Vektorer övningar

HH/IDE/BN
Vektorer, övningar
Vektorer
övningar
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. Undantag utgör naturligtvis moment som direkt hänvisar till användning av Mathematica. På tentan är du ensam, så det är viktigt att
du klarar av uppgifterna på egen hand för hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning
av Mathematica!! I lösningsförslagen hittar du oftast både "tentavarianten" för hand och Mathematica. Detta för att du ska få
träning på båda! Avsaknad av handräkning eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att
fylla igen luckor och verifiera det som är gjort för hand eller med Mathematica.
Uppgifter
Låt a = 1, 2, -3¬, b = -1, 4, 2¬ och c = -3, 2, 1¬.
Typuppgifter i första hand
1. Rita
a u + v
b v + u
c u - v
d v - u
e - u + 3 v
f -3u-v
g 2 u - 3 v
h 2 -2 u + v
u
v
2. Rita 3 u - 2 v + w.
u
v
w
3. Bestäm a + 2 b och b - a + 4 c.
4. Bestäm längden av 2 a.
5. Bestäm längden av 3 b - a.
1
2
Vektorer, övningar
HH/IDE/BN
6. Ange x-komposanten av a - c, samt z-komponenten av b - a.
7. Bestäm  b , aäc, a + b ÿ c, aä2 b c, a b c
8. Beräkna 2 c - b b + a, c - 2 a - 3 b ÿ 4 aä6 b samt  5 bäc .
9. Beräkna  5 a ÿ c bäc .
10. Bestäm a + 2 b ÿ b - a c och aäb samt vinkeln dem emellan.
11. Bestäm en enhetsvektor i c:s riktning.
12. Bestäm en vektor med längden 5 motsatt riktad b.
13. Bestäm en enhetsvektor i riktningen -4 c.
14. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 a - 5 b.
15. Bestäm en vektor v så att  v  = 3 och v har samma riktning som c.
16. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna a respektive b. Sök koordinaterna för en punkt P som ligger på sträckan AB tre
gånger så långt från A som från B.
17. Bestäm vinkeln mellan vektorerna a och c.
øøö
øøö
18. Bestäm vinkeln mellan AB och BC om punkterna A, B, C har ortsvektorerna a, b respektive c.
19. Bestäm vinkeln mellan a + 2 c och b.
20. Bestäm s så att vektorn a + s b blir vinkelrät mot vektorn c.
21. Bestäm s så att längden av vektorn a + s b blir minimal.
 1   2 
 3 
22. Bestäm s så att vektorn   + s
 blir parallell med vektorn 
.
2
-3
  

