Föreläsning 4

Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 4
Innehåll: Om analytisk geometri och kägelsnitten
Kap 5, A.1-A.7
1. Vad menas med kägelsnitt?
2. Några kägelsnitt ur ett analytisk geometri-perspektiv (ellips och
hyperbel)
3. Geometriska beskrivningar av ellipser och hyperbler
Om vi nu ritar om axlarna så att det blir ett ordentligt ON-system (lika
längder) så ändras figuren från en cirkel till en ellips. Dess ekvation
är alltså:
x2
y2
+ 2 = 1.
2
a
b
Ska diskuteras mer nästa gång.
Parabeln
Efter dagens föreläsning måste du
- ekvationerna för en rät linje, cirkel och parabel
- Kunna beskriva det kägelsnitt som gömmer sig bakom en ekvation
ax2 + bx + cy2 + dy + e = 0
- Kunna beskriva vad en ellips är geometriskt och kunna rita upp
den utifrån en ekvation.
- Veta vad en hyperbel är för geometrisk figur och kunna rita upp
den från sin ekvation.
En parabel består av alla punkter ( x, y) som har samma avstånd till en
given punkt, kallad brännpunkten, som till en given rät linje, kallad
styrlinjen.
Att beskriva den i ekvationsform är enklast om vi lägger vårt koordinatsystem så att brännpunkten ligger i (0, c) och styrlinjen är y = −c.
Då är villkoret
q
q
1
x2 + (y − c)2 = 02 + (y + c)2 ⇔ x2 = 4cy ⇔ y = kx2 , k =
.
4c
Vad är analytisk geometri?
Analytisk geometri i planet innebär att man lägger in ett koordinatsystem så att olika figurer kan beskrivas med hjälp av ekvationer i
koordinaterna. Vi antar hela tiden att koordinatsystemet har vinkelräta axlar och att skalorna på de två axlarna är lika (ON-system). Det
gör det möjligt för oss att lösa geometriska problem genom att räkna
med tal. Delar av detta kommer att diskuteras mer i kursen i linjär
algebra.
Analytisk geometri uppfanns på 1600-talet av fransmannen Descarte
(även kallad Cartesius). Hur kommer den svenska drottningen Kristina in i denna historia?
Den räta linjen
En rät linje är bestämd av en punkt och ett tal, riktningskoefficienten
(som ger lutningen). Om punkten är ( x0 , y0 ) och k står för riktningskoefficienten betyder det att
(0, c)
( x, y)
y = −c
Vad menas med kägelsnitt?
Kägelsnitt är de geometriska figurer man får i ett plan om man skär
en kon med planet. Det man kan få är
- ellips (inklusive cirkel)
- hyperbel
- parabel
y − y0
= k,
x − x0
vilket ger den klassiska enpunktsformeln:
y − y0 = k ( x − x0 ).
Ur den fås lätt tvåpunktsformeln, men den behöver man inte lära sig!
Cirkeln
En cirkel består av alla punkter ( x, y) som ligger på samma avstånd
från en given punkt i planet.
Om vi kallar den givna punkten ( a, b) och avståndet för r, betyder
detta att vi har ekvationen
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 .
Om koordinatsystem
Ellips
Vad har vi för val vad gäller hur vi ska välja koordinatsystem? Translation, rotation + skalor på axlarna. Viktigt att förstå betydelsen av
transformationerna x → x + a, y → y + b och x → ax, y → by.
En ellips är en kurva som består av alla punkter vars avstånd till två
givna punkter, kallade brännpunkter, är konstant. Med andra ord, fäst
ändarna av ett snöre med fix längd i två pinnar och rita sedan kurvan
med stäckt snöre.
Exempel Enhetscirkeln ges av ekvationen x2 + y2 = 1. Om vi inför
nya koordinater x 0 = ax, y0 = by, blir ekvationen
(
x0 2
y0
) + ( )2 = 1.
a
b
Anmärkning När brännpunkterna sammanfaller får vi en cirkel.
Om snörets längd är 2a och avståndet mellan pinnarna 2c och vi lägger ett koordinatsystem rätt får vi följande figur:
Hyperbel
( x, y)
z
w
(−c, 0)
(c, 0)
En hyperbel är en kurva som består av alla punkter vars avstånd till
två givna punkter (brännpunkterna) har en given skillnad. Med skillnad menar vi denna gång det större avståndet minus det mindre (kallas ofta differens).
( x, y)
z
w
(−c, 0)
För att härleda ekvationen för denna ellips använder vi först Pythagoras’ sats till att få
z2 = ( c + x )2 + y2 ,
w2 = ( x − c )2 + y2 .
För att härleda ekvationen för hyperbeln återanvänder vi räkningarna
från ellipsen ovan och lägger därför brännpunkterna i (±c, 0) som
tidigare. Nu får vi istället ekvationssystemet
Ur konjugatregeln får vi nu att
z2 − w2 = 4cx
⇔
(z + w)(z − w) = 4cx.
(
(Notera att z > w omm x > 0.) Men definitionen på ellips innebär att
z + w = 2a, så vi har följande ekvationssystem i z, w:
(

