Något om Komplexa tal och Mathematica

HH/ITE/BN
Komplexa tal och Mathematica
1
Något om Komplexa tal och Mathematica
Bertil Nilsson
2016-08-15
z4
16
r
4

r4
16
4
16
2
k 2Π
, k
4
0,
,3
Im
2
z0
2
4 0
z1
2
4 1
2Π

4
2cos 34 
sin 3Π

4
2
1
z2
2
4 2
2Π

4
2cos 54 
sin 5Π

4
2
1
z3
2
4 3
2Π

4
2cos 74 
sin 7Π

4
2 1
sin Π4 
16
Π
4
2Π

4
2cos 4 
4
r
2 1
z1
z0
-2
2
z2
Re
z3
-2
z ɲ
z
Granen ur roten
Imz Roten ur granen
Im
15
z 4
3
10
2
5
1
6
4
2
0
2
4
6
Rez 1
2
Re
z 2
Komplexa tal och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Förord
På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till komplexa tal med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi,
beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare
klarläggs och typiska exempel ges.
ť Bakgrund
1, saknar reella rötter. Vi vill därför
Införandet av komplexa tal motiveras av att vissa algebraiska ekvationer, t.ex. ekvationen x2
konstruera ett talsystem, bestående av så kallade komplexa tal på formen a ͦb, där a och b är reella tal medan ͦ, kallad imaginära
enheten, är ett imaginärt tal sådant att 2 : 1.
Ett komplext tal har formen a ͦb, där a och b är reella tal och ͦ kallas imaginära enheten som definieras av ͦ2 : 1.
Vi vill att de komplexa talen ska vara en utvidgning av de reella talen , det vill säga
. Våra "vanliga" räknelagar bör ju
gälla då b 0 varför det är rimligt att begära att de grundläggande begreppen likhet, addition och multiplikation av komplexa tal har
följande egenskaper:
Likhet :
Addition :
a
a
Multiplikation :
b c d
a c och b d
b
c d a c
b d
a
b c
d
ac
a d
bc
1
2
2
bd
ac
bd
ad
bc
3
ť Definition
Emellertid vet vi att talet inte finns, åtminstone inte tills vidare, och när vi nu vill definiera de komplexa talen så måste vi undvika
symbolen . Detta är lätt gjort: Vi skriver helt enkelt a, b i stället för a b och därmed försvinner allt som är mystiskt. Ett komplext tal består helt enkelt av två reella tal tagna i en bestämd ordningsföljd. Lämpliga definitioner av likhet, addition och multiplikation får vi sedan genom att snegla på 1 , 2 och 3 ovan. För att få reda på hur detta går till i detalj hänvisar vi till en mera rigorös
framställning. Vi nöjer oss med att konstatera att skrivsättet a b är sunt och att 1 , 2 och 3 gäller! Alltså:
Addition, subtraktion och multiplikation av komplexa tal sker med samma räknelagar som för reella tal med tillägget att
2
:
1.
Observera att man aldrig får byta mot
1 . För det första är ju inte funktionen kvadratrot definierad för negativa tal. Dessutom
får vi problem med de "vanliga" räknereglerna vilket följande lilla kalkyl exemplifierar
2
1
2

1
1
1
1
1
1
1!!
I det komplexa talet z a b kallas a realdelen och talet b kallas imaginärdelen. De betecknas a Rez och b Imz. Man
brukar kalla a b för den rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal. Det är brukligt att använda symboler i slutet
av alfabetet z, w, för namnsättning.
Om z
b kallas talet a Rez för realdelen och talet b Imz för imaginärdelen av z. Man brukar kalla a
rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal.
a
b för den
Exempelvis är Re 3 2
3 och Im 3 2
2. Ett komplext tal kallas reellt om dess imaginärdel är 0 och det kallas rent imaginärt om dess realdel är 0. Sålunda är t.ex. talet 3 rent imaginärt.
Det spelar ingen roll i vilken ordning vi skriver termerna a
Exempel: 3
3
4
3
2
12
 2
4
2
6
1
6
3
4
3
3
8
4
3
2

