1. Är
Q en
N?
grupp under addition och/eller multiplication? Vad gäller för
C
och
S3
2. Vi har sett gruppen
som symmetrierna hos en triangel.
S4 konstrueras
S4 .
liknande, som symmetrierna hos en kvadrat. Skriv ner allt i
3. Är de jämna heltalen en grupp under addition? Är de udda talen det?
4.
Sn denieras liknande S3 och S4 (för olika heltal n).
Sn ? (Sn kallas för den n :te symmetriska gruppen.)
5. Deniera
a ⊕ b = max(a, b).
−a
6. Visa att om
med
Är
är inversen till
en grupp under
N
a
⊕?
så är inversen till
Vilken ordning har
Är
−a
Z?
[dvs.
−(−a)]
lika
a.
7. Visa att om
8. Visa att
g2 = g
så är
g = e.
−(a+b) = (−b)+(−a).
(Ni som har arbetat med matriser känner
nog igen formeln bättre om vi skriver om den med multiplikation istället
för addition. Den ser då ut som
9. Beteckna med
{0, 1, 2}).
Zn
(ab)−1 = b−1 a−1 .)
talen mellan 0 och
Räkning i
Zn
n−1
(inklusivt)(t.ex.
är
Z3 =
är så kallad modulusräkning då vi alltid reducerar
n tills vi åter får ett tal i Zn . I t.ex. Z3
2 + 2[= 4] = 1, 1 + 2[= 3] = 0 och 2 · 2[= 4] = 1. Är Zn en grupp
addition? Med multiplikation? Har valet av n någon inverkan?
resultatet av en beräkning med
har vi då
med
10. Visa att i en grupp
G
så har exvationerna
ax = b
och
xa = b
alltid en
unik lösning.
11. Visa omvändningen till övningen ovan, dvs. om vi har en binär operation
(+) på en mängd element (S ) så att ekvationerna ovan alltid har en unik
lösning så bildar
S
en grupp under
12. Om vi har en grupp
G
Visa att
nödvändigtvis samma grupp som
nns det ett
14. Låt
nZ
nZ
·, deniera a b = b · a (dvs.
G är en grupp under . Är det
G under ·?
med operation
den omvända operationen).
13. Visa att om
+.
G är en grupp med ett
a 6= e för vilket a2 = e.
ändligt och jämnt antal element så
vara gruppen av alla heltal som är multiplar av
är en delgrupp till
15. Vila delgrupper har
Z.
Z6
16. Hur ser delgruppen till
Har
nZ
n
(med addition).
några egna delgrupper?
(se uppg. 9)? Vilka är cykliska?
(Z, +)
genererad av 5 ut? Hur många element har
den?
17. Vilken ordning har de olika elementen i
Z5 ? S3 ? Z10 ?
Finns det någon
relation mellan ordning på elementen och gruppens ordning?
1
18. I
GL2 ,
nn ordningen för
−1
0
1
1
19. Vad har de olika elementen i
S4
och
0
−1
för ordning?
1
0
.
Hur kan man använda
Lagranges sats för att förenkla beräkningarna?
20. Bevisa att alla cykliska grupper är abelska.
21. Bevisa att alla grupper med prim ordning
22. Låt
G
vara en oändlig, abelsk grupp.
ändlig ordning i
23. Låt
n
G
Visa att mängden element med
G
n i G.
vara ett heltal strikt större än 2 och
24. Visa att den multiplikativa gruppen
Z×
10
en grupp. Visa att det nns
är isomorf med den additiva grup-
Z4 .
25. Beakta gruppen
Z2 .
G = Z2 × Z2 ,
(a, b)
och
G?
26. Vilken ordning har elementen i
G
(a, b), där a och b båda tillhör
(c, d) som (a + c, b + d). Vilka
med element
Vi denierar addition av
element har
27. Är
är cykliska.
är en delgrupp.
ett jämnt antal element med ordning
pen
p
ovan isomorf med
G
ovan?
Z4 ?
28. Visa att alla grupper av ordning 2 resp. 3 måste vara isomorfa med
resp.
Z3
(ledning: gör en multiplikationstabell för
och
Z2
Z2
Z3 ).
29. Som ovan, men vad gäller för 4? Finns det grupper av ordning 4 som inte
är isomorfa med
Z4 ?
Hur många sådana klasser av isomorfa grupper av
ordning 4 nns det?
30. Deniera en binär operation
Låt
G
⊕
vara all reella tal utom
a ⊕ b = a + b + ab.
R× (dvs.
(G, ⊕).
på de reella talen med
−1.
Hitta en ismorsm mellan
reella tal utom noll med multiplikation) och gruppen
2