z − w = 2cx
(z + w)(z − w) = 4cx
a .
⇔
z + w = 2a
z+w
= 2a
Om vi inför talet e = c/a, så ser vi att brännpunktsradierna nu kan
skrivas
z = a + ex,
(c, 0)
w = a − ex.

z + w = 2cx
(z + w)(z − w) = 4cx
a .
⇔
z − w = 2a
z−w
= 2a
Här antar vi att z > w, vilket betyder att x > 0. Samma räkningar
som för ellipsen leder till samma ekvation
x2
y2
+ 2
= 1.
2
a
a − c2
Skillnaden är att den här gången är c > a och vi inför därför b > 0
genom b2 = c2 − a2 och får då istället ekvationen
Stoppar vi in uttrycket för z i ekvationen för z2 så får vi efter lite räknande (gör det!) att den ekvationen är ekvivalent med
y2
x2
− 2 = 1.
2
a
b
y2
x2
+ 2
= 1.
2
a
a − c2
Även nu kallas e = c/a för eccentriciteten, men för hyperbeln gäller
att e > 1.
Men a > c, så vi kan definiera b genom a2 = b2 + c2 och får då slutligen ekvationen för en (axelparallell) ellips
Hyperbeln har naturligtvis en motsvarande skänkel då x < 0 och hela
kurvan visas nedan.
x2
y2
+ 2 = 1.
2
a
b
Lägg märke till den geometriska betydelsen av talen a, b som längder av halvaxlar. Liksom var brännpunkterna ligger. Slutligen, talet e
kallas ellipsens exentricitet och för en ellips gäller alltid att 0 < e < 1.
Exempel Rita kurvan x2 /4 − x/2 + y2 /9 − 3/4 = 0.
En alternativ beskrivning av en ellips är som en cirkel som rullar på
en cirkel:
I figuren är också inritat två (röda) räta linjer som skär i origo. Dessa
fås ur ekvationen
x2
y2
x
y x
y
− 2 = 0 ⇔ ( − )( + ) = 0,
2
a
b a
b
a
b
alltså
y=±
bx
.
a
Dessa linjer kallas asymptoter till hyperbeln. Detta därför att kurvan
närmar sig någon av dessa linjer när vi rör oss långt bort från origo.
Exempel Skissera kurvan
( x − 1)2
y2
−
= 1.
4
9
Att fundera på till nästa gång
1. Låt F1 och F2 vara två punkter i planet på avstånd 2c ifrån
varandra. Rita i planet alla punkter P som uppfyller
| P − F1 | + | P − F2 | = 2a.
Hur ska vi lägga vårt koordinatsystem för att vi ska få ekvationen på enklast möjliga form? Hur ser den ekvationen ut?
2. (Detta är en svår uppgift avsedd för den som behöver en riktig
utmaning!) I figuren på nästa sida beskrivs hur man kan se att
skärningen mellan ett snett plan och konen ger en ellips. Idén är
att man fyller konen med två bollar – en uppifrån och en nerifrån
– som båda tangerar planet. Tangeringspunkterna definierar F1
och F2 . Kan du se varför summan av F1 P och PF2 är samma för
alla punkter P.
Ledning: Punkterna Q1 och Q2 spelar en central roll. Hur?