,
1
6
3
 1 2
13
1,
2
4
1
3
6
4
3
b
3
8
4
a
b
4
8,
10
b
5,
a
HH/ITE/BN
11
5
Komplexa tal och Mathematica
5
10
 2
5
1
1
4
2
 1 2
1
1
3
,
1
5
6
 2
3
3
1
1
Mathematica klarar naturligtvis av att räkna med komplexa tal, hämtas från palette eller direkt på tangentbordet som ii .
Notera att det ska vara två i, eftersom i blir den grekiska bokstaven Ι (iota). Notera att även I (vanliga stora i, dvs I) betraktas
som av Mathematica. Nu är det dax att räkna lite!
z
3
4
4
3
4
3
8
w
3
10
4
2
5
Re z , Im z
2w
4, 18
12
1
5
Vid division av komplexa tal har vi användning av något som kallas komplexkonjugering. Komplexkonjugatet till ett komplext tal
z a b betecknas z och definieras av z a b, det vill säga byte av tecken på imaginärdelen.
Om z
Exempel: 3
4
3
4, 1
Conjugate 3
3
2
1
a
b kallas z
,
2,
a
7
b för komplexkonjugatet till z.
7
4
4
Komplexkonjugat skrivs vanligtvis i litteraturen antingen som z eller som z . Som alternativ till Conjugate i Mathematica kan
man välja det sistnämnda skrivsättet, där den speciella "konjugatstjärnan" genereras av co . Observera att det inte är "upphöjt
till" stjärna, utan direkt z co .
z, z ,
4
, 3
8 , 4
4
8 ,
,3
,3
4
4 ,3
4
Division av komplexa tal sker enklast så att man multiplicerar bråkets täljare och nämnare med nämnarens komplexkonjugat, ty då
blir nämnaren reell eftersom a b a b a2
b 2 a2 2 b2  2
1 a2 b2 enligt välkänd konjugatregel.
Exempel:
3 5
4 3
3
5
4
3
27
11
25
25
3 5
4 3
4 3
4 3
12 9 20
16 9
Exempel: Lös ekvationen z
2
15
27 11
25
27
25
11
25
3z.
Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett
ekvationssystem som bestämmer a och b.
a
b
2
3a
b
a
2
b
2
3a
3b

2
1
Re : b 2
Im : a 3b
3a
a
b
3
5
1
5
4
Komplexa tal och Mathematica
3
5
det vill säga ekvationen har lösningen z
Solve z
2
1
5
HH/ITE/BN
. Detta klarar även Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve.
3z
3
z

5
5
Exempel: Lös ekvationen 2z
3
4
z.
Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett
ekvationssystem som bestämmer a och b.
2 a
b
3
4
2
3
det vill säga ekvationen har lösningen z
Solve 2 z
2
5
3
3
z
3
4
a
5
3
b

2
1
Re : 2a
Im : 2b
3
4
2
3
a
b
a
5
3
b
. Även detta klarar Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve.
z

Exempel: Lös ekvationen 2z2
z
5.
Lösningsförslag: Polynomekvationer, i detta fall en andragradsekvation, med komplexa koefficienter är ofta arbetssamma att lösa
och lämnas därför med varm hand över till Mathematica. Som väntat får vi i detta fall två rötter. Se vidare i Polynomekvationer
och Lite historik lite längre fram i häftet.
Solve2 z2
z
5
43
43
z
, z
4