 -4 
23. Bestäm projektionen av a på c.
24. Låt u vara en enhetsvektor med samma riktning som c. Bestäm projektionen av u på b.
25. Hur många % längre är b:s projektion på c än c:s projektion på b? Rita!
26. Bestäm en enhetsvektor e som är vinkelrät mot a och b!
27. Bestäm vektorn d om d¦b och d¦a, har längden 3 samt bildar spetsig vinkel med c.
28. Dela upp a i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot c!
29. Bestäm arean av den parallellogram som som spänns upp av a och b.
30. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av a och c.
31. Bestäm vinkeln mellan diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av a och c.
32. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av a, b och c.
33. Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av a, b och c.
34. Låt u = r, 0, 2¬ och v = 5, 7, -r¬. Sök r så att a) u¦v och b) u v. Går det?
35. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller a och b.
HH/IDE/BN
Vektorer, övningar
3
36. En robot flyttar med kraften F = b N en motor från en lagerplats till en annan. De två platserna definieras av ortsvektorerna a respektive c. Sök det uträttade arbetet.
37. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 5 N i riktning a flyttar en låda 8 m i riktning -c.
38. En kraft på 8 N är vinkelrät mot a och b och bildar spetsig vinkel med positiva x-axeln. Vilket arbete uträttas om den
förflyttar en låda 5 m från origo i riktning -c?
39. Kraften F = b N angriper i en punkt vars ortsvektor har riktningen a och längden 3 m. Bestäm momentet kring origo.
40. En 5 m lång stång är fast inspänd med ena änden i origo och pekar i riktningen 3, 2, 5¬. I andra änden angriper en kraft
på 1000 N verkande i riktningen 5, -4, 6¬. Bestäm momentet med avseende på origo samt en linje genom origo med riktning
a.
41. Sök avståndet från punkten 7, -1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 0, 1, 0 och 2, -3, 3.
42. Sök avståndet från punkten 1, 2, 3 till det plan som går genom origo och innehåller a och b.
43. Bestäm skärningspunkten mellan linjen a + t b och planet som går genom punkten 1, 2, 3 och har c som normalvektor.
44. Bestäm skärningspunkten mellan linjen a + s b och det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1, 5, 7, 4 och -2, 3, -9.
45. Bestäm skärningspunkten mellan linjen a + s c och planet x - 2y + 4z - 3 = 0. Sök även vinkeln mellan linjen och planets
normal.
46. Låt koordinataxlarna ha enheten km. En båt befinner sig i punkten -8, -4 och håller rak kurs mot punkten 4, 6 med
farten 10 km/h. Bestäm den punkt i vilken båten ska göra en 90° kursändring för att sedan med rak kurs och oförändrad fart
segla rakt i hamn som är beläget i 4, -3.
47. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller a och b.
48. Punkten A har a som ortsvektor. Bestäm sedan A:s spegelpunkt i det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1, 5, 7, 4 och
-2, 3, -9.
49. Bestäm ekvationen för det plan som skär planet 2x - 3y + z - 5 = 0 under rät vinkel och innehåller linjen a + s b.
50. Bestäm skärningslinjen mellan planen x + 2y - z + 1 = 0 och 3x - y + 2z - 4 = 0. Sök även avståndet från punkten
2, -1, 3 till linjen.
51. Linjen { med ekvationen a + s b skär planet p med ekvationen x + 2y - 2z + 5 = 0 i punkten P. Bestäm ekvationen för den
linje i p som går genom P och som är vinkelrät mot {.
52. Bestäm från den punkt som har ortsvektorn a avståndet i riktning b till det plan som går genom origo och har c som
normalvektor.
53. Bestäm det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a och en av sidoytornas diagonaler som inte skär
huvuddiagonalen.
x-1
z-2
54. Bestäm ekvationen för det normalplan till planet x + y - 2z = 1 som innehåller linjen ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅy+3
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .
2
3
-1
55. En vektor bildar vinkeln ÅÅÅÅp3 med två av basvektorerna i ett ON-system i rummet. Vilken vinkel bildar den med den tredje
basvektorn?
56. Dela upp vektorn 1, 1, 1¬ i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot planet x + 2y - z = 0.
57. Beräkna spegelbilden av punkten 1, 1, 6 i planet 2x + 2y + z = 1.
58. Punkterna A och B med ortsvektorerna a respektive b är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök ekvationen för detta
plan!
4
Vektorer, övningar
HH/IDE/BN
59. Låt u, v och w vara tre vektorer i R3 . Om nu u ÿ v = 0 och v ÿ w = 0 medför det då allmänt att u ÿ w = 0? Bevis eller motexempel!
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid…
60. Rita
a u + 2 v
b 2 v - u
c 3 u + v
d ÅÅÅÅ32 v - u
e - 3 u - v
f4u-2v
u
v
61. Bestäm längden av -2a.
62. Bestäm längden av -3 b - a.
63. Beräkna  5 a ÿ b cäa .
64. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 a.
65. Bestäm en vektor v så att  v  = 4 och v har samma riktning som -b.
66. Bestäm vinkeln mellan vektorerna a och b.
67. Bestäm s så att vektorn b - s c blir vinkelrät mot vektorn b.
 -1   -2 
2
68. Bestäm s så att vektorn 
 + s
 blir parallell med vektorn  .
 3   1 
5
69. Bestäm projektionen av b på c.
70. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av a och b.
71. Dela upp c i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med planet som spänns upp av a och b!
72. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 6 N i riktning a flyttar en låda 2 m i riktning b.
73. Bestäm momentet kring origo om kraften a N verkar i en punkt vars ortsvektor är 15 m lång och har samma riktning som
c.
74. Sök avståndet från punkten 2, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 1, 1, 0 och 2, 3, -3.
75. Bestäm skärningspunkten mellan linjen a + t c och planet som går genom punkten -1, 3, -2 och har b som
normalvektor.
76. Bestäm skärningspunkten mellan linjen cäa + s b och det plan som går genom origo och innehåller linjen c + t a.
77. Bestäm de punkter på z-axeln, som ligger lika långt från planen 12x + 9y - 20z - 15 = 0 och 4x - 3z + 10 = 0.
78. Bestäm ekvationen för det plan genom punkten 1, -1, 1 som är vinkelrät mot planen x - y + z - 1 = 0 och
2x + y + z + 1 = 0.
79. Bestäm det plan som går genom punkterna 1, 1, 6 och -2, 3, -1 och som är parallell med linjen a + s c.
HH/IDE/BN
Vektorer, övningar
Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls…
80. Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna a + s c och b + t a.
81. Låt u och v vara givna vektorer.
`
`
Sök sedan vektorerna u och v så att
`
`

2u-3v= 5u

 u` + v` = 5 v .

Rita ut dem!
u
v
82. En partikel rör sig längs kurvan rt = ‰t10 , cos t, sin t¬. Sök den punkt i vilken hastigheten är parallell med planet

3 y + z - 4 = 0. Ange även accelerationen i denna punkt.
5