Lektion 27: Poänguppgifter
04.09. Kan en grupp på 5 personer ställa sig på ett sådant sätt att var och en vidrör exakt 3 andra?
V37. Finns det ett par tal X och Y sådana att X+Y=X·Y=X/Y? Om ja, hitta ett exempel. Om nej,
motivera varför inte.
V38. Bland 38 mynt finns exakt ett som är falskt som avviker viktmässigt. Hur kan man
bestämma om det falska myntet är lättare eller tyngre än ett äkta mynt? Hur många vägningar
behövs det?
20.09-2. En bussbiljett kallas för lycklig, om man kan sätta in ett antal plus-, minus-, gånger- och
divisionstecknen samt parantes mellan siffrorna så att resultatet av det hela uttrycket blir 100.
Är biljetten nr 456123 lycklig?
V39-1. Jag tänker på 3 positiva heltal, alla är mindre än 100. Du får också välja tre tal (hur stora
som helst) och begära mig att multiplicera mitt första med ditt första, mitt andra med ditt
andra, mitt tredje med ditt tredje, sedan uppge summan av de tre produkterna. Bestäm den
minsta möjliga antalet sådana frågor för att säkert finna de tre tänkta talen.
V39-2. En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika ytor. Det går att dela lägenheten
mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får samma yta (fast antalet rum kan vara
olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i ett sådant lägenhet.
V40-1. Bestäm det minsta möjliga antalet springare som angriper alla tomma rutor på ett
schackbräde.
V40-2*. Bestäm det största möjliga antalet damer som man kan placera på ett schackbräde utan
att de angriper varandra.
V42-1. 8 lag spelade en turnering i mattedrabbning. Som pris fick de 97 biobiljetter. Ju bättre
plats hade ett lag desto mer biljetter fick det. Det är känt att alla lag fick olika antal biljetter
samt att de två sämsta lag fick fler biljetter sammanlagt än det bästa laget. Bestäm analet
biljetter hos vart och ett av lagen.
V45-1. En bro är 450 m lång. Ett tåg passerar bron på 1 minut (räkna från ett ögonblick då loken
börjar åka in på bron tills den sista vagnen helt lämnar bron). Samma tag passerar en stolpe på
en halvminut. Bestäm tåget hastighet samt tågets längd.
V46-2. (Newtons tal) 70 kor skulle äta upp allt gräs på en äng på 24 dagar, medan 30 kor skulle
göra det på 60 dagar. Hur många kor skulle man valla där för att äta upp allt gräs på 96 dagar?
(Glöm inte, att gräs brukar växa hela tiden.)
V47-1. En båt ska gå tur och retur längs en flod. En annan båt med samma hastighet i lungt
vatten ska gå samma avstånd tur och retur på en sjö. Visa att den 2:a båten hinner snabbare än
den 1:a.
V47-2. Tankspridd Felix gick hemåt längs en bäck som rann åt andra hållet. Felix’ hastighet var
1,5 så stor som strömmens. Av misstag kastade han sin mössa i strömmen. Efter en tid gick det
för honom att han hade gjort fel. Då kastade han sin käpp i strömmen och sprang nerför
bäcken dubbelt så snabbt som han hade gått. Efter en tid hann Felix ifatt sin flytande mössan
och tog den ur bäcken. Sedan vände han om och gick samma väg med samma hastighet som
tidigare. Efter 10 min träffade han sin käpp flytande i strömmen. Bestäm hur mycket tid skulle
han spara om han inte hade märkt sitt fel.
V50-1. Ett lag av 3 matematiker deltar i ”Rolig racertävling” på 3000 m distans. De får en
enmans sparkcykel. De alla ska starta på en rak löpbana, och resultattiden räknas på den i laget
som kommer sist. Den bästa resultat bland rivaler har varit 21 minuter. Hur kan matematikerna
klara snabbare om alla löper 125 m/min och sparkcyklar 250 m/min?
V50-2. En far och en son åker skridskor kring en cirkelbana. Först åkte båda åt samma håll och .
fadern körde om sonen då och då. Sedan åkte de åt motsatta håll och nu förekom träffar 5
gånger oftare. Bestäm förhållandet melan deras hastigheter.
V51-1,2,3 Det finns 3 rum med dörrar och skyltar på. I uppgifterna 1 och 2 bakom en skylt sitter
en prinsessa, bakom övriga skyltar sitter tigrar. Bestäm var sitter prinsessan?
1. Skylt #1: Här sitter en tiger. Skylt #2: Här sitter en prinsessa. Skylt #3: Bakom skyllt #2 sitter
en tiger. Det är känt att högst en av skyltarna är sanninsenlig.
2. Skylt #1: Bakom skylt #2 sitter en tiger. Skylt #2: Här sitter en tiger. Skylt #3: Bakom skyllt
#1 sitter en tiger. Det är känt att skylten med prinsessan bakom är sanninsenlig samt att minst en
av två övriga skyltar är fel.
3. Bakom en skylt sitter en prinsessa, bakom en annan skylt en tiger, bakom den 3:e skylten är
rummet tom. Skylt #1: Rummet bakom skyllt #3 är tom. Skylt #2: Bakom skyllt #1 sitter en
tiger. Skylt #3: Här är rummet tom. Det är känt att skylten med prinsessan bakom är sanninsenlig
samt att skylten med tiger bakom är fel.
L25-3. En kolonn av hästar som är 50 m lång springer med hastigheten 20 km/h. En man går de
till mötes med hastigheten 5 km/h. Så snart en häst möter mannen vänder den helt om och
springer åt andra håll med samma hastighet. Bestäm hur lång blir kolonnen när alla hästar vänder
om.
Svar. 04.09. Nej V37. X=0,5, Y= –1. V38. 2 ggr 20.09-2. Ja V39-2. 6 rum V40-1. 14
V40-2. 8 V42-1. 8,9,10,12,13,14,15,16. V45-1. 54 km/h, 450 m V46-2. 20 V47-2. 37,5 min
V50-1. På 20 min V50-2. 3:2 V51-1 #1. V51-2 #1. V51-3 #1. L25-3. 30 m
Den 10 januari, Metapontum, åk 1 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2007/ht1