4
4
4
Om det är mer komplicerade ekvationer får man kanske nöja sig med en numerisk lösning. Detta är oftast den enklaste och kanske
enda framkomliga vägen.
FindRoot2 z2
z
1.31442
3
4
Sin z , z, 0 
0.548438
ť Geometrisk representation
Eftersom ett komplext tal är ett ordnat par av reella tal a, b , kan de
representeras av punkterna i ett plan. I planet inlägges ett ortonormerat
koordinatsystem och talet z a b får motsvaras av den punkt i planet
som har koordinaterna a, b , se figur. Planet kallas då för det komplexa
talplanet. Motsvarigheten mellan de komplexa talen och planets punkter
är omvändbart entydig och kallar därför talet z även för punkten z. De reella
talen motsvaras av punkterna på koordinatsystemets ena axel och de rent
imaginära talen motsvaras av punkterna på den andra axeln. Koordinat–
systemets axlar kallas därför reella axeln Re–axeln respektive
imaginära axeln Im–axeln .
Im
axeln
z1 z2
z1
z1 z2
z1 z2
z2
Re
axeln
z2
Im
axeln
3
3
3
2
1
3 2 1
1
1
2
2
1
2
3
Re
axeln
1
2
3
Om de komplexa talen z1 och z2 motsvaras av punkterna a1 , b1 respektive
a2 , b2 , så motsvaras summan z1 z2 av punkten a1 a2 , b1 b2 . Addition
och subtraktion av de båda sker alltså i analogi med krafter i fysik och talen
motsvaras geometriskt av vektorer, ofta med en pil från origo till punkten eller
med en med denna parallell och lika lång pil. I figuren åskådliggörs z1 z2 och
z1 z2 och deras släktskap genom kraftpolygonen.
HH/ITE/BN
Komplexa tal och Mathematica
Absolutbeloppet av z
a
b skrivs och definieras av
a2
z
5
b2 och betyder alltså geometriskt avståndet från origo till
punkten z. Skrivs ofta Abs z .
Om z
a
b kallas z
Abs z
a2
b2 för absolutbeloppet av z.
Komplexa tal brukar ofta representeras i det komplexa talplanet, där x-axeln kallas för reella axeln "Re-axeln" och y-axeln för
imaginära axeln "Im-axeln". Talet z a b motsvaras då av den punkt i planet som har koordinaterna a, b .
ť Polär form
Låt z
r
a
b vara ett komplext tal, r dess absolutbelopp, det vill säga
a2
z
b2 och en riktningsvinkel för vektorn z. Observera att
Im
axeln
z aͦ b
b
räknas från positiva reella axeln och att moturs är positiv riktning. Då är
a r cos och b r sin och följaktligen
r
z a ͦb rcosw ͦsinw.
Re
axeln
a
Eftersom r och är polära koordinater för punkten z, kallar man högra ledet för den polära formen av talet z. Vidare kallas för
argumentet till z vilket skrivs
Arg z och anges i enheten radianer. Var och en av de oändligt många vinklar som löser
ekvationerna
a r cos
b r sin
kan göra anspråk på att kallas för argumentet till z. På grund av periodiciteten hos cosinus och sinus skiljer de sig åt med en multipel
av 2Π så alla ger avtryck i samma punkt a, b i det komplexa talplanet. Exempelvis är
1
. Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger i intervallet
När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a
att beräkna argumentet som
Arg z
b
Π eftersom
arctan a  
om a 0
5Π
4
och
3Π
4
likvärdiga argument till talet
Π, Π .
0 eller b
0 är det ju enkelt annars går det bra
arctan() levererar vinklar i första och fjärde kvadranten. Den
avslutande korrektionen kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort "negativ" information, ty
Mathematica är det inga problem. Vinklar levereras i intervallet
Abs 1
b
a
b
a
och
b
a
Π, Π och givetvis i radianer.
, Arg 1
Π

