nils Ericsonsgymnasiets matematiklärare.
KOMVUX
10(10)
