Exempel 24:
16.6 PARTIKULÄRLÖSNING OCH ALLMÄN LÖSNING
705
16.6.11 Differentialekvationer av tredje ordningen, och högre
Ordinära linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter som har högre ordning än två har liknande egenskaper som de vi studerat. Problemet kan på samma sätt
delas i att finna homogenlösning och partikulärlösning.
Emellertid har den karaktäristiska ekvation högre gradtal, dess gradtal är alltid differentialekvationens ordning. Som vi sett i Kapitel 4 har vi då vissa svårigheter att
i allmänhet bestämma lösningarna. Dessutom kan trippelrötter uppträda. Vi nämner
utan bevis att motsvarande lösning till en sådan rot, som vi kan beteckna med r, är ett
andragradspolynom gånger en exponential: (C2 x2 + C1 x + C0 )erx . Detta generaliserar Sats 16.8 (sid. 670): att en dubbelrot svarar mot ett förstagradspolynom gånger en
exponentialfaktor. Vi har följande motsvarande sats. Med ”distinkt rot” menar vi här
att vi inte upprepar identiska rötter. Istället räknar vi med varje rots multiplicitet.
Sats 16.11 Den allmänna lösningen till y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a0 y = 0 är en
summa av termer, där varje term svarar mot en distinkt rot till karaktäristiska ekvationen rn + an−1 rn−1 + ... + a0 r = 0. Om roten r har multiplicitet m är lösningen som
svarar mot denna rot
y = (Cm−1 xm−1 + ... + C1 x + C0 )erx .
Talet r kan vara reellt eller komplext. Är det komplext kan lösningarna skrivas om
till reella lösningar som innehåller trigonometriska funktioner.
Vi kommer här endast att lösa differentialekvationer vars karaktäristiska ekvationer
kan lösas med metoder presenterade i Kapitel 4.
Exempel 16.23 Lös differentialekvationen y 000 + y =
1
4
cos x.
Karaktäristiska ekvationen är r3 + 1 = 0. Denna ekvation har trippellösningen
r = −1. Motsvarande lösning är således
y = (C2 x2 + C1 x + C0 )e−x .
Högerledet 14 cos x förekommer inte i denna homogenlösning. Därför kan vi ansätta y = A cos x + B sin x. Nu behöver vi tre derivator:
y0
y 00
y 000
= −A sin x + B cos x,
= −A cos x − B sin x, och
= A sin x − B cos x.
Insättning ger
1
+ B sin x} = cos x.
A sin x −
{z B cos x} + A
| cos x {z
|
4
y 000
y
16. L INJÄRA
706
DIFFERENTIALEKVATIONER
Således:
Alltså:
(A + B) sin x + (A − B) cos x =
A+B
A−B
1
cos x.
4
= 0
1
=
.
4
Så A = 18 och B = − 18 . En partikulärlösning är y = 18 cos x −
Den allmänna lösningen till y 000 + y = 14 cos x är därför
y = (C2 x2 + C1 x + C0 )e−x +
1
8
sin x.
1
1
cos x − sin x. ¥E
8
8
Teknikproblem 16.22 Bestäm allmänna lösningen till y (4) + y = sin x.306
Teknikproblem 16.23 Bestäm allmänna lösningen till y(4) − 4y000 + 10y00 − 12y 0 +
5y = −x.307
Rekommenderade övningar (ledningar på sid. 718): 8.62 - 8.64.
16.7 Andra typer av differentialekvationer
Det finns givetvis andra typer av differentialekvationer än de som är behandlade i
denna bok. Huvudsakligen vad gäller linjära differentialekvationer finns det framgångar (forskning pågår, emellertid). Differentialekvationer kan också lösas med numeriska metoder. Då kvarstår emellertid en hel del osäkerhet om lösningens korrekthet
eller noggrannhet.
Vi nämner två exempel på andra typer av ekvationer som vi kan lösa genom att
använda metoder från denna bok.
1. I den första, Eulers differentialekvation, byter vi variabel: x = et . I den nya
variabeln t får vi en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter.
2. I den andra, Bernoullis differentialekvation, byter vi funktion: z(x) = y(x)eG(x) .
Då kommer z(x) att uppfylla en separabel differentialekvation.
306 Svar till teknikproblem:
1
sin x.
2
307 Svar till teknikproblem:
y(4) +y = sin x har lösningarna y (x) = (C3 x3 +C2 x2 +C1 x+C0 )e−x +
y(4) −4y000 +10y 00 −12y0 +5y = −x har lösningarna y (x) = (C3 cos 2x+
C2 sin 2x +C1 x + C0 )ex − 15 x + 12
.
25