2,

4
Abs
1
, Arg
1
3Π

2,

4
Om
z
a
b
r
a
b
z
r cos
r sin
a2
b2 kallas
Arg z för argumentet till z och r cos
sin
för polära formen av z.
b
.
a
I
6
Komplexa tal och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Exponentiell form
För uttrycket cos
sin , som förekommer vid den polära formen, användes beteckningen
kallas för Eulers identitet. Vi definierar alltså den exponentiella formen
r cos
r
def
cos
är den enda som duger om man vill att räknelagarna
cos2
för t.ex. potenser, derivation och integration ska vara giltiga. Speciellt ser vi att
sin2
Vid multiplikation av två komplexa tal multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten. Ty om z1
är enligt potenslagarna
r1
1
r2
2
r1 r2
1
r1
1
r2
2
r1
r2
1
1.
r1
1
och z2
r2
2
så
2
Vid division av två komplexa tal divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten. Ty om z1
enligt potenslagarna
z1
z2
vilket brukar
sin
Erfarenheten, det vill säga den fortsatta teorin, visar att denna definition av
z1 z2
sin
r1
och z2
1
r2
2
så är
2
Vi ser att rektangulär form är enkel att använda vid addition och subtraktion medan exponentiell form är enkel att använda vid
multiplikation och division.
Exempel: Skriv talet z
3
Lösningsförslag: Vi ser att r
z
3
3 ;w
a2
z
3Π 4
3 2
lika bra. Alltså är z
får skriva lite själv.
.
3 på exponentiell form r
b2
9
9
3 2 och
Arg z
5Π
4
eller "andra hållet"
3Π
4
Arg z
går
. Mathematica har ingen funktion som direkt skriver om rektangulär form till exponentiell. Man
Arg z
Abs z
3 Π
3
2
4
Omvändningen går däremot. Antingen använder man ComplexExpand om man vill behålla symboliskt eller N om man är
intresserad av att få alla tal decimalt.
ComplexExpand w , N w
3
3 , 3.
3.
Exempel: Skriv talet 2
Π3
Lösningsförslag: Vi får 2
w
Π 3
2
på rektangulär form a
Π3
Π
2cos 3 
b.
Π
1
sin 3 
2 2
3
2

1
3.
; w, ComplexExpand w , N w
Π
2
3
,1
3 , 1. 1.73205 
18
Exempel: Beräkna  3
3 .
Lösningsförslag: Här är det lämpligt att gå över till exponentiell form eftersom en direkt utveckling blir väldigt arbetsam.
3
Låt z
18
 12 
z
3 med z
18 Π 3
3
Abs z
129
3 2Π
a2
b2
3
2 3 och
Arg z
3 ; z, Abs z , Arg z , ComplexExpandz18 , 129 
3 ,2
3,
, 5 159 780 352, 5 159 780 352
3
Π
.
3
Så z18
 12
129 med hjälp av potenslagar och Euler. Eller direkt i Mathematica
Π
3
9
Π3
18

18
 12 
18 Π 3
HH/ITE/BN
Komplexa tal och Mathematica
7
Im
axeln
Exempel: Multiplikation av ett komplext tal med
betyder geometriskt
zͥ ͦ w
en vridning moturs med radianer. Man har därför definierat moturs som
positiv riktning. På motsvarande sätt ger
en medurs vridning, det vill
säga i negativ riktning. Detta är en direkt konsekvens av ovannämnda vad
gäller multiplikation av två komplexa tal, absolutbeloppen multipliceras och
så har vi att z behåller
argumenten adderas. Ty om z r Θ och w
sin längd men vrids moturs radianer, ty zw r Θ
r Θ .
z
Re
axeln
def
z
r
Om
a
b
z
cos
kallas r
sin
kallas för Eulers identitet.
rcos
sin
 för den exponentiella formen av z.
Vid multiplikation multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten,
1
2
det vill säga z1 z2 r1 1 r2 2 r1 r2
Vid division divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten,
det vill säga
z1
z2
r1
1
r2
2
r1
r2
1
2
ť de Moivres formel
Genom att kombinera Eulers identitet med potenslagarna får vi
cos
n
sin

