Formelblad Analys

FORMELBLAD MATEMATIK I
VEKTORER I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT SYSTEM
Låt v 1 och v 2 vara två vektorer och  vinkeln mellan dem. Vidare gäller att v 1  ( x1 , y1 , z1 ) och
v 2  ( x 2 , y 2 , z2 ) .
(1.) Längden (beloppet) av en vektor: v1 
(2.) Skalärprodukt:
x12  y12  z12
v1  v 2  x1 x2  y1 y2  z1 z2  v1  v 2  cos 
ex
ey
ez
(3.) Vektorprodukt (kryssprodukt): v1  v 2  x1
y1
z1
x2
y2
z2
(4.) Vektorprodukten är en vektor som är vinkelrät mot v 1 och v 2 och riktad enligt skruvregeln. Dess absolutbelopp är:
v1  v2  v1  v2 sin 
TRIGONOMETRISKA FORMLER

 1
sin 30  sin  cos 60  cos 
(5.)
6
3 2


3
 cos 30  cos 
3
6
2
(6.)
sin 60  sin
(7.)
sin 45  sin
(8.)
cos( )  cos 
(9.)
sin( )   sin 

4
 cos 45  cos

4

1
2
(13.)
cos(  )  cos  cos  sin  sin 
(14.)
sin(  )  sin  cos  cos  sin 
(15.)
sin(  )  sin  cos  cos  sin 
(16.)

cos(  )  sin 
2
(17.)

sin(  )  cos 
2
(18.)
tan(  ) 
tan   tan 
1  tan   tan 
(19.)
tan(  ) 
tan   tan 
1  tan   tan 
(10.)
tan( )   tan 
(11.)
cot( )   cot 
(12.)
cos(  )  cos  cos  sin  sin 
(20.)
sin 2  2 sin   cos
(21.)
cos 2
 cos2   sin 2 
(22.)
tan 2 
2 tan 
1  tan 2 
(23.)
cos   x     arccos x  n  2
(24.)
tan   x    arctan x  n  
(25.)
sin   x  1  arcsin x  n  2 ; 2    arcsin x  n  2
 1  2 sin 2 
Formelblad Matematik1 ver. 0.2
 2 cos2   1
17-07-14
KOMPLEXA TAL
Låt z = x + jy vara ett komplext tal  0.
(26.)
z  r(cos  j sin )  re j
(27.) Absolutbelopp: z  r  x 2  y 2
y

arctan

x
(28.) Argument: arg( z )    
y
  arctan
x

(29.)
z1  z2  z1  z2 ;
z1

z2
(30.) argz1  z 2   argz1   argz 2  ;
då x  0
då x  0
z1
z2
z
arg  1
 z2

  arg z1   arg z 2 

DERIVERINGSREGLER
(31.) ( fg )  f  g  f g 

(32.)  f   f  g  f g 
2
 
g
g
KEDJEREGELN. Om f och g är deriverbara så är också resultanten f [ g ( x )] deriverbar och
d
f [ g ( x )]  f  g ( x )  g ( x )
dx
dy dy dz då
dvs
y  f ( z ) och z  g( x) :


dx dz dx
(33.)
g
f
x
z
y
REGLER FÖR INTEGRATION
PARTIELL INTEGRATION
(34.)
 f ( x) g ( x)dx  f ( x) g( x)   f ( x) g( x)dx
b
(35.)

b
f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)a   f ( x) g( x)dx
b
a
INTEGRATION GENOM SUBSTITUTION
a
t  g ( x)

f  g ( x)  g ( x)dx  
   f (t )dt
dt

g
(
x
)
dx



(36.)

(37.)
 f g ( x)  g ( x)dx  dt  g ( x)dx x  b  t  g (b)    f (t )dt
t  g ( x)
b
x  a  t  g (a)
a
INTEGRALER

(39.)
x
 a dx 
(40.)
 sin
(42.)
(43.)
(44.)
Formelblad Matematik1 ver. 0.2
g (a)
dx
(38.)
(41.)
g (b )
1 x 2
 arcsin x  C
ax
C
ln a
(0  a  1)
dx
  cot x  C
x
dx
 cos2 x  tan x  C
f ( x )
 f ( x) dx  ln f ( x)  C
dx
1
x
 x 2  a 2  a arctan a  C
dx
 x 2  a  ln x  x 2  a  C
2
17-07-14