n

n
2
cos 2
cos n
sin n
där första och sista ledet kallas de Moivres formel.
Exempel: Enligt de Moivre är
cos
sin
sin 2
Utvecklas kvadraten i vänsterledet fås
cos2
2cos
sin2
sin
cos 2
sin 2
Likhet för komplexa tal ger nu de välkända formlerna för dubbla vinkeln
cos2
cos 2
sin2
respektive sin 2
2cos
sin
ť Polynomekvationer
Den enklaste typen av polynomekvation av grad n man kan tänka sig är den så kallade binomiska ekvationen
zn
där z, w
w
. Denna löses genom att skriva både z och w på polär form och utnyttja likhet för komplexa tal
zn
rn
n
R
Θ
w
r
n

R
r
k2Π, k
Θ
n
Θ
n
rn
n
k
2Π
,
n
R
Θ
R
k
0, 1,
,n
1
där vi i sista ledet tillfredställt det faktum att en polynomekvation av grad n har exakt n rötter genom att välja de n "första". Alla de
andra med k
ger inga nya avtryck i det komplexa talplanet.
Geometriskt bildar lösningarna hörnen i en regelbunden n-hörning inskriven i en cirkel med centrum i origo och radien r.
8
Komplexa tal och Mathematica
Exempel: Lös ekvationen z4
HH/ITE/BN
16.
Lösningsförslag: Vi har en binomisk ekvation av grad fyra, så vi följer arbetsgången ovan. Här får vi ännu en gång nytta av att vi
lärt oss skriva om från rektangulär till exponentiell form.
z4
16
4
r

r4
16
4
16
4
r
Π
4
16
2
2Π
k4,
k
0,
,3
Utvecklat har vi de fyra rötterna och deras geometriska släktskap.
Im
2
z0
2

z1
2

z2
2

z3
2

4
4
4
4
2Π
0
4
2Π
1
4
2Π
2
4
2Π
3
4
Π
z1

2 cos 4 

2 cos
3
4

sin
3Π

4
2
1

2 cos
5
4

sin
5Π

4
2
1

2 cos
7
4

sin
7Π

4
2 1
sin 4 
2 1
z0
-2
2
z2
Re
z3
-2
Givetvis är Mathematica behjälplig
Solvez4
rötter
z
2
4
1 , z
16
2
4
1 , z
2
34
1
, z
2
1
34

Eller på vanlig rektangulär form som vi känner igen från beräkningarna ovan vid figuren.
ComplexExpand rötter
z
2 , z
1
1
2 , z
1
2 , z
1
2 
När det gäller mer allmänna polynomekvationer överlämnar vi dessa med varm hand till Mathematica. Alltid lika många rötter som
gradtal på ekvationen.
Solvez2
1
2
z
2
0
1
z
1
 1
5 , z
2
 1
2
NSolvez3
z
0.832871
5 
2
2
1
2
z
2
1.6352 , z
0
1.11365 0.786858 , z
0.280779
0.848346
ť Komplexa funktioner av en reell variabel
Med en komplexvärd funktion av en reell variabel menar vi en funktion f , för vilken D f
mängden av alla reella tal och
och V f
. Som vanligt betecknar
mängden av alla komplexa tal.
x
Exempel: För funktionen f x
cos x
sin x är D f
. Eftersom f x är ett komplext tal med beloppet 1 och argumentet
x, är V f enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Då x genomlöper den reella talaxeln från vänster till höger, kommer funktionsvärdena f x att genomlöpa enhetscirkeln moturs, oändligt många varv.
Definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration för komplexa funktioner av en reell variabel är analoga med
motsvarande definitioner vi känner i det helt reella fallet. Vi nöjer oss med två exempel som upprepar det vi fastslog redan på sidan
ett, nämligen att "alla" kalkyler i det komplexa fallet fungerar som i det reella fallet om betraktas som vilken variabel som helst och
förenklar med tillägget 2 : 1. Dessutom kommer mycket att vila tungt på Eulers identitet.
Exempel: Visa att derivatan
zx
x
z
zx
, där z
.
HH/ITE/BN
Komplexa tal och Mathematica
9
Lösningsförslag: Vi får med hjälp av Eulers identitet
zx
a b x

x
a
x
ax
ax
cos bx
ax
a
ax
bx
2
asin bx
bsin bx 
b cos bx
a b sin bx
b ax cos bx
sin bx
a
ax cos
Produktregeln
bsin bx
bcos bx
asin bx bsin bx
b cos bx
a
a
sin bx
ax
sin bx
b cos bx
a
ax
Exempel: Beräkna integralerna
cos bx
x
ax
b
ax sin
x och
bx
bx
a bx
zx
z
x.
Lösningsförslag: Vi kämpar på med Eulers identitet
ax
1
a
cos bx
bx
ax
x
C1
a b
sin bx
ax
x
a b
a b a b
C2
ax
cos bx
sin bx
cos bx
sin bx
a
x
C1
bx
C2
x
 2:
1
Integrationskonstant
ax
acos bx
ax
bsin bx
C1
a2 b2
asin bx
bcos bx
C2
a2 b2
så likhet för komplexa tal ger slutligen
ax cos
ax
ax
bx
x
ax
sin bx
x
acos bx
bsin bx
C1
a2 b2
asin bx bcos bx
C2
a2 b2
Eller direkt i Mathematica
ax

ax
ax
Cos b x ,
a cos b x

a
Sin b x
ax
b sin b x
2
b
x
a sin b x
,
2
a
2
b cos b x
b

2
ť Komplexa funktioner av en komplex variabel
Med en komplexvärd funktion av en komplex variabel menar vi en funktion f , för vilken D f
och V f
.
Även här fungerar definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration och övriga räknelagar som man har anledning
att förmoda
z . Vi får f z
z
Ett exempel är exponentialfunktionen f z
Euler, argumentet b. Vi inser därmed att definitionsmängden är hela
Logaritmen w
ln z , där z, w
r
Θ
och w
b
a
b,
det vill säga z har absolutbeloppet a och, enligt
medan värdemängden är hela exkluderat 0 eftersom a 0.
, definieras av
w
Om vi skriver z
a
a
ln z
z
w
b så är
lnr
Θ

ln r
ln
Θ

ln
r

a
Θ
n2
w
b
där imaginära delen av w formellt måste korrigeras med en multipel av 2Π eftersom sin Θ och cos Θ är periodiska med just 2Π.
Symbolen ln z är med andra ord oändligt mångtydig. I många sammanhang nöjer man sig med principfallet n 0 i analogi med
principalvinkeln Arg z .
Exempel: ln 3
Abs
3, Π, Π
ln3
3 , Arg
log 3

ln 3
Π
3 , Log
3
n2 .
10
Komplexa tal och Mathematica
Exempel: ln 1
ln 2
Log 1
4

Π
ln 2 
4
1
ln
2
n2 
Π
2
4
HH/ITE/BN
n2 .
ComplexExpand
Π
log 2
4
2
Potensen zw , där z, w
, definieras nu som
zw
wln z
och är i allmänhet mångtydig, eftersom ln z är mångtydig. Endast då w är ett reellt heltal är den entydig.
Exempel: Beteckningen
3 skall tolkas som
3
12
. Beräkna denna.
Lösningsförslag: Utnyttja nyvunnen kunskap
3
3
12
1
12
1
ln 3
2
2
ln 3
1
Π n2
2
ln 3
Π
n
2
3
1
n
3
är alltså tvåtydig. Inte sällan nöjer man sig med den positiva.
3
3
Exempel: Beräkna
z utan att gå via logaritmen.
Lösningsförslag: Vi utnyttjar att för alla komplexa tal z gäller
2 z
z
z
2 z
2Re z
och att detta uttryck är reellt och positivt. Efter en liten kalkyl
z 2 2z z z2
2z z z2 z z
2 z 2 Re z
2z z z
2 Re z
z
z2z
2 z 2Re z
z z
2
2 z 2Re z
får vi så till slut
z z
z
2 z 2 Re z
Till exempel om z
3
4 har vi z
3
2
3
3
1
42
4
5 och Re z
5
3 så
3 4
25 2
2 4
3
10 6
1
2
4
2
Slutligen får vi genom att snegla på Eulers identitet för argumenten
cos
och
att
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
1

2
1

2


varav det högra sambanden brukar kallas Eulers formler. Med dessa och vår nu så utvecklade bekantskap med
rimligt att definiera sinz och cosz enligt
cos z
sin z
Om vi t.ex. väljer z
cos z
1 2

2
2
Π
1
 z
2
1
 z
2
z
 och sin z
2

2
kan det verka

z

2 har vi efter lite räknande, gör det gärna eller se nedan, att
2
z
z
2
och
z
2
så
. Mathematica använder gärna hyperboliska funktioner för att hålla nere
utskriftsvolymen, men vi kan forcera fram svar på olika former om så önskas.
HH/ITE/BN
Komplexa tal och Mathematica
, TrigToExp
, ComplexExpand TrigToExp
2
1
cosh 2
2
2
2
2
sinh 2
2
2
, TrigToExp
cosh 2
1
2
1
Cos Π
2
, Sin Π
2
,N
&
Cos 3
2
, Sin 3
2
2
2
2 3
1
2 3
2
1
2
&
3.7622
2
1
2
3
2
2
 0.
3.62686
, ComplexExpand TrigToExp
3
sinh 2

2
,N
2
1
2
11
2 3
cos 3
1
2
2
2
2 3

2
2
cos 3
1
2
2
2
cos 3
2

cos 3 
sin 3
1
2
2 2
sin 3
2
1
sin 3 
2
2
2
sin 3
2
3.72455
0.511823
0.530921
3.59056
ť Lite historik
På 1500-talet dök kvadratrötter ur negativa tal upp i de lösningsformler till tredje- och fjärdegradsekvationer som tagits fram av de
italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia (1500-1557) och Gerolamo Cardano (1501-1576). Exempelvis visste man med
hjälp av grafisk metod att samtliga rötter till tredjegradsekvationen x3 4x2 1 0 var reella. Ändå ledde dessa formler till sådana
kvadratrötter som mellanresultat. Eftersom Mathematica är bestyckad med formlerna kan vi åskådliggöra problematiken
x3
y
4 x2
1;
Plot y, x,
1, 5 , PlotStyle
Red, AxesLabel
"x", "y"
y
10
5
1
1
2
3
4
5
x
5
Solve y
0
1
16
1
4
x
3
3
1
2
101
3
8 1
4
687 
3
1
1
1
3
3
3
1
2
101
3
3
NSolve y
3
2
3
1
3
3
687  ,
101
3
687  
1
6
101
101
2
1
1
3
687 
x
3
3
6
8 1
4
687  ,
3
2
x
x
101
3
3
3
2
687 
0
0.472834 , x
0.537402 , x
3.93543
Namnet imaginära för sådana "inbillade" tal myntades av René Descartes (1596-1650) och man betraktade dem länge med stor
misstänksamhet. Leonhard Euler (1707-1783) införde beteckningen men de komplexa talen accepterades egentligen först efter att
deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats 1799 av Caspar Wessel (1745-1818). Flera år senare 1806 återupptäcktes
denna beskrivning av Jean Robert Argand (1768-1822) men populariserades slutligen av Carl Friedrich Gauss (1777-1885) som
också introducerade formen a b. Den moderna definitionen som ett ordnat par av reella tal presenterades av William Rowan
Hamilton (1805-1865).